Soal soal non rutin
-
Upload
joe-zidane -
Category
Education
-
view
1.318 -
download
22
Transcript of Soal soal non rutin
Smart Mathematics 2011
1
Kelas X
STANDAR KOMPETENSI:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.
KOMPETENSI DASAR :
Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
MATERI HARI INI SOAL PENILAIAN MATERI AKAN DATANG
Pertemuan 1 (2 x 45 menit)
Dengan diskusi dan tanya jawab
dibahas bentuk umum persamaan
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dimana
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ≠ 0
Dengan diskusi dan tanya jawab
dibahas cara menentukan akar-akar
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, untuk 𝑎 = 1
dengan memfaktorkan.
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat:
1. 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0
2. 3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0
3. 3
2 𝑥2 +
1
2 𝑥 – 1 = 0
Petunjuk pengerjaan:
- Sederhanakan persamaan jika memungkinkan
dan diperlukan.
- Lakukan manipulasi aljabar sesuai keperluan.
- Lakukan pengerjaan seperti kasus 𝑎 = 1
Pertemuan 2 (2 x 45 menit)
Dengan diskusi dan tanya jawab
dibahas cara menentukan akar-akar
persamaan kuadrat dengan rumus
persamaan kuadrat.
Secara kelompok siswa
mengerjakan soal latihan
Tujuan Soal:
- Untuk mengetahui pemahaman siswa menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan
- Untuk mengukur kemampuan siswa melakukan menipulasi aljabar untuk melakukan pemfaktoran, dan menuntun siswa mampu
mengidentifikasi suatu persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan pemfaktoran atau cara yang lain
Smart Mathematics 2011
2
Pertemuan 2 (2 x 45 menit)
Dengan diskusi dan tanya jawab
dibahas cara menentukan akar-akar
persamaan kuadrat dengan
Memfaktorkan dan melengkapkan
bentuk kuadrat sempurna.
Secara kelompok siswa mengerjakan
soal latihan
4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat:
−4𝑥2 + 7𝑥 – 3
2 = 0
Petunjuk pengerjaan:
Tetapkan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 terlebih dahulu.
Substitusi nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 ke 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 dan selesaikan.
5. Tentukan penyelesaian dari:
−3𝑥2 + 5𝑥 + 2 ≤ 0
6. Keliling sebuah persegi panjang sama
dengan 20 cm. Jika luas persegi panjang itu
tidak kurang dari 21 cm2, tentukan batas-
batas nilai panjang dari persegi panjang
tersebut.
Petunjuk pengerjaan:
Tentukan titik nol pertidaksamaan
Uji interval yang terbentuk
Susunlah model matematika dari soal cerita
yang diberikan
Selesaikan persamaan atau pertidaksamaan
yang terbentuk.
Pertemuan 3 (2 x 45 menit)
Dengan diskusi dan tanya jawab
dibahas cara menentukan
penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat.
Dengan penugasa siswa
mengerjakan soal penyelesaian
pertidaksamaan kuadrat.
Smart Mathematics 2011
3
Tujuan Soal:
Untuk mengukur kemampuan siswa menggunakan rumus persamaan kuadrat, dan mengarahkan siswa untuk berpikir cara lain
untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang bentuknya tidak bias difaktorkan.
Mengarahkan siswa untuk mempersiapkan diri untuk masuk pada materi berikutnya, yaitu pertidaksamaan kuadrat.
