Sorgenti del campo magnetico. Equazioni della magnetostatica.

  Azioni magnetiche tra circuiti   Legge di Ampere   Equazioni della magnetostatica   Potenziale vettore

Azioni magnetiche su circuiti

  Leggi elementari di Laplace forza tra due circuiti percorsi dalle correnti i1 e i2

d!F12 = i2d

!l2 ! d

!B1 =

µ0i1i24!

d!l2 ! (d

!l1 !!u1 )

r2!u1 versore da d

!l1 a d

!l2

d!F12 ! "d

!F21Puo` succedere che

!F12 = !

!F21

sempre

Azioni magnetiche su circuiti

d!l2 ! (d

!l1 !!u1 ) = (d

!l2 !!u1 )d!l1 ! (d

!l1 !d!l2 )!u1

!F12 =

µ0i1i24!

(d!l2 !!u1 )d!l1

r2"(d!l1 !d!l2 )!u1

r2#

$%

&

'(

2!)

1!)

= !!"1r#

$%&

'(

circuitazione di un gradiente

0=

Azioni magnetiche su circuiti

!F12 = !

µ0i1i24!

(d!l1 "d!l2 )!u1

r22!#

1!#

  Scambiando 1 2 e usando

  Se i 2 fili sono perpendicolari

  Se le correnti hanno lo stesso verso

  Se le correnti hanno verso opposto la forza e` repulsiva

!u1 = !

!u2 "

!F12 = !

!F21

d!l1 !d!l2 = 0"

!F12 = 0

d!l1 !d!l2 > 0!

!F12 attrattiva

Azioni magnetiche su circuiti

d << l

l Due fili paralleli

x

y

z !B1 =

µ0i12!d

!ez

!F12 = i2 d

!l2 !!B1 = i2lB1

!ex !!ez = "

2# l

µ0i1i22!d

!ey

dFdl

=µ0i1i22!d

1i2i

Relazione tra campo magnetico e sue sorgenti

  Divergenza: aghi magnetici, mai monopoli !! "!B = 0

  Vale anche per i campi prodotti da correnti

!! x !d

!B(!x) =

µ0i4!

!! x !

d!l (!x ')! (

!x !!x ')

!x !!x '

3

Relazione tra campo magnetico e sue sorgenti

!! x !

d!l (!x ')! (

!x !!x ')

!x !!x '

3

!! " (!a !!b ) = (

!!"!a ) !!b !!a ! (!!"!b )

=!! x " d

!l (!x ')( ) # (

!x $!x ')

!x $!x '

3 $ d!l (!x ') #

!! x "

(!x $!x ')

!x $!x '

3

%

&

''

(

)

**

= 0 non dipende da x

= 0 rotore di un gradiente

= 0

Legge di Ampere

l2

!B = µ0i

2! r!e" d

!l = dr

!er + rd!

!e! + dz

!ez

!B !d!l = µ0i

2! rrd" =

µ0i2!d"

!B !d!l

l1!" =

µ0i2!2! = µ0i

l1

i

dϕ

dl

!B !d!l

l2!! =

µ0i2!"0

"0

! d! = 0

Legge di Ampere

  Dati N fili percorsi dalle correnti i1, i2, ..., iN e un circuito che ne concatena un sottoinsieme la circuitazione del campo magnetico su quel circuito fornisce la somma delle correnti concatenate   (corrente positiva: circuitazione antioraria rispetto al suo verso,

corrente negativa: circuitazione oraria rispetto al suo verso)

!B

C!! "d

!l = µ0 ik

k concatenate da C# Legge di

Ampere

Legge di Ampere !B

C"! "d

!l = µ0 ik

k conc

#

  Il risultato vale per qualsiasi forma del circuito

  Il campo circuitato e` generato da tutte le correnti

  La sua circuitazione dipende solo dalle correnti concatenate

Legge di Ampere

!B !d!l = µ0i!"!

