SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINNEjercicios...
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SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO
LIBRO ALONSO FINN
Tabla de contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN..........2 EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................2
EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................3 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................6
EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................7 EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................8 EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................9
EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn .................................................................................9 EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................10
EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................11 EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12
EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................13 EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................14
EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................15 EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................16 EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................17
EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................21 EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................22
EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................24 EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................25 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................26
EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn ..............................................................................27 EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................28
EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................29 EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................30 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro
pagina370..............................................................................................................................................33 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE .........................................................................39
EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ........................................41 EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 ...............................................................................41
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EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN
EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn
Una rueda de 30 ๐๐ de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0,5 ๐๐๐ฃ
๐ ๐๐ con
su eje de posiciรณn horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armรณnico simple encontrar:
a) El periodo de oscilaciรณn de la sombra,
b) La frecuencia,
c) Su amplitud,
d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en funciรณn del tiempo.
Suponer la fase inicial cero.
Soluciรณn
Datos:
Radio= Amplitud = 30 ๐๐
๐ = 0,5 ๐๐๐ฃ
๐ ๐๐
a) El periodo de oscilaciรณn de la sombra es:
๐ =2๐
๐
๐ = 2๐
0,5 โ 2๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐ = 2 ๐ ๐
b) La frecuencia de la sombra es:
๐ =1
๐
๐ = 1
2 ๐ ๐๐
๐ = 0,5 ๐ป๐ง
c) Su amplitud es:
๐ด = 30 ๐๐
d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en funciรณn del tiempo.
Suponer la fase inicial cero.
๐(๐ก) = ๐ด ๐ ๐๐ (๐๐ก + ๐)
๐(๐ก) = 0,30 ๐ ๐๐ (๐๐ก ) Donde la fase inicial es igual a cero (๐ = 0).
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EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn
Un oscilador armรณnico simple estรก descrito por la ecuaciรณn
๐ฅ(๐ก) = 4 ๐๐๐ (0.1๐ก+ 0.5) Donde todos las cantidades se expresan en MKS.
Encuentre: a. Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento
b. Velocidad y aceleraciรณn del movimiento
c. Condiciones iniciales
d. La posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn para ๐ก = 5๐
e. Hacer el grรกfico de la posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn en funciรณn del tiempo.
Soluciรณn Por comparaciรณn con la expresiรณn
๐ฅ(๐ก) = ๐ด ๐๐๐ (๐ค๐ก+ ๐) Tenemos que,
๐ฅ(๐ก) = 4 ๐๐๐ (0.1๐ก+ 0.5)
a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento.
Amplitud: ๐ด = 4๐
Frecuencia Angular: ๐ = 0.1 ๐๐๐/๐
Fase Inicial: ๐ = 0.5 rad Periodo:
๐ = 2๐
๐
๐ = 2๐
0,1 ๐ ๐๐
๐ = 20 ๐ ๐ ๐๐
Frecuencia: ๐ = 1
๐
๐ = 1
20๐ ๐ ๐๐
b) Velocidad y aceleraciรณn del movimiento
๐(๐ก) =๐๐ฅ
๐๐ก= 0.4 ๐ถ๐๐ (0.1๐ก+ 0.5) ๐(๐ก) =
๐2๐ฅ
๐๐ก2 = โ0.04๐๐๐(0.1๐ก + 0.5)
c) Condiciones iniciales cuando ๐ก = 0,
๐ฅ0 = ๐ฅ(๐ก = 0) = 4๐๐๐(0.5) = 1.92๐
๐ฃ0 = ๐ฃ(๐ก = 0) = 4๐ถ๐๐ (0.5) = 0.351๐/๐
๐0 = ๐(๐ก = 0) = โ0.04๐๐๐(0.5) = โ19.17๐ฅ10โ3๐/๐ 2
d) La posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn para ๐ก = 5๐
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๐ฅ(๐ก = 5) = 4๐๐๐(1) = 3.37๐
๐ฃ(๐ก = 5) = 4๐ถ๐๐ (1) = 0.216๐/๐
๐(๐ก = 5) = โ0.04๐๐๐(1) = โ3.37๐ฅ10โ2๐/๐ 2
e) l grรกfico de la posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn en funciรณn del tiempo.
GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO
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GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO
GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO
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EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn
Una partรญcula estรก situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posiciรณn de equilibrio con
una velocidad de 2๐
๐ la amplitud es de 10โ3 ๐. ยฟCuรกl es la frecuencia y el periodo del vibrador?
Escribir la ecuaciรณn que exprese su desplazamiento en funciรณn del tiempo.
Soluciรณn
๐ธ๐ =1
2๐๐ฃ2
๐ธ๐ =1
2๐๐2[๐ด2 โ ๐ฅ2]
Como pasa por la posiciรณn de equilibrio ๐ฅ = 0 tenemos,
1
2๐๐2[๐ด2 โ ๐ฅ2] =
1
2๐๐ฃ2
๐ =2
๐๐
10โ3 ๐
๐ = 2000๐๐๐
๐ ๐๐
Asรญ la el periodo es:
๐ = 2๐
๐
๐ = 2๐
2000๐๐๐๐ ๐๐
๐ = ๐ โ 10โ3๐ ๐๐ Y la frecuencia:
๐ = 1
๐
๐ = 103
๐ ๐ ๐๐
La ecuaciรณn que exprese su desplazamiento en funciรณn del tiempo es:
๐(๐ก) = 10โ3 ๐ ๐๐(2000๐ก + ๐ผ)
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EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn
Una partรญcula cuya masa es de 1 ๐ vibra con movimiento armรณnico simple de amplitud de 2 ๐๐. Su
aceleraciรณn en el extremo de su recorrido es de 8,0 โ 103 ๐
๐ 2. Calcular la frecuencia del movimiento y
la velocidad de la partรญcula cuando pasa por la posiciรณn de equilibrio y cuando la elongaciรณn es de 1,2 ๐๐. Escribir la ecuaciรณn que expresa la fuerza que actรบa sobre la partรญcula en funciรณn posiciรณn y
el tiempo. Soluciรณn
Datos
๐ด = 2 โ 10โ3 ๐, ๐ = 10โ3 ๐๐ , ๐ = 8,0 โ 103 ๐
๐ 2 , ๐ฅ = 1,2 ๐๐
La aceleraciรณn de la partรญcula es:
๐ = โ๐2๐ฅ
๐2 = โ๐
๐ฅ; ๐ = 2๐๐
Asรญ la frecuencia se puede calcular,
๐2 = โ๐
(2๐)2๐ฅ
๐2 = โ8,0 โ 103 ๐
๐ 2
(2๐)2(โ2 โ 10โ3 ๐)
๐ = โ106
(๐)2๐ป๐ง2
๐ = โ106
(๐)2๐ป๐ง2
๐ =103
๐๐ป๐ง
La velocidad de la partรญcula se puede calcular, partiendo de la energรญa cinรฉtica,
๐ธ๐ =1
2๐๐ฃ2
๐ธ๐ =1
2๐๐2[๐ด2 โ ๐ฅ2]
Como pasa por la posiciรณn de equilibrio ๐ฅ = 0 tenemos,
1
2๐๐2๐ด2 =
1
2๐๐ฃ2
(2๐๐)2๐ด2 = ๐ฃ2 ๐ฃ = 2๐๐๐ด
๐ฃ = 2๐(103
๐๐ป๐ง) 2 โ 10โ3๐
๐ฃ = 4๐
๐
Cuando la elongaciรณn es de 1,2 ๐๐ , su velocidad se puede escribir,
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1
2๐๐2[๐ด2 โ ๐ฅ2] =
1
2๐๐ฃ2
(2๐๐)2[๐ด2 โ ๐ฅ2] = ๐ฃ2
๐ฃ = 2๐๐โ[๐ด2 โ ๐ฅ2]
๐ฃ = 2๐(103
๐๐ป๐ง)โ[(2 โ 10โ3)^2 โ (1,2 โ 10โ3)2] ๐
๐ฃ = 3,2๐
๐
La fuerza que actรบa sobre la partรญcula en funciรณn posiciรณn y el tiempo es
๐น = โ๐๐2๐ฅ
๐น = (10โ3 )(2โ 103)2๐ฅ ๐น = 4 โ 103 ๐ฅ [๐]
๐น = โ๐๐ด๐2๐ ๐๐(๐๐ก + ๐ผ)
๐น = โ(10โ3 ) (โ2 โ 10โ3)(2 โ 103 )2๐ ๐๐(๐๐ก + ๐ผ) [๐] ๐น = 8๐ ๐๐(2 โ 103๐ก + ๐ผ) [๐]
EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn
Una partรญcula se mueve con movimiento armรณnico simple con una amplitud de 1.5 ๐ y frecuencia
100 ciclos por segundo ยฟCuรกl es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleraciรณn y su fase cuando su desplazamiento es de 0.75 ๐.