Pembahasan Soal
entukan akar-akar persamaan kuadrat:
1. 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0
Jawaban:
2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0
⟺ 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0
⟺ (𝑥 − 2)(𝑥 − 4) = 0
⟺ (𝑥 − 2) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 − 4) = 0
⟺ 𝑥 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4
Jadi akar persamaan kuadrat 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0 adalah
𝒙 = 𝟐 atau 𝒙 = 𝟒
2. 3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0
Jawaban:
3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0 ⟺ 3𝑥2 + 12𝑥 – 2𝑥 – 8 = 0
⟺ 3𝑥(𝑥 + 4) − 2(𝑥 + 4) = 0
⟺ (3𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 0
⟺ (3𝑥 − 2) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 + 4) = 0
⟺ 𝑥 =2
3𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4
Jadi akar persamaan kuadrat 3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0 adalah
𝒙 = 𝟐
𝟑 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒙 = 𝟒
3. 3
2 𝑥2 +
1
2 𝑥 – 1 = 0
Jawaban:
3
2 𝑥2 +
1
2 𝑥 – 1 = 0 ⟺ 3𝑥2 + 𝑥 – 2 = 0
⟺ 𝑥2 + 3𝑥 – 2𝑥 – 2 = 0
⟺ 3𝑥(𝑥 + 1) – 2(𝑥 + 1) = 0
⟺ (3𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
⟺ (3𝑥 − 2) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 + 1) = 0
⟺ 𝑥 = 2
3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1
Jadi akar persamaan kuadrat 3
2 𝑥2 +
1
2 𝑥 – 1 = 0 adalah
𝑥 = 2
3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1
Smart Mathematics 2011
4
4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat:
−4𝑥2 + 7𝑥 – 3
2 = 0
Jawaban:
Dari −4𝑥2 + 7𝑥 – 3
2 = 0 diperoleh:
𝑎 = −4, 𝑏 = 7, 𝑐 = − 3
2
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
⟺ 𝑥1,2 =−7 ± √(7)2 − 4(−4)(−
32)
2(−4)
⟺ 𝑥1,2 =−7 ± √49 − 24
−8
⟺ 𝑥1,2 =−7 ± √25
−8
⟺ 𝑥1,2 =−7 ± 5
−8
⟺ 𝑥 =−7 + 5
−8=
−2
−8 atau 𝑥 =
−7− 5
8=
−12
−8
⟺ 𝑥 =1
4 atau 𝑥 =
3
2
Jadi akar persamaan kuadrat −4𝑥2 + 7𝑥 – 3
2 = 0 adalah
𝒙 =𝟏
𝟒 atau 𝒙 =
𝟑
𝟐
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari dari pertidaksamaan
kuadrat −3𝑥2 + 5𝑥 + 2 ≤ 0
Jawaban:
Nilai-nilai nol −3𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0 adalah:
(3𝑥 + 1)(−𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥 = − 1
3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2
Nilai-nilai nol dan tanda-tanda intervalnya seperti pada
gambar di berikut:
.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:
𝐻𝑃 = {𝒙│𝒙 ≤ − 𝟏
𝟑 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ≥ 𝟐}
a. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 𝑐𝑚. Jika
luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 𝑐𝑚2, tentukan
batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut.
Jawaban:
Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-
turut adalah x cm dan y cm.
Keliling 𝐾 = 2𝑥 + 2𝑦 = 20 ⟺ 𝑥 + 𝑦 = 10 ⟺ 𝑦 = 10 – 𝑥
Luas persegi panjang: 𝐿 = 𝑥 . 𝑦 ⟺ 𝐿 = 𝑥 (10 – 𝑥) ⟺ 𝐿 = 10𝑥 – 𝑥2
Luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 𝑐𝑚2, ini berarti
𝐿 ≥ 21 10𝑥 – 𝑥2 ≥ 21 ⟺ – 10𝑥 + 𝑥2 ≤ −21 ⟺ 𝑥2 – 10𝑥 + 21 ≤ 0 ⟺ (𝑥 – 3)(𝑥 – 7) ≤ 0
⟺ 3 ≤ 𝑥 ≤ 7 Jadi batas-batas nilai panjang dari persegi panjang itu adalah
dari 𝟑 𝒄𝒎 sampai dengan 𝟕 𝒄𝒎.
- 1
3 2
- 1
3 2
+ − +
Smart Mathematics 2011
5
Kelas XI
Standar Kompetensi:
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Kompetensi dasar:
1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
2. Menentukan invers suatu fungsi
MATERI YANG DIAJARKAN PENILAIAN MATERI AKAN DATANG
Pertemuan 1 (2 x 45 Menit):
2. Dengan diskusi dan tanya jawab,
diberikan masalah menentukan
fungsi komposisi.
3. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
1. Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, dan
𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 7, tentukan rumus fungsi
𝑔(𝑥).
2. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, dan
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3, tentukan, (𝑓𝑜𝑔)(1)
Petunjuk Pengerjaan:
Misal 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, dan
𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑
Maka 𝑔(𝑥) =𝑐𝑥+𝑑−𝑏
𝑎
Misal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛
Gantikan 𝑥 =𝑥−𝑛
𝑚
Maka 𝑔(𝑥) = (𝑚.𝑥−𝑛
𝑚+ 𝑛) = 𝑐 (
𝑥−𝑛
𝑚)
Pertemuan 2 (2 x 45 Menit):
1. Dengan diskusi dan tanya jawab,
dibahas bagaimana menentukan
rumus fungsi jika salah satu fungsi
dan fungsi komposisinya diketahui.
2. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
Smart Mathematics 2011
6
Tujuan Pemberian soal:
Untuk mengetahui pemahaman siswa dalam menentukan rumus fungsi jika salah satu fungsi dan fungsi komposisinya diketahui.
MATERI YANG DIAJARKAN PENILAIAN MATERI AKAN DATANG
Pertemuan 2 (2 x 45 Menit):
3. Dengan diskusi dan tanya jawab,
dibahas bagaimana menentukan rumus
fungsi jika salah satu fungsi dan fungsi
komposisinya diketahui.
4. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, dan
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)
4. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, dan
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(8)
Petunjuk Pengerjaan:
Misal: (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥) = 𝑔−1𝑜 𝑓−1(𝑥)
Selanjutnya selesaiakn seperti biasa
Pertemuan 3 (2 x 45 Menit):
4. Dengan tanya jawab dijelaskan
bagaimana menentukan fungsi invers
dari fungsi komposisi.
5. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
Tujuan Pemberian Soal:
Untuk mengetahui pemahaman siswa dalam menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi
Smart Mathematics 2011
7
PENYELESEAIAN
1. Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, dan
𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 7, tentukan rumus fungsi 𝑔(𝑥)
Diketahui:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 dan 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 7
Berdasarkan petunjuk yang ada maka diperoleh :
𝑓[𝑔(𝑥)] = 6𝑥 − 7
2[𝑔(𝑥)] + 1 = 6𝑥 − 7
2[𝑔(𝑥)] = 6𝑥 − 7 − 1
𝑔(𝑥) =6𝑥 − 8
2= 3𝑥 − 4
2. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, dan
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3, tentukan, (𝑓𝑜𝑔)(1)
Diketahui:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 dan 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3
Berdasarkan petunjuk yang ada maka diperoleh :
𝑔 𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑥 + 3) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3
𝑔 (1.𝑥−3
1+ 3) = 2 (
𝑥−3
1)
2
+ 4(𝑥−3
1) − 3
⇔ 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2 + 4(𝑥 − 3) − 3
⇔ 𝑔(1) = 2(1 − 3)2 + 4(1 − 3) − 3 = −3
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓𝑜𝑔(1) = 𝑓[𝑔(1)] = 𝑓(−3) = (−3) + 3 = 0
Smart Mathematics 2011
8
3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, dan
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)
Diketahui:
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3
Berdasarkan petunjuk yang ada maka diperoleh :
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
⇔ (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = 𝑥
⇔ 𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥
⇔ [𝑓−1(𝑥)] − 1 = 𝑥
Maka 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3
⇔ (𝑔𝑜𝑔−1)(𝑥) = 𝑥
⇔ 𝑔[𝑔−1(𝑥)] = 𝑥
⇔ 2[𝑔−1(𝑥)] + 3 = 𝑥
Maka 𝑔−1(𝑥) =𝑥−3
2
Selanjutnya ditentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)
(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥) = (𝑔−1𝑜 𝑓−1)(𝑥) =𝑥 + 1 − 3
2=
𝑥 − 2
2
4. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, dan
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(8)
Diketahui:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1
Berdasarkan petunjuk yang ada maka diperoleh :
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
⇔ (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = 𝑥
⇔ 𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥
⇔ [𝑓−1(𝑥)] + 1 = 𝑥
Maka 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 − 1
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1
⇔ (𝑔𝑜𝑔−1)(𝑥) = 𝑥
⇔ 𝑔[𝑔−1(𝑥)] = 𝑥
⇔ 2[𝑔−1(𝑥)] − 1 = 𝑥
Maka 𝑔−1(𝑥) =𝑥+1
2
Selanjutnya ditentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(8)
(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥) =𝑥 − 1 + 1
2=
𝑥
2
(𝑓𝑜𝑔)−1(8) =8
2= 4
Smart Mathematics 2011
9
Kelas XII
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.
