Physique statistique des systèmes désordonnées en basses ...
Solutiondel’ Examen du Cours « Physique des basses...
Transcript of Solutiondel’ Examen du Cours « Physique des basses...
Solution de l’Examen du Cours « Physique des basses températures »
29 janvier 2014
Partie « Techniques de refroidissement », C. Hoffmann
10 points + 1 point bonus, durée 1h Calculatrice autorisée ; documents interdits
On donne : constante de Stefan-Boltzmann σ = 5,7 10-8 W/ (K4 m2) 1 Atm = 101325 Pa = 1,01325 bar = 760 torr
En annexe, vous trouverez différents formules et tableaux qui vous seront utiles pour répondre aux questions. Un cryostat pour étudier la physique du solide à basses températures
On se propose de réaliser un cryostat cylindrique, adapté à des expériences entre 1 K et 4,2 K d’une durée entre 5 et 10 jours sans réchauffement.
1.) (1,5 pt) Pour commencer, on supposera que le cryostat est constitué d’un écran extérieur à 300 K et d’une enceinte intérieure à 4,2 K remplie d’He 4 liquide, sans autre écran intermédiaire. L’écran extérieur est en Inox avec une émissivité ε = 0,15 et l’enceinte intérieure est en cuivre poli avec une émissivité ε = 0,02.
Négligeant pour l’instant toutes les pertes possibles, excepté le rayonnement, quelle serait l’autonomie d’un tel cryostat ? Pour simplifier les calculs, on suppose que la surface intérieure et la surface extérieure sont identiques et que le cylindre est complètement fermé. Compte tenu de la place que prend la canne de mesure et de la hauteur maximale de remplissage, on ne peut remplir que 80 % du volume du cylindre avec de l’Hélium liquide. Dimensions : diamètre D = 35 cm ; hauteur H = 100 cm.
Pr = σ E A1 (Tchaud4-Tfroid
4) = 10,8 W avec E = 0,018 ; A1 = π (0,5 D² + DH) = 1,3 m²
Consommation de l’hélium : Pr * Taux d’évaporation = 10,8 W * 1,4 l/W/h = 15 l/h
Volume du cryostat : V = pi/4 D² H = 96 dm3 ; dont 80% rempli avec LHe : 77 l
Autonomie : 5,1 h << 10 jours
Comparez cette autonomie avec l’autonomie souhaitée, à savoir 10 jours, pour ne pas perturber l’expérience avec un remplissage du réservoir.
2.) Pour augmenter l’autonomie du cryostat, on ajoute un écran intermédiaire (en pointillé sur le schéma).
On suppose, par exemple, un écran en cuivre avec ε = 0,02.
a.) (2 pt) Discutez les 3 possibilités suivantes pour refroidir cet écran à une température entre 50 K et 100 K (principe physique sous-jacent ; faisabilité et mise en œuvre ; aspects économiques, …) :
I.) utilisation des vapeurs froides du bain d’Hélium 4
Principe : chaleur spécifique de l’hélium -> enthalpie sensible entre 4 K et 50 .. 100 K est importante et bien plus grande que la chaleur latente ; en utilisant les vapeurs froides on peut en principe refroidir des écrans en assurant une grande surface d’échange.
Est-ce possible ici ? Supposons, le cas le plus favorable, une température de l’écran de 100 K ; calcul de la chaleur arrivant sur cet écran 2 : P1 = σ E A1 (Tchaud
4-Técran24) = 10,7 W ; avec E = 0,018
Est-ce qu’elle peut être compensée par l’enthalpie sensible des vapeurs d’hélium qui résultent de l’évaporation du bain due à la chaleur arrivant sur l’écran 3 ? Chaleur arrivant sur l’écran 3 : P2 = σ E A1 (Técran2
4-Técran34) = 0,074 W ; avec E = 0,01
ce qui conduit à une évaporation d’hélium liquide de P2 * 1,4 l/W/h = 0,1 l/h. Enthalpie sensible : H = R/M*(100 – 4) = 5,2 J/g/K * 96 K = 500 J/g = 62,5 kJ / l ce qui conduit à une puissance froide de 62,5 kJ / l * 0,1 l/h = 1,7 W ce qui n’est pas suffisant, même si on compte un peu plus de pertes par d’autres canaux ! il faudrait ajouter un quatrième écran.
II.) refroidissement à l’azote liquide
Principe : énergie nécessaire pour l’évaporation du liquide est retirée de l’écran ; chaleur latente LN2 = 161 kJ/l
Faisabilité : oui, il faut coupler un réservoir d’une vingtaine de litres à l’écran intermédiaire. Evaporation 0,022 l / W / h * 10,7 W = 0,24 l /h. Un remplissage tous les 3 à 4 jours.
très économique car l’azote ne coute pas cher du tout
III.) utilisation d’une machine cryogénique mono-étage
Principe : détente d’un gaz dans un cycle Stirling (2 isothermes, 2 isochores) ou Ericsson (2 isothermes, 2 isobares) fournit la puissance froide ; déplaceur mécanique
ou piston gazeux à froid ; un régénérateur à froid pour absorber / rendre de la chaleur lors du cycle
Faisabilité : besoin typiquement de qqs kW électrique ; coupler le doigt froid de la machine à l’écran 2
Economique ? si on utilise une machine (coût qqs dizaine de k€), pourquoi pas utiliser une machine bi-étage pour faire du 2 .. 4 K aussi et s’affranchir complètement des liquides cryogéniques ?
