SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINNEjercicios...

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Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 1 de 49 SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN Tabla de contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN..........2 EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................2 EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................3 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................6 EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................7 EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................8 EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................9 EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn .................................................................................9 EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................10 EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................11 EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................13 EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................14 EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................15 EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................16 EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................17 EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................21 EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................22 EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................24 EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................25 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................26 EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn ..............................................................................27 EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................28 EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................29 EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................30 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370 ..............................................................................................................................................33 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE .........................................................................39 EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ........................................41 EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 ...............................................................................41

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Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 1 de 49

SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO

LIBRO ALONSO FINN

Tabla de contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN..........2 EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................2

EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................3 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................6

EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................7 EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................8 EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................9

EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn .................................................................................9 EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................10

EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................11 EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12

EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................13 EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................14

EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................15 EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................16 EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................17

EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................21 EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................22

EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................24 EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................25 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................26

EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn ..............................................................................27 EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................28

EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................29 EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................30 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro

pagina370..............................................................................................................................................33 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE .........................................................................39

EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ........................................41 EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 ...............................................................................41

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EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN

EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn

Una rueda de 30 ๐‘๐‘š de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0,5 ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ

๐‘ ๐‘’๐‘” con

su eje de posiciรณn horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armรณnico simple encontrar:

a) El periodo de oscilaciรณn de la sombra,

b) La frecuencia,

c) Su amplitud,

d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en funciรณn del tiempo.

Suponer la fase inicial cero.

Soluciรณn

Datos:

Radio= Amplitud = 30 ๐‘๐‘š

๐œ” = 0,5 ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ

๐‘ ๐‘’๐‘”

a) El periodo de oscilaciรณn de la sombra es:

๐‘‡ =2๐œ‹

๐œ”

๐‘‡ = 2๐œ‹

0,5 โˆ— 2๐œ‹ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘๐‘ ๐‘’๐‘”

๐‘‡ = 2 ๐‘ ๐‘”

b) La frecuencia de la sombra es:

๐‘‡ =1

๐‘“

๐‘“ = 1

2 ๐‘ ๐‘’๐‘”

๐‘‡ = 0,5 ๐ป๐‘ง

c) Su amplitud es:

๐ด = 30 ๐‘๐‘š

d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en funciรณn del tiempo.

Suponer la fase inicial cero.

๐‘‹(๐‘ก) = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘› (๐œ”๐‘ก + ๐œ‘)

๐‘‹(๐‘ก) = 0,30 ๐‘ ๐‘’๐‘› (๐œ‹๐‘ก ) Donde la fase inicial es igual a cero (๐œ‘ = 0).

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EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn

Un oscilador armรณnico simple estรก descrito por la ecuaciรณn

๐‘ฅ(๐‘ก) = 4 ๐‘†๐‘’๐‘› (0.1๐‘ก+ 0.5) Donde todos las cantidades se expresan en MKS.

Encuentre: a. Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento

b. Velocidad y aceleraciรณn del movimiento

c. Condiciones iniciales

d. La posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn para ๐‘ก = 5๐‘ 

e. Hacer el grรกfico de la posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn en funciรณn del tiempo.

Soluciรณn Por comparaciรณn con la expresiรณn

๐‘ฅ(๐‘ก) = ๐ด ๐‘†๐‘’๐‘› (๐‘ค๐‘ก+ ๐œ‘) Tenemos que,

๐‘ฅ(๐‘ก) = 4 ๐‘†๐‘’๐‘› (0.1๐‘ก+ 0.5)

a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento.

Amplitud: ๐ด = 4๐‘š

Frecuencia Angular: ๐œ” = 0.1 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘ 

Fase Inicial: ๐œ‘ = 0.5 rad Periodo:

๐‘‡ = 2๐œ‹

๐œ”

๐‘‡ = 2๐œ‹

0,1 ๐‘ ๐‘’๐‘”

๐‘‡ = 20 ๐œ‹ ๐‘ ๐‘’๐‘”

Frecuencia: ๐‘“ = 1

๐‘‡

๐‘“ = 1

20๐œ‹ ๐‘ ๐‘’๐‘”

b) Velocidad y aceleraciรณn del movimiento

๐‘‰(๐‘ก) =๐‘‘๐‘ฅ

๐‘‘๐‘ก= 0.4 ๐ถ๐‘œ๐‘  (0.1๐‘ก+ 0.5) ๐‘Ž(๐‘ก) =

๐‘‘2๐‘ฅ

๐‘‘๐‘ก2 = โˆ’0.04๐‘†๐‘’๐‘›(0.1๐‘ก + 0.5)

c) Condiciones iniciales cuando ๐‘ก = 0,

๐‘ฅ0 = ๐‘ฅ(๐‘ก = 0) = 4๐‘†๐‘’๐‘›(0.5) = 1.92๐‘š

๐‘ฃ0 = ๐‘ฃ(๐‘ก = 0) = 4๐ถ๐‘œ๐‘ (0.5) = 0.351๐‘š/๐‘ 

๐‘Ž0 = ๐‘Ž(๐‘ก = 0) = โˆ’0.04๐‘†๐‘’๐‘›(0.5) = โˆ’19.17๐‘ฅ10โˆ’3๐‘š/๐‘ 2

d) La posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn para ๐‘ก = 5๐‘ 

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๐‘ฅ(๐‘ก = 5) = 4๐‘†๐‘’๐‘›(1) = 3.37๐‘š

๐‘ฃ(๐‘ก = 5) = 4๐ถ๐‘œ๐‘ (1) = 0.216๐‘š/๐‘ 

๐‘Ž(๐‘ก = 5) = โˆ’0.04๐‘†๐‘’๐‘›(1) = โˆ’3.37๐‘ฅ10โˆ’2๐‘š/๐‘ 2

e) l grรกfico de la posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn en funciรณn del tiempo.

GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO

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GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO

GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO

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EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn

Una partรญcula estรก situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posiciรณn de equilibrio con

una velocidad de 2๐‘š

๐‘  la amplitud es de 10โˆ’3 ๐‘š. ยฟCuรกl es la frecuencia y el periodo del vibrador?

Escribir la ecuaciรณn que exprese su desplazamiento en funciรณn del tiempo.

Soluciรณn

๐ธ๐‘˜ =1

2๐‘š๐‘ฃ2

๐ธ๐‘˜ =1

2๐‘š๐œ”2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2]

Como pasa por la posiciรณn de equilibrio ๐‘ฅ = 0 tenemos,

1

2๐‘š๐œ”2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] =

1

2๐‘š๐‘ฃ2

๐œ” =2

๐‘š๐‘ 

10โˆ’3 ๐‘š

๐œ” = 2000๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ ๐‘’๐‘”

Asรญ la el periodo es:

๐‘‡ = 2๐œ‹

๐œ”

๐‘‡ = 2๐œ‹

2000๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘๐‘ ๐‘’๐‘”

๐‘‡ = ๐œ‹ โˆ— 10โˆ’3๐‘ ๐‘’๐‘” Y la frecuencia:

๐‘“ = 1

๐‘‡

๐‘“ = 103

๐œ‹ ๐‘ ๐‘’๐‘”

La ecuaciรณn que exprese su desplazamiento en funciรณn del tiempo es:

๐‘‹(๐‘ก) = 10โˆ’3 ๐‘ ๐‘’๐‘›(2000๐‘ก + ๐›ผ)

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EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn

Una partรญcula cuya masa es de 1 ๐‘” vibra con movimiento armรณnico simple de amplitud de 2 ๐‘š๐‘š. Su

aceleraciรณn en el extremo de su recorrido es de 8,0 โˆ— 103 ๐‘š

๐‘ 2. Calcular la frecuencia del movimiento y

la velocidad de la partรญcula cuando pasa por la posiciรณn de equilibrio y cuando la elongaciรณn es de 1,2 ๐‘š๐‘š. Escribir la ecuaciรณn que expresa la fuerza que actรบa sobre la partรญcula en funciรณn posiciรณn y

el tiempo. Soluciรณn

Datos

๐ด = 2 โˆ— 10โˆ’3 ๐‘š, ๐‘š = 10โˆ’3 ๐‘˜๐‘” , ๐‘Ž = 8,0 โˆ— 103 ๐‘š

๐‘ 2 , ๐‘ฅ = 1,2 ๐‘š๐‘š

La aceleraciรณn de la partรญcula es:

๐‘Ž = โˆ’๐œ”2๐‘ฅ

๐œ”2 = โˆ’๐‘Ž

๐‘ฅ; ๐œ” = 2๐œ‹๐‘“

Asรญ la frecuencia se puede calcular,

๐‘“2 = โˆ’๐‘Ž

(2๐œ‹)2๐‘ฅ

๐‘“2 = โˆ’8,0 โˆ— 103 ๐‘š

๐‘ 2

(2๐œ‹)2(โˆ’2 โˆ— 10โˆ’3 ๐‘š)

๐‘“ = โˆš106

(๐œ‹)2๐ป๐‘ง2

๐‘“ = โˆš106

(๐œ‹)2๐ป๐‘ง2

๐‘“ =103

๐œ‹๐ป๐‘ง

La velocidad de la partรญcula se puede calcular, partiendo de la energรญa cinรฉtica,

๐ธ๐‘˜ =1

2๐‘š๐‘ฃ2

๐ธ๐‘˜ =1

2๐‘š๐œ”2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2]

Como pasa por la posiciรณn de equilibrio ๐‘ฅ = 0 tenemos,

1

2๐‘š๐œ”2๐ด2 =

1

2๐‘š๐‘ฃ2

(2๐œ‹๐‘“)2๐ด2 = ๐‘ฃ2 ๐‘ฃ = 2๐œ‹๐‘“๐ด

๐‘ฃ = 2๐œ‹(103

๐œ‹๐ป๐‘ง) 2 โˆ— 10โˆ’3๐‘š

๐‘ฃ = 4๐‘š

๐‘ 

Cuando la elongaciรณn es de 1,2 ๐‘š๐‘š , su velocidad se puede escribir,

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1

2๐‘š๐œ”2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] =

1

2๐‘š๐‘ฃ2

(2๐œ‹๐‘“)2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = ๐‘ฃ2

๐‘ฃ = 2๐œ‹๐‘“โˆš[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2]

๐‘ฃ = 2๐œ‹(103

๐œ‹๐ป๐‘ง)โˆš[(2 โˆ— 10โˆ’3)^2 โˆ’ (1,2 โˆ— 10โˆ’3)2] ๐‘š

๐‘ฃ = 3,2๐‘š

๐‘ 

La fuerza que actรบa sobre la partรญcula en funciรณn posiciรณn y el tiempo es

๐น = โˆ’๐‘š๐œ”2๐‘ฅ

๐น = (10โˆ’3 )(2โˆ— 103)2๐‘ฅ ๐น = 4 โˆ— 103 ๐‘ฅ [๐‘]

๐น = โˆ’๐‘š๐ด๐œ”2๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ”๐‘ก + ๐›ผ)

๐น = โˆ’(10โˆ’3 ) (โˆ’2 โˆ— 10โˆ’3)(2 โˆ— 103 )2๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ”๐‘ก + ๐›ผ) [๐‘] ๐น = 8๐‘ ๐‘’๐‘›(2 โˆ— 103๐‘ก + ๐›ผ) [๐‘]

EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn

Una partรญcula se mueve con movimiento armรณnico simple con una amplitud de 1.5 ๐‘š y frecuencia

100 ciclos por segundo ยฟCuรกl es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleraciรณn y su fase cuando su desplazamiento es de 0.75 ๐‘š.

Soluciรณn La frecuencia angular es,

๐œ” = 2๐œ‹๐‘“ ๐œ” = 2๐œ‹(100 ๐ป๐‘ง)

๐œ” = 200 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง

La velocidad se puede calcular a travรฉs de la energรญa cinรฉtica, 1

2๐‘š๐œ”2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] =

1

2๐‘š๐‘ฃ2

(2๐œ‹๐‘“)2[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = ๐‘ฃ2

๐‘ฃ = ๐œ”โˆš[๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2]

๐‘ฃ = (200 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง)โˆš[(1.5 ๐‘š )2 โˆ’ (0.75 m)2] ๐‘ฃ = 2,59 โˆ— 102 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง

La aceleraciรณn se puede calcular como sigue,

๐‘Ž = โˆ’๐œ”2๐‘ฅ

๐‘Ž = โˆ’(200 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง)2(โˆ’0,75 ๐‘š)

๐‘Ž = 3 โˆ— 104 ๐œ‹๐‘š

๐‘ 

La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),

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๐‘ฅ = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ค๐‘ก + ๐›ผ) ๐‘ฅ

๐ด= ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐›ผ)

๐›ผ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โˆ’1 (๐‘ฅ

๐ด)

๐›ผ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โˆ’1 (0,75

1,5)

๐›ผ = 30ยฐ EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn

Un movimiento armรณnico simple tiene una amplitud de 8 ๐‘๐‘š y un periodo de 4 ๐‘ ๐‘’๐‘”. Calcular

la velocidad y la aceleraciรณn 0,5 ๐‘†๐‘’๐‘” despuรฉs que la partรญcula pase por el extremo de su

trayectoria. SOLUCIร“N:

DATOS: A = 8 cm ---- 0.08m T = 4 seg.

La frecuencia angular es,

๐œ” =2๐œ‹

๐‘‡

๐œ” =2๐œ‹

4 ๐‘ ๐‘’๐‘”

๐œ” =๐œ‹

2

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ ๐‘’๐‘”

La velocidad despuรฉs de ๐‘ก = 0,5, es:

๐‘ฃ = ๐ด ๐œ” ๐‘๐‘œ๐‘  (๐œ”๐‘ก + ๐›ผ)

๐‘ฃ = 0,08๐œ‹

2 ๐‘๐‘œ๐‘  (

๐œ‹

2(0,5) +

๐œ‹

2)

๐‘ฃ = 2,8 ๐œ‹ โˆ— 10โˆ’2๐‘š

๐‘ 

La aceleraciรณn despuรฉs de ๐‘ก = 0,5, es:

๐‘Ž = โˆ’๐ด ๐œ”2 ๐‘๐‘œ๐‘  (๐œ”๐‘ก + ๐›ผ)

๐‘Ž = 0,08(๐œ‹

2 )

2

๐‘ ๐‘’๐‘› (๐œ‹

2(0,5)+

๐œ‹

2)

๐‘Ž = 1,4 ๐œ‹2 โˆ— 10โˆ’2๐‘š

๐‘ 

EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn

Una partรญcula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armรณnico simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm, calcular la aceleraciรณn,

la fuerza de la energรญa potencia y cinรฉtica cuando la partรญcula estรก a 5 cm de la posiciรณn inicial. DATOS

Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S

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Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M

SOLUCIร“N

A)

๐น =1

๐‘‡

๐น =1

0.15 ๐‘ ๐‘’๐‘”= ๐Ÿ”.๐Ÿ”๐Ÿ”๐Ÿ” ๐‘ฏ๐’›

B)

๐œ” = 2๐œ‹๐‘“ w= 2 ( ฯ€) (6.666 Hz)= 41.88 hz

C)

๐‘Ž = โˆ’๐œ”ยฒ๐‘ฅ

๐‘Ž = โˆ’41.882 โˆ™ 0.05 ๐‘ ๐‘’๐‘”

๐’‚ = ๐Ÿ–๐Ÿ•.๐Ÿ”๐Ÿ—๐’Ž

๐’”๐Ÿ

D)

๐ธ๐‘˜ =1

2 ๐‘š ๐œ”2[๐ด2 โ€“๐‘‹2]

๐ธ๐‘˜ =1

2 (0.5 ๐พ๐‘”) (41.88

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ )2[(0.10 ๐‘š)2 โ€“ (0.05 ๐‘š)2]

๐‘ฌ๐’Œ = ๐Ÿ‘.๐Ÿ๐Ÿ– ๐‘ต

EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn

Una plancha horizontal oscila con movimiento armรณnico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mรญnimo del coeficiente de fricciรณn a fin de

que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve.

