Spektraldarstellung und Extrapolation einer Klasse von stationären stochastischen Prozessen

Spektraldarstellung und Extrapolation einer Klasse von stationaren stoehastischen Prozessen')

Von FRANZ SCHMIDT in Dresden

(Eingegangen am 21. 11. 1969)

Eiiileitung

Im Jahre 1941 entwickelte KOLMOGOROW [8] eine Spektraltheorie fur (komplexwertige) stationare Prozesse auf der Gruppe 2 der ganzen Zahlen (sog. stationiire Folgen) und gab eine Methode fur die Extrapolation solcher Prozesse an. Den Ausgangspunkt seiner Uberlegungen bildete dabei die Spektraldarstellung des Prozesses sowie seiner Kovarianzfunktion, die er unter wesentlicher Benutzung von Ergebnisscn dtr Theorie der linearen Operatoren des HILBERT-Raumes erhielt. Ein wichtiges Zwischenergebnis seiner Extrapolatioiistheorie besteht in einer Zerlegung, die erstmals von WOLD [I61 angegeben und von KOLMOGOROW vereinfacht und erweitert wurde. Fiir (komplexwertige) stationtire Prozesse auf der Gruppe R der reellen Zahlen wurde diese Zerlcgung erstmals von HANNER [4] - ohne Be- nutzung der Spektraltheorie - formuliert ; eine Spektraldarstcllung fur die Kovarianzfunktion eines solchen Prozesses findet man bereits bei KHINT-

Die Resultate der genannten Arbeittn lassen Verallgenieintrung~n in verschiedenen Richtungen zu ; z. B. kann man als Parameterbereich an Stelle der Gruppe 2 oder der Gruppe R allgemeinere Gruppen zugrunde legen, oder man kann an Stelle komplexwertiger Prozesse auch Prozesse mit Werten in allgemeineren Raumen betrachten. Die zuerst, genannte Richtung wurde mit dem Studium von stationaren Prozessen auf Gruppen der Form Z"& bzw. R" (s. [I, 2 , 61) eingeschlagen, in die andere Richtung zielen die Untersuchungen von stationaren Prozessa mit Werten in cinem endlich- dimensionalen HILBERT-Rauni (s. [5 , 14, 151).

Fur die Ubertragung der in den zuletzt, gcnannten Arbeitcn erhaltenen Ergebnisse auf HILBERT-Rgurne beliebiger Dimension (s. [3, 10, 11, 121) er- wies es sich als zweckmaBig, an Stelle von stationaren Prozesstn sog. tier-

CHINE [7].

1 ) Vorliegende Arbeit ist ein Teil der im Jahre 1968 an der Technischen Universitat- Dresden eingereichten Dissertation des Verfassers. Fiir wertvolle Hinweise dankt der Ver- fasser Herrn Prof. Dr. LANGER.

I02 Schmidt, Statioiigre stocliastische Prozesse

allgerneinerte stationare Proiesse zu betrachteii (Definition s. Abschnitt 1.2). Da sic11 die K h s e aller st8atioiidreri Prozesse riiit mTertsen im HILBERT-%urn

S i n iiaturlicher Weise (s. [ lo], S. 3929) anf die Blasse aller verallgeineinerten stationgren Prozessc X iiber 5, fiir die der beschrankte lineare Operat,or X (0)" X ( 0 ) nukZew ist, abbildeii liiOt, bestelit cter Inhalt des Ubergaiigs von deli stationaren Prozessen mit Werteii in 3 zii den verallgeiiieinerteii stationgren Prozesseii iiber 3 im Fall dim X < 00 nur in einer anderen Formuliermig, wahrend im Fall dim J' = 00 eiiie echte Verallgemeiiiernng vorliegt .

In der vorliegenden Arbeit betrachteii w-ir verallgemeinerte statlionare Prozesse auf einer beliebigen abelschen Grnppe iiber eiiicm BANAcH-Ranni ; im Vergleich zu d ~ n zitierteii Arbeit3cn lasseii wir also sowohl allgenieinere Parameter- als aucli allgenieinere It'ertebereiche zu.

Die Arbeit bestelit atis drei Kapiteln. h'aclidcni zunkchst in Iiapit)el 1 die behandelte Klasse von stationiireii Prozessen und die wichtigst,eii damit, zusammenliltigrendeii Begriffe defiiiiert und die grundlegenden Eigen- schaften dieser Prozesse unt'ersucht8 \\.orden sind, wird in Ka'pitel 2 die Spektraltheorie stetiger vera,llgeiiieiiiert,er st,ationLrer Prozesse auf lolzal- bikompakten liausdorffscheii Gruppen entwickelt. I n Kapitel 3 schliefilich befassen wir tins rnit der Extrapola,t,ion voii verallgerneirierten stationkren Prozesseii dereii Parainet,erbereich das Produkt, einer vollstandig ge- ordiiet,en Gruppe G + und einer beliebigen Gruppe G- ist, wobei die Werte des Prozesses fur alle (tL, t-) E G L s G- init' it- 5 0 als gegeben vorausgesetzt werden.

I n Fortfuhruiig der hier veroffent'lichtrn Untersurhungen wird in eiiier gesoiiderten Arbcit, die Extra.polat,ioii verallgemeirierter stat,ioii&rer Prozesse auf Gruppeii der Form Z x G- mid R x G- st'udiert .