Avantage : presse-bouton
b.) (3 pt) Pour le cas II :
Calculez le gain en autonomie, si on se limite de nouveau aux seules pertes par rayonnement.
En baissant la température de l’écran de 300 K à 77 K : P2 = 26 mW (avec E ≈ ε/2 = 0,01)
consommation de 0,04 l / h autonomie de 80 jours
On discute maintenant les autres pertes possibles :
Calculez les pertes dues à la conduction thermique du col entre l’écran intermédiaire et l’enceinte à 4,2 K. Le col est en Inox. Il a une longueur L = 15 cm, un diamètre d = 10 cm et une épaisseur e = 2 mm.
𝑃 = 𝜋𝑑𝑒𝐿 𝑘(𝑇) 𝑑𝑇 = 𝜋 10𝑐𝑚 0,2 𝑐𝑚
15 𝑐𝑚,3,49 𝑊𝑐𝑚 = 0,42𝑐𝑚 3,49 𝑊𝑐𝑚 = 1,46 𝑊
Ces pertes sont surestimées par rapport à des mesures qu’on effectue sur le cryostat. Expliquez pourquoi.
Les vapeurs d’He qui remontent refroidissent le col –> une diminution significative de Pcond.
A part le rayonnement et la conduction via le col, quelles pertes (mécanismes de transfert de chaleur) sont également à surveiller dans un tel cryostat ?
- convection : un vide < 10-4 mbar ; du charbon actif pour absorber les gaz résiduels à froid
- conduction par les supports / fixations mécaniques : utiliser des matériaux mauvais conducteurs thermiques (inox), des sections creuses et de faible épaisseur
- conduction via la canne de mesure et les fils électriques pour mesurer l’échantillon et les thermomètres: thermaliser sur les étages intermédiaires
- rayonnement via le col -> mettre des écrans
c.) (1 pt) Pour le cas III :
Expliquez brièvement les différences entre une machine Stirling, une machine Gifford MacMahon et un tube à gaz pulsé. Quelle machine favoriser si votre mesure est sensible aux vibrations du cryostat ?
Stirling : piston à chaud – doigt froid est forcément à proximité du volume chaud
Gifford-Mac Mahon : à l’entrée, une alternance entre haute (20 bar) et basse (8 bar) pression une vanne qui est connecté à un compresseur -> le compresseur peut être déplacé loin de la manip
Tube à gaz pulsé : piston gazeux ; n’a pas de pièce mobile à froid
3.) (1,5 + 0,5 pt bonus) A la bride en cuivre, refroidi à 4,2 K, on couple un échantillon métallique de capacité thermique C via une tige métallique représentant une résistance thermique RTh. Quelle est l’expression de la constante du temps τ du refroidissement ?
τ = RTh * C
Unités : RTh = L / k(T) / S en K/W (avec L longueur de la tige, S section de la tige, k(T) conductivité thermique) et C en J/K (c’est le Cp multiplié par la masse de l’échantillon)
[Bonus : Justifiez qu’à basse température et en bonne approximation, elle est indépendante de la température.]
RTh ~1/k(T) ~ 1/T et C ~ T donc τ indépendant de T
Quelles précautions doit-on prendre si on relie des pièces différentes à basse température ?
- bien serrer les vis car sinon résistance de contact élevée
- si deux matériaux différents, attention à la différence dans les coeffs de dilatation thermique (casse ; desserrage ; …)
4.) (1 + 0,5 pt bonus) Ponctuellement, on aimerait refroidir l’échantillon à une température entre 1 et 2 K. Si on pompe directement sur le bain d’hélium, on perd environ 50% de la totalité du liquide. Expliquez la raison.
On passe la transition superfluide à 2,17 K avec un maximum dans la chaleur spécifique
Quelle solution alternative pouvez-vous proposer ? Boite à 1K connectée via un capillaire au bain. Bonus : Quels thermomètres utiliseriez-vous pour suivre le refroidissement du cryostat et pour une mesure précise de la température limite ? Justifiez vos réponses.
Par exemple : Pt ou carbone pour le refroidissement (bon marché et bonne gamme) ; Cernox ou RhFe pour mesurer autour de 1K (précis et facile d’utilisation dans cette gamme).
Annexe :
I. Propriétés de quelques liquides cryogéniques
II. Enthalpie [J/g] de quelques matériaux
∆𝐻 = 𝐶 (𝑇)𝑑𝑇 = 𝐻 −𝐻
III. Puissance transmise par conduction entre deux points de températures T0 et T1 via un matériau de conduction thermique k(T), de section S et de longueur L
𝑃 = 𝑆𝐿 𝑘(𝑇)𝑑𝑇
IV. Valeurs de l’intégrale de k(T) depuis 4,2K
V. Puissance transmise par rayonnement entre deux surfaces
41421 TTAEPr