Soluciรณn La frecuencia angular es,
๐ = 2๐๐ ๐ = 2๐(100 ๐ป๐ง)
๐ = 200 ๐ ๐ป๐ง
La velocidad se puede calcular a travรฉs de la energรญa cinรฉtica, 1
2๐๐2[๐ด2 โ ๐ฅ2] =
1
2๐๐ฃ2
(2๐๐)2[๐ด2 โ ๐ฅ2] = ๐ฃ2
๐ฃ = ๐โ[๐ด2 โ ๐ฅ2]
๐ฃ = (200 ๐ ๐ป๐ง)โ[(1.5 ๐ )2 โ (0.75 m)2] ๐ฃ = 2,59 โ 102 ๐ ๐ป๐ง
La aceleraciรณn se puede calcular como sigue,
๐ = โ๐2๐ฅ
๐ = โ(200 ๐ ๐ป๐ง)2(โ0,75 ๐)
๐ = 3 โ 104 ๐๐
๐
La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),
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๐ฅ = ๐ด ๐ ๐๐(๐ค๐ก + ๐ผ) ๐ฅ
๐ด= ๐ ๐๐(๐ผ)
๐ผ = ๐ ๐๐โ1 (๐ฅ
๐ด)
๐ผ = ๐ ๐๐โ1 (0,75
1,5)
๐ผ = 30ยฐ EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn
Un movimiento armรณnico simple tiene una amplitud de 8 ๐๐ y un periodo de 4 ๐ ๐๐. Calcular
la velocidad y la aceleraciรณn 0,5 ๐๐๐ despuรฉs que la partรญcula pase por el extremo de su
trayectoria. SOLUCIรN:
DATOS: A = 8 cm ---- 0.08m T = 4 seg.
La frecuencia angular es,
๐ =2๐
๐
๐ =2๐
4 ๐ ๐๐
๐ =๐
2
๐๐๐
๐ ๐๐
La velocidad despuรฉs de ๐ก = 0,5, es:
๐ฃ = ๐ด ๐ ๐๐๐ (๐๐ก + ๐ผ)
๐ฃ = 0,08๐
2 ๐๐๐ (
๐
2(0,5) +
๐
2)
๐ฃ = 2,8 ๐ โ 10โ2๐
๐
La aceleraciรณn despuรฉs de ๐ก = 0,5, es:
๐ = โ๐ด ๐2 ๐๐๐ (๐๐ก + ๐ผ)
๐ = 0,08(๐
2 )
2
๐ ๐๐ (๐
2(0,5)+
๐
2)
๐ = 1,4 ๐2 โ 10โ2๐
๐
EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn
Una partรญcula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armรณnico simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm, calcular la aceleraciรณn,
la fuerza de la energรญa potencia y cinรฉtica cuando la partรญcula estรก a 5 cm de la posiciรณn inicial. DATOS
Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S
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Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M
SOLUCIรN
A)
๐น =1
๐
๐น =1
0.15 ๐ ๐๐= ๐.๐๐๐ ๐ฏ๐
B)
๐ = 2๐๐ w= 2 ( ฯ) (6.666 Hz)= 41.88 hz
C)
๐ = โ๐ยฒ๐ฅ
๐ = โ41.882 โ 0.05 ๐ ๐๐
๐ = ๐๐.๐๐๐
๐๐
D)
๐ธ๐ =1
2 ๐ ๐2[๐ด2 โ๐2]
๐ธ๐ =1
2 (0.5 ๐พ๐) (41.88
๐๐๐
๐ )2[(0.10 ๐)2 โ (0.05 ๐)2]
๐ฌ๐ = ๐.๐๐ ๐ต
EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn
Una plancha horizontal oscila con movimiento armรณnico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mรญnimo del coeficiente de fricciรณn a fin de
que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve.
Soluciรณn
๐ด = 1,5 ๐
๐น = 15 ๐๐ ๐/min ๐ = 2๐๐
๐ = 2 HYPERLINK "http://es.wikipedia. org/wiki/%CE%A0" \o "\"ฮ \" (15 ๐๐ ๐
๐๐๐)(
1๐๐๐
60๐ ๐๐)
๐ =๐
2
๐๐๐
๐ ๐๐
La fuerza de fricciรณn es
๐น๐ = ๐๐๐
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Para que la plancha no resbale se debe cumplir
๐น = ๐น๐
๐๐ = ๐๐๐
๐ =๐
๐
Para obtener el valor mรญnimo del coeficiente de refracciรณn tenemos
๐ =๐ด๐2
๐
๐ =(1.5 ๐)(
๐2
๐๐๐๐ ๐๐
)2
9,8๐๐ 2
๐ = 0.377
EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm.
ยฟCuรกl es la conste de elasticidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ยฟCuรกl es su periodo de vibraciรณn cuando estรก vacรญo y cuando estรก el hombre adentro?
SOLUCIรN:
Representaciรณn de Fuerzas
๐2 = 60๐๐ ; ๐ฅ = 0.3๐๐= 3x10-3m
a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muelles del auto.
