Soluzione numerica dello stato fessurativo in lastre piane di muratura ordinaria o armata

A numerical mode1 af pIain or reinforced masonry behaviour in postcracking

stages)

A. Bernardini ( .. ) . P. Rosse tto ( .... ) tA. Sproccati ( .*). R. Vi taliani ( .. )

(* l Istituto Costr uzioni, Ponti e Strade, Università di Padava, Ita!y.

(* *) Structural Civil Engineering Doctor, Università di Padova. Italy.

Vengono presentati i ri s ultati dell ' analisi per elementi finiti della

evoluzione dello stato di tensione con l'evolversi delle fessurazi on i in

pannelli di muratura semplice e armata; la simulazione numerica si riferisce

alle p r ove sperimentali condotte pressa l'Università di Padava ed il labora-

t orio ZRMK di Ljubljana nell' ambi to di una ricerca sulle caratteristiche

d i deformab i lità e di resistenza a rottura delle strutture murarie ordinarie

e armate , con parti colare ri :ferimento a solleei tazioni di origine sismica .

Tali simulazioni consentono di studiare i complessi meccanismi di rottura

delle murature ordinarie e arma te , eonfermando e indirizzando le parall ele

indagini sperimentali .

rI programma e utilizzabile inoltre per la simulazione di strutture di

c.a. e quind i per esempio per lo studio dell'effetto di tamponature di mura -

tura in telaio di c . a., e per 1 'analisi di problemi di " contatto unidire-

ziona le".

ABSTRACT -------A finite element analysis o:f postcracking stages of plain or re i n forced

masonry panels is presented.

This numerical analysis was carried out to obtain theo retical models o:f

the behaviour of masonry walls, tested during a joint research program per-

formed by University of Padova (Italy) and ZRMK Laboratory Ljub l jana,

Yugoslavia) . on the resistance and deformability, particularly in the seismic

situation , of masonry structures .

The analysis can be used to study failure mechanism of plain or reinfo reed

masonry walls, and to interpret and enhanee experimental results .

995

The routine here presented can also simulate r . C. structural elements,

or r.c. frames with infilled masonry panels.

1. - PREMESSE

Lo sviluppo assunto negli ultim i anni dalle procedure numeriche

per elementi fini ti per la simulazione dei comportamenti meccanici, lineari

e non lineari. dei materiali e delle strutture, ha reso disponibile uno

strumento particolarmente efficace ed economico. che, accoppiato alIe tra­

dizionali tecniche di analisi sperimentale. consente di analizzare in modo

approfondito problemi strutturali di grande complessità. quali quelli che

devono essere affrontati per I' analisi di strutture in campo post-elastico.

Solo pill recentemente e iniziata l' applicazione di tale metodologia nel

campo delle strutture in muratura ordinaria e arma ta , per la cui simulazione

e necessario risolvere e rappresentare in modo efficiente complessi compor­

tamenti non lineari collegati alIe fessurazioni dei blocchi, delle malte

o alIe plasticizzazioni delle armature, nonche gli effetti collegati alIe

condizioni di disomogeneità ed' anisotropia, che già influenzano lo stesso

campo di comportamento elastico lineare.

Si tratta di problemi parzialmente simili a quelli affrontati per la slmu­

lazione di strutture a lastra di c.a., in parte perõ originali e tipici

delle murature.

Risul ta per tanto spesso nê possibile, ne economico per le murature I ' impie­

go di programmi general i sviluppati per lo studio deI c.a . .

11 programma che nel segui to verrà discusso si inqu.adra in questo campo

di ricerca, ed e stato sviluppato nell' ambi to di una ricerca sulle tecnologi e

di muratura armata, in particolare per quanto riguarda la loro applicazione

nel campo delle costruzioni in zona sismica.