Bezeichnungen und Definitionen

Wir bezeichnen mit 2 - die additive Gruppe der ganzcn Zahlen, R - die addibive Gruppe der reellen Zalilen mit der iiblichen Topologie, 8 - die topologische Gruppe { p : - z < !/ 5 + z} mit der Addition

modulo 2 n als Gruppsiiopcratioii mid mit dem Rfeiigensystem

( ( . ,p) , ( -7d.c I )u(p, + n ] j - . z < a < p < +n} als Basis offeiier Meiigeii.

induzierteii Topologie. s - das Intsrvall {p : - z 5 ; I 5 + z} mit der durch die Topologie in R

Schmidt, Station6re stochastische Prozesse 103

1st T ein topologischer Raum, so schreiben wir 23 (T) fur das System cler borelschen Teilmengen von T .

1st X ein komplexer HILBERT-Raum, G' eiiie abelsche Gruppe und H eine alselsclie Halbgruppe, so bezeichnen wir init T ( H , X) die Klasse aller iso- s)Letrischen Darst,ellungen T = {T (5) I5 E H ) von H uber X und mit U (G, X ) die Klasse aller unituren Darstellungen U = { U (6) 16 G ) von G iiber X. - Die isometrische Darstellung T E P ( H , X') heil3t unitdr, falls T (5)X = JZ' (6 E H ) gilt (d. h., falls die Operatoren T(5) ([ C H) samtlich unitar sind)? iuid vollstandig nichtunitur, falls es keinen von {o } verschiedenen abgeschlossenen linearen Teilraum X* von X mit, der Eigenschaft T(5) X- = X- ( 5 f H ) gibt. - Die unitare Darstellung U der topologischen Gruppe (2 heiBt stetig, falls die Abbildung 6 -, U ( 5 ) (6 E G ) stetig im Sinne der st,arken Operatorentopologie ist.

1. Crrundlegende Eigenschaften verallgemeinerter stationarer stochastischer Prozesse

1.1. Es sei (Q, 23, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Mit Lz(Q, B, P) bezeichnen wir den HILBERT-Raum aller P-Aquivalenzklassen von auf (0, %, P) definierten koniplexwertigen ZufallsgroDen mit endlichem absoluten Mo- ment zweiter Ordnung.

Definition. Ein verallgemeinerter stochastischer ProzeJ zweiter Ordnung auf der BIenge M uber dem (komplexen) BANAcH-Raum 3 ist eiiie Familie S = {X(E)IE C? M } von Operatoren X ( E ) f [5, U(Q, B, P)]2).

Wir schreiben '$I ( M , 5) fur die Klasse aller verallgemeinerten sto- cliastischen Prozrsse zweiter Ordnung auf 1M uber 3.

Definition. Die durch

TAx(5, 7 ) : = x(7) *x(O ((5, 7 ) f M x H) definierte Funktion I', heifit Kovarianzfunktion des Prozesses X E PL(M, 3).

Satz 1.1. Die auf M x M definierte Funkt ion r mit Werten in [ X , 3*] 3)

ist yennu dann Kovarianzfunktion eines Prozesses aus % ( M , 3), wenn fur beliebige i t l , . . ., tN E M und fur beliebige f i , . . ,, fN f 3 die Beziehung

besteht.

2) Sind 5 und (5 B a ~ ~ c ~ - R a u m e , 60 bezeichnen wir mit [s, ($1 den BANacH-Raum aller beschrankten linearen Operatoren von 3 in (E und rnit [5] die BaNacH-Algebra aller beschrankten linearen Endomorphismen von %.

3) Mit Z* bezeichnen wir den BANACH-RaUm der stetiqen h e a r e n Funktionale auf dem B A X A C & - R ~ U ~ 5 und mit (f,f*) den Rert des Funktioialsf* E %* auf dem Element f € 8 .

104 Schmidt. Stationarc stochastische Prozesse

Be wei s. Die h'otwendigkeit der Beziehung (1.1) sowie die Aussage, da13 das Bestehen \*on (1.1) die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraumes (Q, g, P) und einer auf AI x 3 definierten Ahbildung x rnit Werten in U(Q, 23, P) mit der Eigensehaft

(1.2) (Z(%.f)> r(E, g))r<c2$+,$J) = C f , T(E, P I ) 9 ) (5% 11 E M , f, g E 3) nach sich zieht, sind unmittelbare Konsequenzen des in [9], Abschnitt X. 34.1. A angegebenen Satzes. Man zeigt dam, daD durch

X(5)f := s(E.f) (5' E M , f E a ein ProzeD S (I .2) mit der vorgegebenen Funktion r ubereinstimmt,.

9l (M, S) definiert wird, dessen Kovarianzfunktion wegen

1.2. Es sei G eine additiv geschriebene cibelsche Gruppe.

Definition. Ein verallgemeinerter stationarer stochastischer ProzeJ auf der Gruppe G uber den1 (komplextn) B A N A c H - b u r n Fis t ein Prozefl x' E 9I(G,3) , dcr der Beziehung

(1 .3) X ( 7 ) *X(t ) = X(O) * X ( E - ?/) (t, 17 € G) geniigt .

Die verallgemeinerten stationaren stochastischen Prozesse auf G sind also unter allen verallgemeinerten stochastischen Prozessen zweiter Ordnung auf G dadurch charakterisiert. daB ihre Kovarianzfunktion nur von der Differenz der beiden Argumente abhangt :

r,x-(t, = rdy(t - 11.0) =: I X - (5 , 77 E G ) . Wir schreiben G (G, 3) fur die Klasse aller verallgemeinerten stationaren stochastischen Prozesse anf G iiber 3.