๐น = โ๐๐ฅ = โ๐2๐
๐ =๐2๐
๐ฅ=
60๐๐ ร 9.8๐ ๐ 2โ
3 ร 10โ3๐
๐ = ๐๐๐ร ๐๐๐ ๐ต ๐โ
b) Periodo de vibraciรณn del auto vacรญo.
๐๐ฅ = ๐1๐2๐ฅ; m1=500kg
-kx
560 Kg
-kx
(M1+M2)g
500 Kg
M1g
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๐ = โ๐
๐= โ
196 ร 103 ๐ ๐โ
500๐๐= 19.79898987๐๐๐
๐ โ โ 19.8๐๐๐๐ โ
๐ท =๐๐
๐=
๐๐
๐๐.๐ ๐๐๐ ๐โ
= ๐. ๐๐๐๐
c) Periodo de vibraciรณn del auto con el hombre adentro.
๐1 + ๐2 = 560๐๐
๐ = โ๐
๐1 + ๐2
= โ196 ร 103 ๐ ๐โ
560๐๐= 18.70829๐๐๐
๐ โ โ 18.71 ๐๐๐๐ โ
๐ท =๐๐
๐=
๐๐
๐๐.๐ ๐๐๐ ๐โ
= ๐. ๐๐๐๐
EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn
Un bloque de madera cuya densidad es ฯ tiene dimensiones a, b, c. Mientras estรก flotando en el agua con el lado a vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes.
Tomemos como sentido positivo de desplazamiento del bloque verticalmente hacia abajo. Llamemos
h a la longitud del bloque debajo del agua cuando flota en equilibrio. En esta situaciรณn tendremos que la fuerza neta hacia abajo serรก nula:
mgโ Fempuje = 0โ mg= (Vsumergidoฯ0) g โ mg= (bchฯ0) g
Donde ฯ0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto de su posiciรณn de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua serรก h + x. En esta nueva
situaciรณn la fuerza neta hacia abajo ya no serรก nula: Fneta = mgโF ยดempuje= mgโ (V โsumergidoฯ0) g = mgโ (bc [h + x] ฯ0) g
Sustituyendo en esta expresiรณn la relaciรณn entre el peso del cilindro y la altura h:
Fneta = โ (bcฯ0g) x
Vemos que la fuerza es de tipo elรกstico con una constante elรกstica: k = bcฯ0g
El periodo de las oscilaciones serรก:
๐ป =๐๐
๐= ๐๐ โ
๐
๐= ๐๐ โ
๐๐๐๐
๐๐๐๐๐= ๐๐ โ(
๐
๐๐)(
๐
๐)
EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn
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Encontrar, para un movimiento armรณnico simple, los valores de (๐ฅฬ ) ๐ฆ (๐ฅ2), donde los promedios se refieren.
Parte a)
๐ฅ = ๐ด ๐ ๐๐ ๐ค0 ๐ก
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ด ๐ ๐๐ ๐ค0 ๐กฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
Pero ๐ ๐๐ ๐ค0 ๐กฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 0
Entonces ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 0 Parte b)
๐ฅ2 = ๐ด2๐ ๐๐2 ๐ค0 ๐ก
๐ฅ2ฬ ฬ ฬ = ๐ด2 ๐ ๐๐2 ๐ค0 ๐กฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
Pero ๐ ๐๐2 ๐ค0 ๐กฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 1
๐ โซ ๐ ๐๐2๐ค0 ๐ก ๐๐ก
๐
0 =
1
๐ โซ [
1โcos 2 ๐ค0 ๐ก
2]๐๐ก
๐
0
๐ ๐๐2 ๐ค0 ๐กฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 1
๐ โซ
1
2๐๐ก โ
๐
0
1
๐ โซ [
cos2 ๐ค0 ๐ก
2]๐๐ก
๐
0
Entonces ๐ ๐๐2 ๐ค0 ๐กฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 1
๐ [
1
2]๐ =
1
2
๐ฅ2ฬ ฬ ฬ =1
2๐ด2
EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn
El Periodo de un pรฉndulo es de 3s. ยฟCuรกl serรก su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%?
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Soluciรณn
a. El periodo de un pรฉndulo simple estรก dado por:
๐ = 2๐โ๐ฟ
๐= 3 ๐ ๐๐
Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es:
๐ฟโฒ = ๐ฟ + 0,6๐ฟ
Luego.
๐ โฒ = 2๐โ๐ฟโฒ
๐= 2๐โ
1.6๐ฟ
๐= โ1.6 2๐โ
๐ฟ
๐
๐ โฒ = โ1.6 (3๐ ) = 3.79๐
b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es:
๐ โฒโฒ = 2๐โ๐ฟโฒโฒ
๐= 2๐โ
0.4๐ฟ
๐= โ0.4 2๐โ
๐ฟ
๐
๐โฒโฒ = โ0.4 (3๐ ) = 1.89๐
EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn
El pรฉndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g=9,80 m/s2.
Si la longitud se aumenta en 1mm. ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj despuรฉs de 24 horas?
T1 = 2ฯโ๐ฟ/๐
T1 = 2 segundos
g =9.81 m/s2
T2 = 2ฯ โ๐ฟ+0.001 ๐ฟ
๐
T2 = 2ฯ โ1.001 ๐ฟ
๐
T2 = 2ฯ โ๐ฟ
๐ โ1,001
SI Tenemos que T1 = 2ฯโ๐ฟ/๐ Ahora reemplazo T1 en T2 :
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T2 = T1 โ1,001
T2 = ( 2 segundos) โ1,001
T2 = 2,00099975 segundos
Para conocer cuanto se ha atrasado el reloj entonces:
ฮT = T2 - T1 = 2,00099975 segundos - 2segundos=0,00099975 ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj despuรฉs de 24 horas?
24โ๐๐๐๐ ๐ฅ 3600๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐
1โ๐๐๐ = 86.400 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐
En 24 horas el reloj se atraso
atraso = (86.400 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ )x (0,00099975)=77,7segundos
EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj del programa anterior despuรฉs de 24horas si se coloca en un lugar
donde la g=9,75 m/s2
Sin cambiar la longitud del pรฉndulo ยฟCuรกl debe ser la longitud correcta del pรฉndulo a fin de mantener
el tiempo correcto en la nueva posicion?
L= 1mm =0.001m
g=9,75 m/s2.
T1 = 2ฯโ๐ฟ/๐
T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2
T1 = 2ฯ โ0.001
9.80= 0,06346975 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐
T2 = 2ฯโ0.001๐ฟ
9.75 = 0,063632291 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐
T2-T1 = (0,063632291 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ) -(0,06346975 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ )=
T2-T1 = 0,001625411126 segundos
Regla de 3:
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0,063632291 0,001625411126 segundos
1440metros X
X= 3,6mt
L= 1mm =0.001m
g=9,75 m/s2.
