Sonsuz Diziler ve Seriler -...
164
Sonsuz Diziler ve Seriler ˙ Iki veya birden ¸cok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanaca˘ gını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu b¨ ol¨ umde vermeye ¸calı¸ saca˘ gız.
Transcript of Sonsuz Diziler ve Seriler -...
Sonsuz Diziler ve Seriler
Iki veya birden cok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacagını herkesbilir.
Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız?
Bu sorunun cevabını bu bolumde vermeye calısacagız.
Diziler
Bir dizi dedigimiz zaman (a1, a2, a3, . . . birer sayıyı temsil etmekuzere)
a1, a2, a3, . . . , an, . . .
gibi belli bir duzende verilmis sayıları kastediyoruz.
Ornegin2, 4, 6, 8, 10, . . . , 2n, . . .
dizisinde ilk terim a1 = 2, ikinci terim a2 = 4 ve genel terim olarakn ’inci terim an = 2n dir.
Biz genellikle sonsuz dizilerle(sonsuz elemanı olan) ilgilenecegiz.
Dolayısıyla her an teriminden sonra gelen bir an+1 terimi olacaktır.
Buradaki n tamsayısına an’in indisi denir.
Dizilerde sıralama onemlidir. Ornegin 2, 4, 6, 8, . . . dizisi ile4, 2, 6, 8, . . . dizileri aynı degildir.
Her pozitif n dogal sayısı icin dizide bir an terimi vardır. Busekilde, bir diziyi tanım kumesi dogal sayılar(N) olan bir fonksiyonolarak tanımlayabiliriz.
Ancak, fonksiyonun n de aldıgı degeri gostermek icin f(n) yerinean yazacagız.
Diziler asagıdaki gibi terimleri belirleyen
{an} ={√
n}∞n=1
, {bn} =
{(−1)n+1 1
n
}∞n=1
{cn} =
{n− 1
n
}∞n=1
, {dn} ={
(−1)n+1}∞n=1
yazım kurallarıyla ifade edilebilecegi gibi
Not: n’in 1 den baslama zorunlulugu yoktur.
terimlerini listlemek seklinde de gosterilebilir,
{an} ={√
1,√
2,√
3, . . . ,√n, . . .
}{bn} =
{1,−1
2,1
3,−1
4, . . . , (−1)n+1 1
n. . .
}{cn} =
{0,
1
2,2
3,3
4,4
5, . . . ,
n− 1
n, . . .
}{dn} = {1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n+1, . . .}
Diziler reel eksende noktalar olarak temsil edilebilecegi gibi,duzlemde noktalar olarak da temsil edilebilir. Ikinci gosterimdeyatay eksen n, terimin insisi ve dikey eksen ise an onun degeridir.
Yakınsama ve Iraksama
{an} =
{n
n + 1
}∞n=1
dizisini ele alalım. Bu dizinin elemanlarını
reel eksende gosterelim
ve ya koordinat duzleminde isaretliyelim
Sekillerden anlasılabilecegi gibi, n sayısı buyudukce
{an} =
{n
n + 1
}∞n=1
dizisinin terimleri 1 e yaklasır.
Biz bunulimn→∞
n
n + 1= 1
yazarak ifade ediyoruz.
Genel olaraklimn→∞
an = L
gosterimi, n sayısı buyudukce {an} dizisinin terimlerinin L yeyaklastıgını ifade etmek icin kullanılır.
Tanım 1 :
n sayısı yeteri kadar buyuk secilerek, an terimleri L ye istenildigikadar yakın yapılabiliyorsa, {an} dizisinin limiti L dir ve
limn→∞
an = L ya da n→∞ iken an → L
yazılır.
Eger lim an limiti varsa, an dizisi yakınsaktır denir. Aksi durumdadizi ıraksaktır denir.
Limiti L olan iki dizinin grafiklerini gorelim.
Fonksiyonlarda islenen sonsuzdaki limit ( limx→∞
f(x)) ile simdi
verdigimiz tanım ( limn→∞
an)arasındaki tek fark n in dogal sayı
olmasıdır.
Teorem 1 :
limx→∞
f(x) = L ve her n dogal sayısı icin f(n) = an ise
limn→∞
an = L
olur.
Yukarıdaki sekilde de goruldugu gibi an dizisinin her elemanı f(x)in grafiginin uzerine denk geliyorsa f(x) in sonsuzdaki limitiyle andizisinin limiti aynıdır.
Ozel olarak, r > 0 icin limx→∞
1
xr= 0 oldugu bilindiginden, r > 0 icin
limn→∞
1
nr= 0 (1)
bulunur.
Buyuk n degerleri icin an de buyuk degerler alıyorsa,
limn→∞
an =∞
yazılır.
Bu durumda {an} dizisi ıraksaktır.
Ancak bu ozel ıraksak olma durumunbu diger ıraksaklıklardanayırarak, {an} dizisi sonsuza ıraksar diyecegiz.
Yakınsak Dizilerde Limit Kuralları :
{an} ve {bn} yakınsak dizi ve c bir sabit ise
I limn→∞
(an ± bn) = limn→∞
an ± limn→∞
bn
I limn→∞
(can) = c limn→∞
an
I limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn
I limn→∞
anbn
=lim
n→∞an
limn→∞
bneger lim
n→∞bn 6= 0
I limn→∞
apn =[
limn→∞
an
]peger p > 0 ve an > 0
Sıkıstırma Teoremi dizilere asagıdaki gibi uygulanabilir.
Teorem 2 :
n ≥ n0 icin
an ≤ bn ≤ cn ve limn→∞
an = limn→∞
cn = L
iselimn→∞
bn = L
olur.
{bn} dizisi, {an} ve {cn} dizileri ile sıkıstırılmıs.
Diziler hakkındaki diger yararlı bir sonuc olan asagıdaki teoremSıkıstırma Teoreminden elde edilir.
Teorem 3 :
limn→∞
|an| = 0 ise limn→∞
an = 0 dır.
Ornek : limn→∞
n
n + 1limitini bulunuz.
Cozum : Kesrin pay ve paydasını, n in paydada gorulen en buyukkuvvetinin parantezine alırız
limn→∞
n
n + 1= lim
n→∞�>
1n
�n(1+ 1n)
=lim
n→∞1
limn→∞
1+ limn→∞
1n
=1
1 + 0= 1
Ornek : limn→∞
lnn
nlimitini bulunuz.
Cozum : Burada, n→∞ iken hem pay hemde payda sonsuzagitmektedir.
L’Hospital kuralını dogrudan uygulayamayız, cunku bu kuraldizilere degil gercel degerli fonksiyonlara uygulanabilmektedir.
Ancak, L’Hospital kuralını bu dizi ile cok yakından ilgili olanf(x) = lnx/x fonksiyonuna uygulabilir ve
limx→∞
lnx
x= lim
x→∞
1/x
1= 0
buluruz. Boylece
limn→∞
lnn
n= 0
elde ederiz.
Ornek : {an} = {(−1)n} dizisinin yakınsak olup olmadıgınıbelirleyiniz.
Cozum : Bu dizinin terimlerini tek tek yazarsak
{−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .}
elde ederiz. Terimler −1 ile 1 arasında devamlı gidip geldigi icin anhic bir sayıya yaklasmaz. Dolayısıyla lim
n→∞(−1)n limiti yoktur.
Baska bir deyisle {(−1)n} dizisi ıraksaktır.
Ornek : {an} =
{(−1)n
n
}dizisinin yakınsak olup olmadıgını
belirleyiniz.
Cozum :
limn→∞
∣∣∣∣(−1)n
n
∣∣∣∣ = limn→∞
1
n= 0
Dolayısıyla teorem 3 den
limn→∞
(−1)n
n= 0
dır.
Ornek : n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n olmak uzere {an} =
{n!
nn
}dizisinin
yakınsak olup olmadıgını belirleyiniz.
Cozum : n→∞ iken hem pay hemde payda sonsuza gitmektedir.
Fakat L’Hospital kuralını uygulayabilmek icin bu diziye karsılıkgelen uygun bir fonksiyon yoktur(x tamsayı olmadıgında x! tanımlıdegildir).
n buyudukce an sayısının nasıl degistigi hakkında bilgi sahibi olmakicin an in genel terimini acarak yazalım:
an =1 · 2 · 3 · . . . · nn · n · n · . . . · n
an =1
n· 2
n︸︷︷︸≤1
· 3
n︸︷︷︸≤1
· . . . · n
n︸︷︷︸≤1
≤ 1
n
Dolayısıyla
0 < an ≤1
n
elde edillir.