Soluciรณn

๐ด = 1,5 ๐‘š

๐น = 15 ๐‘œ๐‘ ๐‘/min ๐œ” = 2๐œ‹๐‘“

๐œ” = 2 HYPERLINK "http://es.wikipedia. org/wiki/%CE%A0" \o "\"ฮ \" (15 ๐‘œ๐‘ ๐‘

๐‘š๐‘–๐‘›)(

1๐‘š๐‘–๐‘›

60๐‘ ๐‘’๐‘”)

๐œ” =๐œ‹

2

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ ๐‘’๐‘”

La fuerza de fricciรณn es

๐น๐‘“ = ๐œ‡๐‘“๐‘

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Para que la plancha no resbale se debe cumplir

๐น = ๐น๐‘“

๐‘š๐‘Ž = ๐œ‡๐‘š๐‘”

๐œ‡ =๐‘Ž

๐‘”

Para obtener el valor mรญnimo del coeficiente de refracciรณn tenemos

๐œ‡ =๐ด๐œ”2

๐‘”

๐œ‡ =(1.5 ๐‘š)(

๐œ‹2

๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘๐‘ ๐‘’๐‘”

)2

9,8๐‘š๐‘ 2

๐œ‡ = 0.377

EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm.

ยฟCuรกl es la conste de elasticidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ยฟCuรกl es su periodo de vibraciรณn cuando estรก vacรญo y cuando estรก el hombre adentro?

SOLUCIร“N:

Representaciรณn de Fuerzas

๐‘š2 = 60๐‘˜๐‘” ; ๐‘ฅ = 0.3๐‘๐‘š= 3x10-3m

a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muelles del auto.

๐น = โˆ’๐‘˜๐‘ฅ = โˆ’๐‘š2๐‘”

๐‘˜ =๐‘š2๐‘”

๐‘ฅ=

60๐‘˜๐‘” ร— 9.8๐‘š ๐‘ 2โ„

3 ร— 10โˆ’3๐‘š

๐’Œ = ๐Ÿ๐Ÿ—๐Ÿ”ร— ๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ‘ ๐‘ต ๐’Žโ„

b) Periodo de vibraciรณn del auto vacรญo.

๐‘˜๐‘ฅ = ๐‘š1๐œ”2๐‘ฅ; m1=500kg

-kx

560 Kg

-kx

(M1+M2)g

500 Kg

M1g

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 12 de 49

๐œ” = โˆš๐‘˜

๐‘š= โˆš

196 ร— 103 ๐‘ ๐‘šโ„

500๐‘˜๐‘”= 19.79898987๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ โ„ โ‰ˆ 19.8๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘๐‘ โ„

๐‘ท =๐Ÿ๐…

๐Ž=

๐Ÿ๐…

๐Ÿ๐Ÿ—.๐Ÿ– ๐’“๐’‚๐’…๐’”โ„

= ๐ŸŽ. ๐Ÿ‘๐Ÿ๐Ÿ•๐’”

c) Periodo de vibraciรณn del auto con el hombre adentro.

๐‘š1 + ๐‘š2 = 560๐‘˜๐‘”

๐œ” = โˆš๐‘˜

๐‘š1 + ๐‘š2

= โˆš196 ร— 103 ๐‘ ๐‘šโ„

560๐‘˜๐‘”= 18.70829๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ โ„ โ‰ˆ 18.71 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘๐‘ โ„

๐‘ท =๐Ÿ๐…

๐Ž=

๐Ÿ๐…

๐Ÿ๐Ÿ–.๐Ÿ• ๐’“๐’‚๐’…๐’”โ„

= ๐ŸŽ. ๐Ÿ‘๐Ÿ‘๐Ÿ”๐’”

EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn

Un bloque de madera cuya densidad es ฯ tiene dimensiones a, b, c. Mientras estรก flotando en el agua con el lado a vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes.

Tomemos como sentido positivo de desplazamiento del bloque verticalmente hacia abajo. Llamemos

h a la longitud del bloque debajo del agua cuando flota en equilibrio. En esta situaciรณn tendremos que la fuerza neta hacia abajo serรก nula:

mgโˆ’ Fempuje = 0โ‡’ mg= (Vsumergidoฯ0) g โ‡’ mg= (bchฯ0) g

Donde ฯ0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto de su posiciรณn de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua serรก h + x. En esta nueva

situaciรณn la fuerza neta hacia abajo ya no serรก nula: Fneta = mgโˆ’F ยดempuje= mgโˆ’ (V โ€™sumergidoฯ0) g = mgโˆ’ (bc [h + x] ฯ0) g

Sustituyendo en esta expresiรณn la relaciรณn entre el peso del cilindro y la altura h:

Fneta = โˆ’ (bcฯ0g) x

Vemos que la fuerza es de tipo elรกstico con una constante elรกstica: k = bcฯ0g

El periodo de las oscilaciones serรก:

๐‘ป =๐Ÿ๐…

๐Ž= ๐Ÿ๐…โˆš

๐’Ž

๐’Œ= ๐Ÿ๐…โˆš

๐’‚๐’ƒ๐’„๐†

๐’ƒ๐’„๐†๐ŸŽ๐’ˆ= ๐Ÿ๐…โˆš(

๐†

๐†๐ŸŽ)(

๐’‚

๐’ˆ)

EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 13 de 49

Encontrar, para un movimiento armรณnico simple, los valores de (๐‘ฅฬ…) ๐‘ฆ (๐‘ฅ2), donde los promedios se refieren.

Parte a)

๐‘ฅ = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ค0 ๐‘ก

๏ฟฝฬ…๏ฟฝ = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ… ฬ…ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ…

Pero ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ… = 0

Entonces ๏ฟฝฬ…๏ฟฝ = 0 Parte b)

๐‘ฅ2 = ๐ด2๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘ก

๐‘ฅ2ฬ…ฬ… ฬ… = ๐ด2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…

Pero ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… = 1

๐‘‡ โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ค0 ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

0 =

1

๐‘‡ โˆซ [

1โˆ’cos 2 ๐‘ค0 ๐‘ก

2]๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

0

๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… = 1

๐‘‡ โˆซ

1

2๐‘‘๐‘ก โˆ’

๐‘‡

0

1

๐‘‡ โˆซ [

cos2 ๐‘ค0 ๐‘ก

2]๐‘‘๐‘ก

๐‘‡

0

Entonces ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ…ฬ… ฬ… = 1

๐‘‡ [

1

2]๐‘‡ =

1

2

๐‘ฅ2ฬ…ฬ… ฬ… =1

2๐ด2

EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn

El Periodo de un pรฉndulo es de 3s. ยฟCuรกl serรก su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%?

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 14 de 49

Soluciรณn

a. El periodo de un pรฉndulo simple estรก dado por:

๐‘‡ = 2๐œ‹โˆš๐ฟ

๐‘”= 3 ๐‘ ๐‘’๐‘”

Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es:

๐ฟโ€ฒ = ๐ฟ + 0,6๐ฟ

Luego.

๐‘‡ โ€ฒ = 2๐œ‹โˆš๐ฟโ€ฒ

๐‘”= 2๐œ‹โˆš

1.6๐ฟ

๐‘”= โˆš1.6 2๐œ‹โˆš

๐ฟ

๐‘”

๐‘‡ โ€ฒ = โˆš1.6 (3๐‘ ) = 3.79๐‘ 

b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es:

๐‘‡ โ€ฒโ€ฒ = 2๐œ‹โˆš๐ฟโ€ฒโ€ฒ

๐‘”= 2๐œ‹โˆš

0.4๐ฟ

๐‘”= โˆš0.4 2๐œ‹โˆš

๐ฟ

๐‘”

๐‘‡โ€ฒโ€ฒ = โˆš0.4 (3๐‘ ) = 1.89๐‘ 

EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn

El pรฉndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g=9,80 m/s2.

