Solução de problemas do Eletromagnetismo utilizando métodos ...
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Renato Cardoso Mesquita
Departamento de Engenharia Elétrica – UFMG
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Problemas eletromagnéticos – modelagem básica;
Métodos numéricos baseados em malhas;
Introdução aos métodos sem malha.
Nossos principais trabalhos na área.
Conclusões
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Equações de Maxwell:
D
.
0. B
tDJHx
tBEx
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Sem variação no tempo, só estamosinteressados no campo elétrico:
D
.0 Ex
0. B
JHx
Exemplo 1: Eletrostática
Aplicação: micromotor
eletrostático
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As equações ficam:
Relação entre D e E:
D
.0 Ex
ED
Permissividade elétrica
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Se
==>
0 Ex
VE
Potencial escalar elétrico!
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Equação diferencial:
Equação de Poisson não é constante
◦ Geralmente é descontínuo
V
.
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Condição de contorno de Dirichlet;
Condição de contorno de Neumann:
Condições de interface (descontinuidade)
go emVV
hn emDn
V
em
n
V
n
V 22
11
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em
n
V
n
V 22
11
V
.
oVV
nDn
V
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Equações de Maxwell:
D
.
0. B
tDJHx
tBEx
Exemplo de aplicação: radar
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HB
tDHx
tBEx
t
HEx
ED
t
EHx
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t
HEx
tE
Hx
t
EHx
2
2
tE
tHx
2
21
tEExx
Definir Condições de contorno;
Interface entre materiais descontínuos;
...
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• Parte-se das equações de Maxwell;
• Consideram-se as condições
específicas do problema;• EDPs do problema
• Condições de contorno
• Condições de interface (meios com
descontinuidade nas características físicas)
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Métodos analíticos:◦ Só funcionam para problemas muito simples
(geometria simples, materiais lineares, ...)
Métodos numéricos ◦ Baseados em malha:
Elementos finitos (FEM) – elementos nodais e de aresta;
Diferenças finitas (FDM) – domínio do tempo - FDTD;
Finite Integration Technique (FIT) ;
Elementos de contorno (BEM);
Método dos momentos (MoM);
◦ Sem malha
Métodos sem malha (MM).
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Boa parte dos métodos numéricos utilizados (incluindo a maioria dos métodos sem malha) é baseada no método de Galerkin.
Forma forte Forma fraca
Discretização pelo
método de Galerkin
(W)(S)
(G)Métodos numéricos:
fornecem funções
de base para o
método de Galerkin
Forma Matricial (M)
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(S) Dados e , determinar a função V: -> quesatisfaça:
Dirichlet
Neumann
Interface
gemVV 0
hn emDn
V
kemn
V
n
V
22
11
V
.
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Seja S o espaço das funções admissíveis e U oespaço das funções de teste:
S = { V | V H1(), V(x,y) = V0, (x,y) g }
U = {w | wH1(), w(x,y) = 0, (x,y) g }
H1, espaço de funções com derivada primeiracom quadrado integrável
Produto interno em H1:
VwdwV ,
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Montamos o resíduo para a equação a ser resolvidano domínio:
Efetuamos o produto interno com uma função deteste, wU. Forçamos a ortogonalidade doresultado, w U:
UwdwVwR
0.,
VR . V
.
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(W) Dados , V0 e Dn, determinar V S, tal que
Interpretação fundamental: ortogonalidade doresíduo em relação ao espaço das funções de teste
UwdwDdwdVw
h
n
.
UwdwVwR
0.,
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Construir uma aproximação de dimensão finitapara os espaços S e U Sh e Uh, onde
Sh S , Uh U
Se uh Sh e wh Uh, então:
Vh(x,y) = V0 ,(x,y) g
wh(x, y) = 0, (x,y) g
SgUdgyxVSV hn
hhhh
,,,1
UcyxwUwn
hhh
,,1
(a não ser por gh, Sh e Uh são
compostos pela mesmas funções)
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Reescrever a forma fraca em termos de Vh e wh:
(G) Dados , V0 e Dn (como em W), determinar Vh =yh+gh , onde gh Sh e yh Uh, tal que:
hhhh
n
h
hhh
UwdgwdDw
dwdyw
h
.