0 < an ≤1
n
n→∞ icin limn→∞
1/n→ 0 oldugunu biliyoruz. Sıkıstırma
teoremindenn→∞ icin an → 0
Kural
{rn} dizisi −1 < r ≤ 1 icin yakınsak, diger r degerleri icinıraksaktır.
limn→∞
rn =
{0 −1 < r < 1 ise1 r = 1 ise
Tanım 2 :
Her n ≥ 1 icin an < an+1, baska bir deyisle
a1 < a2 < a3 < · · ·
ise, {an} dizisine artan denir.
Her n ≥ 1 icin an > an+1 ise, {an} dizisine azalan denir.
Artan veya azalan bir diziye monoton dizi denir.
Ornek :
{3
n + 5
}dizisi artan mıdır azalan mı?
Cozum : an ve an+1 terimlerine bakalım
an =3
n + 5an+1 =
3
(n + 1) + 5=
3
n + 6
bu iki ardısık terime baktıgımızda an+1 < an oldugunu goruruz.
Dolayısıyla azalan bir dizidir.
Ornek :
{n
n2 + 1
}dizisi artan mıdır azalan mı?
Cozum : f(x) =x
x2 + 1fonksiyonunu inceliyelim.(Dizimizin her
terimi bu fonksiyonun uzerindedir.)
Bir fonksiyonun artan/azalanlıgını incelemek icin birinci turevikullanabiliriz.
f ′(x) =1 · (x2 + 1)− x · 2x
(x2 + 1)2=
1− x2
(x2 + 1)2
x ≥ 1 iken f ′(x) < 0 dır. dolayısıyla azalandır. Dizimizde bufonksiyonun uzerinde olduguna gore dizimiz azalandır.
Tanım 3 :
Her n ≥ 1 icinan ≤M
olacak sekilde bir M sayısı varsa {an} dizisine ustten sınırlı,
her n ≥ 1 icinan ≥ m
olacak sekilde bir m sayısı varsa {an} dizisine alttan sınırlı dizidenir.
Hem alttan hem ustten sınırlı olan diziye sınırlı dizi denir.
Ornek : {an} ={n}∞n=1
dizisi alttan sınırlıdır.
∀n ≥ 1; an = n ≥ 1
Ornek : {an} = { n
n + 1} dizisi sınırlıdır, cunku her n icin
0 < n < 1 dir.
Teorem 4 :
Sınırlı ve monoton her dizi yakınsaktır.
Ornek : an = 2n
3n+1 dizisinin yakınsaklıgını monoton dizi teoreminikullanarak gosteriniz.
Cozum : Dizinin ilk bir kac terimini yazalım:
{2
9,
4
27,
8
81,
16
243,
32
729, . . .}
Goruldugu gibi dizinin terimleri 29 ve 0 aralıgında degerler
almaktadır. Yani an dizisi alttan 0 ve ustten 29 ile sınırlıdır. Simdi
de artan veya azalan olup olmadıgını kontrol edecegiz.
an+1 − an =2n+1
3n+2− 2n
3n+1=
2n
3n+1
(2
3− 1
)= −1
3
2n
3n+1< 0
Bu durumda dizi azalandır (monoton). Sonuc olarak monoton diziteoremine gore an = 2n
3n+1 dizisi yakınsaktır.
Seriler
Verilen {an}∞n=1 dizisinin terimlerini toplamaya calısırsak
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (2)
ifadesini elde ederiz. Bu sonsuz toplama bir sonsuz seri (ya dayalnızca seri) denir ve kısaca
∞∑n=1
an veya∑
an
ile gosterilir.
Ancak, sonsuz tane terimin toplamından bahsetmek anlamlı mıdır?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + n + . . .
serisinin toplamı icin sonlu bir sayı bulmak olanaklı degildir.
Cunku, eger terimleri sırayla toplarsak 1, 3, 6, 10, 15, 21,. . .sayılarını elde ederiz, ve n inci terimden sonra toplam
n(n + 1)/2
olur ve n buyudukce bu toplam cok buyuk olur.
Ancak,
1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
32+
1
64+ . . . +
1
2n+ . . .
serisinin terimlerini sırasıyla toplarsak
1
2,
3
4,
7
8,
15
16,
31
32,
63
64, . . . , 1− 1
2n, . . .
elde ederiz.
Yandaki tablodan dagorulecegi gibi, daha fazlaterim ekledikce elde edilenkısmi toplamlar 1 sayısınadahada yaklasmaktadır.
Gercekten, yeteri kadar fazla terim ekleyerek kısmi toplamları 1sayısına istedigimiz kadar yaklastırabiliriz.
O halde, bu serinin toplamının 1 oldugunu soyleyebilir ve
∞∑n=1
1
2n=
1
2+
1
4+
1
8+
1
16+ . . . +
1
2n+ . . . = 1
yazabiliriz.
Benzer fikirler kullanarak (2) deki gibi verilen her hangi bir serinintoplamının var olup olmadıgını bulabiliriz. Simdi,
s1 = a1s2 = a1 + a2s3 = a1 + a2 + a3s4 = a1 + a2 + a3 + a4
kısmi toplamlarını ve genelde
sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =
n∑i=1
ai
toplamını ele alalım.
Bu kısmi toplamlar yeni bir {sn} dizisi olusturur ve bu dizinin birlimitinin olup olmadıgı arastırılabilir.
Eger limn→∞
sn = s limiti (sonlu bir sayı olarak) varsa o zaman,
onceki ornekte oldugu gibi, bu limite∑
an serisinin toplamıdiyoruz.
Tanım 4 :
Bir∞∑n=1
an = a1 + a2 + . . . serisi verildiginde, bu serinin n inci kısmi
toplamı {sn} ile gosterilsin:
sn =
n∑i=1
ai = a1 + a2 + . . . + an
Eger {sn} dizisi yakınsak ve limn→∞
sn bir gercel sayı olarak var ise,∑an serisi yakınsaktır denir ve
a1 + a2 + . . . + an + . . . = s veya∞∑n=1
an = s
yazılır.s sayısına serinin toplamı denir. {sn} dizisi ıraksak ise, seriıraksaktır denir.
Boylece, bir serinin toplamı o serinin kısmi toplamlar dizisininlimitidir.
Bu nedenle,∞∑n=1
an = s yazmak serinin yeteri kadar terimi
toplandıgında s sayısına istenildigi kadar yaklasılabilindigi anlamınagelmektedir.
∞∑n=1
an = limn→∞
n∑i=1
ai
olduguna dikkat ediniz.
Ornek : Onemli serilerden bir de geometrik seridir:
a + ar + ar2 + ar3 + . . . + an−1 + . . . =
∞∑n=1
arn−1 a 6= 0
her terim, kendisinden bir onceki terimin, r ortak oran sayısı ilecarpılmasıyla elde edilir. (a = 1
2 ve r = 12 durumunu biraz once
gormustuk.)
∞∑n=1
arn−1 = a + ar + ar2 + . . . (3)
geometrik serisi |r| < 1 oldugu zaman yakınsaktır ve serinin toplamı
∞∑n=1
arn−1 =a
1− r|r| < 1 dir.
Eger |r| ≥ 1 ise, geometrik seri ıraksaktır.
Ornek : Verilen geometrik serinin toplamını bulunuz:
5− 10
3+
20
9− 40
27+ . . .
Cozum :
5
(1− 2
3+
4
9− 8
27+ . . .
)= 5
∞∑n=1
(−2
3
)n−1=
∞∑n=1
5︸︷︷︸a
−2
3︸︷︷︸r
n−1
|r| = 23 < 1 oldugu icin (3) den bu seri yakınsaktır ve serinin
toplamı
5− 10
3+
20
9− 40
27+ . . . =
5
1− (−23)
=553
= 3
olarak bulunur.
Serinin toplamının 3 oldugunu soyledigimiz zaman ne demek istiyoruz?Yeterine fazla sayıda terim toplayarak, 3 sayısına istedigimiz kadaryaklasabiliriz. Tabloda ilk 10 sn kısmi toplamı ve Sekil 1 deki grafiktekısmi toplamlar dizisinin 3 sayısına nasıl yaklastıgı gorulmektedir.
