Somas de Riemann e Integração Numérica - wp.ufpel.edu.br · 1.2 Integral Definida Problemas de...
Transcript of Somas de Riemann e Integração Numérica - wp.ufpel.edu.br · 1.2 Integral Definida Problemas de...
Somas de Riemann e Integração Numérica
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga
Introdução
1.1 Áreas e distâncias
1.2 Integral Definida
Problemas de tangente e de velocidade
Derivada
Problemas de área e distância
Integral Definida
1.1 Áreas e distâncias
O PROBLEMA DA ÁREA
, ,0S x y a x b y f x
Achar a área de uma região S que está sob a curva y=f(x) de a até b. Isto significa que S está limitada pelo gráfico de uma função contínua f (onde ), as retas verticais x=a e x=b e o eixo x.
Qual o significado da palavra área?
( ) 0f x
EXEMPLO 1
No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Uma ideia similar à que usamos para definir uma tangente, aproximando a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Aqui aproximaremos a região S por retângulos e então tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos. Use retângulos para estimar a área sob a parábola abaixo:
Suponha que S seja dividida em quatro faixas .
Podemos aproximar cada faixa por um retângulo de base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.
1 2 3 4, , S S S e S
Alturas são valores da função nas extremidades direitas dos subintervalos: Subintervalo Altura
2
2
1 10,
4 4
1 1 1,
4 2 2
2
2
1 3 3,
2 4 4
3,1 1
4
2 2 2
2
4
1 1 1 1 1 3 1 15. . . . 1 0,46875
4 4 4 2 4 4 4 32R
0,46878A
2 2 2
2
4
1 1 1 1 1 1 3 7. 0 . . . 0,21875
4 4 4 4 2 4 4 32L
0,21875 0,46878A
0,2734375 0,3984375A
8 80,2734375 0,3984375L R
0,3333335A
Dos valores da tabela parece que aproxima-se de à medida que aumentamos n. Vamos confirmar isso: EXEMPLO 2: Para a região S do Exemplo , mostre que a soma das áreas dos retângulos aproximantes superiores tende a , isto é: RESOLUÇÃO:
1lim
3n
nR
2 2 2 21 1 1 2 1 3 1
...n
nR
n n n n n n n n
1/ 3
1/ 3
nR
1
2 2 2 2
2
1 1. 1 2 3 ... n
n n
2 2 2 2
3
11 2 3 ... n
n
Utilizamos aqui a fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos (demonstrada no Apêndice E do Stewart):
2 2 2 21 2 1
1 2 3 ...6
n n nn
3 2
1 2 1 1 2 11
6 6n
n n n n nR
n n
2
1 2 1 1 1 2 1lim lim lim
6 6n
n n n
n n n nR
n n n
1 1 1 1 1lim 1 2 .1.2
6 6 3n n n
1lim lim
3n n
n nA R L
Vamos usar regiões S mais gerais que a do Exemplo Começamos por subdividir S em n faixas como na figura abaixo: A largura do intervalo [a,b] é b-a; assim, a largura de cada uma das faixas é: Essas faixas dividem o intervalo [a,b] em n subintervalos:
b ax
n
0 1 1 2 2 3 1, , , , , ,..., ,n nx x x x x x x x
1 2.e
Onde As extremidades direitas dos subintervalos são:
1
2
3
2
3
...
