Sobre Geoestatística e Mapas. (Paulo M. Barbosa Landim) Everson Mattos Santa Maria-RS, Julho/2013.
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Sobre Geoestatística e Mapas. (Paulo M. Barbosa Landim)
Everson MattosSanta Maria-RS, Julho/2013
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Resumo
1 – O que é Geoestatística;2 – Variáveis Regionalizadas;3 – O Semivariograma;4 – Krigagem Ordinária;5 – Interpolação.
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O que é Geoestatística?
Geoestatística é uma área da estatística aplicada que trata dos fenômenos, que podem ser estudados usando a teoria das variáveis regionalizadas.
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Variáveis Regionalizadas
As variáveis regionalizadas são aquelas que apresentam duplo aspecto contraditório.
Aleatório: apresenta irregularidade e variação imprevisível de um ponto para outro.
Estrutural: apresenta relação existentes entre os pontos no espaço. (determinístico no espaço)
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Embora existam correlação em todas as direções, pode-se estimar apenas em passos regularmente espaçados .
Semivariograma
h
O grau de relação entre pontos numa certa direção pode ser expresso pela covariância. Covariância é uma medida de associação (relação)
Se o fenômeno for isotrópico não dependerá da direção, dependerá apenas de .
h
)])([(),( YX YXEYXCov
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Semivariograma
Espaçamento entre amostras 100 pés.
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SemivariogramaPara a direção Oeste-Leste (WE)
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Semivariograma
31,4]272[
])3030()3037()2833()3336()2934()3435()3235(
)3536()3537()3738()3635()3535()3437()3737(
)3338()3837()3735()3537()3839()3943()4039(
)4142()4242()3640()3940()3742()4244[(
)300(*2222222
2222222
2222222
222222
x
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Semivariograma
70,6]232[
])29-35()32-30()30-38(
)29-35()32-36()33-35()28-34()34-36()35-35()36-38(
)37-35()33-35()37-37()37-37()34-38()38-37()40-42(
)41-43()38-39()39-42()36-42()37-40()40-44[(
)400(*222
2222222
2222222
222222
x
35,5]362[
])32-28()34-38()30-29()29-35()35-33()33-04(
)40-36()29-32()32-36()36-37()37-41()41-37(
)33-36()3637()37-39()39-39()30-34()34-37(
)37-38()38-39()39-40()35-35()35-35()35-42(
)42-42()35-36()37-34()43-40()37-35()35-38(
)38-37()38-36()36-35()35-37()37-42()4244[(
)100(*222222
222222
222222
222222
222222
222222
x
Para a direção Norte-Sul (NS)
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Semivariograma
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Semivariograma
Regra prática – número mínimos de pares entre 30 e 40;Maior distância entre pontos: (Leste – Oeste); e (Norte – Sul);
2500300 2800400
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Semivariograma
Anisotropia:• Geométrica – Quando o “a” varia e o “Sill” fica constante;• Zonal – Quando “Sill” varia e o “a” permanece constante;
Efeito pepita – Erro de medida, ruído, ou amostras muito espaçadas;
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Quando não se sabe se o fenômeno é isotrópico ou anisotrópico, usa-se as direções dos pontos cardeais e colaterais com ângulo de abertura de 45º.
Quando descoberta uma direção de forte anisotropia deve-se investigar essa direção ângulo de abertura pequeno.
Melhores estimativas são obtidas quando os modelos são baseados em Semivariogramas experimentais que apresentam a menor razão e maior alcance.
Semivariograma
SillCo
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Semivariograma
Validação cruzada, forma de verificar as estimativas; A melhor forma é a comparação com dados de campo;
A média do erro = zero, indica apenas que o modelo escolhido é menos incorreto que outros;
Cuidado na determinação do semivariograma, determina toda a análise geoestatística.
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Semivariograma
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Krigagem Ordinária
“ ... O uso de semivariograma para a estimativa por kigragemnão exige que os dados tenham distribuição normal, mas a presença de distribuição assimétrica, com muitos valores anômalos, deve ser considerada, pois a krigagem é um interpolador linear.”(p. 27)
Krigagem é um processo de estimativa de valores de variáveis distribuídas no espaço e/ou tempo ... Estimativa por média móvel.