Sekil 1:
Ornek :∞∑n=1
22n31−n serisi yakınsak mı yaksa ıraksak mıdır?
Cozum : Serinin n inci terimini arn−1 seklinde yeniden yazalım:
∞∑n=1
22n31−n =
∞∑n=1
4n
3n−1=
∞∑n=1
4
(4
3
)n−1
Boylece, bu seri a = 4 ve r = 43 olan bir geometrik seridir. r > 1
oldugu icin (3) e gore seri ıraksaktır.
Ornek : 2.317 = 2, 3171717 . . . sayısını tamsayıların oranı olarakyazınız.
Cozum :
2.3171717 . . . = 2.3 +17
103+
17
105+
17
107+ . . .
Birinci terimden sonraki terimler, a = 17/103 ve r = 1/102 olanbir geometrik seri olusturur. Buradan,
2.317 = 2.3 +17103
1− 1102
= 2.3 +17
100099100
=23
10+
17
990=
1147
495
Ornek : |x| < 1 olmak uzere∞∑n=0
xn serisinin toplamını bulunuz.
Cozum : Bu seri n = 0 ile baslamaktadır ve dolayısıyla ilk terimx0 = 1 dir. (Seriler icin, x = 0 olsa bile x0 = 1 olarak alacagız.)Bu nedenle,
∞∑n=1
xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .
olur. Bu, a = 1 ve r = x olan bir geometrik seridir. |r| = |x| < 1oldugu icin seri yakınsaktır ve (3) den
∞∑n=1
xn−1 =1
1− x
bulunur.
Ornek :∞∑n=1
1
n(n + 1)serisinin yakınsak oldugunu gosteriniz ve
toplamını bulunuz.
Cozum : Bu seri geometrik degildir, bu nedenle yakınsak serinintanımına geri donerek serinin kısmi toplarını hesaplayalım:
sn =
n∑i=1
1
i(i + 1)=
1
1 · 2+
1
2 · 3+
1
3 · 4+ . . . +
1
n(n + 1)
Bu ifade1
i(i + 1)=
1
i− 1
i + 1
esitligi kullanılarak sadelestirilebilir.
Boylece
sn =
n∑n=1
1
i(i + 1)=
n∑n=1
(1
i− 1
i + 1
)
=
(1− 1
2
)+
(1
2− 1
3
)+
(1
3− 1
4
)+ . . . +
(1
n− 1
n + 1
)
= 1− 1
n + 1
bulunur ve buradan limn→∞
sn = limn→∞
(1−�
��>0
1n+1
)= 1− 0 = 1 elde
edilir. Dolayısıyla verilen seri yakınsaktır ve toplamı da
∞∑n=1
1
n(n + 1)= 1
olarak bulunur.
Terimler ikiser ikiser sadelesmektedir. Bu teleskopik toplama bir ornektir.Tum sadelestirmelerden sonra, (eski moda katlanabilir teleskop gibi)yalnızca iki terim kalır. Sekil 2 deki an = 1/[n(n + 1)] dizisinin ve {sn}kısmi toplamlar dizisinin grafikleri ornegi acıklamaktadır.
Sekil 2:
Teorem 5 :
∞∑n=1
an serisi yakınsak ise limn→∞
an = 0 dır.
Not : Theorem 5 in tersi genelde dogru degildir.
limn→∞
an = 0 olması∑
an serisinin yakınsak olmasını gerektirmez.
Iraksaklık Testi
limn→∞
an yoksa veya limn→∞
an 6= 0 ise∞∑n=1
an serisi ıraksaktır.
Ornek :∞∑n=1
n2
5n2 + 4serisinin ıraksak oldugunu gosteriniz.
Cozum :
limn→∞
an = limn→∞
n2
5n2 + 4= lim
n→∞
1
5 + 4/n2=
1
56= 0.
Dolayısıyla, Iraksaklık Testi’nden bu seri ıraksaktır.
Teorem 6 :∑an ve
∑bn serileri yakınsak ise,
∑can (burada c bir sabit
sayıdır),∑
(an + bn), ve∑
(an − bn) serileri de yakınsaktır, ve
(i)∞∑n=1
can = c
∞∑n=1
an
(ii)∞∑n=1
(an + bn) =
∞∑n=1
an +
∞∑n=1
bn
(iii)∞∑n=1
(an − bn) =
∞∑n=1
an −∞∑n=1
bn
Ornek :∞∑n=1
(3
n(n + 1)+
1
2n
)serisinin toplamını bulunuz.
Cozum :∞∑n=1
1/2n serisi, a = 12 ve r = 1
2 olan geometrik seridir ve
dolayısıyla,∞∑n=1
1
2n=
12
1− 12
= 1
dir.
Daha once∞∑n=1
1
n(n + 1)= 1
oldugunu bulmustuk. Dolayısıyla, yukarıdaki teoremden, verilen seriyakınsaktır ve
∞∑n=1
(3
n(n + 1)+
1
2n
)= 3
∞∑n=1
1
n(n + 1)+∞∑n=1
1
2n= 3 · 1 + 1 = 4
bulunur.
Not: Bir seride sonlu sayıda terim serinin yakınsaklık durumunudegistirmez. Ornegin,
∞∑n=4
n
n3 + 1
serisinin yakınsak oldugunu bildigimizi varsayalım.
∞∑n=1
n
n3 + 1=
1
2+
2
9+
3
28+
∞∑n=4
n
n3 + 1
oldugu icin∞∑n=1
n/(n3 + 1) serisinin yakınsak oldugunu elde ederiz.
Integral ve Karsılastırma Testleri: ToplamlarınYaklasık Hesabı
Genel olarak, limn→∞
sn limitini hesaplamak kolay degildir.
Dolayısıyla, bu ve bundan sonraki bolumde toplamını acık olarakbulmadan serinin yakınsak veya ıraksak oldugunu belirlemeyeolanak saglayacak testler gelistirecegiz. Bazı durumlardayontemlerimiz, serinin toplamına cok yakın degerler verecektir.
Bu bolumde sadece pozitif terimli seriler ile ilgilencegiz, bu nedenlekısmi toplamlar dizisi artan bir dizi olacaktır. Monoton DiziTeoremi’nden, serinin yakınsak mı yoksa ıraksak mı oldugunuanlamak icin, kısmi toplamlar dizisinin sınırlı olup olmadıgınıincelemek yeterli olacaktır.
Integral Testi
[1,∞) aralıgında surekli, pozitif, azalan bir f fonksiyonu verilsin ve
an = f(n) olsun.∞∑n=1
an serisi ancak ve ancak
∫ ∞1
f(x)dx
integrali yakınsak ise yakınsaktır. Baska bir deyisle;
(a)
∫ ∞1
f(x)dx integrali yakınsak ise∞∑n=1
an serisi de yakınsaktır.
(b)
∫ ∞1
f(x)dx integrali ıraksak ise∞∑n=1
an serisi de ıraksaktır.
Not: Integral Testi’ni kullanmak icin serinin veya integralin n = 1den baslaması gerekli degildir. Ornegin,
∞∑n=4
1
(n− 3)2serisi icin
∫ ∞4
1
(x− 3)2dx
integralini kullanırız.
f fonksiyonunun her yerde azalan olması da gerekli degildir.Onemli olan, f fonksiyonunun belli bir yerden sonra, bir Nsayısından buyuk tum x degerleri icin azalan olmasıdır. Bu
durumda,∞∑
n=N
an serisi yakınsaktır ve bir onceki bolumde verilen
notdan∞∑n=1
an serisi de yakınsaktır.
Ornek :∞∑n=1
lnn
nserisinin yakınsak olup olmadıgını inceleyiniz.
Cozum : f(x) = lnx/x fonksiyonu, x > 1 icin pozitif vesureklidir, cunku logaritma fonksiyonu sureklidir. Ancak, bufonksiyonun azalan olup olmadıgı o kadar acık degildir. Bunu icinf fonksiyonunun turevini hesaplayalım:
f ′(x) =x(1/x)− lnx
x2=
1− lnx
x2.
Boylece lnx > 1 oldugunda, yani x > e icin f ′(x) < 0 buluruz.