Aus Satz 1.1 folgt sofort der

Satz 1.2. Bie auf G: definierfe F u n k t i o n r niit It'erten in [3, 3*] ist genau wen72 f u r beliebige clnnn Iiovciyinnzfwnktion pines Prozessps cius E (G. 3),

t . . , 6, E G u n d f u r beliebige f l , . . . . fx E 9 die Bez iehung s ,r ( f a , rct, - 6JL) 2 0

1 J - 1 (1 4)

besteht. 1.3. Fur den ProzcD S E z(G, 3) bezeichnen wir mit X , die bezuglich

cler Nornitopologie in Ll (Q %, P) abgeschlossene lineare Hulle der Menge H , := (S(?]) 9171 E c:, 9 E 31

Satz 1.3.1. Z u j e d m n PiozeJ X E E(G. 3) gibt es genau eine uni tare Dur- stpllung I', E 11 (G, Xx) d i e der Beziiehung (1.5) Y ( 6 ) = tT,(6) S ( 0 ) (t E G) geniigt .

Schmidt, Stationare stochastische Prozesse 105

anf H , eiiie Abbildung 8, ( 5 ) definiert, die auf Grund der Stationaritat von X isometrisch ist. ox([) laat sich in eindeutiger Weise zu einem unitareri Operator U , (6) E [X,] fortsetzen. Man sieht leicht, daa U , = { U, ( t) I f E G} eine unitare Darstellung von G uber 3'eLy ist, die der Beziehung (1.5) genugt. Es sei nun 11 E U (G, 2'eAy) irgendeine unitare Darstellung mit

x ( l ) = U ( E ) S ( 0 )

u (5 ' ) x (71) = u (6) u (71) x (0) = u ( E + 71) X ( 0 ) = X ( 5 + 7) = U,(E)X(71) (71 € G I ,

U ( 5 ) = Ux(E) ( E € G I .

( 5 E G ) . Fdr jedes 6 E G gilt dann

also stimmt U ( 6 ) auf H , mit U,(E) uberein. Daraus folgt

Satz 1.3.2. Es seienX ein abgeschlossener linenrer Teilraurn von L2(Qn,'B, P), 11 E 11 (G, X ) und X ( 0 ) E [3, X I . Dann uird durch

x (6) : = U (5 ) x (0) ( 5 E G) ein ProzeJ X € G (G, 3) definiert, und die zugehorige unitare Darstellung U, E U (G, X x ) ergibt sich aus der Beziehung

(1.6) u,(E) = U ( E ) 1 ~ ~ 4 ) ( E E G I . Beweis. Es ist

X ( V ) * X ( E ) = X ( O ) * U ( q ) " U ( E ) X ( 0 ) = X(O)*U(E - q ) X ( O ) = X (0) " X (5 - 97) ( E , ? ] E G) ,

folglich gilt X E G (G, 3). Offensichtlich wird durch D (6) : = U (6) I XAr eiiie unitare Darstellung = {D ( E ) 1 E E G ) E 11 (G,X,) definiert. Auf Grund der Eindeutigkeitsaussage von Satz 1.3.1. ergibt sich aus X (6) = 0 ( 5 ) A' (0) (6 E G ) die Richtigkejt von U , ( 5 ) = 0 ( E ) (5 E G), d. h. die von (1 .6 . ) .

Gruppen G+ und G- : 1.4. 1st G das Produkt der beiden additiv geschriebenen abelschen

(1 .7 ) G = G+xG-,

so bezeichnen wir fur 5 E G init 5' bzw. 6- diejenigen eindeutig bestimniten Elemente von G+ bzw. G-, die der Beziehung

(1.8) E = ( P , 5-1

4 ) Mit Y I 8- bezeichnen wir die Einschrankung des auf dem B a ~ ~ c ~ - R a u n i 8 definierten beschrankten linearen Operators Y auf den abgeschlossenen linearen Teilraum 3' von 3.

106 Schmidt, Stationare stochastisclie l'rozesse

geniigen. F i r .X

G (GL, S) und X - E G (G-, 3) durch

(G+ x G-, 3) definiereii wir die Rwndprozesse x" E

X + ( t + ) := x ((6-, 0))

s- ( 5 - ) : = s ((0, 5 - ) ) (5- E G - )

(6- E G-)

uiid fiir G E U (a7 x G - , ,X) die unitiireii Darstelhmgen Ut E 11 (G+, 35') uiid C- 11 (G-$ X') durch

1-7 (6,) := " ( ( f - , 0)) (5' EC:-)!

1 7 - ( 5 - ) := ((I), 6-)) (2- E G - ) .

Aiif Grund voii Satz 1.3.3. gilt danii

(1.9) rri (t*) = U$(t*) 13F,L - (F E G * ) .

(1.10) j%..\- = v u-5 (5*),JeST.

Weitw ergibt' sich sofort'

E+€Gf

l..?. Es sei nun G eine topologische (abelsche) Gruppe.

Definition. Der ProzeW S s ((7, J') lieifit stetiy, falls die Abbildung 5 ---* X(6) ( E E G) stetig im Siiiiie der st.arken 0perat.orentopologie ist.

Satz 1.5.1. Der ProzeJ X E 6 (G, X ) erioeist sich gen.nu dunn, nls .stet,iq, i c w m die zugehiirige unitare Durstellwig U , E 11 (G, E,) stetiy ist.

Beweis. Es seien to ein beliebiges Element aus G' uiid {t3 lz E fl] eine in G gegen to konvergente JIOORE-SMITH-Folge. Aus der Stetigkeit von x' folgt' die Richt'igkcit von

lirii U x ( t x ) S ( y 1 ) = lirii S(,t, + 7 j ) = X(t0 + 77) ?i l l . ? E n

= c;, ( t o ) x (v ) (v E (7).