Si la longitud se aumenta en 1mm. ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj despuรฉs de 24 horas?

T1 = 2ฯ€โˆš๐ฟ/๐‘”

T1 = 2 segundos

g =9.81 m/s2

T2 = 2ฯ€ โˆš๐ฟ+0.001 ๐ฟ

๐‘”

T2 = 2ฯ€ โˆš1.001 ๐ฟ

๐‘”

T2 = 2ฯ€ โˆš๐ฟ

๐‘” โˆš1,001

SI Tenemos que T1 = 2ฯ€โˆš๐ฟ/๐‘” Ahora reemplazo T1 en T2 :

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 15 de 49

T2 = T1 โˆš1,001

T2 = ( 2 segundos) โˆš1,001

T2 = 2,00099975 segundos

Para conocer cuanto se ha atrasado el reloj entonces:

ฮ”T = T2 - T1 = 2,00099975 segundos - 2segundos=0,00099975 ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj despuรฉs de 24 horas?

24โ„Ž๐‘œ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘  ๐‘ฅ 3600๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ 

1โ„Ž๐‘œ๐‘Ÿ๐‘Ž = 86.400 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ 

En 24 horas el reloj se atraso

atraso = (86.400 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ )x (0,00099975)=77,7segundos

EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj del programa anterior despuรฉs de 24horas si se coloca en un lugar

donde la g=9,75 m/s2

Sin cambiar la longitud del pรฉndulo ยฟCuรกl debe ser la longitud correcta del pรฉndulo a fin de mantener

el tiempo correcto en la nueva posicion?

L= 1mm =0.001m

g=9,75 m/s2.

T1 = 2ฯ€โˆš๐ฟ/๐‘”

T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2

T1 = 2ฯ€ โˆš0.001

9.80= 0,06346975 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ 

T2 = 2ฯ€โˆš0.001๐ฟ

9.75 = 0,063632291 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ 

T2-T1 = (0,063632291 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ ) -(0,06346975 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ )=

T2-T1 = 0,001625411126 segundos

Regla de 3:

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 16 de 49

0,063632291 0,001625411126 segundos

1440metros X

X= 3,6mt

L= 1mm =0.001m

g=9,75 m/s2.

T1 = 2 segundos

T2

L= ๐‘‡2 ๐‘”

4 ๐œ‹2

L= (2)2 ๐‘”

4 ๐œ‹2

L= 4 (9,75 )

4 ๐œ‹2

L= 0,988m

EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn

Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros tรฉrminos correctivos en la serie del periodo de un pรฉndulo simple si la amplitud es:

a) 10ยบ

b) 30ยบ

Soluciรณn

a) Para 10ยบ

P= (2๐œ‹โˆš๐ฟ

๐‘”) [1 +

1

4sin(

1

2๐œƒ๐‘œ)

2

+9

64sin (

1

2๐œƒ๐‘œ)

4

โ€ฆ ]

P=(2๐œ‹โˆš๐ฟ

๐‘” )[1 +

1

4sin (

1

210)

2

+9

64sin (

1

210)

4

]

P=(2๐œ‹โˆš๐ฟ

๐‘” )[1 + 1.899 ร— 10โˆ’3 + 8.114 ร— 10โˆ’6]

b) Para 30ยบ

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 17 de 49

P=(2๐œ‹โˆš๐ฟ

๐‘”) [1 +

1

4sin (

1

230)

2

+9

64sin (

1

230)

4

]

P= (2๐œ‹โˆš๐ฟ

๐‘” ) [1 + 1.674 ร— 10โˆ’2 + 6.31 ร— 10โˆ’4]

EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn

Soluciรณn: Para determinar la longitud del pรฉndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pรฉndulo e igualarlo al periodo de un pรฉndulo simple para determinar la longitud de este pรฉndulo

simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el periodo del pรฉndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa el cual es Ic = mR 2 2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a

una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro

de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es

OTRA FORMA DE RESOLVERLO REVISAR FORMULAS : puede haber un error.. revisar revisar

El radio de giro K se define Ik= mK2

mk2= m(h2+1/2R2) K2=1/2R2+h2 12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su centro A. Encontrar la longitud del pรฉndulo simple equivalente

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 18 de 49

B. Encontrar la posiciรณn del eje para el cual el periodo es un mรญnimo. C. Representar el periodo en funciรณn de h.

SOLUCION:

Para determinar la longitud del pรฉndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pรฉndulo e igualarlo al periodo de un simple Para determinar el periodo del pรฉndulo compuesto primero debemos conocer el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa

I0= ยฝ mR2 Pero debido a que el disco no gira en su centro de masa sino a una distancia h del mismo se debe aplicar el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto a el eje B es I k=mh2+I0 donde I0 es el momento de inercia respecto a el disco Entonces,

Ik= mh2+1/2mR2= m (h2+1/2R2) El radio de giro K se define Ik= mK2

mk2= m(h2+1/2R2)

K2=1/2R2+h2 el periodo del pรฉndulo compuesto es

P= 2 ๐œ‹ โˆš๐‘š(๐‘˜2)

๐‘š๐‘”โ„Ž

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž

P(h)= 2ฯ€ โˆš ยฝ R2+h2/gh A. Debemos igualar la fรณrmula de pรฉndulo compuesto con pรฉndulo simple para despejar L Donde pรฉndulo simple

P= 2๐œ‹ โˆš๐ฟ

๐‘”

Y reemplazo la P por el valor de: P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 19 de 49

( 2 ๐œ‹ โˆš1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž ) =2๐œ‹ โˆš

๐ฟ

๐‘”

( 2 ๐œ‹ โˆš1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž )2 = (2๐œ‹ โˆš

๐ฟ

๐‘” )2

4๐œ‹2(1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž) =4๐œ‹2๐ฟ

๐‘”

1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž =

๐ฟ

๐‘”

1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

โ„Ž =

๐ฟ๐‘”

๐‘”

1/2(๐‘…2+โ„Ž2)

โ„Ž = L DONDE K2=1/2 R2+h2

๐‘˜2

โ„Ž = L

B. Para hallar minimos debemos derivar P en funciรณn de h

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆšยฝ(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž

๐‘‘๐‘

๐‘‘โ„Ž= 2 ๐œ‹

โˆš๐‘…

2

2+โ„Ž

2

๐‘”โ„Ž

Derivada de

๐‘…2

2+โ„Ž2

๐‘”โ„Ž

= [๐‘…2

2+โ„Ž2]

โ€ฒ

[๐‘”โ„Ž]โˆ’[๐‘…2

2+โ„Ž2][๐‘”โ„Ž]โ€ฒ

[๐‘”โ„Ž]2

= 2โ„Ž[๐‘”โ„Ž]โˆ’[

๐‘…2

2+โ„Ž2][๐‘”+โ„Ž]

[๐‘”โ„Ž]2

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 20 de 49

= 2๐‘”โ„Ž2โˆ’ [

๐‘…2

2๐‘”โˆ’๐‘”โ„Ž2]

๐‘”2 โ„Ž2

๐‘‘๐‘

๐‘‘โ„Ž=

[

22 โˆš๐‘…

2

2+ โ„Ž

2

๐‘”โ„Ž

]

[2๐‘”โ„Ž2โˆ’

๐‘…2

2๐‘”โˆ’

๐‘”โ„Ž2

๐‘”2โ„Ž2 ]

El valor de h para el cual el periodo es un mรญnimo es h = R/โˆš 2 C. Representar el periodo en funciรณn de h.