T1 = 2 segundos
T2
L= ๐2 ๐
4 ๐2
L= (2)2 ๐
4 ๐2
L= 4 (9,75 )
4 ๐2
L= 0,988m
EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn
Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros tรฉrminos correctivos en la serie del periodo de un pรฉndulo simple si la amplitud es:
a) 10ยบ
b) 30ยบ
Soluciรณn
a) Para 10ยบ
P= (2๐โ๐ฟ
๐) [1 +
1
4sin(
1
2๐๐)
2
+9
64sin (
1
2๐๐)
4
โฆ ]
P=(2๐โ๐ฟ
๐ )[1 +
1
4sin (
1
210)
2
+9
64sin (
1
210)
4
]
P=(2๐โ๐ฟ
๐ )[1 + 1.899 ร 10โ3 + 8.114 ร 10โ6]
b) Para 30ยบ
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P=(2๐โ๐ฟ
๐) [1 +
1
4sin (
1
230)
2
+9
64sin (
1
230)
4
]
P= (2๐โ๐ฟ
๐ ) [1 + 1.674 ร 10โ2 + 6.31 ร 10โ4]
EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn
Soluciรณn: Para determinar la longitud del pรฉndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pรฉndulo e igualarlo al periodo de un pรฉndulo simple para determinar la longitud de este pรฉndulo
simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el periodo del pรฉndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa el cual es Ic = mR 2 2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a
una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro
de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es
OTRA FORMA DE RESOLVERLO REVISAR FORMULAS : puede haber un error.. revisar revisar
El radio de giro K se define Ik= mK2
mk2= m(h2+1/2R2) K2=1/2R2+h2 12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su centro A. Encontrar la longitud del pรฉndulo simple equivalente
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B. Encontrar la posiciรณn del eje para el cual el periodo es un mรญnimo. C. Representar el periodo en funciรณn de h.
SOLUCION:
Para determinar la longitud del pรฉndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pรฉndulo e igualarlo al periodo de un simple Para determinar el periodo del pรฉndulo compuesto primero debemos conocer el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa
I0= ยฝ mR2 Pero debido a que el disco no gira en su centro de masa sino a una distancia h del mismo se debe aplicar el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto a el eje B es I k=mh2+I0 donde I0 es el momento de inercia respecto a el disco Entonces,
Ik= mh2+1/2mR2= m (h2+1/2R2) El radio de giro K se define Ik= mK2
mk2= m(h2+1/2R2)
K2=1/2R2+h2 el periodo del pรฉndulo compuesto es
P= 2 ๐ โ๐(๐2)
๐๐โ
P(h)= 2 ๐ โ1/2(๐ 2+โ2)
๐โ
P(h)= 2ฯ โ ยฝ R2+h2/gh A. Debemos igualar la fรณrmula de pรฉndulo compuesto con pรฉndulo simple para despejar L Donde pรฉndulo simple
P= 2๐ โ๐ฟ
๐
Y reemplazo la P por el valor de: P(h)= 2 ๐ โ1/2(๐ 2+โ2)
๐โ
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( 2 ๐ โ1/2(๐ 2+โ2)
๐โ ) =2๐ โ
๐ฟ
๐
( 2 ๐ โ1/2(๐ 2+โ2)
๐โ )2 = (2๐ โ
๐ฟ
๐ )2
4๐2(1/2(๐ 2+โ2)
๐โ) =4๐2๐ฟ
๐
1/2(๐ 2+โ2)
๐โ =
๐ฟ
๐
1/2(๐ 2+โ2)
โ =
๐ฟ๐
๐
1/2(๐ 2+โ2)
โ = L DONDE K2=1/2 R2+h2
๐2
โ = L
B. Para hallar minimos debemos derivar P en funciรณn de h
P(h)= 2 ๐ โยฝ(๐ 2+โ2)
๐โ
๐๐
๐โ= 2 ๐
โ๐
2
2+โ
2
๐โ
Derivada de
๐ 2
2+โ2
๐โ
= [๐ 2
2+โ2]
โฒ
[๐โ]โ[๐ 2
2+โ2][๐โ]โฒ
[๐โ]2
= 2โ[๐โ]โ[
๐ 2
2+โ2][๐+โ]
[๐โ]2
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= 2๐โ2โ [
๐ 2
2๐โ๐โ2]
๐2 โ2
๐๐
๐โ=
[
22 โ๐
2
2+ โ
2
๐โ
]
[2๐โ2โ
๐ 2
2๐โ
๐โ2
๐2โ2 ]
El valor de h para el cual el periodo es un mรญnimo es h = R/โ 2 C. Representar el periodo en funciรณn de h.
P(h)= 2 ๐ โยฝ(๐ 2+โ2)
๐โ cuando h=
๐
โ2
P(h)= 2 ๐ โยฝ(๐ 2+(
๐
โ2)2)
๐(๐
โ2)
P(h)= 2 ๐ โยฝ(๐ 2+
๐ 2
2)
๐(๐
โ2)
P(h)= 2 ๐ โยฝ(
2๐ 2+๐ 2
2)
๐(๐
โ2)
P(h)= 2 ๐ โยฝ(
3๐ 2
2)
๐(๐
โ2)
P(h)= 2 ๐ โ(3๐ 2
4)
๐(๐
โ2)
P(h)= 2 ๐ โ3๐ 2 โ2
4๐๐
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P(h)= 2 ๐ โ3๐ โ2
4๐
P(h)= 2 ๐ โ(โ2 ๐ )
๐
P(h)= 2 โ ยฝ R2+h2/gh cuando h = R/โ 2 P(h)=2 โ โ 2R/g
EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn
Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo, un
cuerpo de igual masa que la varilla estรก situado sobre la varilla a una distancia h del eje. a) Obtener el periodo del sistema en funciรณn de h y de L.
b) ยฟHay algรบn valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?
Soluciรณn. a). Lo primero que haremos serรก encontrar el centro de masa de la masa 2 que en este caso
es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.
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๐ช๐ =(๐ณ
๐)๐+๐(๐)
๐๐=
๐ณ
๐+๐
๐=
๐ณ+๐๐
๐
Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuaciรณn.
๐ผ =1
3m๐ฟ2 + ๐โ2 factorizando m quedarรญa de la siguiente forma.
๐ผ = [๐ฟ2
3+ โ2]๐
Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuaciรณn:
๐ = 2๐โ๐ผ
๐๐๐
Donde:
b=centro de masa. g=gravedad m=masa
Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:
๐ = 2๐โ[๐ฟ2
3+ โ2]๐
๐ณ+ ๐๐๐
๐๐
Simplificando:
๐ = 4๐โ๐ฟ2 + โ2
3(๐ณ+ ๐๐)๐
b). No hay ningรบn valor.
EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn
Un pรฉndulo de torsiรณn consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x 12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a travรฉs de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo de oscilaciรณn es de 2.4 s. ยฟCuรกl
es la constante de torsiรณn K del alambre?