.
Udyn
h
,1
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O método de Galerkin, como apresentado, étambém conhecido como método de Bubnov-Galerkin;
Se as funções de base de Sh fossem diferentes dasde Uh , teríamos o método de Petrov-Galerkin.
As funções de Sh precisam satisfazerexplicitamente as condições de contorno deDirichlet!◦ A escolha das funções de base não é arbitrária.
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Interpretação fundamental: Resíduo ortogonal aoespaço de aproximação
hhhhhh UwdwVwR
0.,
Sh
Vh
RhVS
Para que o método
funcione, a escolha das
funções deve ser feita
de modo que Sh aproxime
S de forma consistente.
Como escolher estas funções de maneira
sistemática é a questão fundamental que os
métodos numéricos tentam responder
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Como determinar as funções de base () necessáriaspara construir as funções de Uh e Sh ?
No método de elementos finitos, isto é simples:◦ Criam-se “funções chapéu”, NA , associadas a cada nó A
da malha.
◦ As funções são iguais a 1 naquele nó e 0 nos demais(propriedade do delta de Kronecker, ij ).
◦ Na nomeclatura do MEF estas funções são denominadas“funções de forma”.
etc ...
1 2
3
1N3(x,y)
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Função de forma
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Possuem suporte compacto: só são diferentes de zero emuma pequena parcela do domínio;
Formam uma partição da unidade:
Satisfazem o delta de Kronecker: Ni(xj) = ij
◦ É fácil impor condições de contorno de Dirichlet (ou seja, é fácilgerar funções que pertençam a Sh.
Satisfazem a condição de reprodução de um campolinear:
◦ Possuem consistência de ordem 1 (conseguem reproduzirpolinômios de primeira ordem).
xxNn
i
i
,1)(1
,)(1
xxxN i
n
i
i
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Gera-se a aproximação da solução usando asfunções de forma geradas na malha de elementosfinitos:
Substituindo as expressões das aproximações naforma de Galerkin, obtém-se o sistema matricial,
(M) [K][d] = [f]
dNN BA. KAB
B
B
nAAA gKdDNdNf
hg
AB
A
n
A
A
h NdyxV
1
,
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Observações:
1- K é simétrica, positiva definida e esparsa
2- O processo de cálculo das matrizes e vetorespode ser efetuado elemento por elemento
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Partição (cobertura) do domínio;
Define a conectividade entre os nós.
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Estruturada:
adaptação mais
difícil à geometriaNão estruturada: adapta-se mais
facilmente à geometria
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São mais complexas de serem geradas.
Malhas de baixa qualidade (triângulos outetraedros distorcidos, muito distantes dosequiláteros) podem gerar grandes erros nasolução.
Gerar uma malha 3D de qualidade para ométodo de elementos finitos, para geometriasarbitrárias ainda é um dos grandes problemasna aplicação do método de elementos finitos.
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Obter as funções de forma para o método deGalerkin sem usar uma malha.
Usam apenas nós (pontos) espalhados sobreo domínio
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Eliminar a malha pode gerar métodosmais simples para problemas muitocomplexos:◦ Geometrias 3D complexas;
◦ Implementação de adaptatividade;
◦ Problemas envolvendo movimento egeometria variável:
Máquinas elétricas;
Otimização de forma e problemas inversos.
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No caso dos métodos sem malha, a determinação dasfunções de forma não é tão simples.
É desejável que elas satisfaçam as mesmas condições doMEF:
◦ Suporte compacto (se não satisfizerem, o sistema de equaçõesobtido não será esparso);
◦ Partição da unidade (se não satisfizerem, não serão capazes dereproduzir um termo constante da solução);
◦ Condição de reprodução de campo linear , ou seja, tenham, nomínimo, consistência de ordem 1
◦ Delta de Kronecker (nem sempre satisfazem – neste caso, teremosdificuldades de impor condições de contorno de Dirichlet);
◦ Possam ser obtidas a partir de uma distribuição arbitrária de nós ;
◦ O algoritmo para sua obtenção seja computacionalmente eficiente;
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• Várias estratégias foram desenvolvidas.