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆšยฝ(๐‘…2+โ„Ž2)

๐‘”โ„Ž cuando h=

๐‘…

โˆš2

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆšยฝ(๐‘…2+(

๐‘…

โˆš2)2)

๐‘”(๐‘…

โˆš2)

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆšยฝ(๐‘…2+

๐‘…2

2)

๐‘”(๐‘…

โˆš2)

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆšยฝ(

2๐‘…2+๐‘…2

2)

๐‘”(๐‘…

โˆš2)

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆšยฝ(

3๐‘…2

2)

๐‘”(๐‘…

โˆš2)

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš(3๐‘…2

4)

๐‘”(๐‘…

โˆš2)

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš3๐‘…2 โˆš2

4๐‘”๐‘…

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 21 de 49

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš3๐‘… โˆš2

4๐‘”

P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš(โˆš2 ๐‘…)

๐‘”

P(h)= 2 โˆš ยฝ R2+h2/gh cuando h = R/โˆš 2 P(h)=2 โˆš โˆš 2R/g

EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn

Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo, un

cuerpo de igual masa que la varilla estรก situado sobre la varilla a una distancia h del eje. a) Obtener el periodo del sistema en funciรณn de h y de L.

b) ยฟHay algรบn valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?

Soluciรณn. a). Lo primero que haremos serรก encontrar el centro de masa de la masa 2 que en este caso

es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 22 de 49

๐‘ช๐’Ž =(๐‘ณ

๐Ÿ)๐’Ž+๐’‰(๐’Ž)

๐Ÿ๐’Ž=

๐‘ณ

๐Ÿ+๐’‰

๐Ÿ=

๐‘ณ+๐Ÿ๐’‰

๐Ÿ’

Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuaciรณn.

๐ผ =1

3m๐ฟ2 + ๐‘šโ„Ž2 factorizando m quedarรญa de la siguiente forma.

๐ผ = [๐ฟ2

3+ โ„Ž2]๐‘š

Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuaciรณn:

๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš๐ผ

๐‘๐‘”๐‘š

Donde:

b=centro de masa. g=gravedad m=masa

Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:

๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš[๐ฟ2

3+ โ„Ž2]๐‘š

๐‘ณ+ ๐Ÿ๐’‰๐Ÿ’

๐’Ž๐’ˆ

Simplificando:

๐‘ƒ = 4๐œ‹โˆš๐ฟ2 + โ„Ž2

3(๐‘ณ+ ๐Ÿ๐’‰)๐‘”

b). No hay ningรบn valor.

EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn

Un pรฉndulo de torsiรณn consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x 12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a travรฉs de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo de oscilaciรณn es de 2.4 s. ยฟCuรกl

es la constante de torsiรณn K del alambre?

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 23 de 49

Soluciรณn:

Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizarรก la siguiente ecuaciรณn.

๐ผ = [๐‘š(๐‘Ž2+๐‘2

12)]

Donde:

M=masa del objeto, 0.3Kg. ๐‘Ž2= la dimensiรณn horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m

๐‘2= la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m

Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la siguiente ecuaciรณn que relaciona el momento de inercia con la constante.

๐พ = (2๐œ‹)2 ๐ผ

๐‘‡2

Donde: ๐‘‡2 es igual al periodo de oscilaciรณn al cuadrado, siendo I el momento de inercia y 2ฯ€

al cuadrado una constante.

Haciendo la relaciรณn entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:

๐พ = (2๐œ‹)2 [๐‘š(๐‘Ž2 + ๐‘

2

12)/๐‘‡2]

Reemplazando valores tenemos que:

๐พ = (2๐œ‹)2 [0.3๐‘˜๐‘”(0.08๐‘š2 + 0.12๐‘š2

12)/2.42]

K=3.564X10โˆ’3N.m [Newton por metro] OTRA FORMA DE RESOLVERLO

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 24 de 49

EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn

Encontrar la ecuaciรณn resultante de la superposiciรณn de dos movimientos armรณnicos simples paralelos

cuyas ecuaciones son:

๐‘ฅโ‚ = 2๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก+๐œ‹

3 )

๐‘ฅโ‚‚ = 3๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก+๐œ‹

2 )

Hacer un grรกfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos

vectores rotantes. SOLUCIร“N:

Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia ๐‘ฅโ‚ = ๐ดโ‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก + ๐›ฟโ‚) ๐‘ฅโ‚‚ = ๐ดโ‚‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก + ๐›ฟโ‚‚)

Con resultante ๐‘ฅ = ๐ด sen(๐œ”๐‘ก + ๐›ฟ)

Donde:

๐ด = (๐ดโ‚ยฒ + Aโ‚‚ยฒ + 2Aโ‚ Aโ‚‚ cosฮฑ)^0.5 ๐›ผ = ๐›ฟโ‚‚โˆ’ ๐›ฟโ‚

y

tan ๐›ฟ = ๐ดโ‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚‚

๐ดโ‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚‚

Estas ecuaciones estรกn demostradas en el libro de Alonsoโˆ’ Finn (pag.372),por ejemplo. Valores

๐›ผ = ๐›ฟโ‚‚โˆ’ ๐›ฟโ‚ =๐œ‹

2โˆ’

๐œ‹

3=

๐œ‹

6

๐ด = (๐ด12 + A22 + 2A1A2cosฮฑ)0.5

๐ด = (22 + 32 + 2.2.3 cosฯ€

6)

0.5

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๐ด = 4.73

tan ๐›ฟ = ๐ดโ‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚‚

๐ดโ‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚‚

tan ๐›ฟ = 2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ‹/3 + 3 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ‹/2

2 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ‹/3 + 3 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ‹/2

tan ๐›ฟ = 4.732

๐›ฟ = 1.36 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

Luego:

๐‘ฅ = ๐ด sen(๐œ”๐‘ก + ๐›ฟ)

๐‘ฅ = ๐ด cos(๐œ”๐‘ก+๐œ‹

2โˆ’ ๐›ฟ)

๐‘ฅ = 4.732 cos(๐œ”๐‘ก + 0.2)

EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn

Encontrar la ecuaciรณn de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos armรณnicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senฯ‰t y y = 3sen (ฯ‰t + ฮฑ), cuando ฮฑ = 0, ฯ€/2 y ฯ€. Hacer un grรกfico de la trayectoria de la partรญcula en cada caso y seรฑalar el sentido en el cual viaja la

partรญcula.

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EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn

Un pรฉndulo simple tiene un periodo de 2 ๐‘  y un amplitud de 2ยฐ, despuรฉs de 10 oscilaciones

completas su amplitud ha sido reducida a 1,5ยฐ encontrar la constante de amortiguamiento ๐›พ. Soluciรณn

Datos: ๐‘ก = 2 ๐‘ ๐‘’๐‘” ; ๐œƒ๐‘œ = 2ยฐ; ๐œƒ = 1.5ยฐ La ecuaciรณn para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada por,

๐œƒ= ๐œƒ0๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก 1

๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก=

๐œƒ0

๐œƒ

๐‘’๐›พ๐‘ก =๐œƒ0

๐œƒ

๐›พ๐‘ก = ln (๐œƒ0

๐œƒ)

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๐›พ =1

๐‘ก ln (

๐œƒ0

๐œƒ)

๐›พ =10

2 seg ln (

2ยฐ

1.5ยฐ)

๐›พ = 1,43 ๐‘ โˆ’1

EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn

En el caso de un oscilador amortiguado, la cantidad ๐œ =1

2๐›พ se denomina tiempo de relajaciรณn.

a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ยฟen cuรกnto ha variado la amplitud del oscilador despuรฉs de un tiempo ๐œ?

c) Expresar como una funciรณn de ๐œ, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la

mitad de su valor inicial. d) ยฟCuรกles son los valores de la amplitud despuรฉs de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el

valor obtenido en c)? Soluciรณn

a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un anรกlisis dimensional.

๐œ =1

2๐›พ

๐œ =1

2ฮป

2m

๐œ =m

Fv

๐œ =m โˆ— v

๐น

๐œ =[๐พ๐‘”] โˆ— [๐‘š/๐‘ ]

[๐พ๐‘” โˆ—๐‘š๐‘ 2]

๐œ = ๐‘  b) la amplitud del oscilador despuรฉs de un tiempo ๐œ ha variado,

๐ดยด(๐‘ก) = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก

๐ดยด (1

2๐›พ) = ๐ด๐‘’

โˆ’๐›พ12๐›พ

๐ดยด (1

2๐›พ) = ๐ด๐‘’โˆ’

12

๐ดยด (1

2๐›พ) = 0,6 ๐ด

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c) Expresar como una funciรณn de ๐œ, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.

