SPL HOMOGEN
description
Transcript of SPL HOMOGEN
SPL HOMOGENBentuk umum:
Dalam bentuk matrik :
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
a x a x ......... a x 0
a x a x ......... a x 0
a x a x ........ a x 0
SPL dengan m persamaan dan n variabel.
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn n
a a .......... a x 0
a a .......... a x 0
a a .......... a x 0
Amn x = 0
SPL HOMOGEN
pasti ada penyelesaian trivial (sederhana)
penyelesaian trivial +tak berhingga banyakpenyelesaian taktrivial(tidak semuanya nol )
atau
1 2 nx 0, x 0, ........ x 0
Selalu konsisten
ILUSTRASI:a1x + b1y = 0 (a1, b1 keduanya tidak nol)a2x + b2y = 0 (a2, b2 keduanya tidak nol)
(a) Hanya solusi trivial (b) Solusi banyak
SPL homogen Amn x = 0
a) m > n hanya mempunyai solusi trivial
b) m = n jika
c) m < n mempunyai solusi tidak trivial
A 0 trivial
A 0 tidak trivial
(m: persamaan, n: variabel)
mempunyai kemungkinan penyelesaian :
Contoh : (Solusi trivial)1.Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : 3 a + b = 0 a – b = 0 Jawab : 4 a = 0 3 a + b = 0 3(0)+ b = 0
A 0m = n
3 a + b = 0 a – b = 0
a = 0
b = 0
2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 0 2x + 3 y + z = 0 Jawab :
1 2 0 x 0
-1 -2 1 y 0
2 3 1 z 0
1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0
A b -1 -2 1 0 ~ 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0
2 3 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 0
m = nA 0
Pada matrik yang terakhir terlihat bahwa semua kolom
matrik A memiliki satu utama (matrik identitas),
sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :
x 0
y 0
z 0
Contoh :(Solusi tak trivial)
1. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : 3 a + b + c = 0 5 a – b + c = 0 Jawab :
m < n
3 1 1 0
5 -1 1 0
b1(1/3)1 13 31 0
5 -1 1 0
b21(-5)
1 13 3
2 23 3
1 0
0 -2 - 0
b2(-3/8) 1 13 3
14
1 0
0 1 0
b12(-1/3) 14
14
1 0 0
0 1 0
Jadi diperoleh : a = - ¼ c dan b = - ¼ c (solusi umum)
Misalkan : c = 4
c = -4
c = 1
c = -1
a = - 1 dan b = - 1
a = 1 dan b = 1
a = - ¼ dan b = - ¼
a = ¼ dan b = ¼
Diperoleh solusi tak trivial
Bentuk akhir eselon-baris tereduksi:
.tx,0x,x,sx,tsx 54321 t
dan penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s = t = 0.
solusi umum :
Terdapat 2 variabel bebas yaitu x2 dan x5
Misalkan : x2 = s dan x5 = t, maka diperoleh :
3. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x1 + 2x3 + 3 x4 = 0
2x1 + x2 + 3x3 + 3 x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
Jawab :
1 0 2 3 0
0 1 -1 -2 0
0 0 0 0 0
~
1 0 2 3 0
2 1 3 3 0
1 1 1 1 0
Terdapat 2 variabel bebas yaitu : x3 dan x4
Misalkan x3 = s dan x4 = t , maka diperoleh :
m< n
4. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini :x – y + 2 z – w = 0 2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3 x – 3w = 0 Jawab :
m = nA 0
~
~
1 -1 2 -1 0
0 3 -6 0 0
0 1 -2 0 0
0 3 -6 0 0
1 0 0 -1 0
0 1 -2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 -1 2 -1 0
2 1 -2 -2 0A b
-1 2 -4 1 0
3 0 0 -3 0
Pada matrik terakhir terlihat hanya 2 kolom yang
memiliki satu utama atau terdapat 2 baris nol, ini berarti
bahwa SPL tidak trivial dengan 2 variabel bebas yaitu z
dan w. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka
diperoleh penyelesaian umum :
OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan.