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Soluciรณn:
Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizarรก la siguiente ecuaciรณn.
๐ผ = [๐(๐2+๐2
12)]
Donde:
M=masa del objeto, 0.3Kg. ๐2= la dimensiรณn horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m
๐2= la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m
Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la siguiente ecuaciรณn que relaciona el momento de inercia con la constante.
๐พ = (2๐)2 ๐ผ
๐2
Donde: ๐2 es igual al periodo de oscilaciรณn al cuadrado, siendo I el momento de inercia y 2ฯ
al cuadrado una constante.
Haciendo la relaciรณn entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
๐พ = (2๐)2 [๐(๐2 + ๐
2
12)/๐2]
Reemplazando valores tenemos que:
๐พ = (2๐)2 [0.3๐๐(0.08๐2 + 0.12๐2
12)/2.42]
K=3.564X10โ3N.m [Newton por metro] OTRA FORMA DE RESOLVERLO
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EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn
Encontrar la ecuaciรณn resultante de la superposiciรณn de dos movimientos armรณnicos simples paralelos
cuyas ecuaciones son:
๐ฅโ = 2๐ ๐๐ ( ๐๐ก+๐
3 )
๐ฅโ = 3๐ ๐๐ ( ๐๐ก+๐
2 )
Hacer un grรกfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos
vectores rotantes. SOLUCIรN:
Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia ๐ฅโ = ๐ดโ ๐ ๐๐ ( ๐๐ก + ๐ฟโ) ๐ฅโ = ๐ดโ ๐ ๐๐ ( ๐๐ก + ๐ฟโ)
Con resultante ๐ฅ = ๐ด sen(๐๐ก + ๐ฟ)
Donde:
๐ด = (๐ดโยฒ + Aโยฒ + 2Aโ Aโ cosฮฑ)^0.5 ๐ผ = ๐ฟโโ ๐ฟโ
y
tan ๐ฟ = ๐ดโ ๐ ๐๐ ๐ฟโ + ๐ดโ ๐ ๐๐ ๐ฟโ
๐ดโ ๐๐๐ ๐ฟโ + ๐ดโ ๐๐๐ ๐ฟโ
Estas ecuaciones estรกn demostradas en el libro de Alonsoโ Finn (pag.372),por ejemplo. Valores
๐ผ = ๐ฟโโ ๐ฟโ =๐
2โ
๐
3=
๐
6
๐ด = (๐ด12 + A22 + 2A1A2cosฮฑ)0.5
๐ด = (22 + 32 + 2.2.3 cosฯ
6)
0.5
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๐ด = 4.73
tan ๐ฟ = ๐ดโ ๐ ๐๐ ๐ฟโ + ๐ดโ ๐ ๐๐ ๐ฟโ
๐ดโ ๐๐๐ ๐ฟโ + ๐ดโ ๐๐๐ ๐ฟโ
tan ๐ฟ = 2 ๐ ๐๐ ๐/3 + 3 ๐ ๐๐ ๐/2
2 ๐๐๐ ๐/3 + 3 ๐๐๐ ๐/2
tan ๐ฟ = 4.732
๐ฟ = 1.36 ๐๐๐
Luego:
๐ฅ = ๐ด sen(๐๐ก + ๐ฟ)
๐ฅ = ๐ด cos(๐๐ก+๐
2โ ๐ฟ)
๐ฅ = 4.732 cos(๐๐ก + 0.2)
EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn
Encontrar la ecuaciรณn de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos armรณnicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senฯt y y = 3sen (ฯt + ฮฑ), cuando ฮฑ = 0, ฯ/2 y ฯ. Hacer un grรกfico de la trayectoria de la partรญcula en cada caso y seรฑalar el sentido en el cual viaja la
partรญcula.
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EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn
Un pรฉndulo simple tiene un periodo de 2 ๐ y un amplitud de 2ยฐ, despuรฉs de 10 oscilaciones
completas su amplitud ha sido reducida a 1,5ยฐ encontrar la constante de amortiguamiento ๐พ. Soluciรณn
Datos: ๐ก = 2 ๐ ๐๐ ; ๐๐ = 2ยฐ; ๐ = 1.5ยฐ La ecuaciรณn para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada por,
๐= ๐0๐โ๐พ๐ก 1
๐โ๐พ๐ก=
๐0
๐
๐๐พ๐ก =๐0
๐
๐พ๐ก = ln (๐0
๐)
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๐พ =1
๐ก ln (
๐0
๐)
๐พ =10
2 seg ln (
2ยฐ
1.5ยฐ)
๐พ = 1,43 ๐ โ1
EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn
En el caso de un oscilador amortiguado, la cantidad ๐ =1
2๐พ se denomina tiempo de relajaciรณn.
a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ยฟen cuรกnto ha variado la amplitud del oscilador despuรฉs de un tiempo ๐?
c) Expresar como una funciรณn de ๐, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la
mitad de su valor inicial. d) ยฟCuรกles son los valores de la amplitud despuรฉs de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el
valor obtenido en c)? Soluciรณn
a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un anรกlisis dimensional.
๐ =1
2๐พ
๐ =1
2ฮป
2m
๐ =m
Fv
๐ =m โ v
๐น
๐ =[๐พ๐] โ [๐/๐ ]
[๐พ๐ โ๐๐ 2]
๐ = ๐ b) la amplitud del oscilador despuรฉs de un tiempo ๐ ha variado,
๐ดยด(๐ก) = ๐ด๐โ๐พ๐ก
๐ดยด (1
2๐พ) = ๐ด๐
โ๐พ12๐พ
๐ดยด (1
2๐พ) = ๐ด๐โ
12
๐ดยด (1
2๐พ) = 0,6 ๐ด
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c) Expresar como una funciรณn de ๐, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.
๐ดยด(๐ก) = ๐ด๐โ๐พ๐ก ๐ด
2= ๐ด๐โ๐พ๐ก
1
2= ๐โ๐พ๐ก
โ1
2๐๐ก = ๐ฟ๐ (1/2)
โ๐ก = 2๐ ๐ฟ๐ (1/2) โ๐ก = โ1,38 ๐
๐ก = 1,38 ๐
d) ยฟCuรกles son los valores de la amplitud despuรฉs de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el
valor obtenido en c)?
๐ดยด(๐ก) = ๐ด๐โ๐พ๐ก
๐ดยด(1,38 ๐ ) =๐ด
2
๐ดยด(2 โ 1,38 ๐ ) =๐ด
4
๐ดยด(3 โ 1,38 ๐ ) =๐ด
8
๐ดยด(๐ โ 1,38 ๐ ) =๐ด
2๐
EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn
Escribir la ecuaciรณn del movimiento de un oscilador armรณnico simple sin amortiguamiento al
cual se le aplica la fuerza ๐น= ๐น0 Cos wft.