๐ดยด(๐‘ก) = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก ๐ด

2= ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก

1

2= ๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก

โˆ’1

2๐œ๐‘ก = ๐ฟ๐‘› (1/2)

โˆ’๐‘ก = 2๐œ ๐ฟ๐‘› (1/2) โˆ’๐‘ก = โˆ’1,38 ๐œ

๐‘ก = 1,38 ๐œ

d) ยฟCuรกles son los valores de la amplitud despuรฉs de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el

valor obtenido en c)?

๐ดยด(๐‘ก) = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก

๐ดยด(1,38 ๐œ ) =๐ด

2

๐ดยด(2 โˆ— 1,38 ๐œ ) =๐ด

4

๐ดยด(3 โˆ— 1,38 ๐œ ) =๐ด

8

๐ดยด(๐‘› โˆ— 1,38 ๐œ ) =๐ด

2๐‘›

EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn

Escribir la ecuaciรณn del movimiento de un oscilador armรณnico simple sin amortiguamiento al

cual se le aplica la fuerza ๐น= ๐น0 Cos wft.

Verificar que su soluciรณn es ๐‘ฅ= [๐น0 /๐‘š (w02-wf2) ] Cos wft Soluciรณn:

๐’…๐Ÿ๐’™

๐’…๐’•๐Ÿ+ ๐’˜๐ŸŽ

๐Ÿ ๐’™ = (๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž)(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•)

๐’™ = [ ๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ )] ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’…๐’™

๐’…๐’•=

โˆ’๐‘ญ๐ŸŽ๐’˜๐’‡ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ )

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๐’…๐Ÿ๐’™

๐’…๐’•๐Ÿ=

โˆ’๐‘ญ๐ŸŽ๐’˜๐’‡ ๐Ÿ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ )

Reemplazando en la ecuaciรฒn inicial: ๐’…๐Ÿ๐’™

๐’…๐’•๐Ÿ+ ๐’˜๐ŸŽ

๐Ÿ ๐’™ = (๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž)(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•)

(โˆ’๐‘ญ๐ŸŽ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ ) ) + ๐’˜๐ŸŽ

๐Ÿ (๐‘ญ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ ) ) = (

๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž)(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•)

Reorganizando tรฉrminos:

(๐’˜๐ŸŽ

๐Ÿ ๐‘ญ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ ) ) โˆ’ (

๐‘ญ๐ŸŽ๐’˜๐’‡ ๐Ÿ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž (๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ ) ) = (

๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž)(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•)

Sacando factor comรบn :

(๐‘ญ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž ) [ (

(๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ )

(๐’˜๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜๐’‡

๐Ÿ ) )] = (

๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž)(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•)

Y se cumple con la igualdad llegando la demostraciรณn:

(๐‘ญ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•

๐’Ž ) = (

๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž) (๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’•)

EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula se desliza hacia adelante y hacia atrรกs entre dos planos inclinados sin fricciรณn a) Encontrar el periodo de oscilaciรณn del movimiento si h es la altura inicial b) ยฟEs el movimiento oscilatorio? c) ยฟEs el movimiento armรณnico simple? Soluciรณn a) La aceleraciรณn serรก: a= g Cos ฯด

La longitud del plano = L= ๐’‰

๐‘บ๐’†๐’ ๐œฝ

Partiendo del reposo a la altura h se tiene: L=1/2 a t2

t= โˆš2๐ฟ

๐‘Ž

Para descender del plano y entonces:

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t= โˆš2๐ฟ

๐‘Ž

T= 4 t

T= 4 (โˆš2๐ฟ

๐‘Ž )

T= 4 (โˆš2(

๐’‰

๐‘บ๐’†๐’ ๐œฝ)

๐‘” ๐ถ๐‘œ๐‘ ๐œƒ )

T= 4 (โˆš4(

๐’‰

๐’ˆ )

2๐‘บ๐’†๐’ ๐œฝ๐ถ๐‘œ๐‘ ๐œƒ )

Teniendo en cuenta una de las identidades fundamentales de la trigonometrรญa: 2 Sen ฯด Cos ฯด = Sen 2 ฯด Y operando resulta:

T= 4x2 (โˆš(๐’‰

๐’ˆ )

๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ๐œฝ )

T= 8 (โˆš(๐’‰

๐’ˆ )

๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ๐œฝ )

b) Sรญ, es oscilatorio; c) NO, no es armรณnico simple porque no sigue una variaciรณn senoidal o cosenoidal del tipo: x = A cos (wt+delta)

EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn

Una partรญcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa (Fig.12-49) esta sostenida por dos alambres estirados de longitud l0 cuyos extremos estรกn fijos en P1 y P2.

La tensiรณn de los alambres es T.

Si la partรญcula se desplaza lateralmente una cantidad X0 pequeรฑa comparada con la longitud de los alambres, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente.

Encontrar su frecuencia de oscilaciรณn y escribir la ecuaciรณn de su movimiento. Suponer que la longitud de los alambres y la tensiรณn permanecen inalterables

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EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370

12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilaciรณn hallar el equivalente a un pรฉndulo simple. a.

๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš๐‘˜2

๐‘”๐‘

P= 2ฯ€ โˆš k2/ gb K2= I/m Ic=mR2

Teorema de Steiner

I=Ic+ma2 I=mR2+mR2 =LmR2 K2=2m R2/m K2=2R2

๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš2๐‘…2

๐‘”๐‘Ÿ

๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš2๐‘…

๐‘”

๐‘ƒ = (6.28)โˆš2(๐‘‚. 1)

(9.8)

๐‘ƒ = 0.89 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ 

b.

L=k2/ b

L=2R2/2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m

MOVIMIENTO ARMร“NICO SIMPLE EJERCICIO 16 Cuando una masa de 0.750 ๐‘˜๐‘” oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de 1.33 ๐ป๐‘ง. a) ยฟCuรกl serรก la frecuencia si se agregan

0.220 ๐‘˜๐‘” a la masa original, y b) y si se restan de la masa original? Intente resolver este problema sin calcular la constante de

fuerza del resorte.

Soluciรณn

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EJERCICIO 17 Un oscilador armรณnico tiene una masa de 0.500 ๐‘˜๐‘” unida a un resorte ideal con constante de fuerza de 140 ๐‘/๐‘š. Calcule a) el periodo, b) la

frecuencia y c) la frecuencia angular de las oscilaciones.

Soluciรณn

EJERCICIO 18 Sobre una pista de aire horizontal sin fricciรณn, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fu erza es 2.50 ๐‘/๐‘๐‘š. En la

figura, la grรกfica muestra la aceleraciรณn del deslizador en funciรณn del tiempo. Calcule a) la masa del deslizador; b) el desplazamiento mรกximo del

deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza mรกxima que el resorte ejerce sobre el deslizador.

Soluciรณn

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Energรญa en el movimiento armรณnico simple

EJERCICIO 19 Una porrista ondea su pompรณn en MAS con amplitud de 18.0 ๐‘๐‘š y frecuencia de 0.850 ๐ป๐‘ง. Calcule a) la magnitud mรกxima de la aceleraciรณn y de la

velocidad; b) la aceleraciรณn y rapidez cuando la coordenada del pompรณn es ๐‘ฅ = +9.0 ๐‘๐‘š; c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la

posiciรณn de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d) ยฟCuรกles de las cantidades pedidas en los incisos a), b)

Soluciรณn

EJERCICIO 19

Un juguete de 0.150 ๐‘˜๐‘” estรก en MAS en el extremo de un resorte horizontal con constante de fuerza ๐‘˜ = 300 ๐‘/๐‘š. Cuando el objeto estรก a 0.0120 ๐‘š

de su posiciรณn de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 ๐‘š/๐‘ . Calcule a) la energรญa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud

del movimiento; c) la rapidez mรกxima alcanzada por el objeto durante su movimiento.