Buradan, x > e icin f fonksiyonu azalandır ve Integral Testi’niuygulayabiliriz:∫ ∞1
lnx
xdx = lim
t→∞
∫ t
1
lnx
xdx = lim
t→∞
(lnx)2
2
]t1
= limt→∞
(ln t)2
2=∞
Bu integral ıraksak oldugu icin, Integral Testi’nden∑
(lnn)/nserisi de ıraksaktır.
Ornek : p nin hangi degerleri icin∞∑n=1
1
npserisi yakınsaktır?
Cozum Eger p < 0 ise, limn→∞
(1/np) =∞ olur,
ve eger p = 0 ise, limn→∞(1/np) = 1 olur.
Her iki durumda da limn→∞
(1/np) 6= 0 oldugu icin Iraksaklık
Testi’nden verilen seri ıraksaktır.
Eger p > 0 ise, f(x) = 1/xp fonksiyonu [1,∞) aralıgında surekli,pozitif ve azalandır.∫∞1
1xp integralinin p > 1 icin yakınsak ve p ≤ 1 icin ıraksak
oldugunu bulmustuk.
Integral Testi’ne gore,∑
1/np serisi p > 1 icin yakınsak ve0 < p ≤ 1 icin ıraksaktır.
Bu ornekteki seriye p-serisi denir. p-serisi bu unitenin bundansonraki kısımlarında sıkca kullanılacagı icin ornekteki sonucu soyleozetleyebiliriz.
•∞∑n=1
1
np, p-serisi, p > 1 icin yakınsak ve p ≤ 1 icin ıraksaktır.
Not olarak,∞∑n=1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+ · · ·
dizisine harmonik seri denir. p-serisine bakarsak, p = 1oldugundan, harmonik seri ıraksaktır.
Ornegin∞∑n=1
1
n3=
1
13+
1
23+
1
33+
1
43+ · · ·
serisi yakınsaktır, cunku bu seri bir p-serisidir ve p = 3 > 1 dir.
Karsılastırma Testi∑an ve
∑bn serilerinin terimlerinin pozitif oldugunu varsayalım.
(a)∑
bn yakınsak ve her n icin an 6 bn ise,∑
an serisideyakınsaktır.
(b)∑
bn ıraksak ve her n icin an > bn ise,∑
an serisideıraksaktır.
Karsılastırma Testi’ni kullanırken karsılastırma yapmak amacıylabildigimiz
∑bn serilerinin olması gereklidir. Cogu zaman ya bir p-
serisini ya da bir geometrik seriyi kullanacagız.
Ornek:∞∑n=1
5
2n2 + 4n + 3serisinin yakınsak olup olmadıgını
belirleyiniz.
Cozum: Buyuk n degerleri icin paydadaki baskın terim 2n2 dir.
Dolayısıyla verilen seriyi∞∑n=1
5
2n2serisi ile karsılastırabiliriz.
Simdi,5
2n2 + 4n + 3<
5
2n2
esitsizligi dogrudur, cunku sol tarafın paydası daha buyuktur.(Karsılastırma testindeki an burada sol taraf, bn ise sag taraftır.)
∞∑n=1
5
2n2=
5
2
∞∑n=1
1
n2
serisinin yakınsak oldugunu biliyoruz (p = 2 > 1 olan p-serisi). Bunedenle, Karsılastırma Testi’nin (a) sıkkından
∞∑n=1
5
2n2 + 4n + 3
serisi de yakınsaktır.
Karsılastırma Testi’ndeki an 6 bn veya an > bn kosulunun her nicin saglanması gerektigi verildigi halde, bu esitsizligin belli bir sabitN tamsayısından buyuk tum n ler icin dogru olması testiuygulayabilmek icin yeterlidir. Cunku sonlu tane terim serininyakınsaklık-ıraksaklık durumunu etkilemez.
Ornek:∞∑n=1
lnn
nserisinin yakınsak olup olmadıgını inceleyiniz.
Cozum: Bu seri icin daha once Integral Testi’ni kullandık. Fakat,bu seriyi harmonik seri ile karsılastırarak da inceleyebiliriz.
Her n > 3 icin lnn > 1 oldugundan
lnn
n>
1
nn > 3
bulunur.∑
1/n serisinin ıraksak oldugunu biliyoruz (p = 1 olanp-serisi).
Dolayısıyla, Karsılastırma Testi’nden, verilen seri de ıraksaktır.
Not: Test edilecek olan serinin terimleri, ya yakınsak olan birserinin terimlerinden daha kucuk olmalı veya ıraksak olan birserinin terimlerinden daha buyuk olmalıdır.
Verilen serinin terimlerinin, yakınsak bir serinin terimlerinden dahabuyuk veya ıraksak bir serinin terimlerinden daha kucuk olmasıdurumunda Karsılastırma Testi uygulanamaz.
Ornegin,∞∑n=1
1
2n − 1
serisini ele alalım.1
2n − 1>
1
2n
esitsizligi Karsılastırma Testi icin hic bir deger tasımaz. Cunku∑bn =
∑(1
2
)n
serisi yakınsak ve an > bn dir. Buna karsın,
∑(12
)nserisine cok benzeyen
∞∑n=1
1
2n − 1serisinin yakınsak olması
gerektigi akla gelmektedir.
Bu gibi durumlarda asagıdaki test uygulanabilir.
Limit Karsılastırma Testi:∑
an ve∑
bn pozitif terimli serilerolsun. Eger c > 0 sonlu bir sayı ve
limn→∞
anbn
= c
ise, ya serilerin her ikisi de yakınsaktır veya her ikisi de ıraksaktır.
Ornek:∞∑n=1
1
2n − 1serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.
Cozum: Limit Karsılastırma Testi’ni uygulamak icin
an =1
2n − 1bn =
1
2n
alırsak
limn→∞
anbn
= limn→∞
2n
2n − 1= lim
n→∞
1
1− 1/2n= 1 > 0
elde ederiz. Limit var ve∑
1/2n geometrik serisi yakınsak olduguicin, Limit Karsılastırma Testi’nden, verilen seride yakınsaktır.
Diger Yakınsama Testleri
Simdiye kadar gordugumuz yakınsaklık testlerinin tamamı pozitifterimli seriler icindi. Bu bolumde terimleri pozitif olmak zorundaolmayan serilerin yakınsaklıgına nasıl bakılacagını ogrenecegiz.
Tanım 5 : Alterne Seriler
Ardısık her iki terimden biri pozitif ve digeri negatif olan seriyealterne seri denir.
Simdi buna iki ornek verelim:
1− 1
2+
1
3− 1
4+
1
5− 1
6+ · · · =
∞∑n=1
(−1)n−11
n
−1
2+
2
3− 3
4+
4
5− 5
6+
6
7− · · · =
∞∑n=1
(−1)nn
n + 1
Alterne Seri Testi
Verilen bir
∞∑n=1
(−1)n−1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + · · · (bn > 0)
alterne serisi
(a) her n icin bn+1 ≤ bn
(b) limn→∞
bn = 0
kosullarını saglıyorsa, seri yakınsaktır.
Ornek :
1− 1
2+
1
3− 1
4+
1
5− 1
6+ · · · =
∞∑n=1
(−1)n−1
n
alterne harmonik serisi
(a) bn+1 < bn ( 1n+1 < 1
n oldugundan)
(b) limn→∞
bn = limn→∞
1
n= 0
kosullarını sagladıgı icin Alterne Seri Testi’nden yakınsaktır.
Sekildeki an = (−1)n−1/ndizisinin ve {sn} kısmi toplamlardizisinin grafikleri, ornegiacıklamaktadır.
Ornek :∞∑n=1
(−1)n3n
4n− 1serisinin yakınsaklıgını arastırınız.
Cozum :∞∑n=1
(−1)n3n
4n− 1serisi alterne bir seridir, ancak
limn→∞
bn = limn→∞
3n
4n− 1= lim
n→∞
3
4− 1n
=3
4
ve dolayısıyla (b) kosulu saglanmaz.
Bunun yerine, serinin n inci teriminin limitine bakalım:
limn→∞
an = limn→∞
(−1)n3n
4n− 1
Bu limit yoktur.
Dolayısıyla, Iraksaklık Testi’nden seri ıraksaktır.
Ornek :∞∑n=1
(−1)n+1 n2
n3 + 1serisinin yakınsak olup olmadıgını
inceleyiniz.