Uiiter Benutzung des Bs~ .~CH-STEISH~~~-s - r~ l i eOren~s schlieWt ma'n nun auf lirii CT,(,t,) = U,(to), also auf die Stetigkeit voii VAr. - Umgekehrt folgt

aus der Stetigkeit voii CT-r die Giiltigkeit voii nEII

lim X (6=) = lim C, ( tx) S (0) = C-Ar (to) S (to) %El2 n< II

uiid somit die Stetigkeit voii S.

so gilt der

S+ E G ( G L , 3) uls auch S- E S (G-, X) stetiy ist.

1st G' das Produkt der topologisclieii (abelschen) G r ~ p p e i i G+ uiid G-,

Satz 1.5.2. Der ProzeJ S E G (G', 3) ist yenuu dcmn stetiy, uwnn sowoh,l

Schmidt. StationBrc stochastische Prozesse 107

2. Spektraldarstellung verallgemeinerter stationarer stochastischer Prozesse iind ihrer Kovarianzfnnktionen

2.1. Wir setzen voraus, dalj die (abelsche) Gruppe G hausdorffsch uiid lokulbikompakt ist. Weiter bezeichile einen HILBERT-Raum.

Satz 2.1.1. ([13], Nr. 140). Zu jeder stetigen unitaren Darstellung U € U (G, X) gibt es ein eindeutig bestirnmtes selbstadjungiertes SpelctralmaJ E , auf 23 (G)5) mit Werten in [XI, so duJ die Beziehung

-~

(2.1) U ( t ) = .f {t, 5 ) E , ( d l ) (t € G ) 6

besteht, Dabei konvergiert das Integrul auf der rechten Seite von (2.1) inz Sinne der gleichmaJigen Operatorentopologie, und die Operatoren E , ( A ) ( A B (G) ) sind rnit jedem Operator uus [XI vertauschbar, der mit allen U (t) (5' E G ) ver- tauschbai ist.

Definiert man fur den stetigen ProzeB 9 E C5 (G, 3) das zufiillige Spektml- maJ Lay durch

L.Y(d) := ErAy(4X(O) (4 € 23 ((3)

F&l) : = x (0) *L, ( A ) ( A € 23 (G)) , und das nichtzufallige SpektralmuJ Pdy durch

so erhalt man fur X und r, die Spektrccldarstellungen

8

dabei konvergieren die lntegrale in ( 2 . 2 ) und (2.3) wiederum im Siniie der gleichmaljigen Operatorentopologie.

j) Mit G bezeichnen wir die Ghnrakteryrupp der abelschen hausdorffschen und lokalbikompakten Gruppe G und rnit (5, E } den Wert des Clmrakters f EG suf den1 Element E EO.

108 Schmidt, Stationiire stochastische Prozesse

Aus den in Satz 2.1 .I. angegebenen Eigenschaften von E,x Solgt sofort das Bestehen der Beziehuiigen

( 2 4)

(2.5)

E,.s ( A ) X ( 6 ) = 17-y(6) L.y(J) (6 E G. J E 'H (G)) E , ~ . ~ (J I ) L, (J ?) = L, ( A I n -

L , (A,)* L-M = F , ( A , n ' 7 ) } (J,. . J , € 93 (G)). ( 2 6)

Bezeichnet iiiaii fur ein Ma13 L auf 93 (G) niit Werten in [3, Lz(Q, %3, P)] init X (L) die bezuglich der Sornitopologic in L'(R, 53, P) abgeschlossene lineare hull^ der Rleiige

H ( L ) := (L(J) g lJ E \H (G), g E Jl . so gilt offeiisichtlich

(2.7) = K (Ly) . Durch die Beziehungeii (2.2) bzw. (2.3) 13 crdeii das zufallige SpektralmaD

hzw. clas niclitzufallige SpektralrnaB des Prozesses 9 G ((2, 3) eindeut iy bestimmt. Weiter gilt der folgeiide

Satz 2.1.2. Dlts rtuf \H (c) definierte ;Zrr/J F ))lit T T ' e s f ~ n in [X, 3*] (bzzc. dris auf W (G) dejinierte Xoj3 L niit li'eiteiz in [3. LJ(R. 'H. P)] i s t genuu dann nichtzufa1Eigu.s (bzw. zufulliges) SpektralnaaJ3 einus Psozessps u u s (5 (G', 3), crenw die Beziehung

(2.8)

(2 .9)

(f. F ( J ) f ) 2 0

w,)*L(-JJ = W, n -L)*uJ , n

( 1 E % (G) , f E 3) (bzw. die Busiehung

( ~ - 1 ~ E % ce))) besteht .

Beweis Die Sotwendiglieit von ( 2 . 3 ) hza . (2.9) ist eine iinmittelbare Konsequenz aus (2 .6) . - Geiiiigt F der Beziehunp (2.8). so erfullt die durch

r(5) : = J {6, :i) F ( d { ) (6 E 6) i.

definierte Funktion I' die iiotwendigr imd hinrrichende Bedingung (1.4) aus Satz 1.2. (Davon uberzengt nian sich. indern man jede der Funktioneii { cJ , .) dnrcli eine anf e pleichni8Big korivergentr Folge . .einSacher" Funktionen approxiniiert .) Also ist 1' die I(ovarittiizfiiiiktion - und soniit F dns nicht- zufiillige SpektralinaB - eiiies Prozesses aus E ( G . 3). - Geiiiigt L der Be- ziehurig (2.9), so wird. vie i i im leirht sieht . diirch

F ( A ) := L(Ll )*L(J) (1 E 93 (G)) eiii Nan rnit W'erten 111 [3. 3*] definiert. fur das (2.8) gilt. E" erweist sicli also als nichtzufalliges SpektralmaB eiiics Prozesses X E E ( G . 3). Es gibt


dann einen Operator 8, der X(L,) = X I isometrisch auf X ( L ) abbildet. so dalj V x ( A ) = L(A) ( A E 2j (e)) gilt. Man sieht leicht, daS durch

X(E) := V X ( 5 ) ( E E G )

ein ProzeS X E G (0, 3) definiert wird, dessen zufalliges SpektralmaB mit dein vorgegebenen MaB L ubereinstimmt,.