x a x
x a x
x a x
1 2 ...n nR f x x f x x f x x
0 .nx a e x b
DEFINIÇÃO:
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:
1 2lim lim ...n nn n
A R f x x f x x f x x
0 1 1lim lim ...n nn n
A L f x x f x x f x x
Podemos tomar a altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i-ésimo subintervalo
* * *
1 2lim ... nn
A f x x f x x f x x
Pontos amostrais
*
ix 1[ , ].i ix x
Usando a notação de somatória (sigma): 1 2
1
...n
i n
i
f x x f x x f x x f x x
1
1
1
*
1
lim
lim
lim
n
in
i
n
in
i
n
in
i
A f x x
A f x x
A f x x
O PROBLEMA DA DISTÂNCIA
Estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo de tempo de segundos. Distância = velocidade x tempo
(7,5 5) (9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (13,9 5) 342m
(9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (12,5 5) 367m
1
1 1
lim ( ) lim ( )n n
i in n
i i
d f t t f t t
30
1.2 A integral definida
DEFINIÇÃO:
Se f é uma função contínua definida em a≤x≤b, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais . Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos, de forma que esteja no i-ésimo subintervalo Então a integral definida de f de a a b é
desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [a,b]
* * * *
1 2
1
lim lim ...n
i nn n
i
A f x x f x x f x x f x x
*
1
( ) limnb
ia n
i
f x dx f x x
( ) /x b a n
* * *
1 2, ,... nx x x0 1 2( ), , ,... ( )nx a x x x b
*
ix 1[ , ].i ix x
( )f x
Sinal de integral introduzido por Leibniz
*
1
n
i
i
f x x
Integrando
,a b Limites de integração, inferior e superior
Soma de Riemann
( ) ( ) ( )b b b
a a af x dx f t dt f r dr
“Uma mente criativa, ativa e
verdadeiramente matemática, e de uma
originalidade gloriosamente fértil”
Gauss
1826 1866
Se f(x)≥0
*
1
n
i
i
f x x
A soma de Riemann é a soma de áreas de retângulos
( )b
af x dx
A integral é a área sob a curva y=f(x) de a até b
Se f(x)assumir valores positivos e negativos:
A soma de Riemann é a soma das áreas dos retângulos rosas menos os azuis
1 2( )b
af x dx A A
CÁLCULO DE INTEGRAIS
Para trabalhar com somas precisamos de três fórmulas para as somas de potências de inteiros positivos:
1
( 1)
2
n
i
n ni
2
1
( 1) 2 1
6
n
i
n n ni
2
3
1
( 1)
2
n
i
n ni
1
n
i
c nc
1 1
n n
i i
i i
ca c a
1 1 1
( )n n n
i i i i
i i i
a b a b
1 1 1
( )n n n
i i i i
i i i
a b a b
EXEMPLO 3:
A. Calcule a soma de Riemann para tomando como
pontos amostrais as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6
B. Calcule
RESOLUÇÃO:
A. Com n=6, o comprimento de intervalo é
As extremidades direitas são:
Logo a soma de Riemann é:
33
0( 6 )x x dx
3 0 1
6 2
b ax
n
6
6
1
i
i
R f x x
3( ) 6f x x x
1 2 3 4 5 60,5, 1, 1,5, 2, 2,5 3.x x x x x e x
6 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0R f x f x f x f x f x f x
1
2,875 5 5,625 4 0,625 92
3,9375
3b ax
n n
3
3
01 1
3 36 lim lim
n n
in n
i i
ix x dx f x x f
n n
3
31
3 27 18lim
n
ni
i in n n
3
1
3 3 3lim 6
n
ni
i i
n n n
B. Com n subintervalos, temos:
Assim, e em geral . Utilizando as extremidades direitas, podemos usar a equação:
0 1 2 30, 3/ , 6 / , 9 /x x n x n x n 3 /ix i n
281 1 1
lim 1 27 14n n n
81 2727 6,75
4 4
2
4 2
1 181 54lim
2 2n
n n n n
n n
3
4 21 1
81 54lim
n n
ni i
i in n
3
31
3 27 18lim
n
ni
i in n n
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA:
1. 2. 3. 4. 5.
( )b
acdx c b a
( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
( ) ( )b b
a acf x dx c f x dx ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( )c b b
a c af x dx f x dx f x dx
( ) ( )a b
b af x dx f x dx
( ) 0b
af x dx
Se b<a:
Se a=b:
PROPRIEDADE 1:
PROPRIEDADE 2:
( )b
acdx c b a
( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
PROPRIEDADE 5:
( ) ( ) ( )c b b
a c af x dx f x dx f x dx
PROPRIEDADE 8:
PROPRIEDADES COMPARATIVAS DA INTEGRAL: 6. 7. 8.
( ) 0b
af x dx
( ) ( )b b
a af x dx g x dx
( ) ( ) ( )b
am b a f x dx M b a
Se f(x)≥0 para a≤x≤b, então
Se f(x)≥g(x) para a≤x≤b, então
Se m≤f(x)≤M para a≤x≤b, então