SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA 2009 I
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1
Pregunta N.º 1
Un fabricante vende un artículo al mayorista
ganando p%, éste vende al minorista ganando q%
y el minorista al público obteniendo una ganancia
de t%. Si el precio del artículo al público es 1,716
veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma
de las cifras de (p+q+t).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
SoluciónTema
Tanto por ciento
Referencias
Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto
por ciento es el aumento sucesivo y las operacio-
nes comerciales, donde se cumple la siguiente
relación:
Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+ +Ganancia (G)
Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento
del precio de costo.
Análisis y procedimiento1. caso:
er
precio de la fábrica
C ( )%C100+p
p%
precio del mayorista
gana
MatemáticaTema P
2. caso:o
precio del mayorista
(100+ )%p ( )%(100+ )%p C100+q
q%
precio del minorista
C gana
3. caso:er
precio del minorista
t%precio al público
( )%(100+ )%p C100+q ( )%(100+ )%(100+ )q p C100+t
gana
Al final (3.er caso), tenemos:
(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C
100 100 100
100 10 0 10017161000
+( ) +( ) +( )× ×
=t q p
(100+t)(100+q)(100+p)=1716000Buscando factores enteros en el segundo miembro, mayores de 100, tenemos: (100+t)(100+q)(100+p)=110×120×130Entonces p+q+t=60cuya suma de cifras es 6.
Nota
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100 también, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=104×125×132
Entonces
p+q+t=61
cuya suma de cifras es 7.
En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 ó 7.
Respuesta
La suma de cifras de p+q+t es 6.
Alternativa A
UNI
SOLUCIONARIOExamen de Admisión UNI 2009-I
Matemática
2
Pregunta N.º 2
Tres números enteros m, n y p tienen una media
aritmética de 10 y una media geométrica de 9603
Halle aproximadamente la media armónica de
estos números, si n · p=120.
A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73
D) 9,93 E) 9,98
SoluciónTema
Promedio
Referencias
El promedio es un valor representativo de un
conjunto de datos; dependiendo de la forma de
cálculo tenermos:
• Media aritmética (MA)
MA = suma de datoscantidad de datos
• Media geométrica (MG)
MG n= Producto de datos
n: cantidad de datos
• Media armónica (MH)
MH = cantidad de datossuma de las inversas
de los datos
Análisis y procedimiento
De los datos tenemos
MA (m, n, p)=m n p+ + =
310 → m+n+p=30
MG (m, n, p)= m n p× × =3 3 960 → m×n×p=960
Además, por dato tenemos que n×p=120, como
m n p× × =120
960, entonces, m=8.
Nos queda que
n+p=22
n×p=120
de donde se obtiene
n=12 y p=10.
Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).
MH m n p( , , ) , ...=+ +
=318
110
112
9 7297
∴ MH (m, n, p)=9,73
Respuesta
Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.
Alternativa C
Pregunta N.º 3
Las normas académicas de una institución educa-
tiva establecen las calificaciones siguientes:
Aprobado: nota ≥ 14;
Desaprobado: 9 ≤ nota < 14 y
Reprobado: nota < 9
En el curso de Química, las calificaciones finales
fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:
16 puntos; nota promedio de los desaprobados:
11 puntos; y nota promedio de los reprobados:
6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso
fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-
nos reprobados es
A) 10% B) 20% C) 30%
D) 40% E) 50%
SoluciónTema
Promedios
Matemática
3
Referencias
El promedio más empleado es la media aritmética; para su cálculo se utilizan todos los datos y se calcula así:
MA = suma de datostotal de datos
Luego, tenemos que
suma de datos=MA×( Total de datos)
Análisis y procedimiento
total dealumnos
apro-bados
desapro-bados
repro-bados
Cantidad 100% 40% (60 – x)% x%
MA 11 16 11 6
Luego, se tiene lo siguiente:
11×100%=16×40%+11(60 – x)%+6×x%
1100%=640%+660% – 5x%
1100%=1300% – 5x%
5x%=200%
x%=40%
Respuesta
Los alumnos reprobados representan el 40%.
Alternativa D
Pregunta N.º 4
De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI, uno
de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno de los cuales es mujer, y 3 son de la UNMSM, todos varo-nes. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ternas constituidas por un profesor de cada universidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?