• Já testamos:◦ Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
◦ Reproducing Kernel Particle Method (RKPM)
◦ Moving Least Squares (MLS)
◦ Point Interpolation Method (PIM)
◦ Radial Point Interpolation Method (RPIM)
◦ Radial PIM com reprodução polinomial (RPIMp)
◦ Funções de Shepard .
◦ ...
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Desenvolvidos originalmente por matemáticospara ajuste de superfícies e regressão de dados.
O método é um dos mais utilizados atualmentepara a construção de funções de forma de métodos sem malha.
Principais características: ◦ A função de aproximação gerada é contínua e suave em
todo o domínio;
◦ O método é capaz de gerar uma aproximação com a ordem de consistência que se desejar.
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Seja u(x) uma função definida em um domínio Ω. Sua aproximação em um ponto x é uh(x).
Aproximação por MLS:
a(x) :
Note que a(x) varia com x!
p(x) é o vetor de funções de base ◦ normalmente monômios de baixa ordem
◦ é possível enriquecer a base com outras funções.
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O vetor de coeficientes a(x) é determinado usando os valores de u(x) em um conjunto de nós incluídos no domínio de suporte de x.
O domínio de suporte de x determina o número de nós (n) que são usados localmente para aproximar o valor de u(x) no ponto x.
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Dado o conjunto dos n valores da função sendoaproximada nos n nós do domínio de suporte:◦ u1, u2,…,un, em x1, x2,…,xn
Pode-se calcular o valor da função aproximadanestes nós:
Um funcional de resíduos ponderados é construído utilizando os valores aproximados dafunção e os parâmetros nodais :◦ uI = u(xI),
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Funcional:
Exemplo de funções peso
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No MLS, em um ponto arbitrário x, a(x) minimizao resíduo ponderado.
A condição de minimização requer que:
Mas
Portanto:
A é a matriz de momentos (ponderada).
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Onde:
Resolvendo o sistema:
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Mas:
Portanto:
Mas, como:
Obtem-se as funções de forma para o MLS:
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O requisito n>>m geralmente evita a singularidade da matriz de momentosponderados, de maneira que A−1 exista.
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Exemplos de função de forma obtidas por MLS:
Suas derivadas de primeira ordem:
• OBS: não satisfazem o delta de
Kronecker, mas formam uma
partição da unidade!
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A consistência da aproximação MLS depende daordem do polinômio completo utilizado (p(x)).◦ Se a ordem é k, as funções de forma do MLS possuem
consistência Ck.
Propriedade importante: qualquer função queapareça na base do MLS é reproduzidaexatamente◦ Se soubermos a priori algo sobre o comportamento da
solução, este comportamento poderá ser incluído naaproximação, pela simples adição dele à base do MLS (desde que se garanta que a matriz A continuaráinversível)
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De posse das funções de forma geradas pelo MLS, substitui-las na forma fraca.
Obtém-se sistema matricial semelhante ao do MEF:
Ku=f
Obs: necessário integrar em todo domínio ◦ Gerar uma malha de integração;
◦ EFG não é um método “totalmente sem malha”.
dBA. KAB B
B
nAAA gKdDNdNf
hg
AB
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Usa uma estratégia diferente da do MLS;
Número de nós no domínio de suporte igual ao número de monômios usados na base;
Vantagem:◦ Satisfaz delta de Kronecker imposição de condições
de contorno facilitada;
Desvantagens:◦ Existem distribuições de nós em que não se consegue
determinar as funções de forma (matriz singular)
usar funções de base radial ao invés de polinômios RPIM e RPIMp ;
◦ Descontinuidades das funções de forma (difícil usar uma forma fraca global);
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Se as funções de forma não são contínuas, melhor usar formas fracas locais;◦ Os domínios onde as formas fracas são satisfeitas
são superpostos e cobrem o domínio global
Para isso, utiliza-se uma formulação do tipo Petrov-Galerkin;◦ Funções de teste diferentes das funções de forma;
Funções de teste escolhidas de maneira a simplificar e facilitar a formulação;
Grande flexibilidade para escolha tanto das funções de forma quanto das funções de teste;
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Domínios das funções de forma podem ser distintos dos das funções de teste
◦ Integração local método verdadeiramente sem malha.