Cozum : Verilen seri alterne bir seridir ve dolayısıyla Alterne SeriTesti’deki (a) ve (b) kosullarını saglayıp saglamadıgına bakarız.
Ilk ornekten farklı olarak, bn = n2/(n3 + 1) dizisinin azalan olduguacık degildir. Ancak, buna benzeyen f(x) = x2/(x3 + 1)fonksiyonunu alırsak,
f ′(x) =x(2− x3)
(x3 + 1)2
buluruz.
Sadece pozitif x degerlerini hesaba kattıgımız icin 2− x3 < 0, birbaska deyisle x > 3
√2 ise, f ′(x) < 0 oldugunu goruruz.
Dolayısıyla, f fonksiyonu ( 3√
2,∞) aralıgında azalmaktadır. Bu da,n ≥ 2 icin f(n+ 1) < f(n) ve dolayısıyla bn+1 < bn oldugunu verir.(b2 < b1 esitsizligi dogrudan gosterilebilir, ancak burada onemliolan, {bn} dizisinin belli bir terimden sonra azalan olmasıdır.)
(b) kosulunun saglandıgını gostermek oldukca kolaydır:
limn→∞
bn = limn→∞
n2
n3 + 1= lim
n→∞��n3���0
1n
��n3
(1 +��70
1n3
) = 0
Dolayısıyla, Alterne Seri Testi’nden verilen seri yakınsaktır.
Mutlak Yakınsaklık
Elimizde pozitif terimli seriler ve alterne seriler icin yakınsaklıktestleri var, ama terimlerin isaretleri duzensiz olarak degisirse neolacak?
Bir∑
an serisi verildiginde, terimleri bu serinin terimlerinin mutlakdegerleri olan
∞∑n=1
|an| = |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · ·
serisini ele alalım.
Tanım 6 :
Terimleri∑
an serisinin terimlerinin mutlak degerlerinden olusan∑|an| serisi yakınsak ise,
∑an serisi mutlak yakınsaktır denir.
Eger∑
an serisinin terimleri pozitif ise, |an| = an olur ve bunedenle, bu seri icin yakınsaklık ile mutlak yakınsaklık aynıkavramlardır.
Ornek :∞∑n=1
(−1)n−1
n2= 1− 1
22+
1
32− 1
42+ . . .
serisi mutlak yakınsaktır, cunku
∞∑n=1
∣∣∣(−1)n−1
n2
∣∣∣ =
∞∑n=1
1
n2= 1 +
1
22+
1
32+
1
42+ . . .
serisi yakınsak bir p-serisidir (p = 2).
Ornek :∞∑n=1
(−1)n−1
n= 1− 1
2+
1
3− 1
4+ . . .
alterne harmonik serisinin yakınsak oldugunu biliyoruz.
Ancak bu seri mutlak yakınsak degildir, cunku buna karsılık gelenmutlak degerler serisi
∞∑n=1
∣∣∣(−1)n−1
n
∣∣∣ =
∞∑n=1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+
1
4+ . . .
harmonik seridir (p = 1 olan p-serisi) ve dolayısıyla ıraksaktır.
Ornek gostermektedir ki yakınsak olan bir seri mutlak yakınsakolmak zorunda degildir. Bunun yanında, asagıdaki teorem mutlakyakınsak olmanın yakınsak olmayı gerektirdigini gostermektedir.
Teorem 8 :
Verilen bir∑
an serisi mutlak yakınsak ise, aynı zamandayakınsaktır.
Ornek :∞∑n=1
cosn
n2=
cos 1
12+
cos 2
22+
cos 3
32+ . . .
serisinin yakınsak olup olmadıgını belirleyiniz.
Cozum : Bu serinin hem pozitif hem de negatif terimleri vardır,ancak alterne seri degildir. (Ilk terim pozitif, sonraki uc terimnegatif ve daha sonraki uc terim pozitiftir. Terimlerin isaretiduzensiz bir sekilde degismektedir.)
Karsılastırma testini, mutlak degerlerden elde edilen
∞∑n=1
∣∣∣cosn
n2
∣∣∣ =
∞∑n=1
∣∣∣ cosn∣∣∣
n2
serisine uygulayabiliriz. Her n icin cosn ≤ 1 oldugundan∣∣∣ cosn∣∣∣
n2≤ 1
n2
buluruz.
Simdi,∑ 1
n2 serisi yakınsak oldugu icin (p = 2 olan p-serisi)
Karsılastırma testinden∑ | cosn|
n2 serisi de yakınsaktır.
Dolayısıyla, verilen∑ cosn
n2 serisi mutlak yakınsak ve buradan daTeorem 8 den yakınsaktır.
Oran Testi
I Eger limn→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = L < 1 ise,∞∑n=1
an serisi mutlak
yakınsaktır (ve dolayısıyla yakınsaktır.)
I Eger limn→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = L > 1 veya∣∣∣an+1
an
∣∣∣ =∞ ise,∞∑n=1
an serisi
ıraksaktır.
Not : Eger limn→∞
∣∣an+1/an∣∣ = 1 ise, o zaman Oran Testi hic bir
bilgi vermez.
Ornegin, yakınsak olan∑
1/n2 serisi icin
n→∞ iken∣∣∣an+1
an
∣∣∣ =
1(n+1)2
1n2
=n2
(n + 1)2=
1
(1 + 1n)2→ 1
ve ıraksak olan∑
1/n serisi icin
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ =
1(n+1)
1n
=n
n + 1=
1
1 + 1n
→ 1
buluruz.
Dolayısıyla, eger limn→∞
∣∣an+1/an∣∣ = 1 ise,
∑an serisi yakınsak da
olabilir ıraksak da. Bu durumda Oran testi calısmaz ve baska birtest kullanmak gereklidir.
Ornek :∞∑n=1
(−1)nn3
3nserisinin mutlak yakınsak olup olmadıgını
inceleyiniz.
Cozum : an = (−1)nn3/3n alarak Oran testini uygulayalım:
n→∞ iken∣∣∣an+1
an
∣∣∣ =∣∣∣ (−1)n+1(n+1)3
3(n+1)
(−1)nn3
3n
∣∣∣ =(n + 1)3
3(n+1)
3n
n3
=1
3
(n + 1
n
)3=
1
3
(1 +
1
n
)3→ 1
3< 1
Oran Testinden verilen seri mutlak yakınsak ve dolayısıylayakınsaktır.
Ornek :∞∑n=1
nn
n!serisinin yakınsak olup olmadıgını inceleyiniz.
Cozum : an = nn/n! terimleri pozitif oldugundan mutlak degerisaretleri gereksizdir.
n→∞ ikenan+1
an=
(n+1)(n+1)
(n+1)!nn
n!
=(n + 1)(n + 1)n
(n + 1)n!
n!
nn
=(n + 1
n
)n=(
1 +1
n
)n→ e
bulunur. e > 1 oldugundan Oran Testinden verilen seri ıraksaktır.
Not : Bir onceki ornekte Oran Testi sonuc vermistir.Uygulanabilecek baska test de Iraksaklık Testi’dir.
an =nn
n!=
n.n.n. . . . .n
1.2.3. . . . .n≥ n
oldugundan n→∞ iken an sıfıra yaklasmaz. Dolayısıyla,Iraksaklık Testinden verilen seri ıraksaktır.
Kuvvet Serileri
Sonsuz sayıda toplam iceren serilerin yakınsaklıgını artık testedebildigimize gore simdi ”sonsuz polinomlar” benzeri ifadeleriinceleyebiliriz.
Biz bunlara kuvvet serileri diyecegiz, cunku bu ifadeler birdegiskenin kuvvetlerinin olusturdugu sonsuz seriler olaraktanımlanmaktadır; bizim durumumuzda x’in kuvvetlerininserileridir.
Tıpkı polinomlarda oldugu gibi, kuvvet serilerini de toplayıp,cıkarıp, carparak, turev ve integral alarak yeni kuvvet serileri eldeedebiliriz.
Tanım
∞∑n=0
cn xn = c0 + c1x + c2x
2 + · · · (4)
biciminde olan bir seriye kuvvet serisi denir.
Burada x degisken, cn ler sabittir ve bu sabitlere serininkatsayıları adı verilir.
Sabit bir x degeri icin (4) serisi, terimleri sayı olan bir seridir veyakınsaklık icin test edilebilir.