2.2. I n den Fallen G = 2 bzw. G = R kaiin man die Darstellungen (5.1), (2.5) und (2.3) auf die uiiten angegebenen Formen (2.10a), (2.11a) und (2.1Xa) bzw. (2.10b), (2.11b) und (2.12b) bringen. Dazu bemerken wir, da13 die durch

{t, E (p)} : = ezSF

{E , f (2)) : = ezEA (6 E R, A c R)

( E E 2, A': E 8)

bzw .

definierte Funktion f die topologische Gruppe S bzw. die topologische Gruppe R isomorph und homoornorph auf 2 bzw. R abbildet. Deshalb wird fur die stetige unitare Darstellung U von Z bzw. R durch

E , ( A ) : = E , ( i (8 n A ) )

E,(d) := ELr ( [ ( A ) )

( A € '23 ( S ) ) bzw.

( A E 23 (R))

ein selbstadjungiertes SpektralmaJ E , definiert, mit dessen Hilfe mail die Be- ziehung (2.1) in der Forin

(2.10a) ~ ( 6 ) = J e-iE* Ei,(d,u) (6 € 2 )

bzw.

i n

- n

(2.10b) V ( 5 ) = e - iu E v ( d 4 (5 E R) - 0 0

schreiben kann. Setzt man

8 (c: = 2) \R (c: = R),

T = l

so erhalt man fur den sfetigen verallgemeinerten stationiiren stochastischen ProzeB X auf G und seine Kovsrianzfunktion r, mit

110 Schntidt, Stationare stoplmstiwlie Prozcsse

die Drirstelluiigen

(2.1ia) - 7

X ( t ) = J e t 5 ' L L i ( d p ) I ( E E Z )

1 (t E R ) .

- 7

A 7

(2.12a) rAy(c) = e - t ~ h i ~ ~ (+OJ

bzw .

(2.11b) ~ ( 5 ) = J ec"'L,(di.)

(2.12b)

7

i u o

- _

-= IT-, (6) = .I e-"' F , ( d i l l

/

2.3. Wir wenden uns jetzt 11 ieder verall~enieiiierten stationaren sto- chastischeii Prozessen z u , deren Paramettrbereich sich als Produkt zweier (abrlscher) Gruppen G und C: darstellen lafit. und befassen uns zunachst rnit der Spektraltheorie solcher Prozesee

1st auf einrr der beiden Griippcn G - , G eiiie Topologie gegeben und erweist sich diese Chippe G* als hausdorffsch uiid lokalbikornpakt, so erlauben der ProzeS X E E (aL Y (4-, P) uiid seine Kovarianzfunktion r, unter alleinigcr Voraussetziiiig drr Sfe l igke i f des Randprozesses X* Darstellungen der Form

(2 13) X(6) 1 j- {p. [qL!;r ) (d$ ' ) ]

dabei sind die purtiellen mfd1ige) i Spektrccl?ticiJe L, (tT) bzw. die partiellerb nichfzzifi l l igpn Spekfrcrlnic@p F!:" diirch

defiiiiert . Auf Grund roil (1 .9) gilt

(2.15) . L ! : T ) ( ~ ' ) = Ux$ ( f T ) EI..$ ( J = ) S ( O ) = E,+ (;l*)X$(lT) .\-

( t T E (27, 1 = E \H (Is')). >lit Hilfe von (2.15) beweist inan die folgenden Bezieliungen

(2.18)

(2 .17)

ET-+ (d*)X( t ) = UA* (5 ' ) L!$')(A*)

(t E G ,

(t E G, A* E '23 (G*)) U , ( ( ) L!p(Ll*) = [--+ ((*) .L!$F+?-(d*)

E W, A* E 23 (Gi))


Durch die Beziehungen (2.13) bzw. (2.14) werden die partiellen zufalligen SpektralmaIje bzw. die partiellen nichtzufalligen SpektralmaBe des Prozesses X E G (G+ x G-) 3) eindeutig bestimmt.

Satz 2.3. DCLS auf 23 (G*) definierte System { F ( E T ) 1 ET E Gi} von MaJen mit Werten in [3, 3*] besteht genuu dann aus den partiellen nichtzuftilligen SpektmlmaJen eines Prozesses aus G (G+ x G-, 3), wenn fur beliebige t:, . . ., EL$ E Gs und fu r beliebige f,. . . . , fLV € 3 die Beziehung

prfiillt ist. - Das auf 23 (G*) definierte System {L@' 1 Er E Gs} von MaJen rnit Werten in [3, L'(0, 93, P)] besteht genau dann aus den partiellen zufalligen 8pektralmaJen eines Prozesses aus G (G+ x G-, 3)) wenn fu r beliebige Ef, qT E Gi die Beziehung

(2.23)

prfiillt ist.

