PARTE I: TEORIA Y CALCULO DE PROBABILIDADES

I. DEMUESTRESE QUE SE CUMPLEN EN ESTAS PROPIEDADES EN UN ESPACIO DE PROBABILIDAD (Ω,A,P(.)):

1.1-Para eventos cualesquiera A1 Y A2 se cumple la probabilidad condicional:

P(A1/ A2)= P(A1A2)/P(A2); tal que: P(A2)>0

1.2-Para dos eventos incompatibles: P(A U B) = P (A) + P(B)

Pero

TAMBIEN:

1.3- Para tres eventos cualesquiera A1, A2 y A3 se cumple el teorema de la adición:

Solución

Solución

, se cumple

1.4-Si A es un evento, entonces: … Teorema del complemento.

Solución

Ac + A =

P (Ac) + P (A) = P (Ω)

P (Ac) + P (A) = 1

P (Ac) = 1 – P (A)…………………………………..l.q.q.d.

1.5- Teorema de la Multiplicación no independientes.

Demostración

De la primera propiedad de probabilidad condicional se tiene

De la segunda condición de la probabilidad de la condicional se tiene

)

……………l.q.q.d.

1.6-Teorema de la Multiplicación no independientes.

1.7-Partición del espacio maestral y teorema de la probabilidad total

sabemos que:

Para cualquier evento A en Ω se tiene

A = A Ω

A = A (

A= (A ) (A ) … (A )

Los eventos A y A i son mutuamente excluyentes, pues:

Tomando probabilidades a ambos miembros de la igualdad del paso (2) tenemos.

= P + P + … + P

= ...+

1.8-Partición del espacio muestral, Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

Suponemos que los eventos forman una partición de un espacio

muestral Ω; esto es, que los eventos son mutuamente excluyentes y su unión es

Ω. Ahora sea B otro evento. Entonces:

B=Ω B = ( ) B

Donde las son eventos mutuamente exclusivos. Por lo tanto:

P (B) =P ( ) + P ( ) + … + P ( )

De lo que por el teorema de la multiplicación,

P (B) = P + P + ... + P

Por otra parte, para cualquier i, la probabilidad condicional de dado B se define por:

=

En esta ecuación usamos 1 para reemplazar P (B) y usamos

= para reemplazar , obteniendo así el:

II) En una reunión de 25 personas, se pide calcular la probabilidad de que se celebren su cumpleaños el mismo día del año al menos dos personas.

La probabilidad deseada se obtiene más fácilmente si calculamos primero la probabilidad de que no haya ninguna pareja de personas con el mismo cumpleaños y restamos luego este resultado de uno.

Sea el suceso A = "al menos dos personas celebran su cumpleaños a la vez" y su complementario Ac = "no hay dos personas que celebren su cumpleaños a la vez"

Un individuo, seleccionado al azar, podría cumplir años en cualquiera de los 365 días del año, de manera análoga, un segundo individuo podría cumplir años en cualquiera de los 365 días, etc. Por lo tanto, el espacio muestral está constituido por:

365N = 36525 = 1.141 × 10 64puntos, a cada uno de los cuales corresponde la misma probabilidad.

Los casos favorables son los siguientes: como la primera de las personas puede haber nacido uno de los 365 días del año, la siguiente unos de los 364 días restantes y así sucesivamente, resultan:

Por lo tanto, la probabilidad de que ningún par de cumpleaños coincida es:

P (Ac) =

Finalmente, la probabilidad de que por lo menos dos personas coincidan en su cumpleaños es:

P(A) = 1 - P (Ac) = 1 – 0.4313 = 0.5687 =56.87%

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que se celebren su cumpleaños el mismo día del año al menos dos personas es 56.87%

III) La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4, y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3. Hallar la probabilidad de que:

III-a) Ambos vivan 10 años más.

III -b) Al menos uno viva al cabo de 10 años.

III -c) Ninguno viva al cabo de 10 años.

III -d) Solamente la esposa viva al cabo de 10 años.