Meshless Local Petrov-Galerkin - MLPG
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Método sem malha, segue construção “semelhante” ao do método de elementos finitos
Porém utiliza uma estratégia diferente para obter as funções de forma, onde não se usa uma malha.◦ As funções são computacionalmente mais
complicadas;
◦ Algumas não satisfazem as condições do delta de Kronecker.
◦ Diversas maneiras de obter as funções de forma (MLS, PIM, RPIM, RPIMp, SPH, RKPM, Shepard,…).
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O método ainda está em sua “infância”.
Problemas / questões:◦ imposição de condições de contorno;
◦ melhoria de desempenho computacional;
◦ quais as melhores formulações para problemas específicos em eletromagnetismo (baixas e altas freqüências / domínio do tempo )?
◦ etc.
Apresentaremos algumas das soluções geradas em nosso grupo de pesquisa na UFMG.
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-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distribuição de Nós
Nó
Y(cm)
X(cm)
Viana, Simone A. ; Mesquita, R.C. . Moving least square reproducing kernel method for electromagnetic field computation. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 35, n. 3, p. 1372-1375, 1999.
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PARREIRA, Guilherme F. ; FONSECA, Alexandre R.; LISBOA, Adriano C. ; SILVA, Elson José da ; MESQUITA, R. C. . Efficient Algorithms and Data Structures for Element-free Galerkin Method. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 42, n. 4, p. 659-662, 2006.
EFG
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Fonseca, Alexandre R. ; Viana, Simone A. ; Silva, Elson J. ; Mesquita, R.C. . Imposing boundary conditions in theMeshless local Petrov Galerkin method. IET Science Measurement & Technology, v. 2, p. 387, 2008.
Boundary nodes
Inner nodes
m
j
Nodes that influence the
node m shape-function.
Nodes that influence the
node j shape-function.
j
ji k
i
1
j k
m
m nl
ml n
MLPG
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Guimarães, Frederico G. ; Saldanha, Rodney R. ; Mesquita, Renato C. ; Lowther, David A. ; Ramirez, Jaime A. . A Meshless Method for Electromagnetic Field Computation Based on the Multiquadric Technique. IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, p. 1281-1284, 2007.
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
25 30 35 40 45 50 55 6010
15
20
25
30
35
40
45
50
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Coppoli, Eduardo H. R. ; MESQUITA, R. C. ; Silva, Renato S. Periodic Boundary Conditions in Element Free Galerkin Method. COMPEL – The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, vol. 28, p. 922-934, 2009
E.H.R. Coppoli, R. C. Mesquita, R. S. Silva - Field-Circuit Coupling With Element-Free Galerkin Method, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, maio 2010).
EFG com interpolating
moving least squares
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FONSECA, Alexandre R. ; MENDES, Miguel L. ; Mesquita, Renato C. ; SILVA, Elson J. da . Mesh Free Parallel Programming for Electromagnetic Problems. Journal of Microwaves , Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 8, p. 101S-113S, 2009.
Update Electric
Field Thread 1
Join Threads
Update MagneticField Thread 1
Update Field Thread 2
Magnetic Update Field Thread N
Magnetic
Initialize nodes
Update Electric
Field Thread 2
Update Electric
Field Thread N
Join Threads
j
K f
i
SPEM MLPG
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Alexandre R. Fonseca, Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva and Renato C. Mesquita - Improving the Mixed Formulation for Meshless Local Petrov–Galerkin Method, IEEE Transactions on Magnetics (2010), v. 46, p. 2907-2910, 2010.
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Nicomedes, Williams L. ; MOREIRA, Fernando José da Silva ; MESQUITA, R. C. . Electromagnetic Scattering Problem Solving by an Integral Meshless-Based Approach. Aceito para publicação no COMPEL – Journal of Computations andMathematics in Electrical Engineering, 2010 .