Bir kuvvet serisi, bazı x degerleri icin yakınsak ve diger x degerleriicin ıraksak olabilir.
Serinin toplamı, tanım kumesi serinin yakınsak oldugu tum x lerolan bir
f(x) = c0 + c1x + c2x2 + · · ·+ cnx
n + · · ·
fonksiyonudur.
fnin bir polinomu andırdıgına dikkat ediniz. Tek fark, f de sonsuztane terim olmasıdır.
OrnekDenklem (4)’de butun katsayıları 1 alırsak bir geometrik kuvvetserisi elde ederiz;
∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + · · ·+ xn + · · ·
Bu serinin ilk terimi(a) 1 ve ortak oran(r) x’tir. |x| < 1 icin1
1− x’e yakınsar. Bunu asagıdaki gibi ifade ederiz;
1
1− x= 1 + x + x2 + · · ·+ xn + · · · , −1 < x < 1 (5)
Sekil 3: yn = 1 + x + x2 + · · ·+ xn olmak uzere (−1, 1) aralıgında terimsayısını arttırarak y = 1/(1− x) fonksiyonuna istedigimiz kadaryaklasabiliriz.
Daha genel olarak,
Tanım
∞∑n=0
cn (x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · · (6)
bicimindeki bir seriye (x = a) cinsinden kuvvet serisi veya amerkezli kuvvet serisi veya a cevresinde bir kuvvet serisi denir.
Not 1: Denklem (4), denklem (6)’nin a = 0 ile verilen ozel birdurumudur.
Not 2: Denklem (4) ve (6) de, n = 0 a karsılık gelen terimix = a olsa bile (x− a)0 = 1 aldıgımızı unutmayınız. Seride x = aalındıgında, n ≥ 1 icin tum terimlerin 0 olduguna ve dolayısıyla daserinin yakınsak olduguna dikkat ediniz.
Ornek∞∑n=0
n!xn serisi hangi x degerleri icin yakınsaktır.
Cozum : Oran testini kullanalım. Her zaman oldugu gibi serinin ninci terimine an dersek, an = n!xn olur. Eger x 6= 0 ise,
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣(n + 1)!xn+1
n!xn
∣∣∣∣ = limn→∞
(n + 1) |x| =∞
buluruz. Oran testinden, x 6= 0 oldugu zaman seri ıraksaktır..Dolayısıyla da verilen seri yalnızca x = 0 icin yakınsar.
Ornek∞∑n=1
(x− 3)n
nserisi hangi x degerleri icin yakınsaktır.
Cozum : an = (x− 3)n/n olsun. O zaman, n→∞ iken∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(x− 3)n+1
n + 1· n
(x− 3)n
∣∣∣∣=
1
1 + 1n
|x− 3| → |x− 3|
bulunur.
Oran testinden verilen seri |x− 3| < 1 icin mutlak yakınsak,dolayısıyla da yakınsak, ve |x− 3| > 1 icinde ıraksaktır.
|x− 3| < 1 ⇔ −1 < x− 3 < 1 ⇔ 2 < x < 4
Boylece seri 2 < x < 4 icin yakınsak, x < 2 veya x > 4 icinıraksaktır.
Oran testi, |x− 3| = 1 oldugunda hicbir bilgi vermedigi icin x = 2ve x = 4 durumlarını ayrıca incelememiz gerekir.
I x = 4 icin seri∞∑n=1
1/n harmonik serisi olur ki bu da ıraksaktır.
I x = 2 icin ise seri∞∑n=1
(−1)n/n olur ve bu seri Alterne Seri
Testinden yakınsaktır.
Sonuc olarak, verilen kuvvet serisi 2 ≤ x < 4 icin yakınsaktır.
Ornek
J0(x) =
∞∑n=0
(−1)n x2n
22n (n!)2ile tanımlanan sıfırıncı basamaktan Bessel
fonksiyonunun tanım kumesini bulunuz.
Cozum : an =(−1)n x2n
22n (n!)2olsun. Her x icin, n→∞ iken
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ (−1)n+1 x2(n+1)
22(n+1) ((n + 1)!)2· 22n (n!)2
(−1)n x2n
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣ x2n+2)
22n+2 (n + 1)2 (n!)2· 22n (n!)2
x2n
∣∣∣∣∣ =x2
4(n + 1)2→ 0 < 1
bulunur. Buna gore Oran Testinden, verilen seri x in her degeri icinyakınsaktır. Baska bir deyisle, Bessel fonksiyonu J0 ın tanımkumesi (−∞,∞) = R olur.
Bir serinin toplamının, serinin kısmi toplamlar dizisinin limitine esitoldugunu anımsayınız. Dolayısıyla, Ornek 1.4 de Besselfonksiyonunu bir serinin toplamı olarak tanımladıgımız zaman,bundan anlasılan;
sn(x) =
n∑i=0
(−1)i x2i
22i (i!)2
olmak uzere, her x gercel sayısı icin
J0(x) = limn→∞
sn(x)
oldugudur.
Bu serinin ilk birkac kısmi toplamı:
s0(x) = 1
s1(x) = 1− x2
4
s2(x) = 1− x2
4+
x4
64
s3(x) = 1− x2
4+
x4
64− x6
2304
s4(x) = 1− x2
4+
x4
64− x6
2304+
x8
147476
dır.
Sekil 4:
Sekil 4 de birer polinom olan bu kısmi toplamların grafiklerigorulmektedir. Bu kısmi toplamların her biri, J0 fonksiyonuna bireryaklastırımdır, ancak daha fazla terim ekledikce daha iyi biryaklastırım elde edilmektedir.
Teorem
Verilen bir∞∑n=0
cn(x− a)n kuvvet serisi icin yalnızca uc olasılık
vardır:
(i) Seri yalnızca x = a icin yakınsar.
(ii) Seri her x icin yakınsar.
(iii) Serinin |x− a| < R icin yakınsak ve |x− a| > R icin ıraksakoldugu bir R sayısı vardır.
(iii) sıkkındaki R sayısına kuvvet serisinin yakınsaklık yarıcapıdenir. Kullanım kolaylıgı acısından, serinin yakınsaklık yarıcapını (i)durumunda R = 0 ve (ii) durumunda R =∞ alacagız.
Kuvvet serisinin yakınsaklık aralıgı serinin yakınsadıgı tum xdegerlerinden olusan aralıktır.
Bu aralık, (i) durumunda yalnızca a noktasından olusur. (ii)durumunda yakınsaklık aralıgı (−∞,∞) aralıgıdır. (iii) durumundaise|x− a| < R esitsizligi a−R < x < a + R seklinde yazılabilir. xaralıgın uc noktalarından biri oldugu zaman (x = a∓R) herseyolabilir: seri uc noktaların ikisinde de yakınsayabilir veyaıraksayabilir, ya da birinde yakısar digerinde ıraksar. Dolayısıyla,(iii) durumunda yakınsaklık aralıgı icin dort olasılık vardır.
(a−R, a+R) (a−R, a+R] [a−R, a+R) [a−R, a+R]
Daha onceki orneklerde gordugumuz serilerin yakınsaklık yarıcapınıve yakısaklık aralıklarını bir tabloda ozetleyelim.
Yakınsaklık yarıcapını belirlemek icin cogu zaman Oran Testikullanılabilir. x yakınsaklık aralıgının bir uc noktası oludugu zamanOran Testi hic bir zaman bilgi vermez; uc noktalar baska bir test ileayrıca kontrol edilmelidir.
Ornek∞∑n=0
(−3)n xn√n + 1
serisinin yakınsaklık yarıcapını ve yakınsaklık aralıgını
bulunuz.
Cozum : an =(−3)n xn√
n + 1olsun. Dolayısıyla, n→∞ iken
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(−3)n+1 xn+1
√n + 2
·√n + 1
(−3)n xn
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣−3x
√n + 1
n + 2
∣∣∣∣∣= 3
√1 + 1
n
1 + 2n
|x| → 3|x|
olur.
Oran Testinden, seri, 3|x| < 1 icin yakınsak ve 3|x| > 1 icinıraksaktır.
Dolayısıyla, seri |x| < 13 icin yakınsak, |x| > 1
3 icin ıraksaktır. Buda yakınsaklık yarıcapının R = 1
3 olması demektir.
