Spécialité en Terminale S
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Traitement d’images
Une image en niveaux de gris : mosaïque de pixels ; chaque pixel codé par son intensité lumineuse ; codage sur 1 octet, entre 0 (noir) et 255 (blanc) ; intensité lumineuse des pixels normalisée par un nombre de l'intervalle [0;1] ; palette simplifiée de niveaux de gris ci-contre.
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
Introduction aux matrices
Traitement d’images
Une image carrée de 64 pixels.
On souhaite pouvoir effectuer différents traitements sur cette image comme : éclaircir ; assombrir ; prendre le négatif.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Introduction aux matrices
Comment modéliser ces traitements ?
Traitement d’images
On associe à l’image un tableau de nombres. Modifier l’image revient à modifier les valeurs du tableau: en appliquant une fonction à chaque élément ;
(nécessité d’algorithmes de parcours de la matrice) en définissant une opération sur le tableau.
Introduction aux matrices
Traitement d'images : bilan
Notion de matrice apparaît naturellement. Nécessité de définir des opérations sur les matrices justifiée :
par le but recherché (modifier l’image) ; par les logiciels qui donnent pour M² un autre résultat
que le carré de chaque élément de M.
Introduction aux matrices
Un réseau de transports
Graphe des connexions entre les gares de trois villes A, B et C.
Les entiers au-dessus des arêtes indiquent le nombre de liaisons pour chaque connexion.
On peut représenter ces informations à l'aide de 2 matrices, puis en déduire la matrice des liaisons de la ville A vers la ville C.
Introduction aux matrices
Activité issue du manuel
Odyssée, Terminale S (Hatier)
Un réseau de transports : bilan
Le produit de matrices apparaît comme réponse à un problème de dénombrement.
Pour aller de la gare ai à la gare cj, il y a trois gares intermédiaires possibles, ce qui aide à comprendre dans ce cas la formule
ci j=∑k=1
3
a i k bk j
Introduction aux matrices
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
20
40
60
80
100
120
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest
Simulation100 particules et 500 échanges
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
2
4
6
8
10
12
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest
Simulation10 particules et 500 échanges
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
1
2
3
4
5
6
7
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest
Simulation6 particules et 500 échanges
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.5
1
1.5
2
2.5
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest
Simulation2 particules et 500 échanges
Deux questions :
Peut-on parler de stabilisation ? Peut-on toujours revenir à l'état initial ?
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest
Les trois états possibles
Probabilité de passer à r
1à r
2à r
3
de r1
0 1 0
de r2
1/2 0 1/2
de r3
0 1 0
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2
Graphe et matrice de transition
A= ( 0 1 012
012
0 1 0)
r1
r2
r3
12
12
1
1
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2
État au rang n modélisé par un vecteur ligne :Loi de probabilité de la variable Xn
égale au nombre de particules dans II.
Initial : V0=(1 0 0)Il est certain qu'il n'y a pas de particule dans II.
Rang 1 : V1=V0A=(0 1 0)Il est certain qu'il y a 1 particule dans II.
Rang 2 : V2=V1A=V0A2=(½ 0 ½)Il y a 1 chance sur 2 qu'il n'y ait pas de particule dans II,
1 chance sur 2 qu'il y en ait 2.
Rang 3 : V3=V2A=V0A3=(0 1 0)=V1
Le modèle de diffusion d'EhrenfestLe modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2
(Vn) : suite géométrique de matrices lignes
A3=A donc la suite oscille entre deux valeurs : si n est pair, Vn=(½ 0 ½) si n est impair, Vn=(0 1 0)
Pas d'état stable
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2
Recherche d'un état stable
Sur 2n étapes : T2n nombre d'étapespour un retour à l'état initial
P(T2n=1)=0 P(T2n=2)=½ P(T2n=3)=P(T2n=2k+1)=0 P(T2n=2k)=(½)k
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2
Retour à l'état initial
Espérance de T2n :
Par somme, on obtient :
E (T 2n )=∑i=1
2n
i×P (T 2n =i )=∑k=1
n
2k×P (T 2n=2k )=∑k=1
n
k× 12k−1
∑k=1
n1
2k−1=2−(12 )
n−1
∑k= 2
n1
2k−1=1−(12 )
n−1
∑k= 3
n1
2k−1=1
2−( 12 )
n−1E (T 2n )=4−
n+ 2
2n−1
etc...
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2
Retour à l'état initial
Réfléchir à une mise en place effectiveavec les élèves.
Le modèle de diffusion d'Ehrenfest
Les cas N=3 et N=4
• On ne commence pas par exposer pas des contenus, on résout des problèmes.
• Les contenus introduits doivent être motivés, ils sont réponses à une question, ce qui leur donne du sens.
Échanges autour du programme
Exigible au baccalauréat :Les notions expressément écrites dans la colonne contenu.
Échanges autour du programme
Code César Codes par substitution monoalphabétique Code de Vigenère (décrypté par Babbage) Enigma : inventé vers 1918 par Scherbius, décryptée pendant le 2nde guerre mondiale par Turing.
Le chiffrement de Hill
Histoire des codes secrets
Fragilité des codes mono-alphabétiques Chaque lettre codée par un caractère unique. Décryptage possible par analyse des fréquences.
1931 : Nouvel algorithme publié par Lester Hill : Codage des caractères par bloc. Une même lettre codé par un caractère différent en fonction de sa position.