x t
y 2s
z s
w t
0.993
1.985
Metode Jacobi : x1dan x2 disebut bilangan iterasi
Ketika n = 4, maka bilangan iterasi ke 4 adalah
Hasil akhir dari metode Jacobi mendekati solusi sebenarnya yaitu : metode Jacobi menyatu
1
2
,sehingga dalam kasus ini
(konvergen)
Metode Gauss – Seidel : dengan pola perhitungan zigzag
Dapat dilihat bahwa metode Gauss-Seidel pada kasus ini juga menyatu, bahkan lebih cepat dibandingkan Jacobi
Metode Gauss – Seidel dengan jawaban menyebar (divergen)
Jawaban sebenarnya adalah : 1
2
x 2
x 1
(lihat gambar)
Diagonal matrik dominan sempurnaMatrik A dikatakan memiliki diagonal dominan sempurna jika :
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a .......... a
a a .......... a
A=
a a .......... a
11 12 13 1n
22 21 23 2n
mn n1 n2 n,n-1
a a a ......... a
a a a ......... a
a a a ......... a
Jika SPL nxn mempunyai diagonal dominan sempurna pasti memiliki solusi tunggal, sehingga iterasi metode Jacobi’s maupun Gauss – Seidel mendapatkan hasil yang menyatu (konvergen)
APLIKASI SPLSPL dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah
di bidang, biologi, kimia, fisika, ekonomi, arus lalu lintas dan lain-lain.
Aplikasi SPL dalam bidang biologi.1. Ahli biologi menempatkan 3 jenis bakteri pada tabung reaksi
yang diberi tanda Strain I, Strain II dan Strain III. Ada 3 macam makanan yang berbeda (A, B dan C) yang setiap
hari disediakan yaitu 2300 satuan A, 800 satuan B dan 1500 satuan C.
Masing-masing bakteri mengkonsumsi sejumlah satuan makanan seperti ditunjukkan dalam tabel 1.
Berapa banyak bakteri setiap Strain yang berada dalam tabung reaksi yang menghabiskan makanan?
Tabel 1. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain IIIMakanan A 2 2 4Makanan B 1 2 0Makanan C 1 3 1Jawab :Misalkan : x1, x2 dan x3 adalah jumlah bakteri dari Strain I, Strain II
dan Strain III. Bakteri Strain I mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2
satuan, sehingga jumlah total makanan A yang dikonsumsi per-hari adalah 2 x1.
Demikian pula untuk Strain II dan Strain III, mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2x2 dan 4x3
Makanan A yang disediakan berjumlah 2300 satuan, dengan demikian dapat dituliskan persamaan berikut : 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2300
Dengan cara yang sama dapat dituliskan persamaan untuk jenis makanan B dan C sebagai berikut : x1 + 2x2 = 800
x1 + 3x2 + x3 = 1500
Jadi terbentuk SPL dengan 3 variabel. Dengan OBE diperoleh :
2 2 4 2300
1 2 0 800
1 3 1 1500
1 0 0 100
0 1 0 350
0 0 1 350
Strain I : 100Strain II : 350Strain III: 350
2. Sama seperti soal 1 namun tabel 1 diubah menjadi tabel 2. Tabel 2. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain III JumlahMakanan A 1 1 1 1500Makanan B 1 2 3 3000Makanan C 1 3 5 4500Jawab :
1 1 1 1500
1 2 3 3000
1 3 5 4500
1 0 -1 0
0 1 2 1500
0 0 0 0
SPL baru : x1– x3 = 0 x2– 2x3 = 0
Variabel bebas : x3
Misalkan : x3 = tMaka x1 = t x2 = 1500 – 2t
Pada kenyataannya, jumlah bakteri tidak mungkin
negatif. Oleh karenanya, t ≥ 0 dan 1500 – 2 t ≥ 0. Dari
kedua ketidaksamaan tersebut diperoleh : 0≤ t ≤750.