Il modello auali tico qui introdotto interpreta l e · seguenti condizioni :

- non omogeneità ed anisotropia dei materiali;

- non linearità e dipendenza della storia di carico delle relazioni tra

tensione e deformazione;

- fessurazionei

- scorrimento o apertura dei giunti di malta;

- plasticizzazione delle barre di armatura;

- interazione fra armat ura e calcestruzzo. con possibilità di aderenza o

996

scorrimento.

11 progressivo affinamento deI metade degli elementi finiti, appl ica to

a ll'analisi noo lineare. ha portato a rapidi progressi nello studio anali tico

di strutture in calcestruzzo arma to ed in particolare nell'interazione acciaio-

calcestruzzo .

Mentre alcuni studiosi hanno condotto la ri cerca su strutture coo f essure

predefini te Ngo e Scordelis / 4/ ). la maggior parte di essi ha preferi to

indagare sulla propagazione delle fessure, accettando c he la rottura, anziche

s vilupparsi lungo una linea, interessi per intero g1i elementi, ortogonal-

mente alIa direzione della tensione princ ipale di trazione.

Tale scelta, :fatta. tra gli altri, da Franklin, Valliapan, Abbasi e Colville,

Nam , CedoUn e De Poli / 12.13 ,2,14 ,15/ e piu generale. in quanto consente

d i seguire 1 'evolvere della fessurazione e la distribuzione dell e tensioni

c onseguente ad e ssa , risentendone peraltro la precisione nel comportamento

l ocale ( tensioni presso le fessure ).

Piu recentemente analoghe procedure sono state applicate aUa simulazione

de l comportamento dei pannelli di muratura sottoposti a stati piaoi di tensio-

ne mediante schematizzazioni a mic romodellazione, che descrivono tutti i

componenti delle strutture coo il l o r o mutuo collegamento, o c on macromodella-

zione rispecchiante il comportamento medio delle strutture murarie, Page

/ 10/11 / , Arya e Hegemier /12/ .

l'elemento usato piu comunemente e il !~l!~g~~_~_~~azio~~~tante

/4 ,13, 14,15 ,16/ . Tuttavia tale elemento, oltre ad essere eccessivamente

rigido /3/, mal si presta ad essere abbinato con l'armatura.

Secondo Schnobrich /3/ , perõ , i risultati dell'element~ __ ~g~la~~

guattro nodi a variazione lineare degli spostamenti lungo i bordi, il cui

s tato di tensione viene valutato basandosi sui valori nel punto central e ,

sono piu soddisfacenti di quelli ottenibili daI la versione condensata dei

quattro triangoli a tensione costante.

Si e scelto di utilizzare prevalentemente quindi l/elemento rettangolare

a quattro nodi suddividendolo perà in sottoregioni di verifica dello stato

tensionale .

Nemmeno i procedimenti di calcolo sono unificati.

997

•

I primi storicamente sviluppati sono basati sulla modifica ., step by step"

della matrice di rigidezza e sono stati successivamente migliorati per ottenere

procedure piu. efficienti, o piu accurate, o piu generali . ( Yuzugullu. Darwin

/ 6.17/).

Piu. recentemente sono state sviluppate procedure piu. efficienti basate

su soluzioni iterative a rigidezza costante e generalmente pari a quell a

iniziale elastica, Colville, J. e Abbasi , J.; Zienkiewicz e altri, / 2,9/}.

di questa seconda categoria e il metodo qui impiegato che si ê dimostra to

particolarmente efficace, anche con I' utilizzazlone deI metodo frontal e

/20/. ed aI tri particolari cri teri atti ad aumentarne la convergenza /1 /.

11 programma nella versione attuale prevede elementi finiti rettangolari

a quattro nodi ), triangolari ( a tre no:ti ). isoparametrici ( 4,8,12, 16

nodi), nonche gli elementi di giunzione e monodimensionali, entrambi a 2

nodi.