Soluciรณn

Aplicaciones del movimiento armรณnico simple

EJERCICIO 20

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 36 de 49

Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 ๐‘˜๐‘” de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 ๐‘š. a) Calcule la

constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 ๐‘๐‘š hacia abajo y luego se suelta. b) ยฟQuรฉ periodo de oscilaciรณn tiene el pez? c) ยฟQuรฉ

rapidez mรกxima alcanzarรก?

Soluciรณn

EJERCICIO 21

Una esfera de 1.50 ๐‘˜๐‘” y otra de 2.00 ๐‘˜๐‘” se pegan entre sรญ colocando la mรกs ligera debajo de la mรกs pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical,

cuya constante de fuerza es de 165 ๐‘/๐‘š, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15.0 ๐‘๐‘š. El pegamento que une las esferas es dรฉbil y antiguo, y de

repente falla cuando las esferas estรกn en la posiciรณn mรกs baja de su movimiento. a) ยฟPor quรฉ es mรกs probable que el pegamento falle en el punto mas bajo, que en

algรบn otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones despuรฉs de que la esfera inferior se despega.

Soluciรณn

EJERCICIO 22

Un disco metรกlico delgado con masa de 2.00 3 1023 kg y radio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga como se ve en la figura. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule la constante de torsiรณn de la fibra.

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Soluciรณn

EJERCICIO 24 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecรกnica complicada, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa,

asรญ que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsiรณn de . Usted gira un poco la p ieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. ยฟCuรกnto vale el momento de inercia buscado?

Soluciรณn

El pรฉndulo simple EJERCICIO 25 En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que consisten en bombillas pequeรฑas de 2.35 ๐‘˜๐‘” con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terremoto leve, ยฟcuรกntas oscilaciones por segundo ha rรกn tales

aditamentos?

Soluciรณn

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 38 de 49

EJERCICIO 26 Un pรฉndulo en Marte. En la Tierra cierto pรฉndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ยฟQuรฉ periodo tendrรก en Marte, donde

๐‘” = 3.71๐‘š

๐‘ 2?

Soluciรณn

El pรฉndulo fรญsico

EJERCICIO 27 Una biela de 1.80 ๐‘˜๐‘” de un motor de combustiรณn pivota alrededor de un fi lo de navaja horizontal como se muestra en la figura. El centro de gravedad de la biela se encontrรณ por balanceo y estรก a 0.200 ๐‘š del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones

en 120 ๐‘ . Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotaciรณn en el pivote.

Soluciรณn

EJERCICIO 28 Dos pรฉndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El pรฉndulo A es una esfera muy pequeรฑa que oscila en el extremo de una varilla uniforme

sin masa. En el pรฉndulo B, la mitad de la masa estรก en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada pรฉndulo para oscil aciones pequeรฑas. ยฟCuรกl tarda mรกs tiempo en una oscilaciรณn?

Soluciรณn

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EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Una masa m=1kg vibra verticalmente a lo largo de un segmento de 20cm de longitud con MAS

y un perรญodo de T= 4 s. Determinar:

a) Velocidad y aceleraciรณn del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. b) La velocidad y aceleraciรณn en los extremos del segmento.

c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de la trayectoria.

d) ยฟEn que tiempo la partรญcula se encuentra en 8cm?

SOLUCION

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W= 2 /4

W= /2

A=10 cm= 0,1m

a) Velocidad y aceleraciรณn del cuerpo en el punto medio de su trayectoria.

a= - wx si x=0

a= - ( /2)(0m) = 0 m/ s2

a= 0 m/ s2

Vmax= Aw Vmax= (0,1m )( /2 ) = 0,157 m/s

b) La velocidad y aceleraciรณn en los extremos del segmento.

En los extremos v=0 a= - w2 x

a= - ( /2)2 (0,1 m)

a= - ( 2 /4) (0,1 m) = -0,2467 m/ s2

c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de

la trayectoria. En el punto medio de su trayectoria

F= - k x Si x = 0 F = 0

En los extremos de la trayectoria F= - k x Si x = 0,1 m F = ?

w =โˆš๐‘˜/๐‘š

w2 =k/m k= w2 m

F= - k x

F= - (w2 m) (0,1m)= F= - ( ( 2 /4) (1 kg) ) (0,1m)= -0,247

d) ยฟEn que tiempo la partรญcula se encuentra en 8cm?

A= 8 cm= 0,8m

W= /2

X=A Sen( Wt)

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(0,8m)= (0,8m) Sen(( /2 ) t

(0,8m)/(0,8m) =Sen(( /2 ) t

1=Sen(( /2 ) t

Sen-1 (1) / ( /2 ) = t

( /2 ) / ( /2 ) = t

t= 1 segundo

e) En que lugar esta la particula para un tiempo de t=4segundos ? W= /2

A=10 cm= 0,1m X=A Sen( Wt)

X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos))

X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos))

X= (0,1m) (4 ) X= 0,4m

EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470

1. Suponga que un astronauta tiene una masa de 60kg, incluido del dispositivo de silla al que se amarra.

El y la silla se mueven bajo la influencia de la fuerza de un resorte con K=3.1 x 102 N/m. No hay otras fuerzas actuantes.

El desplazamiento mรกximo desde el equilibrio del dispositivo de mediciรณn de masa corporal es de 0,200m .

Suponga que debido a la fricciรณn la amplitud un ciclo mรกs tarde es de 0,185m. ยฟCuรกl es el factor de

calidad para este oscilador armรณnico amortiguado?

M= 60kg

k1=3,1x10 2 N/m

Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 42 de 49

A=0,200m

Aโ€™ =0,185 m

๐‘ž = 2 ๐œ‹๐ธ

โˆ†๐ธ

โˆ†๐ธ = (2๐œ‹

๐‘ž) E

E=? ฮ”E=? q=?

En el desplazamiento mรกximo , la energรญa totales toda energรญa potencial:

๐ธ = 1

2๐พ๐ด2

Si A=0,200m

๐ธ = 1

2๐พ๐ด2

๐ธ = 1

2(3,1๐‘ฅ102)(0,200)2 = 6,2 Julios

Si Aโ€™ =0,185 m

๐ธ = 1

2๐พ๐ด2

๐ธโ€ฒ = 1

2(3,1๐‘ฅ102)(0,185)2 = 5,3 Julios

โˆ†๐ธ = ๐ธโ€ฒ โˆ’ ๐ธ โˆ†๐ธ = (5,3 ๐ฝ๐‘ข๐‘™๐‘–๐‘œ๐‘ ) โˆ’ (6,2 Julios) = โˆ’0,9 Julios

๐‘ž = 2 ๐œ‹๐ธ

โˆ†๐ธ

๐‘ž = 2 ๐œ‹(6,2 ๐ฝ๐‘ข๐‘™๐‘–๐‘œ๐‘ )

(0,9 ๐ฝ๐‘ข๐‘™๐‘–๐‘œ๐‘ ) = 43,2 oscilaciones

El factor de calidad es:

q=43,2 oscilaciones 2. Una masa m=1 kg cuelga de un resorte de contante de resistividad k=200 N/m.

La constante de amortiguamiento es ฮป=1 kg/s.

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En el instante t=0 comienza a actuar sobre la masa una fuerza F= F0 Sen(wf t) con F0 =2N y wf =10 rad/segundos.

Si en t=0 x(0)=0 y v(0)=0.

Encuentre la posiciรณn de la partรญcula en funciรณn del tiempo para t=1 segundo, t=10 s, t=100s , t=1000 s.