Dengan demikian terdapat 751 nilai t yang memenuhi
dan bentuk persamaannya adalah :
1
2
3
x t 0 1
x 1500 2t 1500 t 2
t 0 1x
Aplikasi SPL dalam bidang kimia.Persamaan reaksi kesetimbanganReaksi gas Hidrogen (H2) dengan Oksigen (O2)
menghasilkan air (H2O) yang ditulis dalam persamaan
reaksi kesetimbangan sebagai berikut : 2 H2 + O2
Berarti 2 molekul Hidrogen dengan 1molekul Oksigen membentuk 2 molekul air.
Terjadi kesetimbangan karena ruas kiri dan ruas kanan mengandung 4 atom Hidrogen dan 2 atom Oksigen
2 H2O
Contoh:1. Amonia (NH3) dalam Oksigen menghasilkan Nitrogen
(N2) dan air. Tentukan persamaan reaksi kesetimbangan kimianya.
Jawab : Misalkan jumlah molekul dari amonia, oksigen,
nitrogen dan air adalah : w, x, y dan z. Maka persamaan reaksi kesetimbangan dapat
ditulis dalam bentuk : wNH3 + xO2
Kemudian bandingkan jumlah atom nitrogen, hidrogen dan oksigen yang direaksikan dengan yang dihasilkan.
yN2+ zH2O
Diperoleh persamaan sebagai berikut :Nitrogen : w = 2yHidrogen : 3w = 2z Oksigen : 2x = z Jika ditulis dalam bentuk persamaan standard, maka
terlihat SPL Homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabel sebagai berikut :
w – 2 y = 03w – 2 z = 0 2 x – z = 0
m < n Tidak trivial
1 0 -2 0 0
3 0 0 -2 0
0 2 0 -1 0
23
12
13
1 0 0 - 0
0 1 0 - 0
0 0 1 - 0
Jadi : w = 2/3 z x = ½ z y = 1/3 z
w = 4
y = 2z = 6
x = 3
Persamaan kesetimbangan ditulis sebagai berikut:4NH3 + 3O2 2N2+ 6H2O
2. Selesaikan persamaan reaksi pembakaran gas Propana (C3H8) oleh Oksigen (O2) berikut ini :
(x1)C3H8 + (x2)O2
Jawab :Penulisan secara matrik setiap molekul adalah sebagai
berikut :C3H8 : , O2 : , CO2 : dan H2O :
Jumlah atom C, atom H dan atom O di ruas kiri harus sama dengan ruas kanan.
3
8
0
0
0
2
1
0
2
0
2
1
O
H
C
(x3)CO2 + (x4) H2O
Maka :
Terbentuk SPL Homogen berikut ini :
3
8
0
x1 +
0
0
2
x2 =1
0
2
x3 +0
2
1
x4
3 0 -1 0 0
8 0 0 -2 0
0 2 -2 -1 0
3 0 -1 0 0
0 2 -2 -1 0
0 0 -4 3 0
-12 0 0 3 0
0 -4 0 5 0
0 0 -4 3 0
-4 0 0 1 0
0 -4 0 5 0
0 0 -4 3 0
Hasilnya : x1 = ¼ , x2 = 5/4, x3 = ¾ dan x4 = variabel bebas
Ambil : x4 = 4,
Maka persamaan reaksi kesetimbangan menjadi :
C3H8 + 5O2
x1 = 1 x2 = 5 x3 = 3 , dan
3CO2 + 4H2O
Aplikasi SPL dalam bidang fisika.SPL dalam bidang fisika difokuskan dalam menentukan
besar arus listrik yang mengalir dalam suatu rangkaian.
Digunakan hukum Kirchhoff :Pada titik persimpangan : Jumlah arus yang masuk = jumlah arus yang keluarPada suatu loop : Perhitungan aljabar dari tegangan = perhitungan
aljabar penurunan tegangan
Berdasarkan hukum Ohm,
penurunan tegangan E pada setiap resistor adalah :
Dengan : i = kuat arus (ampere)
dan R = resistor/hambatan (Ω)
E= i R
Contoh :Tentukan i1, i2 dan i3 pada rangkaian berikut ini :
Jawab :Penyelesaian soal ini didasarkan pada hukum Kirchhoff
dan Ohm dengan menggunakan SPL berikut ini :
Aplikasi SPL dalam bidang ekonomi.SPL di bidang ekonomi kebanyakan digunakan untuk
menentukan biaya ekuilibrium pengeluaran dalam suatu periode tertentu sehingga pendapatan yang ada sesuai dengan pembelanjaannya.