A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18D) 0,20 E) 0,24
SoluciónTema
Probabilidades
Referencias
Cuando se requiere hallar el número de formas en
que se puede seleccionar r objetos de un total de n objetos diferentes entre sí, podemos emplear el siguiente cálculo:
Cn
r n rrn =
−!
!( )!
Además, el cálculo de la probabilidad de un
evento se calcula:
P =
cantidad de casosfavorables
cantidad de casostotales
Análisis y procedimiento
Ahora seleccionaremos ternas de profesores:
Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas
seleccionadas estén constituidas por un profesor de
cada universidad y que no pueda haya una mujer
de la UNA, entonces:
P
C C C
C= × × = =1
513
13
312
944
0 2045,
Respuesta
La probabilidad es 0,20 aproximadamente.
Alternativa D
Matemática
4
Pregunta N.º 5
Sea el número N=777...77(8) de 100 cifras. Halle
la suma (expresada en base diez) de las cifras del
número N2, que está expresada en base 8.
A) 640 B) 700 C) 740
D) 780 E) 800
SoluciónTema
Cuatro operaciones
Referencias
En problemas de multiplicación, cuando se
multiplica un número por otro cuyas cifras son
máximas, el producto se puede expresar como
una sustracción.
Ejemplo
abc×99=abc(100 – 1)=abc00 – abc
mnp8×7778=mnp8(10008 – 1)=mnp0008 – mnp8
Análisis y procedimiento
Por dato
N = 777 77100
8...cifras
Entonces
N 2
1008
1008
777 77 777 77= ×... ...cifras cifras
Pero
N
N
2
1008
1008
2
777 77 1 00 0 1
7
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
... ...cifras cifras
777 77 00 0 777 77100 100
8100
... ... ...cifras cifras cifra
−ss
8
Ordenando en forma vertical y operando obte-nemos
N 2
100877 600 01= ... ...
cifras100 cifras
77...700...008 – 77...778
Entonces, la suma de cifras de N 2 es 7×99+6+1=700
Respuesta
La suma de cifras de N2 es 700.
Alternativa B
Pregunta N.º 6Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirmaciones:
1. ∀ a, b números enteros, ab
es un número
racional.
2. ∀ a, b números enteros, a b
a
++1 2 es un número
racional.3. Si k ∈ Z y k2 es par, entonces k es par.
A) FVV B) FFV C) VFVD) VFF E) FFF
SoluciónTema
Números racionales
Referencias
El conjunto de los números racionales se define:
Q Z Z= ∈ ∧ ∈ − { }⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
ab
a b 0
Si mn
∈ Q, se debe cumplir que m ∈Z ∧ n ∈Z – {0}.
Además, se dice que un número es par si es un múltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces, n=2K, (K ∈Z).
Análisis y procedimiento
1. Por dato: ∀a; b números enteros se debe
concluir que ab
es un número racional, pero
esto no se cumple cuando b=0. Por lo tanto, esta proposición es falsa (F).
Matemática
5
2. Por dato: ∀a; b números enteros se debe
cumplir que a b
a
++1 2
es un número racional.
• Como a y b son enteros, la suma a+b sigue siendo entero.
• Además, a ∈Z. Entonces, 0 ≤ a2 ∈Z → 1≤ a2+1∈Z.
a b
a
++1 2
es un número racional, pues 1+a2 es
entero y diferente de cero.Por lo tanto, esta proposición es verdadera (V).
3. Por dato: Si K∈Z y K2 es par, entonces, K es par. Por dato K2 es par; entonces
K2=2n; (n ∈Z)Pero por ser K2 un cuadrado perfecto y
K n2 2= , entonces, n=2p2, de donde K2=4p2
→ K=2p; por lo tanto, K es par.Esta proposición es verdadera (V).
Respuesta
Los valores veritativos de las proposiciones son FVV, respectivamente.
Alternativa A
Pregunta N.º 7
Sea N=abc, un número de tres cifras, tal que;
abc cba cab= = =7 11 9o o o
y, .
Halle la siguiente suma 3c+2a+b.