La possibili tà di utilizzare l' elemento monodimensionale condensandolo

in quell0 rettangolare /8,2/, consente di descrivere qualsiasi geometr ia

della armatura senza subordinace ad essa la àiscretizzazione della struttura.

3. ~ÇQ2I!TUTIVE E CRITERI DI ROTTURA

3.1 Comportamento degli eIementi bidimensionali.

11 comportamento non lineare di eIementi finiti bidimensionali di calcestruz­

zo o muratura soggetti a stati piani di tensione e caratterizzato dall' anda­

mento tensione":deformazione neIIe due direzioni principal i , valutato a partire

dai dati sperimentali e daIle conseguenti curve teoriche in stato monoassial e

proposte e usa te da vari autori, /7,8/; per stati biassiali viene utilizzato

il procedimento" della deformazione monoassiale equivalente" /6/.Le espressioni

analitiche e le caratteristiche delle curve sono riassunte nella tabel1a

della Fig. 1.

Pur essendo state proposte inizialmente per il calcestruzzo. tali espres­

sioni, particolarizzando opportunamente i valori dei parametri, consentono

di schematizzare anche il comportamento delle murature.

Per quanto ri guarda la muratura occorrerebbe perõ mettere in conto gl i

effetti di anisotropia di deformabili tà e di resistenza collegati aUa dispo­

sizione dei giunti di malta e all'impiego di blocchi forati.

Ciõ richiede l'utilizzazione di leggi costitutive e criteri di resistenza

998

di tipo ortotropo /19/. Come verrà indicato nel segui to perô. risultati

ottimamente approssimati possono essere ottenuti con elementi finiti di

tipo isotropo, particolareggiando in modo opportuno le costanti elastiche,

a partire dai dati sperimentali di resistenza e deformabilità delle murature

nelle due direzioni principali di anisotropia.

Si segnala in particolare che. in presenza di rilevanti azioni taglianti

agenti sui piani dei giunti di malta, il modulo G rilevato sperimentalmente

risul ta considerevolmente inferiore aI valore teorico E/2. (1+ V ), se le

costanti E, '11 sono rilevate su prove di compressione vertical e / 18/.

Per quanto ri guarda infine il cri terio di rottura per stati di tensione

biassiale. la Fig. 2 mostra il criterio di interazione fra le tensioni princi-

pali suggerito da Kupfer. Hilsdorf, e Rüsch /5/.

Nel modello anali tico si ê adottato il piu semplice cri terio di rottura

indicato in Fig. 2, già usato anche da altri studiosi /6,9/.

3.2 Comportamento della malta

La presenza della mal ta viene ·· schematizzata tramite l' elemento giunzione

per il quale si valutano le sollecitazioni in direzione ortogonal e ( a )

e paraI leIa aI giunto (t"). Per ciascuna di queste due direzioni si considera

un legame lineare tra tensione e deformazione. neIla fase precedente la

rottura. con . rigidezza Kh e Kv

IL meccanismo di rottura nei giunti di malta coinvolge l'interazione fra

tensione normale e tangenziale. Come curva inviluppo si ê scelta quella

proposta da Page /10/ e rappresentata in Fig. 3.

La Fig. 4 mostra un possibile andamento della tensione tangenziale in

funzione dello scorrimento nel caso a resti costante.

Va nota to tuttavia che la tensione normal e a in general e variabile.

influenza la forma deI diagr-amma (t"- r) in carico e scarico. Infatti la tensione

tangenziale dovrà sempre essere inferiore alIa tensione massima sviluppabile.

3.3 Comportamento dell'acciaio

L' acciaio delle armature viene schematizzato come materiale elasto-plastico

ideale, limitato alIa massima deformazione

3.4 Comportamen~o dell'aderenza

Si ammette che la tensione di aderenza non di penda dalla tensione ortogo-

nale alIa barra; la legge (tensione -scorrimento relativo € )assurita e diagram­r

999

mata in F'ig. 5:

Oltre E (scorrimento ultimo relativo, si ammette che non vi sia piu aderen­ur

za tra barra e calcestruzzo.