L ( ~ T ) ( A ~ ) * L ( E T ) ( A ~ ) = L ( O ) ( L I ? n A$)* L ( E ~ - ? ~ ~ ) (A: n A:) (A:, A+ E 23 (G*))

Der Beweis dieses Satzes verliiuft analog zum Beweis des Satzes 2.1.2. 1st C: das Produkt der beiden hausdorffschen und lokalbikompakten topo-

logischeii Gruppen G+ und G- und ist der ProzeB X E G (G, 3) stetig, so bestehen die Beziehungen

(2.24) I L$+) ( A - ) = J{ t+) [+)Lar(dt+xA-) l7+

(2.25) L, ( l - ) ( A t ) = J { E - , E - } & ( A + x d t - ) c-

~ ~~

(2.26) P $ + ) ( k ) = I{[-,[+} F c+

(2.27) P$-)(d+) = J {&, [-) pAr(d+ X d$-)J 6-

112 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

(2.28) L,+(d+) = L,(a- xe-) '

(2.29) L,- ( A p ) = L,(G+ x A-)

(2.30) F,+(A+) = F,(A+ XG-)

(2.31) F,- ( A - ) = Fx(G+ x A - )

) ( A * E 23 (G* ) ) .

an: dabei sind die S p e h d m a I j e L$-) bzw. p$-) durch

definiert; T hat die gleiche Bedeutung wie in Abschnitt 2.2. 1st G- hnusdorffsch uiid lokalbikom,pnkt, so bildet die durch

(6, E ( f 1 , E - ) ) := eiE+i' {6-, E - } (6 E Z x G - , p E S, E - EG-)

{t, E ( A , E - ) } : = eic'+' { E - , E - } bzw.

(6 E R x G- , il E R, 5 - E a-) definierte Funktioil E die topologische Gruppe S x G- bzw. die topologische Gruppe R x G - isomorph und homoomorph auf G (G = Z x G - bzw. G = R x G - ) ab. Deshalb erhalt inan mit

1 ( A € '23 (SxG-)) L,(it) := L, (E(J n [ S X G - 1 ) ) PzT(A) := FAT ( [ ( A n [SXQ-]))

bzw.


die Darstellungen

1 +n

(2.35a) E + ) ( A - ) == J e-"+q,(dpxA-) -n

-n I

+- (2.3513) L$+)(A-) = e- 'LE+ALx(di l x 4-)

- w

+=- (2.36b) F$+)(A-) = e-iE+n F,(dlZ - x A - )

-c€

:+ €2, A - E 23 (G-))

( P E R, A - E %(G-))

(2.41) (2.42)

L,-(A-) = Lx(T x A - ) F , - (A-) = Fx(T x A - )

3. Extrapolation verallgemeinerter stationgrer stochastischer Prozesse

3.1. Wir setzen von jetzt an stets voraus, da13 G das Produkt einer vollstandig geordneten (abelschen) Gruppe G+ und einer beliebigen (abelschen) Gruppe G- ist. Der Fall einer vollstandig geordneten Gruppe G! ist hierin eingeschlossen, man hat nur G+ = G und G- = (0) zu setzen und mit dem Produkt G+ x G- zu identifizieren. Wir fuhren die folgenden Halbgruppen ein :

G: := (7' EG+ I v+ 5 0}

Go : = G + x G- oG+ := (7' EG+ j 7+ 2 0 }

oG := oGf x G-.

Fur den ProzeB X C5 (G, 3) bezeichnen wir mit 3fx([+) (t+ E G+) die beziiglich der Normtopologie in L2(!2, '$3, P) abgeschlossene lineare Hiille der Menge

B,(5+) := ( X ( 7 ) g I (7+ - E + y 7-1 E Go, g € 3)- 8 Math. Nachr. 1970, Bd. 47, H. 1-6

114 Schmidt, Stationiire st~ochastische Prozesse

Weiter seien die abgeschlossenen linearen Teilraume X , und X$ von X, definiert durch

Die Operatoren der orthogonalen Projektion von X X auf Z,(E+), (T-? bzw. X,? werden mit P X ( l + ) , P-i bzw. Pd; bezeichnet.

Auf Grund von (3.2) x,(- 6 ' ) z 3 e X ( - T I + ) (?I+ I E + ) gibt es zu jedem E > 0 und jedem f E 3 ein 5' E oG+ mit

( 3 4

Weiter verifiziert man leicht die Giiltigkeit der folgenden Beziehungen :

/I (&, - P,(- ('1) X(O)f - P$ X(0)fll < E.

(3.6) 3, = x; @.re, (3.7) UX(E)XX(O) = X X ( E + )

(3.8) U , ( t ) Z $ =

Aus den angegebenen Eigenschaften der Raume XAT(E+), X i und X ; folgen sofort entsprechende Eigenschaften fur die zugehorigen Projektions- operatoren P,(t+), P; und P-; :

(3.9) I%, = P$ f P'i

(3.10) U x ( t ) = P X ( E 1 ) U,(E) (3.11) U X ( 5 ) P$ = pg U,(t)

X(17)g ( r E G 0 , s E 3 )

] ( 5 € G I *

Gegeben seien nun ein beliebiges Element to E ,G sowie die Werte

des Prozesses X E (5 (G , 3). Das zentrale Anliegen der Extrapolationstheorie ist es, die beste lineare Schditzung von X (to) f (f E 3) auf der Grundlage der Kenntnis der ZufallsgroBen X (7) g ( q E Go, g E 3), d. h. die GroBe

PX(0) XKO) f, sowie den zugehorigen Fehler / I X (to) f - P, (0) X (to) f anzugeben.

Aus (3.10) folgt sofort

(3.12) Px(0) X ( t 0 ) = Udi (6;) P,(O) x'(6;) (Eo € "G)


und damit

(3.13)

(3.14) 1 I 3)-

I 1 PX(0) X ( 5 0 ) f l l = /I PX(0) x'(5;)fIl II X ( 5 0 ) f - PX(0) x(&l)fll = I I X +

8x0;) := XT(5;)* (Ix, - P x ( 0 ) ) x+(ti)

f - P X ( 0 ) X+(51:)f I I Zwischen dem Extrapolationsfehler und dem durch

(5; EoG+) definierten Irrtumsoperator besteht auf Grund von (3.14) der Zusammen- hang (3.15)

Im Falle to E oG n Go erhalt man offensichtlich Px(0) X(Eo) = X(Eo), deshalb ist fur das Weitere der Fall to E G\Go von groSerem Interesse.

