Solusi Kuis Fisika Kuantum
-
Upload
muhammad-zaki -
Category
Documents
-
view
233 -
download
6
description
Transcript of Solusi Kuis Fisika Kuantum
1. Pada saat t = 0 diketahui fungsi Ψ(x,0) = Ax untuk daerah 0 ≤ x ≤ 1 dan Ψ(x,0) = A(2-x) untuk daerah 1 ≤ x ≤ 2 sedangkan sisanya Ψ(x,0) = 0.
a. Berikut akan dihitung koefisien normalisasi A.
∫−∞
∞
Ψ ¿Ψ dx=1
∫0
1
A2 x2dx+∫1
2
A2(2−x )2dx=1
Dengan mamnfaatkan ketelitian, maka didapatkan nilai A=√ 32b. Kita gambarkan saja grafik Ψ(x,0) dan dengan mudah dapat ditentukan
puncak maksimalnya, yakni probabilitas tertinggi untuk menemukan partikel, yakni di x = 1.
c. Berikut akan dihitung probabilitas menemukan partikel di daerah 0 ≤ x ≤ 1,25.∫0
1
(√ 32 )2
x2dx+∫1
1,25
(√ 32 )2
(2−x )2dx=101128
d. <x> = ∫−∞
∞
Ψ ¿x Ψ dx = ∫0
132x3dx+∫
1
232x (2−x)2dx = 1
<x2> = ∫−∞
∞
Ψ ¿x2Ψ dx = ∫0
132x2dx+∫
1
232x2(2−x)2dx = 1110∆x = √¿ x2>−¿x>¿2¿ = √0,1
2. Diketahui fungsi gelombang pertikel bermassa m yang terperangkap di dalam sumur potensial tak hingga.
Ψ ( x )= A√asin ( πxa )+√ 35 a sin( 3 πxa )+√ 15a sin( 5πxa )
a. Akan dihitung koefisien A agar fungsi gelombang ternormalisasi.
Ingat bahwa ∫0
a
sin ( nπxa )sin(mπxa )=a2 δ n ,m.∫−∞
∞
Ψ ¿Ψ dx=1
∫0
a
( A√a sin( 3 πxa ))2
+¿ (√ 35a sin( 3πxa ))2
+(√ 15a sin( 5πxa ))2
dx=1¿
a2A2
a+ a235a
+ a215 a
=1
A=√ 65
b. Nilai rata – rata energi dapat diperoleh dengan menurunakan persamaan berikut.
<E> = ∫−∞
∞
Ψ ¿H Ψ dx = ∫
0
a
∑n
An¿ √ 2a sin( nπxa )e
i En tћ (i ћ ∂∂t )∑m Am√ 2a sin(mπxa )e
−i Em tћ dx
= 2a∫0a Em∑n An¿∑m Am sin( nπxa )sin(mπxa )dx¿ 2aEn∑n
An¿∑m
Am a2 δn , m= ∑n
En An¿ An
Dengan En= ћ2π 2
2ma2n2
Ψ ( x )=√ 65a sin( πxa )+√ 35a sin( 3πxa )+√ 15a sin ( 5πxa ) Ψ ( x )=√ 610 √ 2a sin( πxa )+√ 310 √ 2a sin( 3πxa )+√ 110 √ 2a sin (5 πxa ) Ψ ( x )=A1√ 2a sin( πxa )+A3√ 2a sin( 3πxa )+A5√ 2a sin ( 5πxa )
<E> =ћ2π2
2ma (12 610 +32 310
+52 110 )= 29ћ2π2
10ma
c. Untuk menemukan partikel dengan tingkat energi dasar, probabilitasnya
dapat diketahui dari A12=610
=35
3. Diketahui proton dengan massa m memiliki energi 4 MeV = 6,4 10 -13 J dari potensial nol di x = 0 akan menembus inti atom dengan energi -12 MeV = -19,2 10-13 J.
a. Persamaan Schrodinger untuk daerah V(x) = 0 adalah sebagai berikut.E Ψ(x) = −ћ22md2Ψ (x)dx2
+ V Ψ(x)−2m(E−V )
ћ2 Ψ(x) = d2Ψ (x)
dx2, V = 0
Pilih k 2=2mE
ћ2 dengan solusi Ψ(x) = e−ikx−r e ikx
Persamaan Schrodinger untuk daerah V(x) = Vinti adalah sebagai berikut.
E Ψ(x) = −ћ22md2Ψ (x)dx2
+ V Ψ(x)−2m(E+V inti)
ћ2 Ψ(x) = d2Ψ (x)
dx2
Pilih k ' 2=2m(E+V inti)
ћ2 dengan solusi Ψ(x) = te−ik ' x
Sebagai syarat kekontinuan di x = 0 maka perlu digunakan relasi berikut.
1. Ψ1(0) = Ψ2(0)e−ik 0−r e ik0=te−ik ' 0 1−r=t
2. dΨ 1
dx(0 )=
d Ψ 2
dx(0 )
−k e−ik 0−kr eik 0=−k ' te−ik ' 0 1+r=k '
kt
Jumlahkan kedua persamaa, maka akan diperloleh
t= 2kk+k ' dan r= k−k 'k+k '
t= 2kk+k '
=2√ 2mEћ2
√ 2mEћ2 +√ 2m(E+V inti)
ћ2
= 2√E√E+√E+V inti
=23
r= k−k 'k+k '
=√ 2mEћ2 −√ 2m(E+V inti)
ћ2
√ 2mEћ2 +√ 2m(E+V inti)
ћ2
=√E−√E+V inti√E+√E+V inti
=−13
b. Probabilitas neutron untuk menembus inti dapat langsung dinyatakan dengan nilai transmitansi T dari hubungan berikut.1 = T + R1 = T + r*r1 – r*r = T
T = 1 - 19 = 89