Verificar que su soluciรณn es ๐ฅ= [๐น0 /๐ (w02-wf2) ] Cos wft Soluciรณn:
๐ ๐๐
๐ ๐๐+ ๐๐
๐ ๐ = (๐ญ๐
๐)(๐ช๐๐ ๐๐๐)
๐ = [ ๐ญ๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ )] ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ ๐
๐ ๐=
โ๐ญ๐๐๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ )
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 29 de 49
๐ ๐๐
๐ ๐๐=
โ๐ญ๐๐๐ ๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ )
Reemplazando en la ecuaciรฒn inicial: ๐ ๐๐
๐ ๐๐+ ๐๐
๐ ๐ = (๐ญ๐
๐)(๐ช๐๐ ๐๐๐)
(โ๐ญ๐ ๐๐
๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ ) ) + ๐๐
๐ (๐ญ๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ ) ) = (
๐ญ๐
๐)(๐ช๐๐ ๐๐๐)
Reorganizando tรฉrminos:
(๐๐
๐ ๐ญ๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ ) ) โ (
๐ญ๐๐๐ ๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ (๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ ) ) = (
๐ญ๐
๐)(๐ช๐๐ ๐๐๐)
Sacando factor comรบn :
(๐ญ๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ ) [ (
(๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ )
(๐๐ ๐ โ ๐๐
๐ ) )] = (
๐ญ๐
๐)(๐ช๐๐ ๐๐๐)
Y se cumple con la igualdad llegando la demostraciรณn:
(๐ญ๐ ๐ช๐๐ ๐๐๐
๐ ) = (
๐ญ๐
๐) (๐ช๐๐ ๐๐๐)
EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula se desliza hacia adelante y hacia atrรกs entre dos planos inclinados sin fricciรณn a) Encontrar el periodo de oscilaciรณn del movimiento si h es la altura inicial b) ยฟEs el movimiento oscilatorio? c) ยฟEs el movimiento armรณnico simple? Soluciรณn a) La aceleraciรณn serรก: a= g Cos ฯด
La longitud del plano = L= ๐
๐บ๐๐ ๐ฝ
Partiendo del reposo a la altura h se tiene: L=1/2 a t2
t= โ2๐ฟ
๐
Para descender del plano y entonces:
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t= โ2๐ฟ
๐
T= 4 t
T= 4 (โ2๐ฟ
๐ )
T= 4 (โ2(
๐
๐บ๐๐ ๐ฝ)
๐ ๐ถ๐๐ ๐ )
T= 4 (โ4(
๐
๐ )
2๐บ๐๐ ๐ฝ๐ถ๐๐ ๐ )
Teniendo en cuenta una de las identidades fundamentales de la trigonometrรญa: 2 Sen ฯด Cos ฯด = Sen 2 ฯด Y operando resulta:
T= 4x2 (โ(๐
๐ )
๐บ๐๐ ๐๐ฝ )
T= 8 (โ(๐
๐ )
๐บ๐๐ ๐๐ฝ )
b) Sรญ, es oscilatorio; c) NO, no es armรณnico simple porque no sigue una variaciรณn senoidal o cosenoidal del tipo: x = A cos (wt+delta)
EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn
Una partรญcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa (Fig.12-49) esta sostenida por dos alambres estirados de longitud l0 cuyos extremos estรกn fijos en P1 y P2.
La tensiรณn de los alambres es T.
Si la partรญcula se desplaza lateralmente una cantidad X0 pequeรฑa comparada con la longitud de los alambres, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente.
Encontrar su frecuencia de oscilaciรณn y escribir la ecuaciรณn de su movimiento. Suponer que la longitud de los alambres y la tensiรณn permanecen inalterables
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EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370
12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilaciรณn hallar el equivalente a un pรฉndulo simple. a.
๐ = 2๐โ๐2
๐๐
P= 2ฯ โ k2/ gb K2= I/m Ic=mR2
Teorema de Steiner
I=Ic+ma2 I=mR2+mR2 =LmR2 K2=2m R2/m K2=2R2
๐ = 2๐โ2๐ 2
๐๐
๐ = 2๐โ2๐
๐
๐ = (6.28)โ2(๐. 1)
(9.8)
๐ = 0.89 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐
b.
L=k2/ b
L=2R2/2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m
MOVIMIENTO ARMรNICO SIMPLE EJERCICIO 16 Cuando una masa de 0.750 ๐๐ oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de 1.33 ๐ป๐ง. a) ยฟCuรกl serรก la frecuencia si se agregan
0.220 ๐๐ a la masa original, y b) y si se restan de la masa original? Intente resolver este problema sin calcular la constante de
fuerza del resorte.
Soluciรณn
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EJERCICIO 17 Un oscilador armรณnico tiene una masa de 0.500 ๐๐ unida a un resorte ideal con constante de fuerza de 140 ๐/๐. Calcule a) el periodo, b) la
frecuencia y c) la frecuencia angular de las oscilaciones.
Soluciรณn
EJERCICIO 18 Sobre una pista de aire horizontal sin fricciรณn, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fu erza es 2.50 ๐/๐๐. En la
figura, la grรกfica muestra la aceleraciรณn del deslizador en funciรณn del tiempo. Calcule a) la masa del deslizador; b) el desplazamiento mรกximo del
deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza mรกxima que el resorte ejerce sobre el deslizador.
Soluciรณn
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 35 de 49
Energรญa en el movimiento armรณnico simple
EJERCICIO 19 Una porrista ondea su pompรณn en MAS con amplitud de 18.0 ๐๐ y frecuencia de 0.850 ๐ป๐ง. Calcule a) la magnitud mรกxima de la aceleraciรณn y de la
velocidad; b) la aceleraciรณn y rapidez cuando la coordenada del pompรณn es ๐ฅ = +9.0 ๐๐; c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la
posiciรณn de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d) ยฟCuรกles de las cantidades pedidas en los incisos a), b)
Soluciรณn
EJERCICIO 19
Un juguete de 0.150 ๐๐ estรก en MAS en el extremo de un resorte horizontal con constante de fuerza ๐ = 300 ๐/๐. Cuando el objeto estรก a 0.0120 ๐
de su posiciรณn de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 ๐/๐ . Calcule a) la energรญa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud
del movimiento; c) la rapidez mรกxima alcanzada por el objeto durante su movimiento.
Soluciรณn
Aplicaciones del movimiento armรณnico simple
EJERCICIO 20
Una Universidad incluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 36 de 49
Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 ๐๐ de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 ๐. a) Calcule la
constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 ๐๐ hacia abajo y luego se suelta. b) ยฟQuรฉ periodo de oscilaciรณn tiene el pez? c) ยฟQuรฉ
rapidez mรกxima alcanzarรก?
Soluciรณn
EJERCICIO 21
Una esfera de 1.50 ๐๐ y otra de 2.00 ๐๐ se pegan entre sรญ colocando la mรกs ligera debajo de la mรกs pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical,
cuya constante de fuerza es de 165 ๐/๐, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15.0 ๐๐. El pegamento que une las esferas es dรฉbil y antiguo, y de
repente falla cuando las esferas estรกn en la posiciรณn mรกs baja de su movimiento. a) ยฟPor quรฉ es mรกs probable que el pegamento falle en el punto mas bajo, que en
algรบn otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones despuรฉs de que la esfera inferior se despega.