Bu serinin(−1
3 ,13
)aralıgında yakınsak oldugunu biliyoruz. Ancak,
uc noktalardaki yakınsaklık durumunu ayrıca arastırmalıyız.
Eger x = −13 ise, seri
∞∑n=0
(−3)n (−13)n
√n + 1
=
∞∑n=0
1√n + 1
=
∞∑n=1
1√n
=
∞∑n=1
1
n1/2
p = 1/2 < 1 olan p−serisidir, dolayısıyla ıraksaktır.
Eger x = 13 ise, seri
∞∑n=0
(−3)n (13)n√n + 1
=
∞∑n=0
(−1)n√n + 1
olur ve bu seri Alterne Seri Testinden yakınsaktır.
Boylece, veilen kuvvet serisinin yakınsaklık aralıgı
(−1
3,1
3
]olur.
Ornek∞∑n=0
n (x + 2)n
3n+1serisinin yakınsaklık yarıcapını ve yakınsaklık
aralıgını bulunuz.
Cozum : Eger an =n (x + 2)n
3n+1dersek, n→∞ iken∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(n + 1) (x + 2)n+1
3n+2· 3n+1
n (x + 2)n
∣∣∣∣=
(1 +
1
n
)|x + 2|
3→ |x + 2|
3
elde ederiz.
Oran Testini kullanarak, serinin|x + 2|
3< 1 icin yakınsak ve
|x + 2|3
> 1 icin ıraksak oldugunu goruruz.
Buradan seri |x + 2| < 3 icin yakınsar. Dolayısıyla, verilen serininyakınsaklık yarıcapı R = 3 tur.
|x + 2| < 3 esitsizligi −5 < x < 1 olarak da yazılabilir. Simdi seriyiuc noktalarda test edelim.
x = −5 icin seri
∞∑n=0
n (−3)n
3n+1=
1
3
∞∑n=0
(−1)n n
olur ve Iraksaklık Testinden bu seri ıraksaktır.
x = 1 icin ise seri∞∑n=0
n (3)n
3n+1=
1
3
∞∑n=0
n
olur ve Iraksaklık tesitinden bu seri de ıraksaktır.
Boylece seri yalnızca −5 < x < 1 icin yakısar. Dolayısıyla,yakınsaklık aralıgı (−5, 1) dir.
Fonksiyonların Kuvvet Serileri ile Gosterimi
Bu bolumde, belirli fonksiyon tiplerinin kuvvet serilerinin toplamıolarak nasıl gosterilebilecegini gorecegiz.
Bunu yaparken geometrik seriler veya onların turevleri veyaintegrallerinden yararlanacagız.
Daha sonra gorecegimiz gibi, bu yontem basit ilkeli bulunamayanfonksiyonların integrallerini bulmak, diferansiyel denklemleri cozmekve fonksiyonlara polinomlar ile yaklasmak icin kullanılmaktadır.
Daha once gordugumuz bir esitlik ile baslayalım:
1
1− x= 1 + x + x2 + x3 + · · · =
∞∑n=0
xn, |x| < 1 (7)
Bu esitligi, ilk olarak Ornek 1.1 de gormustuk ve esitligi gostermekicin a = 1 ve r = x olan bir geometrik seri oldugunu kullanmıstık.
Ancak buradaki bakıs acımız biraz farklı olacak. Simdi, Denklem 7e, f(x) = 1/(1− x) fonksiyonunun bir kuvvet serisinin toplamıolarak ifade edilmesi olarak bakacagız.
Ornek1
1 + x2fonksiyonunu bir kuvvet serisinin toplamı olarak ifade ediniz
ve serinin yakınsaklık aralıgını bulunuz.
Cozum : Denklem 7 de x yerine −x2 yazarsak,
1
1 + x2=
1
1− (−x2)=∞∑n=0
(−x2)n
=
∞∑n=0
(−1)n x2n = 1− x2 + x4 − x6 + x8 − · · ·
elde ederiz.
Bu seri bir geometrik seri oldugu icin, |x2| < 1 olunca, baska birdeyisle x1 < 1 yada |x| < 1 olunca seri yakınsar. Dolayısıyla,serinin yakınsaklık aralıgı (−1, 1) olarak bulunur.
Ornek1
x + 2fonksiyonu icin bir kuvvet serisi gosterimi bulunuz.
Cozum : Bu fonksiyonu Denklem 7 in sol yanına benzetmek icin,once paydayı 2 parantezine alalım.
1
x + 2=
1
2(1 + x
2
) =1
2
1[1−
(−x
2
)]=
1
2
∞∑n=0
(−x
2
)n=
∞∑n=0
(−1)n
2n+1xn
Bu seri, | − x2 | < 1 icin, baska bir deyisle |x| < 2 oldugunda
yakınsaktır. Buradan yakınsaklık aralıgı (−2, 2) olarak bulunuz.
Ornekx3
x + 2fonksiyonu icin bir kuvvet serisi gosterimi bulunuz.
Cozum : Bu fonksiyon Ornek 1.8 deki fonksiyonun x3 ile carpımıoldugundan, yapmamız gereken tek sey seriyi x3 ile carpmaktır:
x3
x + 2= x3 · 1
x + 2= x3 ·
∞∑n=0
(−1)n
2n+1xn
=
∞∑n=0
(−1)n
2n+1xn+3 =
1
2x3 − 1
4x4 +
1
8x5 − 1
16x6 + · · ·
Bu seriyi yazmanın bir diger yolu:
x3
x + 2=
∞∑n=3
(−1)n−3
2n−2xn
dir. Ornek 1.8 de oldugu gibi, bu serinin yakınsaklık aralıgı (−2, 2)olur.
Kuvvet Serilerinin Turevi ve Integrali
Bir kuvvet serisinin toplamı, tanım kumesi serinin yakınsaklık
aralıgı olan bir f(x) =∞∑n=0
cn (x− a)n fonksiyonudur.
Boyle tanımlanmıs fonksiyonların turevini ve integralini alabilmekistiyoruz.
Simdi yazacagımız teorem, polinomlarda oldugu gibi, serideki herterimin ayrı ayrı turevini veya integralini alarak bunuyapabilecegimizi soylemektedir. Buna terim-terim turev veintegral alma diyoruz.
Teorem∑cn (x− a)n kuvvet serisinin yakınsaklık yarıcapı R > 0 ise,
f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · · =∞∑n=0
cn (x− a)n
olarak tanımlanan f fonksiyonu (a−R, a + R) aralıgındaturevlenebilirdir (ve dolayısıyla sureklidir) ve
(i) f ′(x) = c1+2cs(x−a)+3c3(x−a)2+· · · =∞∑n=1
n cn (x−a)n−1
(ii)∫f(x) dx = C + c0(x− a) + c1
(x−a)22 + c2
(x−a)33 + · · ·
= C +∞∑n=0
cn(x−a)n+1
n+1
dir. Denklem (i) ve (ii) deki kuvvet serilerinin her ikisinin deyakınsaklık yarıcapı R dir.
Not 1: Teorem 1.2 nin bir kuvvet serisinin turevi veya integralialındıgında yakınsaklık yarıcapının degismediginin soylemesi,yakınsaklık aralıgının degismedigi anlamına gelmez. Seri,yakınsaklık aralıgının uc noktalarının birinde yakınsak oldugu halde,turevi alındıgında o noktada ıraksak olabilir.
Not 2: Bir kuvvet serisinin terim terim turevinin alınabilmesi,diferansiyel denklemlerin cozumu icin cok guclu bir yontemintemelini olusturmaktadır.
OrnekDenklem 7 in turevini alarak 1/(1− x)2 fonksiyonunu bir kuvvetserisi olarak yazınız. Buldugunuz serinin yakınsaklık yarıcapı nedir?
Cozum :1
1− x= 1 + x + x2 + x3 + · · · =
∞∑n=0
xn esitliginin her iki
yanının turevi alınırsa
1
(1− x)2= 1 + 2x + 3x2 + · · · =
∞∑n=1
nxn−1
elde edilir. Eger istenirse n yerine n + 1 alarak, yanıt
1
(1− x)2=
∞∑n=0
(n + 1)xn
biciminde yazılabilir. Teorem 1.2 den, turev alınınca elde edilenserinin yakınsaklık yarıcapı, ilk serinin yarıcapı ile aynı, R = 1 dir.
Ornekln(1− x) fonksiyonunun kuvvetserisi acılımını ve bu serininyakınsaklık yarıcapını bulunuz.
