Solucion de sistemas lineales metodo de la inversa
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Solucion de un sistema de ecuaciones lineales usando el metodo de la matriz inversa
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Licenciado Oscar Ardila Ch.
Centro Tics
determinante de
adjunta de AInversa de A
A
1 adjAA
A
A partir del teorema podemos
evidenciar que es necesario el calculo
de la adjunta de una matriz así como
su determinante para finalmente hallar
la inversa.
Se puede plantear la
expresión:
Donde A es la matriz de
coeficientes “x” el vector de
variables y “b” el vector de
resultados. Para solucionar el
sistema resolvemos para “x” :1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 6
4 5
18
3 2
24
4
6
1
x x x
x x x
x x x
Si tenemos el sistema 3x3:
*A x b
1 *bAx
A partir del este planteamiento empezamos por hallar la matriz inversa
para posteriormente dar solución al sistema.
1
2
3
2 4 6 18
4 5 6 * 24
3 1 2 4
x
x
x
* xA b
Recordemos que un determinante diferente de cero implica que
tendremos una solución única para el sistema.
2 4 6
det 4 5 6
3 1 2
A
det 6A
Calculamos en primera instancia la matriz de
cofactores.
Para el calculo de cada cofactor tenemos:
2 4 6
4 5 6
3 1 2 ( 1) *i j
ij ijC M
Para el cofactor C11 tenemos: 2 4 6
4 5 6
3 1 2
1 1
11
5 6( 1) * 16
1 2C
Repitiendo el proceso para los demás cofactores
obtenemos:
2 4 6
4 5 6
3 1 2
1 2
12
4 6( 1) * 26
3 2C
16 26 11
14 22 10
6 12 6
matriz de cofactores
Para el cofactor C12 tenemos:
16 14 6
26 22 12
11 10 6
Matriz Adjunta
Calculamos la transpuesta de la matriz (cambiar
filas por columnas) de cofactores para hallar la
matriz adjunta:
Reemplazamos el Determinante y
la Matriz Adjunta en la formula:1 adjA
AA
1
16 14 6 16 14 626 22 12 6 6 6
11 10 6 26 22 12
6 6 6 6
11 10 6
6 6 6
A
Finalmente la inversa esta dada por:
16 14 6
6 6 6 18 426 22 12
* 24 26 6 6
4 311 10 6
6 6 6
x
Y la solución del sistema :1 *bAx
x1
x2
x3
Finalmente cabe destacar la inversa de una matriz como una
herramienta poderosa para hallar las soluciones de un sistema de m
ecuaciones por m incógnitas.
Equipo Centro Tic:
Hugo Salcedo Guio Director
Oscar Ardila chaparro Coordinador.
Manuel Francisco Romero Unidad desarrollo de ovas
Andrés Mauricio Castro Pescador Administrador plataforma Moodle