Le chiffrement de Hill
Un nouvel algorithme de codage
Chaque lettre codée par un nombre de 0 à 25. Clé de chiffrement constituée de 4 entiers compris entre 0 et 25 : a, b, c, d.
À chaque couple d'entiers (x ,y) on associe le couple d'entiers compris entre 0 et 25 (x' ,y') tels que :
Le chiffrement de Hill
Principe
x'≡ax+by [26 ]y'≡cx+dy [26 ]
Le chiffrement de Hill est sensible à l'analyse des fréquences : chaque couple de lettres est codé par le même couple de lettres ; on peut donc étudier la fréquence des différents digrammes.
Pour rendre l'analyse plus difficile, on peut coder par groupes de 3 lettres ou plus.
Le chiffrement de Hill
Inconvénient et extensions
On peut écrire la méthode sous forme matricielle :
X'=AX
où X est le vecteur colonne correspondant à deux lettres à coder simultanément, A est la matrice clé et X' est le vecteur colonne des lettres codées, avec des calculs modulo 26.
Le chiffrement de Hill
Approche matricielle
Intérêt d'utiliser le tableur pour automatiser les calculs.
Sujet charnière entre arithmétique et matrices.
Réinvestissement des congruences.
Introduction du concept de matrice inversible.
Le chiffrement de Hill
Synthèse
World Wide Web : Système hypertexte public permettant de consulter des contenus multimedia par internet. Idée développée par Tim Berners-Lee au Cern en mars 1989. Projet rendu public en août 1991. Ne pas confondre avec internet, réseau physique support de plusieurs protocoles (http, ftp, mail, newsgroup).
Pertinence d'une page Web : Pagerank
Une histoire du Web
1990-1992 : Liste de serveurs par Tim Berners-Lee. 1990 : Archie, liste de serveurs FTP 1993 : Catalogue du Web, W3Catalog (pas de recherche) 1993 : WWW Wanderer, premier robot
Aliweb, référencement par admins 1994 : Webcrawler, robot + interface de recherche
Apparition de Lycos 1995 : Yahoo (catalogue), Altavista Fin 90s : Nombreux moteurs, bulle financière 1998-2000 : Montée en puissance de Google 2011 : Google reçoit toujours 85 % des requêtes
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Les moteurs de recherche
Une vision globale, alliant architecture complexe et théorie mathématique approfondie pour la recherche. Théorie basée sur des recherches antérieures. Une approche différente du classement des réponses. La qualité (réelle ou ressentie) des réponses.
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Les raisons du succès de Google
Un large éventail de services “annexes”.
Un outil majeur : l’algèbre linéaire
1 2
1 2
1( ) n
n
PR T PR T PR TdPR A d
N L T L T L T
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La formule de Brin et Page
Une page j est importante si beaucoup de pages importantes pointent vers j. On tient compte de l’importance de la page d’origine i et du nombre de liens qui en sont émis.
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Comptage récursif : 1
j ii j il
Plausibilité Robustesse
où
1si
0 sinonii j
i jla
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Comptage récursif
1
1n
j i j ii
a j n
Les coefficients vérifient :
1
0 pour tout , et
1 pour tout
i j
n
i jj
a i j
a i
: probabilité d’aller de la page i à la page j, en suivant
un des liens au hasard. On modélise ainsi un surfeur aléatoire.
i ja
W WA
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Comptage récursif
La matrice A constituée par les coefficients aij est une matrice stochastique.
Les mesures de pertinences des pages, μi sont solutions
du système linéaire de n équations à n inconnues noté
où W est la matrice ligne ayant pour coefficients les μi
Si l’on note Xp la position du surfeur après p étapes :
1 11
p
n
p p pX ii
P X j P X j P X i
11
n
p i j pi
P X j a P X i
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Comptage récursif
c'est-à-dire
En notant Up la matrice ligne des pP X i
1p pU U A
0p
pU U A
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Comptage récursif
La suite des matrices lignes Up est donc géométrique :
Les pertinences sont bien définies si la suite (Ap) des puissances de la matrice Ap est convergente.
Probabilité c : le surfeur abandonne la page actuelle se téléporte au hasard vers une des n pages du web ; Probabilité 1-c : modélisation précédente.
On obtient :
ou encore
puisque
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Comptage récursif avec téléportation
11
1n
p i j pi
cP X j c a P X i
n
11
1n
p i j pi
cP X j c a P X i
n
1
1n
pi
P X i
Notation matricielle, où J désigne la matrice carrée (n,n) dont tous les coefficients sont égaux à 1,
ou encore
avec
1 1p p
cU U J c A
n
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Comptage récursif avec téléportation
1 1p pU c U A L
L=cn(11 .. . 1 )
La suite des matrices lignes Up est donc alors arithmetico-géométrique. Pour démontrer l'existence d'un état stable : on commence par chercher un point fixe : H en posant : , on obtient :
puis
La constante c est un paramètre du modèle. c=0,15 correspond à suivre environ 6 liens en moyenne.
p pV U H
01p p
pV c V A
01p p
pU c U H A H
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Comptage récursif avec téléportation
Document ressource Éduscol (juin 2012)
Michael EisermannComment fonctionne Google ?www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm
Christiane Rousseau et Yvan Saint-AubinMathématiques et Technologie (Springer)
Pertinence d'une page Web : Pagerank
Bibliographie