Kompetensi Dasar:
1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar
MATERI HARI INI SOAL PENILAIAN MATERI AKAN DATANG
Pertemuan 1 (2 x 45 Menit):
6. Dengan diskusi dan tanya jawab,
dirancang aturan integral tak tentu dari
aturan turunan.
7. Secara kelompok siswa membahas soal
latihan dan mengumpulkan hasilnya.
Tentukanlah nilai dari:
5. ∫ (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)1
−1𝑑𝑥
6. ∫1
𝑥 √𝑥23 𝑑𝑥8
0
Petunjuk Pengerjaan:
Misal ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥).
Maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Pertemuan 2 (2 x 45 Menit):
5. Dengan diskusi dan tanya jawab,
dibahas integral tertentu sebagai luas
daerah di bidang datar.
6. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
Tujuan Soal:
Untuk mengetahui pemahaman siswa tentang konsep integral tak tentu dan mengarahkan siswa dalam mempersiapkan diri untuk
masuk pada materi integral tentu.
Smart Mathematics 2011
10
Pertemuan 2 (2 x 45 Menit):
1. Dengan diskusi dan tanya jawab,
dibahas integral tertentu sebagai luas
daerah di bidang datar.
2. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
Tentukanlah nilai dari
1. ∫6𝑥2
√𝑥3+1𝑑𝑥
2
0
2. ∫(4 − 2 𝐶𝑜𝑠 𝛼)3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑥
Petunjuk Pengerjaan:
Ubahlah bentu soal di atas menjadi bentuk:
∫ 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢
𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢.
Selanjutnya selesaiakn seperti biasa
Pertemuan 3 (2 x 45 Menit):
5. Dengan tanya jawab dijelaskan cara
menghitung integral dengan metode
substitusi
6. Secara kelompok siswa membahas
soal latihan dan mengumpulkan
hasilnya.
Tujuan Soal:
Untuk mengetahui pemahaman siswa tentang konsep integral tentu dan mengarahkan siswa dalam mempersiapkan diri untuk masuk
pada materi manghitung integral dengan metode substitusi.
Pembahasan Soal:
1. ∫ (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)1
−1𝑑𝑥
= 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥|−11
= (13 − 12 + 5(1)) − ((−1)3 − (−1)2 + 5(−1))
= 5 − (−7)
= 12
2. ∫1
𝑥 √𝑥23 𝑑𝑥8
0= ∫ 𝑥−1. 𝑥−
2
3𝑑𝑥8
0= ∫ 𝑥−
5
3𝑑𝑥8
0
=1
−53 + 1
𝑥−53
+1|
0
8
= −3
2𝑥−
23|
0
8
= −3
2((8)−
23 − 0)
= −3
2(
1
4)
= −3
8
Smart Mathematics 2011
11
3. ∫6𝑥2
√𝑥3+1𝑑𝑥
1
0
Misalkan 𝑢 = 𝑥3 + 1, dimana 𝑥 = 1 ⇒ 𝑢 = 2
𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 1
Maka 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑥2 ⇔ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥2. Sehingga
∫6𝑥2
√𝑥3 + 1𝑑𝑥 = ∫
1
√𝑢. 6𝑥2
𝑑𝑢
2𝑥2
2
1
1
0
= ∫ 3𝑢−12. 𝑑𝑢
2
1
=3
−12
+ 1𝑢−
12
+1|
1
2
= 6√𝑢|1
2
= 6(√2 − 1)
4. ∫(4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼)3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑥
Misalkan 𝑢 = 4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼
Maka 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑆𝑖𝑛 𝛼 ⇔ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑆𝑖𝑛 𝛼. Sehingga
∫(4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼)3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑢
2𝑆𝑖𝑛 𝛼
= ∫1
2𝑢3𝑑𝑢
=1
2.1
4𝑢4
=1
8(4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼)4