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Krigagem Ordinária
nnE xxxA ...2211
ET AA
Problema: como estimar um ponto não amostrado A, conhecendo–se apenas os valores de algumas amostras (x1,...xn)?Uma forma, muito comum é usar uma combinação linear dos dados existentes, ou seja:
Toda estimação possui um erro associada a ela, nesse caso o erro é descrito como:
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O estimador é dito de confiança se a média do erro de estimação for zero.
Uma forma usual de medir a confiança de um estimador é utilizar o desvio padrão ou sua variância.
Entretanto, nesse caso não se sabe o valor real, apenas a estimativa, logo não se sabe o erro e tampouco a variância.
Então com o se faz?
Krigagem Ordinária
2
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Krigagem Ordinária
)(22
nnE xxxA ...2211
11
n
ii
A solução é utilizar o semivariograma para estimar a variância, logo:
Sendo que a estimativa é:
Assumindo que:
Restrição necessária para encontrar a solução do sistema de equações lineares.
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Krigagem Ordinária
0)( AE
nii
,...,2,102
Considerando também que não haja tendência local dos valores, isto é:
Caso isso ocorra o estimador é ótimo e não tendencioso, pois, dado um conjunto de pesos para cada valor a ser estimado ocorre a minimização das variâncias dos erros:
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Assim para estimar o valor ‘A’, é necessário resolver um sistema de equações linear para ser resolvido com n equações. Como há uma restrição, , tem-se o aumento uma variável independente.
Para resolver esse problema (Otimização com restrição), utiliza-se o multiplicador de Lagrange para que o sistema linear possa ter solução.
Krigagem Ordinária
11
n
ii
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Krigagem Ordinária
O sistema pode ser escrito como: 1|)(|1|)( Aiiihi xxxx
Desejam-se os ponderadores: 1|)(1|)(| 1
Aiihii xxxx
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Krigagem Ordinária
)]([][
:é variânicaa e
)(
'2Aii
AiiE
xx
xxA
EA
O ponto a ser estimado pela krigagem é:
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InterpolaçãoInterpolação com o Inverse Distance Weighting (IDW)
n
j j
ii
d
d
1
1
1
Ponto X Y U3O4 Distâncias 1/Distância PesosA 4150 2340 372.803 0.000 - -1 4170 2332 400 21.541 0.0464 0.3187012 4200 2340 380 50.000 0.0200 0.1373013 4160 2370 450 31.623 0.0316 0.2170924 4150 2310 280 30.000 0.0333 0.2288355 4080 2340 320 70.000 0.0143 0.098072
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InterpolaçãoO mesmo problema agora usando krigagem ordinária
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Interpolação
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Interpolação
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Interpolação
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Interpolação
)()()()()(54321
5544332211 hhhhh
ApApApApApA
55,376)320(*0901,0280*2668,09,420*3017,0
3,581*)0347,0(7,322*3760,0
A
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Interpolação
],[]'[),(2AiiAiiA SSSS
E
8867,4100816,109,714*0901,05,405*2668,0
9,420*3017,03,581*)0347,0(7,322*3760,02
EA
27034,208867,410 EA
O valor estimado com o interpolador do tipo IDW e a Krigagem são muito semelhantes!
Pode-se com a krigagem avaliar o erro de estimação ou a faixa de valores, as quais o valor verdadeiro é mais provável.
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Interpolação
EE AETAE AAA 96.196.1
O valor verdadeiro do ponto A deve estar, com 95% de certeza, entre:
28,41682,33627034,20*96.155,37627034,20*96.155,376
T
T
AA
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Mapa
Modelo de variograma ajustado ao variograma experimental
Mapa de localização de pontos de amostragem
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Mapa estimado pelo método da krigagem ordinária
Mapa de desvios-padrão da krigagem associados aos valores estimados
Mapa
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Mapa
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Concluindo
Entretanto, segundo Landim, não há garantia que os dados interpolados mantenham o mesmo histograma e a mesma variância e o mesmo semivariograma dos dados originais.
Pode-se estimar um valor não amostrado e vavaliar o erro dessa estimativa, conforme os mapas anteriores.
Alguns aplicativos que podem auxiliar no tratamento estatístico de dados: Surfer®, SPSS®, Estatística®
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Centro Reginal Sul de Pesquisas Espaciais – CRS/INPEUniversidade Federal de Santa Maria – UFSMPós-Gradução em Geografia e Geociências
Santa Maria-RS, Out/2013
Obrigado!