Nicomedes, Williams L. ; MESQUITA, R.C., Moreira, Fernando J. S. - 2D Scattering Integral Field Equation Solution through an IMLS Meshless-Based Approach, IEEE Transactions on Magnetics, 2010, v. 46, p. 2783-2786, 2010
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Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva, Alexandre R. Fonseca, Diogo B. Oliveira & Renato C. Mesquita - Meshless Local Petrov-Galerkin in Solving Microwave Guide Problems, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010)
Case Iris RPIMP 2D (GHz) FEM 3D (GHz)
1 a/8 9.255 9.251
2 a/4 9.168 9.169
3 a/2 8.765 8.768
4 7a/8 8.6 7.585
Frequency [Hz]
|E| -
ele
ctric
fie
ld [V
/m]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.005
0.01
0.015
0.02
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Ainda não publicado (trabalho do aluno Williams Nicomedes)
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2009 SBMO/IEEE MTT International Microwave & Optoelectronics Conference(IMOC 2009 –novembro, 2009): Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and
Fernando J. S. Moreira - A Local Boundary Integral Equation (LBIE) Method in 2D Electromagnetic Wave Scattering, and a Meshless Discretization Approach (p. 133-137).
Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and Fernando J. S. Moreira - The Unimoment Method and a Meshless Local Boundary Integral Equation (LBIE) Approach in 2D Electromagnetic Wave Scattering (p. 514-518).
![Page 65: Solução de problemas do Eletromagnetismo utilizando métodos ...](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052419/5870c5a21a28ab30658b8ca2/html5/thumbnails/65.jpg)
Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita, Fernando J. S. Moreira - A Meshless Local Boundary Integral Equation Method for Three Dimensional Scalar Problems. 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010). Aceito para publicação no IEEE Transactions on Magnetics.
![Page 66: Solução de problemas do Eletromagnetismo utilizando métodos ...](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052419/5870c5a21a28ab30658b8ca2/html5/thumbnails/66.jpg)
PARREIRA, Guilherme Fonseca ; SILVA, Elson José da ; FONSECA, Alexandre Ramos ; MESQUITA, R. C. . The Element-free Galerkin Method in 3-Dimensional Electromagnetic Problems. IEEE Transactions on Magnetics, v. 42, n. 4, p. 711-714, 2006.
![Page 67: Solução de problemas do Eletromagnetismo utilizando métodos ...](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052419/5870c5a21a28ab30658b8ca2/html5/thumbnails/67.jpg)
Luciano C. A. Pimenta, Miguel L. Mendes, Renato C. Mesquita, and Guilherme A. S. Pereira, Fluids in Electrostatic Fields: An Analogy for Multi-Robot Control, IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, 2007.
Luciano C. A. Pimenta ; Nathan Michael ; MESQUITA, R. C. ; Guilherme A. S. Pereira ; Vijay Kumar . Control of Swarms Based on Hydrodynamic Models. IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2008.
![Page 68: Solução de problemas do Eletromagnetismo utilizando métodos ...](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052419/5870c5a21a28ab30658b8ca2/html5/thumbnails/68.jpg)
Naísses Z. Lima; Renato C. Mesquita; Marcos L. Assis Jr., Framework for meshless methodsusing generic programming, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio2010)
![Page 69: Solução de problemas do Eletromagnetismo utilizando métodos ...](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052419/5870c5a21a28ab30658b8ca2/html5/thumbnails/69.jpg)
Métodos sem malha são alternativa interessante aos métodos baseados em malhas;
Há muito ainda para desenvolver:◦ Gerar implementações ainda mais eficientes;
◦ Investigar as formulações mais adequadas para os diversos tipos de problemas eletromagnéticos;
◦ Novos tipos de funções de interpolação:
Por exemplo, seria possível desenvolver o equivalente aos elementos de aresta (funções de interpolação vetoriais) sem uma malha?
Estamos trabalhando ativamente nessas questões!
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Ao mesmo tempo, há muitas questões matemáticas em aberto:◦ Vários dos métodos ainda não têm estimativas teóricas
de convergência;
◦ Existem algumas técnicas que desenvolvemos que não temos certeza se funcionariam corretamente em todas situações;
É um campo vasto de pesquisa para Engenheiros, Matemáticos, Físicos, ...◦ [email protected]