A) 24 B) 26 C) 28D) 30 E) 32
SoluciónTema
Divisibilidad
Referencias
En los criterios de divisibilidad hay algunos casos particulares en donde se puede intercambiar el orden de las cifras; por ejemplo:
Si mnp=9o ↔ m+n+p=9
o, al intercambiar el orden
de las cifras también se genera números múltiplos
de 9; así, mpn= 9o
; pnm= 9o
; ...
Si mnp+ − +
=11o
↔ p – n+m= 11o
, al intercambiar las
cifras de orden impar también se genera múltiplo
de 11; así, pnm=11o
.
Análisis y procedimiento
De los datos tenemos abc= 7
o
cba =+ − +
11o
→ cba =+ − +
11o
cab abc= → =9 9o o
abc= → abc=MCMo
( , , )7 9 11
7o
11o9o
De donde abc K= =693 693o
1(único valor)
Luego, a=6, b=9 y c=3.Entonces, 3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.
Respuesta
La suma de 3c+2a+b es 30.
Alternativa D
Pregunta N.º 8
Si la fracción abccba
es equivalente a 5/17, determine
b, sabiendo que (a)(b)(c)≠0.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 8
SoluciónTema
Números racionales
Matemática
6
Referencias
Una fracción será equivalente a otra si resulta de multiplicar los términos de la fracción irreductible de esta última por una misma cantidad entera.Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes
a 1220
35
< > irreductible.
Entonces, dichas fracciones serán de la forma ab
nn
= 35
, donde a=3n y b=5n (n ∈ Z).
Análisis y procedimiento
Por dato, la fracción abccba
es equivalente a 5
17.
Entonces, se cumple que
abccba
nn
= 517
→ abc=5n= 5o
cba=170De lo anterior se concluye que c=5además, se tiene que
cba abc nc a
− = =−99
12 4( )
o
→ 99 12 44
( )c a nc a
− = =− =
o
o
pero c=5∴ a=1 ∧ n=33Como abc=5n=5(33)=165entonces, b=6.
Respuesta
El valor de b es 6.
Alternativa D
Pregunta N.º 9
Sea la igualdadx a b x a b− + = + − (*)
entonces, la proposición verdadera es:
A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2=b2 B) (*) si y solo si x=a=b C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=bD) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b E) (*) si y solo si x=a= – b
SoluciónTema
Valor absoluto
Referencias
Para la resolución del problema utilizaremos el siguiente teorema. |x|=|y | ↔ x=y ∨ x= – y
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Aplicar el teorema.II. Resolver las ecuaciones obtenidas.Ejecución del plan I. |x – a+b|=|x+a – b| ↔ x – a+b=x+a – b ∨ x – a+b= – (x+a – b)II. 2b=2a ∨ x – a+b= – x – a+b ↔ b=a ∨ 2x=0 ↔ b=a ∨ x=0∴ x=0 ∨ a=b
Respuesta
La proposición verdadera es x=0 ∨ a=b.
Alternativa D
Pregunta N.º10
Si x
y
y
x
2
2
2
2136
+ = , x 2+y 2=5, x < 0 < y y |y| < |x|,
halle el valor de S y x= +2 3
A) – 2 B) – 1 C) 0
D) 1 E) 2
SoluciónTema
Sistema de ecuacionesReferencias
Para resolver el problema necesitamos conocer lo siguiente:• Ecuaciones cuadráticas.• Valor absoluto.
Matemática
7
Análisis y procedimiento
Plan de resoluciónI. Hallar el equivalente de la primera ecuación del
sistema.II. Dicho equivalente lo relacionamos con la
segunda ecuación.III. Restringimos algunos valores por la condición
del problema.
Plan de ejecuciónTenemos el sistema
x
y
y
x
x y
x y y x
2
2
2
2
2 2
136
5
0
+ = ( )
+ = ( )< < <
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
α
β;
De (α) se tiene
6x4 – 13x2y2+6y4=0
Factorizamos (3x2 – 2y2)(2x2 – 3y2)=0
→ 3x2=2y2 ∨ 2x2=3y2
→ x
y
x
y
2
2
2
223
32
= ∨ = (λ)
De (β) y (λ) tenemos (x2=2 ∧ y2=3) ∨ (x2=3 ∧ y2=2)como |y| < |x|, entonces, solo es posible x2=3 ∧ y2=2
↔ x y± ∧ = ±3 2
y como x < 0< y, se tiene finalmente x y= − ∧ =3 2
∴ S y x= + = ( ) + ( ) −( ) = −2 3 2 2 3 3 1
Respuesta
El valor de S y x= +2 3 es – 1.
