Physik und Sensorik

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Spektrale Analyse – Fourier Transformation

Physik und Sensorik

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Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals

∆𝑈 =?

Physik und Sensorik

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Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals

∆𝑈 =?

Signal nach Tiefpass

Physik und Sensorik

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Fourier-Synthese

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 =1

𝑁

𝑘=0

𝑁−1

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 𝑒I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Inverse Fourier-Transformation, IDFT:

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

Abtastintervall 𝑇𝑎 Messzeit 𝑇 = 𝑁 𝑇𝑎 für 𝑁 Abtast-Punkte

Abstand zwischen zwei Frequenzen: ∆𝑓 =1

𝑁 𝑇𝑎oder ∆𝜔 =

2 𝜋

𝑁 𝑇𝑎

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

=

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 cos 2𝜋 𝑘𝑛

𝑁−𝐼

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 sin 2𝜋 𝑘𝑛

𝑁

𝜑

𝐼𝑚

𝑅𝑒

𝑎𝑒𝑖𝜑

𝐼 𝑎 sin𝜑

𝑎 cos𝜑

Physik und Sensorik

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Fourier-AnalyseBerechnung der reellen Koeffizienten der Sinus- und Cosinus-Funktionen

oder

Berechnung der reellen Koeffizienten der Exponential-Funktionen mit imaginären Argumenten

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯

𝑎𝑖 𝜔𝑖 = ?

Mit Frequenzen 𝜔𝑖 = 0,±2𝜋

𝑇, ±2

2𝜋

𝑇, ±3

2𝜋

𝑇, … und Zeitfenster 𝑇

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Fourier-Analyse

Signal

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus 𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus

Signal x Cosinus

𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus

Signal x Cosinus

Mittelwert = 0.496

= Koeffizient für Cos

𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Sinus 𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Sinus

Signal x Sinus

𝑓1 = 1.00 Hz

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Signal

Sinus

Signal x Sinus

Mittelwert = 0.303

= Koeffizient für Sin

𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

Spektrale Komponente der Frequenz 𝑓1 = 1.00 Hz

𝑎1 ⅇ−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1

∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡

0.496 cos𝜔1𝑡 + 0.303 sin𝜔1𝑡 mit 𝜔1 = 2𝜋 𝑓1 = 2 𝜋 × 1.00 Hz

Sinus- und Cosinus-Analyse mit reellen Koeffizienten:

Fourier-Analyse mit komplexen Koeffizienten:

mit 𝑎1 = 0.496 + 𝐼 0.303und 𝜔1 = 2𝜋 𝑓1 = 2 𝜋 × 1.00 Hz

𝜑

𝑎1

𝐼𝑚

𝑅𝑒

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus 𝑓1 = 0.23 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus

Signal x Cosinus

𝑓1 = 0.32 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus

Signal x Cosinus

𝑓1 = 0.32 Hz

Mittelwert = 0.023

= Koeffizient für Cos

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus

Signal x Cosinus

Mittelwert = -0.042

= Koeffizient für Cos

𝑓1 = 2.50 Hz

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Fourier-Analyse

Signal

Cosinus

Signal x Cosinus

Mittelwert = -0.007

= Koeffizient für Cos

𝑓1 = 7.50 Hz

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Fourier-Analyse

Fourier Koeffizienten Animated.nb

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Fourier-SyntheseAddition von Sinus- und Cosinus-Funktionen

oder

Addition von Exponential-Funktionen mit imaginären Argumenten und komplexen Koeffizienten

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡

𝜔1 = 1.003 Hz

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 + 𝑎2 ⅇ

−𝐼𝜔2𝑡+𝑎2∗ ⅇ𝐼𝜔2𝑡

𝜔1 = 1.00 Hz

𝜔2 = 1.10 Hz

Physik und Sensorik

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 + 𝑎2 ⅇ

−𝐼𝜔2𝑡+𝑎2∗ ⅇ𝐼𝜔2𝑡 + 𝑎3 ⅇ

−𝐼𝜔3𝑡+𝑎3∗ ⅇ𝐼𝜔3𝑡

𝜔1 = 1.00 Hz

𝜔2 = 1.10 Hz

𝜔3 = 1.20 Hz

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯

𝜔1 = 1.00 Hz

𝜔2 = 1.10 Hz

𝜔3 = 1.20 Hz

𝜔4 = 2.10 Hz

Physik und Sensorik

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

𝜔1 = 1.00 Hz

𝜔2 = 1.10 Hz

𝜔3 = 1.20 Hz

𝜔4 = 2.10 Hz

𝜔5 = 3.11 Hz

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯

Physik und Sensorik

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

𝜔1 = 1.00 Hz

𝜔2 = 1.10 Hz

𝜔3 = 1.20 Hz

𝜔4 = 2.10 Hz

𝜔5 = 3.11 Hz

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯

Physik und Sensorik

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1

√𝑛𝑎0 + 𝑎1 ⅇ

−𝐼𝜔1𝑡+𝑎1∗ ⅇ𝐼𝜔1𝑡 +⋯ 50 Frequenz-Terme bis 𝑓 = 50 Hz

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Fourier-Synthese

FourierSeriesOfSimpleFunctions.cdf

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Fourier-Analyse

Fourier-Synthese

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 =1

𝑁

𝑘=0

𝑁−1

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 𝑒I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Inverse Fourier-Transformation, IDFT:

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁

Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Re, Im

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁

Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Re, Im

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Re, Im

Negative FrequenzenPositive Frequenzen

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Fourier-Analyse

Re, Im

Wenn die ursprüngliche Funktion reellwertig ist, sind die

Fourier-Koeffizienten bei positiven und negativen

Frequenzen zueinander komplex konjugiert.

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Amplituden-Spektrum vs. Leistungs-Spektrum

Leistung eines elektrischen Wechselspannungs- oder Wechselstrom-Signals:

𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼 = 𝑈 ∙𝑈

𝑅=𝑈2

𝑅

𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼 = 𝑅 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼 = 𝐼2 ∙ 𝑅

Intensität 𝐼 einer elektromagnetischen Welle mit Feldstärke 𝐸(𝑡):

𝐼 = 𝜀0 𝑐 𝐸2

Dielektrizitätskontante des Vakuums: 𝜀0Lichtgeschwindigkeit: 𝑐

Leistung ist proportional zum Absolutquadrat der Amplitude.

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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und Imaginärteil der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔)

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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und Imaginärteil der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔)

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗

𝑓 =𝜔

2𝜋≈ 1 Hz

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗

Physik und Sensorik

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten 𝑎(𝜔) 2 = 𝑎(𝜔) ∙ 𝑎(𝜔)∗

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Fourier-Analyse

𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑓 𝑛 𝑇𝑎 𝑒−I 2𝜋 𝑘

𝑛𝑁Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Zeitabhängiges Signal 𝑓 𝑛 𝑇𝑎 Frequenzspektrum 𝐹𝑑 𝐼 𝑘 ∆𝜔

Abtastintervall 𝑇𝑎 Messzeit 𝑇 = 𝑁 𝑇𝑎 für 𝑁 Abtast-Punkte

Abstand zwischen zwei Frequenzen: ∆𝑓 =1

𝑁 𝑇𝑎oder ∆𝜔 =

2 𝜋

𝑁 𝑇𝑎

Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Daten

Zeitfenster

Frequenz

DFT

Zeit