Licenciado Oscar Ardila Chaparro

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• Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752) fue unmatemático suizo nacido en Ginebra.Mostró gran precocidad en matemática y ya a los 18 recibe sudoctorado y a los 20 era profesor adjunto de matemática.Profesor de matemática de la Universidad de Ginebra durante elperiodo 1724-27.

En 1750 ocupó la cátedra de filosofíaen dicha universidad. En 1731presentó ante la Academia de lasCiencias de París, una memoriasobre las múltiples causas de lainclinación de las órbitas de losplanetas.Ampliar Información ….

• El método de Cramer esta sustentado en el calculo dedeterminantes, motivo por el cual su aplicación estarestringida a matrices cuadradas.

Para calcular el determinante de una matriz 3x3 partimosde la estructura de un sistema de ecuaciones como sigue:

11 12 13

21 22 23

31 32 3

1 2 3

1 2 3

1

2

31 332

* * *

* * *

* * *

a a a

a a a

x x x

x x x

x x xa a

b

ba

bCoeficientes

Variables

resultados

* xA b

• Tomando la matriz de coeficientes del sistema

• Calculamos el determinante como sigue:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

Matriz de Coeficientes

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a a a aA a a a

a a a a a a

• Tomando la matriz de coeficientes del sistema replicamoslas dos primeras columnas y realizamos lasmultiplicaciones indicadas por las diagonales y el signoindicado en cada color.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

A a a a a a

a a a a aMultiplico por el signo (+)

El resultado de cada diagonal

Multiplico por el signo (-)El resultado de cada diagonal

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

* * * * * *

* * * * * *

A a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

• Siendo A una matriz (de coeficientes) de nxn perteneciente al sistema las respuestas del sistema vienen dadas por.

Donde son matrices construidas a partir del cambio de la columna de la matriz A que indica el

subíndice de por los valores del vector de resultados 1

2

1

2

3

3

D

D

A

D

xA

x

xA

* x bA

1 2 3, D D y D

x b

12 13

22 23

32

1

3

2

3

1

3

a a

a a

a

b

b

b a

D

11 13

21 23

1

2

33 33

2

1

b

b

b

aD

a a

a

a a

1

13

11 12

21 22

31 32 1

a a

a a

a

b

a

D b

b

• La aplicación de la regla de Cramer se sustenta en cuatro simples procesos:

– Primero debemos plantear la matriz de coeficientes y el vector de resultados del sistema.

– Después mediante la regla de Cramer planteamos las matrices D1, D2 etc.

– Calculamos los valores de los determinantes de cada matriz planteada.

– Y por ultimo para obtener las respuestas del sistemareemplazamos los valores calculados realizando lasdivisiones indicadas en la regla de Cramer.

• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 , empleando la regla de Cramer:

Primero planteamos la matriz de coeficientes y el vector de resultados.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

* * *

* * *

2 4 6

4 5 6

3 1 2

18

2

* * *

4

4

x x x

x x x

x x x

Coeficientes

Variables

resultados

2 4 6

4 5 6

3 1 2

A

18

24

4

b

• Aplicando la opción dos para el calculo de determinantes tenemos.

• Sumando los resultados de las diagonales:

2 4 6 2 4

4 5 6 4 5

3 1 2 3 1

A

*(+)

*(-)

20 72 24 90 12 32 6A

• De igual manera calculamos para D1, D2 y D3

1

4 6

5 6

1 2

24

18

24

4

D

2

2 6

4 6

3 2

1

18

24

4

2D

3

18

24

4

2 4

4 5

3

8

1

1D

• Por ultimo reemplazamos y hallamos las respuestas del sistema:

1

2

3

1

2

3

24

12

1

4

2

83

6

6

6

xA

A

A

D

D

D

x

x

Licenciado Oscar ArdilaChaparro

Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la comprensión de los conceptos de la asignatura.