Alternativa B
Pregunta N.º 11
En la figura se muestra la gráfica del polinomio
cúbico p(x).
Sabiendo que p(a)=20, halle p a−( )3
A) 4 B) 5 C) 8
D) 10 E) 12
Solución
Tema
Gráfica de funciones
Referencias
Para la resolución del problema se necesita conocer
lo siguiente:
• Gráfica de funciones cúbicas.
• Raíces reales de funciones polinomiales.
• Características de las funciones cúbicas.
• Teorema del factor.
Análisis y procedimiento
Plan de ejecución:
I. Identificar las raíces reales de la gráfica.
II. Aplicar el teorema del factor.
III. Hallar el coeficiente principal de P(x)
Matemática
8
Ejecución del plan:
I. Del siguiente gráfico
0
P
– 2a X
Y
2a
las raíces son – 2a; 0; 2a
II. P(x)=b(x+2a)x(x – 2a).
III. Evaluamos x=a
P(a)=b(3a)a(– a)=20 → ba
= − 20
3 3
Luego, Pa
x a x x ax( ) = − + −20
32 2
3( ) ( ).
Similarmente, para x= – 3a
Pa
a a aa−( ) = − − − − =3 3
20
33 5 100( )( )( )
∴ P a−( ) = =3 100 10
Respuesta
El valor de P a−( )3 es 10.
Alternativa D
Pregunta N.º 12
La gráfica de la función f se muestra a continuación
Determine aproximadamente la gráfica de la
inversa de la función
g(x)=|f(x – 2)+1|; – 1 ≤ x ≤ 1
Solución
Tema
Gráfica de funciones
Referencias
Para la resolución del problema se necesita conocer lo siguiente:• Propiedades de las gráficas de funciones.• Gráfica de la función inversa.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la gráfica de f en el dominio indicado.
II. Usar las propiedades de gráficas de funciones para construir g(x).
III. Graficar la función inversa.
Matemática
9
Ejecución del plan
I. Como nos interesa la gráfica de
f(x – 2), para – 1 ≤ x ≤ 1 → – 3 ≤ x – 2 ≤ – 1
es decir, solo nos interesa la gráfica de f en el
intervalo [– 3; – 1] ⊂ Domf.
II.
– 1
1
– 1
Y
X
– 2
– 3 – 1
1
– 1
Y
X
1
f x( ) f x( – 2)
2
– 1
Y
X
1
f x( – 2)+1
como
f(x – 2)+1 ≥ 0 ∀ x ∈[– 1; 1]
→ |f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1
luego,
g(x)=|f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1; – 1 ≤ x ≤ 1
III. Por lo tanto, la gráfica de g–1(x) será
– 1
Y
X2– 1
2
g–1
g
1
Respuesta
La gráfica de g – 1 se muestra en la alternativa C.
Alternativa C
Pregunta N.º 13Si a, b y c son constantes positivas y
1 1 1 10 0
0 00 0
0x ax bx c
=
Determine el valor de x.
A) abc
a b c+ +
B) abc
ab ac bc+ +
C) bca
acb
abc
+ +
D) a b c
abc+ +
E) abc
bac
cab
+ +
SoluciónTema
Determinantes
Referencias
Para el cálculo del determinante de una matriz de
orden (4×4), se utilizará el método de menores
complementarios, y es necesario también el método
de Sarrus para una matriz de orden (3×3).
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la fila o columna que contenga más
ceros.
II. Aplicar el método de menores complementarios.
III. Aplicar el método de Sarrus.
Matemática
10
Ejecución del plan
I. 1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
II. 1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
=– x1 1 1
0 b 0
0 0 c
+a ( )�
1 1 1
x b 0
x 0 c
III. 1 1 1
0 b 0
0 0 c
1 1
0 b
0 0
=bc
+ + +– – –
1 1 1
x b 0
x 0 c
1 1
x b
x 0
= –( + )bc bx cx
+ + +– – –
Reemplazamos en (α)
1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
=– xbc+a(bc – (bx+cx))=0
→ – xbc+abc – abx – acx=0
→ xabc
ab bc ac=
+ +
Respuesta
El valor de x es abc
ab bc ac+ +.