Solución:

Sean los eventos H= que el hombre viva 10 años más y

E= que su esposa viva 10 años más

P (H)=1/4 P (E) =1/3

Podemos deducir con facilidad que ambos sucesos son independientes entre si, por lo cual:

P (HE) = P (H) P (E) = (1/4) (1/3) = 1/12=0.083

La probabilidad se solo H es:

P (H-E) = P (H) – P (HE)=1/4 – 1/12 = 1/6= 0.167

La probabilidad se solo E es:

P (E-H) = P (E) – P (HE) = 1/3 – 1/12 = 1/4= 0.25

Llevando los datos al diagrama de Venn Euler:

IV-a) Ambos vivan 10 años más.

P (AB) = P(A) P (B) = 0.083 = 1/12

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que Ambos vivan 10 años más es 1/12

IV-b) Al menos uno viva al cabo de 10 años.

P (AUB) = P (A) + P (B) – P (AB) = 1/4 + 1/3 – 1/12 = 1/2

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que Al menos uno viva al cabo de 10 años es 1/2.

IV-c) Ninguno viva al cabo de 10 años.

P (HcEc) = P ((AUB) c) = 1 – P (AUB) = 1 – 1/2 = 1/2

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que ninguno viva al cabo de 10 años es 1/2.

IV-d) Solamente la esposa viva al cabo de 10 años.

P (H-E) = P (H) – P (HE)=1/4 – 1/12 = 1/6

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que solamente la esposa viva al cabo de 10 años es 1/2.

IV) Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Si se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza, y se pide:

IV-a) Probabilidad de que sea defectuosa.

IV-b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

Solución:

El total de piezas es 300 por lo cual cada máquina producirá respectivamente:

Sean los sucesos:

N= proceda de la primera máquina P(N)=1/3

Q= proceda de la segunda maquina P (Q)=2/3

Y M= sea defectuosa

P (N M)=5%

P (Q M)=6%

V-a) Probabilidad de que sea defectuosa.

Por el teorema de la probabilidad total tenemos:

P (M)= P(N) P (M|N) + P (Q) P (M|Q)=

P (M) =

P (M) = (5%) + (6%) = 11%

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que la pieza sea defectuosa es 11%.

V-b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

Por el teorema de Bayes tenemos:

P (N|M) =

Utilizando el teorema de la multiplicación tenemos:

P (N|M) =

I.E) La probabilidad de ocurrencia de que la pieza proceda de la primera máquina, sabiendo que es defectuosa es 5/11.

V) En una Universidad en que solo hay estudiantes de Arquitectura, Ingeniería Civil y Letras, terminan la carrera como invictos el 5% de Arquitectura, el 10% de Ingeniería Civil y el 20% de Letras. Se sabe que el 20% estudian Arquitectura, el 30% Civil y el 50% Letras. Eligiendo un estudiante al azar se pide:VI-a) Probabilidad de que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera.

VI-b) nos dice que ha terminado la carrera. Probabilidad de que sea de Arquitectura.

Solución:

VI-a) probabilidad de que sea de arquitectura y haya terminado la carrera.

P [A/I] = P (I A) / P (A)

P [A/I] = 0.05/0.20

P [C/A]= 0.25

Interpretación Estocástica: la probabilidad de ocurrencia del evento “que sea de arquitectura y haya terminado la carrera I” es: 0.25

VI-b) nos dice que ha terminado la carrera. Probabilidad de que sea de arquitectura.

P (A)/P(I) = 0.05/0.35 =0.142857

Interpretación estocástica.- la probabilidad de ocurrencia del evento “que ha terminado la carrera y sea de arquitectura “es: 0.142857

VI) En la figura nº 4.1 se supone que la probabilidad de que cada relé este cerrado es “p” y que cada relé o se abre o se cierra independientemente de cualquier orto. Encontrar la probabilidad de que la corriente pase de I a D. Sugerencia.- Probabilidad de eventos Independientes.

Sea E y F la corriente que pasa respectivamente, entonces:

1 E =

)

2

3 Sea IR la corriente que pasa de I a R:

4 Sea ID la corriente que pasa de I a R y de R a D:

Interpretación estocástica: la probabilidad del evento “que la corriente pase de I a D”