3.2. Fur die Extrapolation verallgemeinerter stationker stochastischer Prozesse sind die in den folgenden Definitionen eingefuhrten Begriffe von entscheidender Bedeutung.

Definition. Der ProzeS X E G(G, 3) heiBt singular, falls Xi = {o} (d. h. = %i ) y und regular, falls .Ti = (0) (d. h. X X = X i ) gilt.

Hilfssatz 3.2. Fur die Singularitlt des Prozesses X E G(G, 3) ist jede der Beziehungen

I/ X(E0)f - PX(0) XfEo)f112 = (f, 8,G)f) ( 5 0 E OG, f E 3).

(3.16) Xx = X x ( 0 )

(3.17) %*(O) = X X ( r l + ) (rl+ EG;) notwendig und hinreichend.

Definition. Der ProzeB X E C3 (G, 3) heil3t deterministisch, falls fur jedes 5' E oG+ die Beziehung

(3.18) Px(O)X+( t+) = X+(E+) besteht. Er heil3t rein indeterministisch, falls zu jedem F > 0 und jedem f E 3 ein (+ E oG+ mit

existiert. Satz 3.2.1. Der ProzeJ X E G(G, 3) ist genau dann singular, wenn er

deterministisch, und genau dann regular, wenn er rein indeterministisch ist. Beweis. Aus der Singularitat von X , d. h. aus (3.16)) folgt

(3.19) I 1 Px(0) -x+(E+) f l l < 6

PX(0) X + ( 5 + ) = X + ( E + )

X ( 5 ) f = u, 6-) X + ( E + ) f = u- x (t-1 P x ( 0 ) X + ( t ' ) f = P X ( O ) X ( E ) f E ~ S ( O ) ( 5 E o G , f E 3 )

(5' E oG+), also ist X deterministisch. - 1st X deterministisch, so gilt (s. (3.12))

8'

116 Schmidt, Stationare stocliastische Prozesse

und damit (3 .16); X eru-eist sich also als singular. - 1st X regular, gilt also Ixx = Pd$ , so gibt es auf Grund von (3.2) zu jedem 8 > 0 und jedem f f 3 e i n 6' E &+ rnit / / Pal ( - E - ) X ( 0 ) f / / < E . Beachtet man, daB Ua$ ( - E + ) unitdr ist und daB (3.10) gilt. so erhalt man

Ii J'.y(O)X-(6-)fii = I1 Px(- 6-) x ( 0 ) f l j < & .

1 1 cLi(- tT ) Px(0) ~2~(6')x(0)fl/

folglich ist X rein indeterministisch. - Es sei umgekehrt X rein indeterministisch, es existiere also z u jedem E > 0 und jedern g E 3 ein E ' E oG- mit 1 1 P,(O) X - ( t r ) g < E -%us (3.11) sowie den1 Umstand, daB die Ope- ratoren U , ((?]& - EL, q - ) ) unitar sind. folgt

=/ I "A- ((??- - E T , 9 - ) ) p, c, ((6- -q+, --)) X(77) gll = I/ PAY X' ( E - ) g I 1 5 i i P, ( 0 ) S' ( 5 ) g 1 1 < 8 (q E G) .

Daraus ergibt sich PA? X ( q ) g = u ( q E G, g E 3) und somit x, = P'? Je, = (.}.

d. h., X erweist sich als regnlir. Fur den ProzeB X c E ( G , 3) nird im folgenden rnit T, die durch

T, (6 ) : = c-; ( - 6') I z.r ( 0 ) (6' E oG+) definierte isometrische Darstellung der Halbgruppe [,GT uber dem HILBERT- Raum -7e, (0) bezeichnet.

Nan uberzcugt sich kicht von der Richtigkcit der folgenden Beziehungen :

} (5' E oG+) (3.20) (3.21) T,T(") JfLi 2 31Al

~~(6') 7e,(o) = zaT(- t+)

Satz 3.2.2. Der ProxrB X E G(G, 3) erweist sich g e n a u d a n n als singular bzw. reguldir, tuenn d i e zugehor ige isomefrische D a r s t e l l u n g

T-Y E 2 (&+t xx (0))

unitair bzw. vollstundig n ich tu i z i tu r i s t .

Beweis. Weg& (3.17), (3.20) sowie Gt, = - ,,G+ liegt genau dann Singularittit vor, wenn TAy( t - )7e , (0) = Je,(O) (6' E oG+) gilt, d. h., wenn T , unitar ist. - 1st T, vollstandig nichtnnitar, so sehlieI3t man auf Grund von (3.21) auf Je, = (u} , d. h. auf die R3gularitat von X . - Fur jeden abgeschlosscnen linearen Teilraum 3e- von X , (O) , der der Beziehung

(3.23) T,(t ')X- = X- (6' E oG-) genugt, gilt 3C- = T,- ([ - )X- & T,(17)3e , (0) (6- E ,a+) und somit wegen (3.22): X - 5 Xg. Aus der Rsgularitiit von X folgt also, daB (3.23) nur fur X- = (0) bcstehen kann; T, erweist sich also als vollstandig nichtunitar.


3.3. Wir geben nun die WoLDsche Zerlegung eines verallgemeinerten stationaren stochastischen Prozesses in seine regulare und seine singulare Komponente an.