B !d!l = 0""

!B !d!l = Nµ0i!"N giri

Legge di Ampere

orientata rispetto alla circuitazione secondo la regola della mano destra

Superficie che si appoggia sulla linea C

I fili possono avere forma arbitraria

!B !d!l =

C!" µ0 ik

k conc

#C

1i3i

2i

Σ

nr

= µ0 (i1 ! i2 + i3 )

Legge di Ampere

orientata rispetto alla circuitazione secondo la regola della mano destra

Superficie che si appoggia sulla linea C

I fili possono avere forma arbitraria

!B !d!l =

C!" µ0 ik

k conc

# = µ0!J !!ndA

"

#

Stokes !!"!B #!ndA

$

%!!"!B = µ0

!J

C

Σ

1i3i

2i

nr

Legge di Ampere. rot B !!"!B = µ0

!J

  L’equazione e` consistente con il fatto che la corrente e` stazionaria

  Per correnti non stazionarie

  L’equazione non puo` essere valida

  Maxwell supero` l’inconsistenza con una modifica che la rende sempre valida

!! "!!#!B( ) = 0 = µ0

!! "!J

!! "!J = # $!

$t

Legge di Ampere.

  Uso pratico simile a quello della legge di Gauss nell’elettrostatica

  Semplificazione dei calcoli del campo magnetico in presenza di simmetrie

  Da usare nei casi in cui la circuitazione del campo si fa “a vista”

Equazioni di Maxwell per la magnetostatica

!! "!B = 0

!!"!B = µ0

!J

Determinano B quando sia data J

E` univoco il campo B, assegnata J ?

Equazioni di Maxwell per la magnetostatica !! "!B = 0

!!"!B = µ0

!J

!B1!B2

entrambi

soluzioni

!! " (!B1 !

!B2 ) = 0!

!" (!B1 !

!B2 ) = 0

Equazioni di Maxwell per la magnetostatica

!! " (!B1 #

!B2 ) = 0!

!" (!B1 #

!B2 ) = 0

Soluzione: vettore costante !B0

!B1(!r ) =

!B2(!r )+!B0

Equazioni di Maxwell per la magnetostatica

!B1(!r ) =

!B2(!r )+!B0

  Le equazioni di Maxwell, data una distribuzione di correnti, determinano il campo magnetico a meno di un campo costante su tutto lo spazio

Potenziale vettore

  In elettrostatica la funzione potenziale scalare V(x,y,z) permette di calcolare il campo elettrostatico data una distribuzione di cariche

!!"!E = 0

V (!r ) = 1

4!"0

#(!r ')!r !!r '! dV '

!E(!r ) = !

!!V (!r )

Potenziale vettore !! "!B = 0

!B(!r ) =

!!"!A(!r )

!!"!B = µ0

!J

!!"!!"!A = µ0

!J

Potenziale vettore

!!"!!"!A( )

i= ! ijk# j (

!!"!A)k

= ! ijk! j!kmn!mAn = ! ijk!kmn! j!mAn

= (!im! jn !!in! jm )" j"mAn= ! i (! j Aj )"! j! j Ai

!!"!!"!A =!!!! #!A( )$ !2

!A

Potenziale vettore !B =!!"!A

Se al campo vettoriale A aggiungiamo un gradiente, il rotore non cambia

!!"!A =!!"

!A+!!f( ) =

!!"!A+!!"!!f

=0 Invarianza di Gauge possiamo scegliere f come ci pare

Potenziale vettore

Invarianza di Gauge possiamo scegliere f come ci pare

!! "!A = 0 (gauge fixing)

!! "!A' =

!! "!A+!2 f

!! "!A # 0$

!A' =

!A+!!fSe

Basta scegliere f in modo tale che !2 f = "!! #!A

Potenziale vettore

!!"!!"!A =!!!! #!A( )$ !2

!A

!! "!A = 0

!"2!A = µ0

!J

!2!A = "µ0

!J

Potenziale vettore

  Stessa struttura dell’equazione di Poisson   Una equazione per ogni componente del

potenziale vettore

!2!A = "µ0

!J

!A(!r ) = µ0

4!

!J (!r ')!r !!r '! dV '

Potenziale vettore

!J (!r ')! dV '" i dl '

C!!

Se la sorgente del campo e` costituita da una corrente stazionaria che circola in un circuito C si ha la corrsipondenza

Dato un insieme di circuiti il potenziale vettore e` la somma dei contributi di ciascuno

!A(!r ) =

µ0ik4!k

! d!l '!r "!r 'Ck

!#