Cozum : ln(1− x) fonksiyonunun turevi, −1 carpanı dısında1/(1− x) fonksiyonudur. Dolayısıyla, Denklem 7 in her iki yanınınintegrali alalım:
− ln(1− x) =
∫1
1− xdx = C +
∞∑n=0
xn
= C +
∞∑n=0
xn+1
n + 1
− ln(1− x) = C +
∞∑n=0
xn+1
n + 1
C nin degerini belirlemek icin denklemde x = 0 yazarsak− ln(0− 1) = C elde ederiz. Boylece C = 0 ve
ln(1− x) = −∞∑n=0
xn+1
n + 1
olur. Bu serinin yakınsaklık yarıcapıda ilk serinin yakınsaklıkyarıcapıyla aynıdır: R = 1.
Ornekf(x) = tan−1 x fonksiyonunun bir kuvvetr serisi acılımını bulunuz.
Cozum : f ′(x) = 11+x2 oludugu icin, istenilen seri, Ornek 1.7 de
bulunan 11+x2 fonksiyonunun kuvvet serisinin integrali alınarak
bulunur.
tan−1 x =
∫1
1 + x2dx =
∫(1− x2 + x4 − x6 + x8 − · · · ) dx
= C + x− x3
3+
x5
5− x7
7+ · · · = C +
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1
tan−1 x = C +
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1
C yi bulmak icin, x = 0 alınır ve C = tan−1 0 = 0 bulunur.Boylece,
tan−1 x =
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1
elde ederiz.1
1 + x2nin kuvvet serisinin yakınsaklık yarıcapı 1
oldugu icin tan−1 x fonksiyonunun kuvvet serisinin yakınsaklıkyarıcapı da 1 olur.
Ornek
(a)
∫1
1 + x7dx integralini bir kuvvet serisi olarak hesaplayınız.
(b) (a) yı kullanarak
0.5∫0
1
1 + x7dx integralini 10−7 dek kucuk bir
hata ile hesaplayınız.
Cozum : (a) Once,1
1 + x7fonksiyonunu bir kuvvet serisinin
toplamı olarak ifade edelim.
Ornek 1.7 deki gibi, Denklem 7 de x yerine −x7 yazalım:
1
1 + x7=
1
1− (−x7)=
∞∑n=0
(−x7)n
=
∞∑n=0
(−1)n x7n
Simdi terim-terim integral alalım:∫1
1 + x7dx =
∫ ( ∞∑n=0
(−1)n x7n
)dx
= C +
∞∑n=0
(−1)nx7n+1
7n + 1
= C + x− x8
8+
x15
15− x22
22+ · · ·
Bu seri, | − x7| < 1, ya da |x| < 1 icin yakınsaktır.
(b) Deger Bulma Teoreminin uygularken hangi ilkel fonksiyonunkullanıldıgı onemli olmadıgı icin, (a) sıkkında buldugumuz ilkeli Calarak kullanabiliriz.
0.5∫0
1
1 + x7dx =
[x− x8
8+
x15
15− x22
22+ · · ·
]0.50
=1
2− 1
8 · 28+
1
15 · 215− 1
22 · 222+ · · ·
+(−1)n
(7n + 1)27n+1+ · · ·
Bu sonsuz seri, verilen belirli integralin kesin degeridir, ancak seriseri alterne seri oldugu icin, Alterne Seri Hata Teoremini kullanarakbu toplamın yaklasık degerinin bulabiliriz.
Toplama islemini n = 3 e karsılık gelen terimden sonra durdurursak,yapılan hata n = 4 e karsılık gelen terimden daha kucuktur.
5.terim(n = 4) =1
29 · 229≈ 6.4× 10−11 < 10−7
Dolayısıyla da
0.5∫0
1
1 + x7dx ≈ 1
2− 1
8 · 28+
1
15 · 215− 1
22 · 222≈ 0.49951374
bulunur.
Taylor ve Maclaurin Serileri
Bir onceki bolumde sınırlı sayıda fonksiyon sınıfının kuvvet serisigosterimini bulabilmistik. Simdi daha genel problemlerleilgilenecegiz. Hangi fonksiyonların kuvvet serisi gosterimi vardır?Bu gosterimleri nasıl bulabiliriz?
Teoremf nin a noktasında bir kuvvet serisi gosterimi varsa, bir baskadeyisle
f(x) =
∞∑n=0
cn(x− a)n |x− a| < R
ise, serinin terimlerinin katsayıları
cn =f (n)(a)
n!
formulu ile verilir.
cn nin bu formulu serideki yerine yazıldıgında, f nin a noktasındabir kuvvet serisi gostermi varsa, bu serinin
f(x) =∞∑n=0
f (n)(a)n! (x− a)n
= f(a) + f ′(a)1! (x− a) + f ′′(a)
2! (x− a)2 + f ′′′(a)3! (x− a)3 + · · ·
(8)olması gerektigi gorulur.Denklem 8 deki seriye f fonksiyonunun a noktasındaki(veya acevresindeki veya a merkezli) Taylor Serisi denir.
a = 0 ozel durumunda Taylor serisi
f(x) =
∞∑n=0
f (n)(0)
n!xn = f(0) +
f ′(0)
1!x +
f ′′(0)
2!x2 + · · · (9)
serisine donusur. Bu seri ile sıkca karsılasıldıgından, ona ozel bir adverilerek, Maclaurin serisi denir.
Ornekf(x) = ex fonksiyonunun Maclaurin serisini ve bu serininyakınsaklık yarıcapını bulunuz.
Cozum : f(x) = ex ise, her n icin f (n)(x) = ex ve buradan daf (n)(0) = e0 = 1 olur. Dolayısıyla f nin 0 cevresindeki Taylor serisi(yada Maclaurin serisi)
∞∑n=0
f (n)(0)
n!xn = 1 +
x
1!+
x2
2!+
x3
3!+ · · ·
olur.
Bu serinin yakınsaklık yarıcapını bulmak icin an = xn
n! diyelim.Buradan n→∞ iken∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ xn+1
(n + 1)!· n!
xn
∣∣∣∣ =|x|
n + 1→ 0 < 1
bulunur, ve oran testinden, seri her x icin yakınsaktır ve yakınsaklıkyarıcapı R =∞ olur.
Teorem 1.3 ve Ornek 1.14 den ex fonksiyonunun 0 cevresinde birkuvvet acılımı varsa,
ex =
∞∑n=0
xn
n!(10)
olması gerektigi sonucunu cıkarırız.
Ozel olarak, Denklem 10 de x = 1 alırsak, e sayısını sonsuz birserinin toplamı olarak yazmıs oluruz:
e =
∞∑n=0
1
n!= 1 +
1
1!+
1
2!+
1
3!+ . . .
Ornekf(x) = ex fonksiyonunun a = 2 deki Taylor serisini bulunuz.
Cozum : f (n)(2) = e2 oldugundan Taylor serisinin tanımında a = 2yazarsak
∞∑n=0
f (n)(2)
n!(x− 2)n =
∞∑n=0
e2
n!(x− 2)n
elde ederiz. Bu serinin yakınsaklık yarıcapının da R =∞ olduguOrnek 1.14 deki gibi gosterilebilir.
Ornekf(x) = sinx fonksiyonunun fonksiyonunun Maclaurin serisinibulunuz.
Cozum : Hesaplamalarımızı iki sutun halinde yazalım:
f(x) = sinx f(0) = 0
f ′(x) = cosx f ′(0) = 1
f ′′(x) = − sinx f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = − cosx f ′′′(0) = −1
f (4)(x) = sinx f (4)(0) = 0
Turevler her dort derecede bir aynı olacagı icin Maclaurin serisini
f(0) +f ′(0)
1!x +
f ′′(0)
2!x2 +
f ′′′(0)
3!x3 + . . .
= x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ . . . =
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!
olarak yazılabilir.
Bazı onemli Maclaurin serileri:
1
1− x=
∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . (−1, 1)
ex =
∞∑n=0
xn
n!= 1 +
x
1!+
x2
2!+
x3
3!+ . . . (−∞,∞)
sinx =
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!= x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ . . . (−∞,∞)
cosx =
∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ . . . (−∞,∞)
tan−1 x =
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1= x− x3
3+
x5
5− x7
7+ . . . [−1, 1]