Satz 3.3. Jedev Proxefl X E G(G, 3) la$ sich auf genau eine Weise in der Form (3.24) X ( 6 ) = X+ (5 ) + X - (6) (6 € G ) darstellen, wobei X+ E G (G, 3) ein regularer und X- E G (G, 5) ein singulurer ProzeJ ist und die folgenden Bexiehungen bestehen : (3.25)

(3.26) Xx - (0) =X, (3.27) Ex& = X$

Xx+ (0) = 3tx(O) @ X i

(3.28) ux* (6) = ux ( E l I Xx* (6 E G ) .

Beweis. Es wird X * ( 6 ) := P $ X ( 6 ) ( 5 EG)

gesetzt. Aus (3.9) ergibt sich sofort die Richtigkeit von (3.24). Wegen HAY+ (0) = (X, (q) g 1 97 E Go, g E 3} = P $ H x ( 0 ) und (3.9) hat man

~~

JYx+ (0) = pg X x ( 0 ) = (12, - P X ) E X ( 0 ) = XX(O) @ X i .

X, (6) = p2 X ( 5 ) = P$ Ux(E) X ( 0 ) = U,(6) PZ X(0)

Damit ist das Bestehen von (3.25) bewiesen; analog beweist man (3.26) und (3.27). - Weiter gilt (s. (3.11))

= u,(t) X* (0) ( E E G ) . Daraus folgt auf Grund von Xatz 1.3.2 die Richtigkeit von (3.28). Unter Beachtung von (3.7), (3.8), (3.25) und (3.28) erhalt man

= n JY,(~+)ox~ = i0}; $+€ G+

X , ist also regullr. - Entsprechend ergibt sich aus (3.7), (3.8), (3.26), (3.27) und (3.28):

xi- = n u;-(~+)E,-(o) = n U ; ( E + ) X ~ =x,-; t+EG+ i+EG+

X - ist also singular. - Es sei nun X ( 5 ) = X , (6) + X- (6) (6 E G) irgendeine Zerlegung von X mit der Eigenschaft E- = X $ . Fur jedes E E G und

jedes f E 3 gilt dann (3.29) (3.30)

x*

x, ( 4 f - w* ( 6 ) f EX: ( X + ( 6 ) f - X + ( E ) f ) + ( X - ( E ) f - X ( 6 ) f ) = 0.

118 Schmidt. Stationiire stochastische Prozesse

Wegen der Orthogonalitat voii XL;. wid 2, folgt aus (3.29) und (3.30) X * ( 8 = X * (5) (6 E G) - Damit ist der Beweis dieses Satzes beendet.

Auf Grund von (3.27) und der Orthogonalitat von X$ und LX'; gilt

(3.31) X * ( r ) * X&) 0 (97, 5 E G)

(3.32) F,(5) = r,+w + FA-([) ( 5 E G ) .

uiid daniit

Folgerung 1. Es gilt

(3.33)

d. h., die besta lineaw Schatzurtg voii S(to) f bei bekaiinten r,(o) X(Z0) = P.+ ( 0 ) s, ( t o ) + x- (50)

x ' ( r ) 9

(50 EoG),

( 7 1 EGO, 9 E -7)

setzt sich additiv zusanimen aus der besten Einanren Xchatzung von X , (6") f bei bekannten X, (7/) g (ri E Go. g E 3) und ails dem genauen Wert von

x- ( 5 o ) f cf E 3).

Beweis. Aus (3.25) uiid (3.27) folgt P\(O) = PI+ (0) Pi + P;; und

Folgerung 2. 1st G* hausdorffssch uiid lokalbikompakt, so bestehen unter

soinit die Richtigkeit von (3.33).

Voraussetzung der Stetigkeit voii X* die Beziehungen

I (ET) Ji) = p' L"+' (3.34) LA+ ( \ .\ (A*)

- - (3.37) P(:~'(LI*) = .F)(A*) I+ + F~:)(A*)J

Ben-cis. Aus (3.11) folgt

(3.38) E,: ( A * ) P.: = P; E , (A') (A* E: B(G*));

(3.39) E,:+(4*) == Er, t ( I * ) ,X; ( A * E %(Q*)).

(A* E % (Q*)).

aus (3.27) und ( 3 28) erlidlt man

Aus (3.38) und (3.39) crgibt sich

(3 .40) .'+

PI EcT$ ( A * ) = E,c (-lit) P;

Nit Hilfe voii (2.15) iuid (3.40) sclilie13tt maii auf

Y ; L',"'(d*) = P ; E + ( A * ) X'(5') = 8 g + ( A * ) Ps X'(E")

= E l + ( A * ) x ' ~ ( ~ " ) = L~ '* ' (A*) (t' EG', A' E %((G*)). [i x i

A


Damit ist (3.34) bewiesen; analog beweist man (3.35). Mit Hilfe von (2.21)) (3.9), (3.34) und (3.35) schliel3t man auf die Richtigkeit von (3.36). Auf Grund von (2.21), (3.24)) (3.27), (3.36) und der Orthogonalitat von Xi. und XAi gilt dann (3.37).

Folgerung 3. 1st G hatdorf fsch und lokalbikompakt, so bestehen unter Voraussetzung der Xtetigkeit von X die Beziehungen

(3.41) L,+(A) = P$L,(d)

(3.42) L,(d) = L,+(4 + L,-(4 ( A E m)). I (3.43)

fuhrrn.

F,(d) = %+(4 + P,-(4

Der Beweis dieser Folgerung laat sich analog zum Beweis der Folgerung 2

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Spektraldarstellung und Extrapolation einer Klasse von stationären stochastischen Prozessen

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