Espressione a~~litica Grafico

-. 11- I ... (E-2) ~

E~<-e"el (cc-ou)

0 -0-

(Je ' --" __ "

Curva

I nv i I uppo e (e

l -Ea)

E I < -E < Eu

<>0

o - Ou

° -E E C

o - (,- ,~[~, -,,) ' o/!'Ã""J A .O .225f.;2 -1 .225~ +1.85

A A

Curva di

scarico

, -,- 'lI, +.) (0+ E. ) A A A

Q_O.1175 r A

Cuva di

ricarico O-E6(,-,,)I(',6 )

6 -0,1002 ~ A

1) Kupfer,Hilsdorf,Rüsch in balf a prove speri ­.enta I

2) Assunlo neI oo'y) 9 ana I tlco

Fig. 2 f--"

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COllento

In co.pressione: raao ascendente iperboli­co con\tg.oriZjOntale nel putltq cO'!'c' e tg. lnlHa e pari a E ;

c ra_o discendente composto da una spe22ata.

In t razione: comporta~en~o lineare fino aI r~ggíungl~ento ~ella . maSSl~a tenslone di trazlo­ne cqn conseguente rottura fr3g11e.

Curva di scarico paraboli­", Curva di ri carico rettili­nea. la po~izione dli p'unti P e.O.dIPendr so o aaIla po­SIZlone de punto A.

La forma delle curve 9i carico ~ scarico e qUlndi 11 energla dissipata nl' cic~o e governata dai a poslzione dei punto A.

F ig. 1

-'

"

Fig. 3

-----------~

4. ESEMPI APPLICATIVI

Si riportano nel segui to aleuni esempi applicativi, i1 cui confronto coo

risul taU sperimentali disponibili permette di stimare il grado di precisione

della corrispondente simulazione.

4.1 11 primo esempio ri guarda la simulazione deI comportamento meccanico

di un pannello di muratura ordinaria. confezionato coo blocchi di laterizio

narmale tipo DOPPIO UNI. coo percentuale di foratura deI 41.5%. resisten-

za caratteristica a compressione. sull'area lorda in direzione parallela

ai fori, pari a 20 MPa) e malta bastarda di calce e cemento ( resistenza

c aratteristica a compressione pari a 14 MPa). soggetto alIa prova di compres-

s ione diagonale Fig . 6 a Nella Fig. 6 b ê indicata la micro-modellazione

distinta dei blocchi e dei giunti di malta, nonche i v':llori dei parametri

di rigidezza e resistenza definiti nel § 3.

La curva analitica 6 e indica il valore deI carico O corrispondente aI

valore de110 spostamento verticale O prefissato, e variabile in modo ciclico

unidirezionale: la curva 6 f il valore della corrispondente deformazione

orizzontale . Si osservano effetti di " caduta di resistenza" del pannello

in corrispondenza deI punto di rottura (8), effetti non rilevabili r.elle

curve sperimentali 6 c e 6d, ottenute durante una prova a foria imposta,

nelle quali i tratti tratteggiati indicano posizioni di equilibrio non stabi-

lizzato. Nelle Fig. 6 g,h,i,l e indicato, per due livelli significativi dello

spostamento imposto, lo stato fessurativo dei blocchi e dei giunti e la

deformata deI pannello amplificata di 50 volte.

Si evidenzia in particolare lo schiacciamento dei blocchi angolari per

superamento della deformazione limite deI 2.5%) • schiacciamento evi tato

nella prova sperimentaIe mediante il dispositivo di ripartizione deI carico

indicato in Fig. 6 a . . ,

4.2 11 secondo esempio riguarda la simuIazione di una prova a rottura per

spinta laterale di un pannello di muratura arma ta precompresso, secondo

lo schema indicato in Fig. 7 a e ampiamente descri tto in /18/.