Soluciรณn
EJERCICIO 22
Un disco metรกlico delgado con masa de 2.00 3 1023 kg y radio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga como se ve en la figura. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule la constante de torsiรณn de la fibra.
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Soluciรณn
EJERCICIO 24 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecรกnica complicada, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa,
asรญ que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsiรณn de . Usted gira un poco la p ieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. ยฟCuรกnto vale el momento de inercia buscado?
Soluciรณn
El pรฉndulo simple EJERCICIO 25 En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que consisten en bombillas pequeรฑas de 2.35 ๐๐ con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terremoto leve, ยฟcuรกntas oscilaciones por segundo ha rรกn tales
aditamentos?
Soluciรณn
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EJERCICIO 26 Un pรฉndulo en Marte. En la Tierra cierto pรฉndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ยฟQuรฉ periodo tendrรก en Marte, donde
๐ = 3.71๐
๐ 2?
Soluciรณn
El pรฉndulo fรญsico
EJERCICIO 27 Una biela de 1.80 ๐๐ de un motor de combustiรณn pivota alrededor de un fi lo de navaja horizontal como se muestra en la figura. El centro de gravedad de la biela se encontrรณ por balanceo y estรก a 0.200 ๐ del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones
en 120 ๐ . Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotaciรณn en el pivote.
Soluciรณn
EJERCICIO 28 Dos pรฉndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El pรฉndulo A es una esfera muy pequeรฑa que oscila en el extremo de una varilla uniforme
sin masa. En el pรฉndulo B, la mitad de la masa estรก en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada pรฉndulo para oscil aciones pequeรฑas. ยฟCuรกl tarda mรกs tiempo en una oscilaciรณn?
Soluciรณn
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EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Una masa m=1kg vibra verticalmente a lo largo de un segmento de 20cm de longitud con MAS
y un perรญodo de T= 4 s. Determinar:
a) Velocidad y aceleraciรณn del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. b) La velocidad y aceleraciรณn en los extremos del segmento.
c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de la trayectoria.
d) ยฟEn que tiempo la partรญcula se encuentra en 8cm?
SOLUCION
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W= 2 /4
W= /2
A=10 cm= 0,1m
a) Velocidad y aceleraciรณn del cuerpo en el punto medio de su trayectoria.
a= - wx si x=0
a= - ( /2)(0m) = 0 m/ s2
a= 0 m/ s2
Vmax= Aw Vmax= (0,1m )( /2 ) = 0,157 m/s
b) La velocidad y aceleraciรณn en los extremos del segmento.
En los extremos v=0 a= - w2 x
a= - ( /2)2 (0,1 m)
a= - ( 2 /4) (0,1 m) = -0,2467 m/ s2
c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de
la trayectoria. En el punto medio de su trayectoria
F= - k x Si x = 0 F = 0
En los extremos de la trayectoria F= - k x Si x = 0,1 m F = ?
w =โ๐/๐
w2 =k/m k= w2 m
F= - k x
F= - (w2 m) (0,1m)= F= - ( ( 2 /4) (1 kg) ) (0,1m)= -0,247
d) ยฟEn que tiempo la partรญcula se encuentra en 8cm?
A= 8 cm= 0,8m
W= /2
X=A Sen( Wt)
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(0,8m)= (0,8m) Sen(( /2 ) t
(0,8m)/(0,8m) =Sen(( /2 ) t
1=Sen(( /2 ) t
Sen-1 (1) / ( /2 ) = t
( /2 ) / ( /2 ) = t
t= 1 segundo
e) En que lugar esta la particula para un tiempo de t=4segundos ? W= /2
A=10 cm= 0,1m X=A Sen( Wt)
X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos))
X= (0,1m) Sen(( /2 ) (4 segundos))
X= (0,1m) (4 ) X= 0,4m
EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470
1. Suponga que un astronauta tiene una masa de 60kg, incluido del dispositivo de silla al que se amarra.
El y la silla se mueven bajo la influencia de la fuerza de un resorte con K=3.1 x 102 N/m. No hay otras fuerzas actuantes.
El desplazamiento mรกximo desde el equilibrio del dispositivo de mediciรณn de masa corporal es de 0,200m .
Suponga que debido a la fricciรณn la amplitud un ciclo mรกs tarde es de 0,185m. ยฟCuรกl es el factor de
calidad para este oscilador armรณnico amortiguado?
M= 60kg
k1=3,1x10 2 N/m
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A=0,200m
Aโ =0,185 m
๐ = 2 ๐๐ธ
โ๐ธ
โ๐ธ = (2๐
๐) E
E=? ฮE=? q=?
En el desplazamiento mรกximo , la energรญa totales toda energรญa potencial:
๐ธ = 1
2๐พ๐ด2
Si A=0,200m
๐ธ = 1
2๐พ๐ด2
๐ธ = 1
2(3,1๐ฅ102)(0,200)2 = 6,2 Julios
Si Aโ =0,185 m
๐ธ = 1
2๐พ๐ด2
๐ธโฒ = 1
2(3,1๐ฅ102)(0,185)2 = 5,3 Julios
โ๐ธ = ๐ธโฒ โ ๐ธ โ๐ธ = (5,3 ๐ฝ๐ข๐๐๐๐ ) โ (6,2 Julios) = โ0,9 Julios
๐ = 2 ๐๐ธ
โ๐ธ
๐ = 2 ๐(6,2 ๐ฝ๐ข๐๐๐๐ )
(0,9 ๐ฝ๐ข๐๐๐๐ ) = 43,2 oscilaciones
El factor de calidad es:
q=43,2 oscilaciones 2. Una masa m=1 kg cuelga de un resorte de contante de resistividad k=200 N/m.
La constante de amortiguamiento es ฮป=1 kg/s.
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En el instante t=0 comienza a actuar sobre la masa una fuerza F= F0 Sen(wf t) con F0 =2N y wf =10 rad/segundos.
Si en t=0 x(0)=0 y v(0)=0.
Encuentre la posiciรณn de la partรญcula en funciรณn del tiempo para t=1 segundo, t=10 s, t=100s , t=1000 s.