Contoh : Setiap tahun, sektor barang dagangan (A) menjual 80%
outputnya kepada sektor jasa dan sisanya disimpan.Sedangkan sektor jasa (B) menjual 60% outputnya kepada
sektor barang dagangan dan sisanya disimpan. Bagaimana cara penentuan biaya ekuilibrium setiap sektor
pertahun sehingga pendapatan masing-masing sektor sesuai dengan pengeluaran ?
Buat daftar pengeluaran masing-masing sektor : Sektor
Barang dagangan (A)
Sektor Jasa(B)
Dibeli oleh :
0,8 0,4
0,60,2BA
Kolom menunjukkan output, sedangkan baris
menunjukkan pengeluarannya masing-masing sektor
Maka SPL yang dihasilkan adalah :A = 0,2 A + 0,6 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (1)B = 0,8 A + 0,4 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (2)Dalam notasi matrik :
Bila B = 80, maka A = 60. Jadi, biaya ekuilibrium untuk sektor barang dagangan adalah 60, sedangkan sektor jasa adalah 80
0,8 0,6 0
0 0 0
0,8 0,6 0
0 0 0
Hasil umumnya : A = 6/8 B, dengan B adalah variabel bebas.
Aplikasi SPL dalam bidang arus lallu lintasPada suatu daerah terdapat jalan raya seperti gambar di bawah ini :
Angka-angka yang terdapat pada gambar menyatakan jumlah kendaraan yang melintasi jalan.
Dengan prinsip bahwa jumlah mobil yang masuk menuju ketitik persimpangan A, B, C dan D harus sama dengan jumlah yang, keluar, tentukan jumlah kendaraan pada x1, x2, x3 dan x4!
Dengan demikian dapat ditulis SPLnya sebagai berikut :Titik persimpangan A:x1 + 380 = x2 + 430
Titik persimpangan B:x2 + 540 = x3 + 420
Titik persimpangan C:x3 + 470 = x4 + 400
Titik persimpangan D:x1 + 590 = x4 + 450
x1 – x2 = 50 (1)
x2 – x3 = –120 (2)
x3 – x4 = –70 (3)
x1 – x4 = – 140 (4)
Hasil akhir SPL adalah konsisten dan mempunyai
banyak himpunan penyelesaian.
Jika diambil : x4= 420, maka :
x1= 280
x2= 230
x3= 350
Aplikasi SPL dalam bidang komputer Menganalisa jaringan komputer . Prinsipnya : Aliran masuk = aliran keluar
Dengan menggunakan OBE Gauss-Jordan diperoleh :
1 0 0 1 15
1 -1 0 0 10
0 1 1 0 25
0 0 1 -1 20
1 0 0 1 15
1 1 0 1 5
0 0 1 -1 20
0 0 0 0 0
Hasil akhir menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan f4 merupakan variabel bebas.
Solusi umum : f1 = 15 – t
f2 = 5 – t
f3 = 20 + t
f4 = t
Soal latihan :1. Tentukan penyelesaian SPL Homogen berikut ini: 2x1 – x2 +3x3 – x4= 0
x1 +2x2 – x3 + 2x4= 0
3x1+ x2 – 4x3 + x4= 0
4x1–3x2 – 2x3 + 3x4= 0
2. Cari nilai x1dan x2 dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel pada persamaan berikut ini:
7x1– x2 = 6
x1– 5x2 = –4
Bandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang eksak (sesungguhnya).
3. Cari persamaan reaksi dari : NaHCO3 + H3C6H5O7 Na3C6H5O7 + H2O + CO2
4. Buatlah arah arus rangkaian listrik diagram di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari masing-masing arus tersebut.