Alternativa B
Pregunta N.º 14El sistema de inecuaciones
x – 3y ≤ 6
2x+y ≥ 4
x+y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
determina en el plano una región R. Podemos
afirmar que
A) R es una región triangular.
B) R es un región cuyo borde es un cuadrado.
C) R es un región cuyo borde es un cuadrilátero.
D) R es vacía.
E) R es un cuadrante.
SoluciónTema
Sistema de inecuaciones lineales
Referencias
Una inecuación con dos variables se puede repre-sentar geométricamente en un plano cartesiano; por ejemplo, para la inecuación x+2y ≥ 12
6
12
YY
XX
Análisis y procedimiento
Plan de resoluciónI. Graficar las desigualdades. II. Intersecar dichas regiones.III. Identificar la figura y su borde.
Ejecución del plan
6
4
2 6
2 + =4x y
x y+ =6
x y–3 =6
–2
Y
X
RR
Matemática
11
Respuesta
Se puede afirmar que R es una región cuyo borde
es un cuadrilátero.
Alternativa C
Pregunta N.º 15
Si el conjunto solución de la inecuación
(2x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0
es de la forma S=⟨a; b⟩ ∪ ⟨c; +∞⟩ , halle a+b+c.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
Solución
Tema
Inecuación logarítmica y/o exponencial
Referencias
Para la resolución del problema se debe conocer
lo siguiente:
• Gráficas de las funciones exponenciales y
logarítmicas.
• Criterio de los puntos críticos.
Análisis y procedimiento
I. Graficar las funciones exponenciales y logarít-
micas para compararlas.
II. Simplificar los factores positivos que aparecen
en la inecuación.
III. Usar el criterio de los puntos críticos para
determinar los valores de a, b y c.
Ejecución del plan
I. Debemos recordar las gráficas de las funciones
siguientes:
1
y=2x
y x=
Y
X
→ (2x – x) > 0; ∀x ∈ R
y=3x
y x=log3
Y
X
1
1
→ (3x – log3x) > 0; ∀x ∈ R+
II. En la inecuación debemos considerar x > 0
para que log3x exista.
2 3 3x xx x−( ) −( )
+ +
log (x2 – 9)(3x – 32) > 0
→ (x – 3)(x+3)(3x – 32) > 0
III. Puntos críticos: –3; 3 y 2
–3 0 2 3
→ CS=⟨0; 2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩
Comparando con el dato, obtenemos
a=0, b=2 y c=3
→ a+b+c=5
Respuesta
El valor de a+b+c es 5.
Alternativa E
Matemática
12
Pregunta N.º 16
Sea u el número de decenas de sillas y v el número
de decenas de mesas que fabrica una empresa al
día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v,
y se tienen las siguientes restricciones:
u+v ≤ 4
2u+3v ≤ 10
40u+20v ≤ 120
encuentre el número de decenas de mesas y sillas,
respectivamente, a fabricar diariamente de modo
que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
D) 2 y 3 E) 3 y 2
Solución
Tema
Programación lineal
Referencias
En este tema se requiere determinar la región
factible, la cual se obtiene mediante la representación
geométrica de las restricciones dadas, para luego
calcular las coordenadas de los vértices de la región
y poder evaluar el máximo o mínimo valor de la
función objetivo.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la función objetivo.
II. Representación gráfica de las restricciones.
III. Evaluar la función objetivo en los vértices de la
región factible.
Ejecución del plan
I. La función objetivo es f(u, v)=200u+300v.
II. Vamos a representar geométricamente las
restricciones.
u vu v
u v
+ ≤+ ≤
+ ≤
⎧⎨⎪
⎩⎪
42 3 1040 20 120
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
U
V
P(2; 2)
A
B
Como u y v representan el número de decenas de
sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,
por lo que evaluaremos la función objetivo solo
en (2; 2) y (3; 0); así:
III. f(2; 2)=200(2)+300(2)=1000 (máximo)
f(3; 0)=200(3)+300(0)=600
Respuesta
La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando
fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de
mesas.