SOLUCION:
M1 =1 kg K= 200 N/m
ฮป=1 kg /s f0 =2N
wf = 10 rad/s t=0 x=0 x(t)=? t =1 ,10 ,100 , 1000
๐ค0 = โ๐
๐
๐ค0 = โ200 N/m
1 kg = 14,142
2๐พ = ๐
๐
๐พ = ๐
2๐
๐พ = (1๐๐/๐ )
2(1๐๐)= 0,5 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ โ1
LA ECUACION DIFERENCIAL E.D
๐ ๐๐
๐ ๐๐+ ๐๐ธ
๐ ๐
๐ ๐= (
๐ญ๐
๐)(๐ช๐๐ ๐๐๐ + ๐น)
SOLUCION A LA ECUACION DIFERENCIAL E.D
๐ฟ = ๐จ ๐บ๐๐( ๐๐๐ โ ๐น)
Entonces:
๐ด =
๐น0
๐(๐ค1
2 โ ๐ค02)2 + 4๐พ2 + ๐ค1
2
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๐ด =
(2 ๐)(1 ๐๐)
((10)2 โ (14,14)2)2 + 4(0,5)2 + (10)2
๐ด =
(2 ๐)(1 ๐๐)
( (100)โ (199.9396))2 + 4(0,25)+ (100)
๐ด =
(2 ๐)(1 ๐๐)
( โ99.9396)2 + 4(0,25)+ (100)
๐ด =
(2 ๐)(1 ๐๐)
(9987.9236)+ (1)+ (100)
๐ด =
(2 ๐)(1 ๐๐)
(9987.9236)+ (1)+ (100)
๐ด = 1.9823 ๐ฅ 10โ4
๐ด = 0.000198237
๐ฟ = ๐ก๐๐โ1 (๐ค๐
2 โ ๐ค02
2 ๐พ ๐ค๐
)
๐ฟ = ๐ก๐๐โ1 ((10)2 โ (14,14)2
2 (0,5)(10))
๐ฟ = ๐ก๐๐โ1 (โ99.9396
10)
๐ฟ = ๐ก๐๐โ1(โ9.99396) ๐ฟ = โ1.47106
3. Demuestre por sustituciรณn directa que las funciones: X1 = A1 Sen (w1 t +ฮฑ1 ) y
X2 = A1 Sen (w1 t +ฮฑ1 )
Para un oscilador acoplado son soluciones de las ecuaciones de movimiento
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๐ ๐๐
๐ ๐๐+
๐๐ + ๐
๐๐๐ = (
๐
๐) ๐๐
Siempre que:
๐ค1 = โ๐1
๐1
4. Considere el sistema dela fig.
La pizarra Z, de masa 500 g cuelga de un resorte cuya cte. elรกstica es K=50N/m. Se sabe ademรกs que la cte. de amortiguamiento B=5 s-1 .
En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte se estire 3cm , y se acerca la punta entintada P a la pizarra.
A continuaciรณn, la pizarra se suelta. Considere este instante como el inicial y analice el movimiento de la punta respecto al centro de la
pizarra โoโ. A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuaciรณn que describe el movimiento de la punta
respecto a โOโ direcciรณn del eje โOyโ.
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M = 500g
K = 50 N/m B = 5 s-1
X = 3x 10-2 = 0,03 metros
X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )
๐ค = โ๐ค02 โ ๐ต2
๐ค = โ(10)2 โ (5 ๐โ1)2
๐ค = โ100โ 25
๐ค = โ75
๐ค = 8.66 ๐๐๐
๐ ๐๐
๐ค0 = โ๐พ
๐
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๐ค0 = โ(50)
(0,5)
๐ค0 = โ100
๐ค0 = 10 ๐๐๐
๐ ๐๐
X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )
Derivamos la ecuacion x:
v = Aw e-Bt Cos (wt + ฮด )
v = Aw e-B(0) Cos (wt + ฮด )
v = Aw (1) Cos (wt + ฮด )
v = Aw Cos (wt + ฮด )
si v=0
0 = Aw Cos (wt + ฮด )
0 = A(8,6 rad/seg) Cos ( (8,6 rad/seg) t + ฮด )
Ahora para la ecuacion X, mientras: Si t=0
x=0,003 metros
X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )
(0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ ฮด )
(0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ ฮด )
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(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ ฮด )
Debemos hallar la amplitud, por lo que debemos encontrar primero delta ฮด = ?
X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) ๐ ๐
๐ ๐= ๐ = ๐จ๐โ๐ฉ๐(โ๐ฉ) ๐บ๐๐ (๐๐ + ๐น) + ๐จ๐โ๐ฉ๐(๐) ๐ช๐๐ (๐๐ + ๐น)
๐ ๐
๐ ๐= ๐ = โ๐จ๐ฉ๐โ๐ฉ๐ ๐บ๐๐ (๐๐ + ๐น) + ๐จ๐ ๐โ๐ฉ๐ ๐ช๐๐ (๐๐ + ๐น)
Si v=0 B=5 t=0 w= 8,6 rad/seg
๐ = โ๐จ๐ฉ๐โ๐ฉ๐ ๐บ๐๐ (๐๐ + ๐น) + ๐จ๐ ๐โ๐ฉ๐ ๐ช๐๐ (๐๐ + ๐น) ๐ = โ๐จ๐ฉ๐โ๐ฉ๐ ๐บ๐๐ (๐๐ + ๐น) + ๐จ๐ ๐โ๐ฉ๐ ๐ช๐๐ (๐๐ + ๐น)
๐ = โ๐จ(๐)๐โ(๐)(๐) ๐บ๐๐ ((8,6rad
seg) (0 seg) + ๐น) + ๐จ(๐,๐
๐๐๐
๐๐๐)๐โ(๐)(๐) ๐ช๐๐ ((8,6 rad/seg)(0 seg) + ๐น)
๐ = โ๐จ(๐) ( ๐ ) ๐บ๐๐ ( (0) + ๐น) + ๐จ(๐,๐๐๐๐
๐๐๐) (๐) ๐ช๐๐ ((0 ) + ๐น)
๐ = โ๐๐จ ๐บ๐๐ ( (0) + ๐น) + ๐, ๐ ๐จ ๐ช๐๐ ((0 ) + ๐น) ๐ = โ๐๐จ ๐บ๐๐ ( ๐น) + ๐, ๐ ๐จ ๐ช๐๐ ( ๐น) ๐ = ๐จ(โ๐ ๐บ๐๐ ( ๐น) + ๐,๐ ๐ช๐๐ ( ๐น))
๐ = โ๐ ๐บ๐๐ ( ๐น) + ๐, ๐ ๐ช๐๐ ( ๐น) ๐ ๐บ๐๐ ( ๐น) = ๐,๐ ๐ช๐๐ ( ๐น)
๐บ๐๐( ๐น)
๐ช๐๐ ( ๐น) =
๐,๐
๐
๐๐๐(๐น) =๐,๐
๐
๐น = ๐๐๐โ๐ ( ๐,๐
๐ )
๐น = ๐,๐๐ ๐๐๐
Como ya encontramos delta reemplazamos :
X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )
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(0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ ฮด )
(0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ ฮด )
(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ ฮด )
(0,003 metros) = A Sen ((0 )+ (1,04) )
๐ด = 0,003
๐๐๐ (1,04)
A = 0,034
A = 3,4 x10-2
Entonces la ecuaciรณn quedarรญa:
X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )
X = (3,4 x10-2) e-5t Sen (8,6 t + 1,04 )