Spektrale Analyse Fourier Transformationโฌยฆย ยท Amplituden-Spektrum vs. Leistungs-Spektrum...
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Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSEChemnitz โ 28. November 2019 โ Prof. Dr. Uli Schwarz
Spektrale Analyse โ Fourier Transformation
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Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals
โ๐ =?
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Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals
โ๐ =?
Signal nach Tiefpass
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
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Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐ Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
๐ ๐ ๐๐ =1
๐
๐=0
๐โ1
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ ๐I 2๐ ๐
๐๐Inverse Fourier-Transformation, IDFT:
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Fourier-Analyse
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐ Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
Abtastintervall ๐๐ Messzeit ๐ = ๐ ๐๐ fรผr ๐ Abtast-Punkte
Abstand zwischen zwei Frequenzen: โ๐ =1
๐ ๐๐oder โ๐ =
2 ๐
๐ ๐๐
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Fourier-Analyse
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐ Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
=
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ cos 2๐ ๐๐
๐โ๐ผ
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ sin 2๐ ๐๐
๐
๐
๐ผ๐
๐ ๐
๐๐๐๐
๐ผ ๐ sin๐
๐ cos๐
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Fourier-AnalyseBerechnung der reellen Koeffizienten der Sinus- und Cosinus-Funktionen
oder
Berechnung der reellen Koeffizienten der Exponential-Funktionen mit imaginรคren Argumenten
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก +โฏ
๐๐ ๐๐ = ?
Mit Frequenzen ๐๐ = 0,ยฑ2๐
๐, ยฑ2
2๐
๐, ยฑ3
2๐
๐, โฆ und Zeitfenster ๐
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Fourier-Analyse
Signal
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus ๐1 = 1.00 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
๐1 = 1.00 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
Mittelwert = 0.496
= Koeffizient fรผr Cos
๐1 = 1.00 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Sinus ๐1 = 1.00 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Sinus
Signal x Sinus
๐1 = 1.00 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Sinus
Signal x Sinus
Mittelwert = 0.303
= Koeffizient fรผr Sin
๐1 = 1.00 Hz
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Fourier-Analyse
Spektrale Komponente der Frequenz ๐1 = 1.00 Hz
๐1 โ โ๐ผ๐1๐ก+๐1
โ โ ๐ผ๐1๐ก
0.496 cos๐1๐ก + 0.303 sin๐1๐ก mit ๐1 = 2๐ ๐1 = 2 ๐ ร 1.00 Hz
Sinus- und Cosinus-Analyse mit reellen Koeffizienten:
Fourier-Analyse mit komplexen Koeffizienten:
mit ๐1 = 0.496 + ๐ผ 0.303und ๐1 = 2๐ ๐1 = 2 ๐ ร 1.00 Hz
๐
๐1
๐ผ๐
๐ ๐
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus ๐1 = 0.23 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
๐1 = 0.32 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
๐1 = 0.32 Hz
Mittelwert = 0.023
= Koeffizient fรผr Cos
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
Mittelwert = -0.042
= Koeffizient fรผr Cos
๐1 = 2.50 Hz
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Fourier-Analyse
Signal
Cosinus
Signal x Cosinus
Mittelwert = -0.007
= Koeffizient fรผr Cos
๐1 = 7.50 Hz
-
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Fourier-Analyse
Fourier Koeffizienten Animated.nb
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Fourier-SyntheseAddition von Sinus- und Cosinus-Funktionen
oder
Addition von Exponential-Funktionen mit imaginรคren Argumenten und komplexen Koeffizienten
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก
๐1 = 1.003 Hz
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก + ๐2 โ
โ๐ผ๐2๐ก+๐2โ โ ๐ผ๐2๐ก
๐1 = 1.00 Hz
๐2 = 1.10 Hz
-
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก + ๐2 โ
โ๐ผ๐2๐ก+๐2โ โ ๐ผ๐2๐ก + ๐3 โ
โ๐ผ๐3๐ก+๐3โ โ ๐ผ๐3๐ก
๐1 = 1.00 Hz
๐2 = 1.10 Hz
๐3 = 1.20 Hz
-
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก +โฏ
๐1 = 1.00 Hz
๐2 = 1.10 Hz
๐3 = 1.20 Hz
๐4 = 2.10 Hz
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
๐1 = 1.00 Hz
๐2 = 1.10 Hz
๐3 = 1.20 Hz
๐4 = 2.10 Hz
๐5 = 3.11 Hz
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก +โฏ
-
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE28Chemnitz โ 28. November 2019 โ Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
๐1 = 1.00 Hz
๐2 = 1.10 Hz
๐3 = 1.20 Hz
๐4 = 2.10 Hz
๐5 = 3.11 Hz
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก +โฏ
-
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1
โ๐๐0 + ๐1 โ
โ๐ผ๐1๐ก+๐1โ โ ๐ผ๐1๐ก +โฏ 50 Frequenz-Terme bis ๐ = 50 Hz
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Fourier-Synthese
FourierSeriesOfSimpleFunctions.cdf
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Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐ Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
๐ ๐ ๐๐ =1
๐
๐=0
๐โ1
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ ๐I 2๐ ๐
๐๐Inverse Fourier-Transformation, IDFT:
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Fourier-Analyse
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐
Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Re, Im
-
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Fourier-Analyse
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐
Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Re, Im
-
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Fourier-Analyse
Re, Im
Negative FrequenzenPositive Frequenzen
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Fourier-Analyse
Re, Im
Wenn die ursprรผngliche Funktion reellwertig ist, sind die
Fourier-Koeffizienten bei positiven und negativen
Frequenzen zueinander komplex konjugiert.
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Amplituden-Spektrum vs. Leistungs-Spektrum
Leistung eines elektrischen Wechselspannungs- oder Wechselstrom-Signals:
๐ = ๐ โ ๐ผ = ๐ โ๐
๐ =๐2
๐
๐ = ๐ โ ๐ผ = ๐ โ ๐ผ โ ๐ผ = ๐ผ2 โ ๐
Intensitรคt ๐ผ einer elektromagnetischen Welle mit Feldstรคrke ๐ธ(๐ก):
๐ผ = ๐0 ๐ ๐ธ2
Dielektrizitรคtskontante des Vakuums: ๐0Lichtgeschwindigkeit: ๐
Leistung ist proportional zum Absolutquadrat der Amplitude.
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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und Imaginรคrteil der Fourier-Koeffizienten ๐(๐)
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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und Imaginรคrteil der Fourier-Koeffizienten ๐(๐)
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ๐(๐) 2 = ๐(๐) โ ๐(๐)โ
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ๐(๐) 2 = ๐(๐) โ ๐(๐)โ
๐ =๐
2๐โ 1 Hz
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ๐(๐) 2 = ๐(๐) โ ๐(๐)โ
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ๐(๐) 2 = ๐(๐) โ ๐(๐)โ
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Fourier-Analyse
๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐ ๐โI 2๐ ๐
๐๐Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Zeitabhรคngiges Signal ๐ ๐ ๐๐ Frequenzspektrum ๐น๐ ๐ผ ๐ โ๐
Abtastintervall ๐๐ Messzeit ๐ = ๐ ๐๐ fรผr ๐ Abtast-Punkte
Abstand zwischen zwei Frequenzen: โ๐ =1
๐ ๐๐oder โ๐ =
2 ๐
๐ ๐๐
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Fourier-Analyse
Daten
Zeitfenster
Frequenz
DFT
Zeit