Alternativa C
Pregunta N.º 17
Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...
Determine la suma de los 100 primeros términos
de la sucesión anterior.
A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400
D) 333 300 E) 343 400
Matemática
13
Solución
Tema
SeriesReferencias
Una serie es la suma de los términos de una suce-sión y se denota por
tn
n
k
=∑
1
Algunas sumas notables:
• k nn n
k
n= + + + + = +( )
=∑ 1 2 3
121
...
• k nn n n
k
n2
1
2 2 2 21 2 31 2 1
6=∑ = + + + + = +( ) +( )
...
• k k n n
n n n
k
n+( )= × + × + × + + × +( )
= +( ) +( )
=∑ 1 1 2 2 3 3 4 1
1 23
1...
Análisis y procedimiento
De la sucesión
2 6 12 20 30 42100
; ; ; ; ; ;...términos
notamos que cada término se expresa como
1×2; 2×3; 3×4; 4×5; 5×6; 6×7; ...; 100×101
Entonces, el término general de la sucesión es
tn=n(n+1)
calculando la suma de los 100 términos de la sucesión, obtenemos
n n
n+( ) = × × =
=∑ 1
100 101 1023
3434001
100
Respuesta
La suma de los 100 términos de la sucesión es 343 400.
Alternativa E
Pregunta N.º 18Si los números 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos
colocando el número 48 en medio del anterior, son
los cuadrados de números enteros. Halle la suma
de los dígitos del sexto número entero.
A) 36 B) 37 C) 38
D) 39 E) 40
SoluciónTema
Sucesión
Referencias
Cuando tenemos una sucesión de números, debemos identificar una regla de formación que nos permita encontrar cualquier término de la sucesión.
Análisis y procedimiento
De los términos de la sucesión 49; 4489; 444889; ...nos indican que cada uno de ellos son los cuadrados de números enteros; por lo tanto, analicemos cada término.
Números Números enteros elevados al cuadrado
1.er número 49 = 72
2.o número: 4489 = 672
3.er número 444889 = 6672
......
...
6.o número : = 6666672
el sexto número entero elevado al cuadrado es 666667
Piden la suma de los dígitos del sexto número entero; aquí se debe entender que se refieren al sexto número entero que está elevado al cuadrado, esto es 6+6+6+6+6+7=37
Matemática
14
Respuesta
La suma de los dígitos del sexto número entero es 37.
Alternativa BPregunta N.º 19Determine el conjunto solución del sistema
x2– 4x+y2=64
x3– 6x2+12x+y=8
A) {(0; 8), (2; 1)}
B) {(0; 8), (4; – 8)}
C) {(0; 8), (0, – 8)}
D) {(4; – 8), (2; 8)}
E) {(1; 2), (4; – 8)}
SoluciónTema
Sistema de ecuaciones no lineales
Referencias
Para resolver el sistema no lineal utilizaremos el método de Gauss; es decir, eliminar una incógnita.
Análisis y procedimiento
Plan de resoluciónI. Completar cuadrados y cubos.II. Eliminamos una incógnita.III. Factorizamos aplicando el método de los
divisores binómicos. Ejecución del plan:I. x2– 4x+y2=64
x2– 4x+4+y2=64+4
(x– 2)2+y2=68 (β)
x3– 6x2+12x+y=8
x3–6x2+12x–8+y=8 – 8
(x – 2)3+y=0 (α)
II. En (α) tenemos: y=–(x –2)3
Reemplazando en (β) obtenemos
(x–2)2+(–(x–2)3)2=68
(x–2)2+(x–2)6=68 (θ)
III. Haremos un cambio de variable para factori-zarlo.
sea (x – 2)2=a
Reemplazando en (θ) tenemos a+a3=68 a3+a – 68=0
Se observa que a=4 es raíz → (a – 4) es un factor.Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.
1 0 1 –68
4 16 68
4 17 0
4
1
(a – 4)(a2+4a+17)=0
Δ<0 (no tiene solución real)
Entonces, a=4.Reemplazamos:
(x–2)2=4 → x yx y
= → = −= → =
⎧⎨⎩
4 80 8
Respuesta
El conjunto solución es CS={(0; 8); (4; –8)}.
Alternativa B