SOLUCION:

M1 =1 kg K= 200 N/m

ฮป=1 kg /s f0 =2N

wf = 10 rad/s t=0 x=0 x(t)=? t =1 ,10 ,100 , 1000

๐‘ค0 = โˆš๐‘˜

๐‘š

๐‘ค0 = โˆš200 N/m

1 kg = 14,142

2๐›พ = ๐œ†

๐‘š

๐›พ = ๐œ†

2๐‘š

๐›พ = (1๐‘˜๐‘”/๐‘ )

2(1๐‘˜๐‘”)= 0,5 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ โˆ’1

LA ECUACION DIFERENCIAL E.D

๐’…๐Ÿ๐’™

๐’…๐’•๐Ÿ+ ๐Ÿ๐œธ

๐’…๐’™

๐’…๐’•= (

๐‘ญ๐ŸŽ

๐’Ž)(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜๐’‡๐’• + ๐œน)

SOLUCION A LA ECUACION DIFERENCIAL E.D

๐‘ฟ = ๐‘จ ๐‘บ๐’†๐’( ๐’˜๐’‡๐’• โˆ’ ๐œน)

Entonces:

๐ด =

๐น0

๐‘š(๐‘ค1

2 โˆ’ ๐‘ค02)2 + 4๐›พ2 + ๐‘ค1

2

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๐ด =

(2 ๐‘)(1 ๐‘˜๐‘”)

((10)2 โˆ’ (14,14)2)2 + 4(0,5)2 + (10)2

๐ด =

(2 ๐‘)(1 ๐‘˜๐‘”)

( (100)โˆ’ (199.9396))2 + 4(0,25)+ (100)

๐ด =

(2 ๐‘)(1 ๐‘˜๐‘”)

( โˆ’99.9396)2 + 4(0,25)+ (100)

๐ด =

(2 ๐‘)(1 ๐‘˜๐‘”)

(9987.9236)+ (1)+ (100)

๐ด =

(2 ๐‘)(1 ๐‘˜๐‘”)

(9987.9236)+ (1)+ (100)

๐ด = 1.9823 ๐‘ฅ 10โˆ’4

๐ด = 0.000198237

๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 (๐‘ค๐‘“

2 โˆ’ ๐‘ค02

2 ๐›พ ๐‘ค๐‘“

)

๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 ((10)2 โˆ’ (14,14)2

2 (0,5)(10))

๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 (โˆ’99.9396

10)

๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1(โˆ’9.99396) ๐›ฟ = โˆ’1.47106

3. Demuestre por sustituciรณn directa que las funciones: X1 = A1 Sen (w1 t +ฮฑ1 ) y

X2 = A1 Sen (w1 t +ฮฑ1 )

Para un oscilador acoplado son soluciones de las ecuaciones de movimiento

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๐’…๐Ÿ๐’™

๐’…๐’•๐Ÿ+

๐’Œ๐Ÿ + ๐’Œ

๐’Ž๐’™๐Ÿ = (

๐’Œ

๐’Ž) ๐’™๐Ÿ

Siempre que:

๐‘ค1 = โˆš๐‘˜1

๐‘š1

4. Considere el sistema dela fig.

La pizarra Z, de masa 500 g cuelga de un resorte cuya cte. elรกstica es K=50N/m. Se sabe ademรกs que la cte. de amortiguamiento B=5 s-1 .

En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte se estire 3cm , y se acerca la punta entintada P a la pizarra.

A continuaciรณn, la pizarra se suelta. Considere este instante como el inicial y analice el movimiento de la punta respecto al centro de la

pizarra โ€œoโ€. A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuaciรณn que describe el movimiento de la punta

respecto a โ€œOโ€ direcciรณn del eje โ€œOyโ€.

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M = 500g

K = 50 N/m B = 5 s-1

X = 3x 10-2 = 0,03 metros

X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )

๐‘ค = โˆš๐‘ค02 โˆ’ ๐ต2

๐‘ค = โˆš(10)2 โˆ’ (5 ๐‘†โˆ’1)2

๐‘ค = โˆš100โˆ’ 25

๐‘ค = โˆš75

๐‘ค = 8.66 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ ๐‘’๐‘”

๐‘ค0 = โˆš๐พ

๐‘š

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๐‘ค0 = โˆš(50)

(0,5)

๐‘ค0 = โˆš100

๐‘ค0 = 10 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘

๐‘ ๐‘’๐‘”

X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )

Derivamos la ecuacion x:

v = Aw e-Bt Cos (wt + ฮด )

v = Aw e-B(0) Cos (wt + ฮด )

v = Aw (1) Cos (wt + ฮด )

v = Aw Cos (wt + ฮด )

si v=0

0 = Aw Cos (wt + ฮด )

0 = A(8,6 rad/seg) Cos ( (8,6 rad/seg) t + ฮด )

Ahora para la ecuacion X, mientras: Si t=0

x=0,003 metros

X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )

(0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ ฮด )

(0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ ฮด )

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(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ ฮด )

Debemos hallar la amplitud, por lo que debemos encontrar primero delta ฮด = ?

X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) ๐’…๐’™

๐’…๐’•= ๐’— = ๐‘จ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’•(โˆ’๐‘ฉ) ๐‘บ๐’†๐’ (๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’•(๐’˜) ๐‘ช๐’๐’” (๐’˜๐’• + ๐œน)

๐’…๐’™

๐’…๐’•= ๐’— = โˆ’๐‘จ๐‘ฉ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ (๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’˜ ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘ช๐’๐’” (๐’˜๐’• + ๐œน)

Si v=0 B=5 t=0 w= 8,6 rad/seg

๐’— = โˆ’๐‘จ๐‘ฉ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ (๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’˜ ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘ช๐’๐’” (๐’˜๐’• + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐‘จ๐‘ฉ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ (๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’˜ ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘ช๐’๐’” (๐’˜๐’• + ๐œน)

๐ŸŽ = โˆ’๐‘จ(๐Ÿ“)๐’†โˆ’(๐Ÿ“)(๐ŸŽ) ๐‘บ๐’†๐’ ((8,6rad

seg) (0 seg) + ๐œน) + ๐‘จ(๐Ÿ–,๐Ÿ”

๐’“๐’‚๐’…

๐’”๐’†๐’ˆ)๐’†โˆ’(๐Ÿ“)(๐ŸŽ) ๐‘ช๐’๐’” ((8,6 rad/seg)(0 seg) + ๐œน)

๐ŸŽ = โˆ’๐‘จ(๐Ÿ“) ( ๐Ÿ ) ๐‘บ๐’†๐’ ( (0) + ๐œน) + ๐‘จ(๐Ÿ–,๐Ÿ”๐’“๐’‚๐’…

๐’”๐’†๐’ˆ) (๐Ÿ) ๐‘ช๐’๐’” ((0 ) + ๐œน)

๐ŸŽ = โˆ’๐Ÿ“๐‘จ ๐‘บ๐’†๐’ ( (0) + ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘จ ๐‘ช๐’๐’” ((0 ) + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐Ÿ“๐‘จ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘จ ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) ๐ŸŽ = ๐‘จ(โˆ’๐Ÿ“ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) + ๐Ÿ–,๐Ÿ” ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน))

๐ŸŽ = โˆ’๐Ÿ“ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) ๐Ÿ“ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) = ๐Ÿ–,๐Ÿ” ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน)

๐‘บ๐’†๐’( ๐œน)

๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) =

๐Ÿ–,๐Ÿ”

๐Ÿ“

๐’•๐’‚๐’(๐œน) =๐Ÿ–,๐Ÿ”

๐Ÿ“

๐œน = ๐’•๐’‚๐’โˆ’๐Ÿ ( ๐Ÿ–,๐Ÿ”

๐Ÿ“ )

๐œน = ๐Ÿ,๐ŸŽ๐Ÿ’ ๐’“๐’‚๐’…

Como ya encontramos delta reemplazamos :

X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )

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(0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ ฮด )

(0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ ฮด )

(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ ฮด )

(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ (1,04) )

๐ด = 0,003

๐‘†๐‘’๐‘› (1,04)

A = 0,034

A = 3,4 x10-2

Entonces la ecuaciรณn quedarรญa:

X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )

X = (3,4 x10-2) e-5t Sen (8,6 t + 1,04 )