In Fig . 7 b sono indicate le caratteristiche geometriche deI pannello,

realizzato coo blocchi di laterizio aIveolato a fori verticali ( percentual e

di foratura: 45.5% ) e Ieggera armatura orizzontale e vertical e ( percentuale

totale su11' are a lorda: 1%0). I fori in cui e inseri ta l' armatura verticaIe

1001

sono iniettati con malta cementizia.

La micro-modellazione numerica prevede (Fig. 7 d) elementi finiti bidimen­

sionali delle armature, puntuali dei giunti di interfaccia fra i blocchi

( giunti di malta ) e fra i blocchi e malta iniettata, fra blocchi e armatura

orizzontale, ed infine fra blocchi dei corsi superiore ed inferiore e le

strutture di contrasto deI pannello, per simulare l'effetto deUa progressiva

parzializzazione della zona di appoggio, aI crescere deUa spinta laterale

H. E' supposta invece aderenza perfetta fra mal ta iniettata e armatura verti­

cale.

11 confronto indicato in Fig. 7 c evidenzia la buona approssimazione della

curva inviluppo dei cicli sperimentali ottenuta con una prova simulata di

deformazione imposta mono tonicamente crescente, almeno nel campo iniziale

di comportamento sostanzialmente elastico. La successiva fase caratterizzata

da notevoli scorrimenti e distacchi dei giunti, evidenzia una maggiore rigi­

dezza deI pannello reale rispetto aI modello assunto. Ne risulta comunque

una valutazione abbastanza corretta deI massimo sforzo H.

11 quadro fessurativo dei blocchi e dei giunti d i malta e indica to in

Fig. 7 e. in corrispondenza a tre fasi significative deI carico . In Fig.

7 f il distacco alterno fra blocchi ed i nuclei verticali di malta cementizia

armata, evidenzia I' effetto " spinotto", c he risul ta significativo agli

effetti della trasmissione dello sforzo tagliante H.

In Fig. 7 g sono evidenziate le tensioni deUe armature; si OBserva come,

in prossimi tà della rottura (punto( 13)), la tensione nelle staffe orizzonta­

li approssimi la tensione di snervamento, in corrispondenza alIe sezioni

dei blocchi fessurati a trazione.

4.3 IL programma consente di simulare anche storie di carico piu complesse

e variabili ciclicamente .

In Fig. 8 e indicata la simulazione deI comportamento di un pannello sot­

toposto ad un ciclo simmetrico di deformazione imposta con condizione di

vincolo e di carico indicati e corrispondenti alIe prove eseguite con la

procedura sperimentale presso il laboratorio ZRMK di Ljubljana /18/.

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Fig. 8 ZRMK ( ljubljana) tyclic shear test .acro-.odel

Le procedure di calcolo oggi disponibili consentono di risolvere problemi

anche complessi di simulazione coo tempi di cal co 10 moI to ridotti dell'or-

dine di alcuni minuti per gli esempi sopra esposti). e quindi con costi

notevolmente inferiori a quelli di sperimentazione diretta; risultano pertan-

to convenienti indagini sviluppate in parallelo con l o strumento numerico

e sperimentale.

Tempi e costi di ca lcolo aumentano perõ rapidamente aI crescere della

complessi tà dei problemi trattati. L I interesse di taU procedure noo e perõ

collegata alla possibiUtà di simulare il comportamento complessivo di co-

struzioni murarie, ma di anali zzare in modo approfondi to comportamenti

"localilt (ad es. di singoli pannelli compres i fra f orature. di pannelli vinco-

lati ai so l ai , eventualmente con fori, ecc.), dai quali perõ sostanzialmen-

te dipende, almeno per edifici costrui ti . con una certa " regolarità tl• la

loro sicurezza globale,ad esempio sotto azione sismica.

Su tali problemi sono in corso attualmente ulteriori indagini numeriche

e sperimentali.

1005

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