Soal Dan Pembahasan Simpleks Dua Fase

SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN

METODE SIMPLEKS DUA FASE

SOAL 1

Selesaikan Soal Program Linear berikut:

Meminimumkan : z=3 x1+5 x2

Dengan kendala :

x1≤42 x2=123 x1+2 x2≥184

x1 , x2≥0

Penyelesaian :

Meskipun soal di atas dapat diselesaikan dengan metode grafik tetapi untuk

contoh ini akan diselesaikan dengan metode simpleks dua fase.

Bentuk siap simpleks untuk soal ini :

Meminimumkan : z=3 x1+5 x2+0 S1+0S2+A1+A2

Dengan kendala :

x1+S1=42 x2+A1=123 x1+2 x2−S2+A2=18

x1 , x2≥0

TAHAP 1

i. Tabel 1 (Tabel awal dengan memasukkan fungsi kendala)

ProgramObyekti

fKuantitas

0 0 0 0 1 1

x1 x2 S1 S2 A1 A2

S1 1 4 1 0 1 0 0 0

A1 1 12 0 2 0 0 1 0

A2 1 18 3 2 0 -1 0 1

ii. Tabel 2 (dilengkapi dengan nilai Zj , Zj - Cj , dan nilai Ri)

Cara mencari nilai Zj sebagai berikut :

Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase 1

Z1 = (1 x 1) + (0 x 1) + (3 x 1) = 4 Z2 = (0 x 1) + (2 x 1) + (2 x 1) = 4

Z3 = (1 x 1) + (0 x 1) +(0 x 1) = 1 Z4 = (0 x 1) + (0 x 1) + (-1 x 1) = -1

Z5 = (0 x 1) + (1 x 1) + (0 x 1) = 1 Z6 = (0 x 1) + (0 x 1) + (1 x 1) = 1

Cara mencari nilai Zj - Cj sebagai berikut :

Z1 – C1 = 4 - 0 = 4 Z2 – C2 = 4 - 0 = 4

Z3 – C3 = 1 - 0 = 1 Z4 – C4 = -1 - 0 = -1

Z5 – C5 = 1 - 1 = 0 Z6 – C6 = 1 - 1 = 0

Nilai Zj - Cj terbesar berada pada kolom x1 dan kolom x2, sehingga pemilihan

kolom kunci dapat dipilih yang mana ingin digunakan. Boleh pada kolom x1

ataupun pada kolom x2. Pada pembahasan kali ini, akan digunakan kolom x1

sebagai kolom kunci.

Mencari nilai Ri

R1=41=4

R2=120

=∞

R3=183

=6

Nilai Ri terkecil yang positif akan menjadi baris kunci. Sehingga, yang

menjadi baris kunci adalah baris S1.

Sehingga, tabel yang terbentuk sebagai berikut.

Tabel 2

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 S1 S2 A1 A2

S1 1 4 1 0 1 0 0 0 4

A1 1 12 0 2 0 0 1 0∞

A2 1 18 3 2 0 -1 0 1 6

Zj 4 4 1 -1 1 1

Zj - Cj 4 4 1 -1 0 0


iii. Tabel 3 (hasil transformasi Ketiga baris Program)

Transformasi Pertama dilakukan pada baris S1 (karena pada baris

tersebut terletak bilangan pivot)

Baris kunci dibagi dengan Bilangan Pivot (dibagi 1).

Program S1 diganti dengan kolom kunci, objektifnya adalah Ckolom kunci

Transformasi Kedua dilakukan pada baris yang bukan merupakan baris

kunci.

Baris yang bukan baris kunci adalah baris kedua dan baris ketiga. Cara

mentransformasi baris kedua dan baris ketiga adalah dengan mengurangi

angka-angka pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angka-

angka pada baris kunci dengan rasio tetap.

Tabelnya adalah seperti gambar dibawah.

Tabel 3

Program ObyektifKuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 S1 S2 A1 A2

x1 0 4 1 0 1 0 0 0 R1

A1 1 12 0 2 0 0 1 0 R2

A2 1 6 0 2 -3 -1 0 1 R3

iv. Tabel 4 (dilengkapi dengan nilai Zj , Zj - Cj , dan nilai Ri)


Z1 = (1 x 0) + (0 x 1) + (0 x 1) = 0 Z2 = (0 x 0) + (2 x 1) + (2 x 1) = 4

Z3 = (1 x 0) + (0 x 1) +(-3 x 1) = -3 Z4 = (0 x 0) + (0 x 1) + (-1 x 1) = -1

Z5 = (0 x 0) + (1 x 1) + (0 x 1) = 1 Z6 = (0 x 0) + (0 x 1) + (1 x 1) = 1


Z1 – C1 = 0 - 0 = 0 Z2 – C2 = 4 - 0 = 4

Z3 – C3 = -3 - 0 = -3 Z4 – C4 = -1 - 0 = -1

Z5 – C5 = 1 - 1 = 0 Z6 – C6 = 1 - 1 = 0

Nilai Zj - Cj terbesar berada pada kolom x2 sehingga kolom tersebut menjadi

kolom kunci.

Mencari nilai Ri


R1=40=∞

R2=122

=6

R3=62

=3


menjadi baris kunci adalah baris A1.


Tabel 4

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 S1 S2 A1 A2

x1 0 4 1 0 1 0 0 0 ∞

A1 1 12 0 2 0 0 1 0 6

A2 1 6 0 2 -3 -1 0 1 3

Zj 0 4 -3 -1 1 1

Zj - Cj 0 4 -3 -1 0 0

**) Karena nilai dari Zj - Cj masih ada yang positif, maka iterasi dilakukan seperti

langkah ke iii, dan seterusnya hingga menghasilkan nilai Zj - Cj yang tidak positif.

v. Tabel 5 (hasil transformasi Ketiga baris Program)

Transformasi Pertama dilakukan pada baris A2 (karena pada baris



Program A2 diganti dengan kolom kunci, objektifnya adalah Ckolom kunci


kunci.

Baris yang bukan baris kunci adalah baris pertama dan baris kedua. Cara

mentransformasi baris pertama dan baris kedua adalah dengan mengurangi





Tabel 5

Program ObyektifKuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 S1 S2 A1 A2

x1 0 4 1 0 1 0 0 0 R1

A1 1 6 0 0 3 1 1 0 R2

x2 0 3 0 1 -1,5 -0,5 0 0,5 R3

vi. Tabel 6 (dilengkapi dengan nilai Zj , Zj - Cj , dan nilai Ri)


Z1 = (1 x 0) + (0 x 1) + (1 x 0) = 0 Z2 = (0 x 0) + (0 x 1) + (1 x 0) = 0

Z3 = (1 x 0) + (3 x 1) +(-1,5 x 0) = 3 Z4 = (0 x 0) + (1 x 1) + (-0,5 x 0) = 1

Z5 = (0 x 0) + (1 x 1) + (0 x 0) = 1 Z6 = (0 x 0) + (0 x 1) + (0,5 x 0) = 0


Z1 – C1 = 0 - 0 = 0 Z2 – C2 = 0 - 0 = 0

Z3 – C3 = 3 - 0 = 3 Z4 – C4 = 1 - 0 = 1

Z5 – C5 = 1 - 1 = 0 Z6 – C6 = 0 - 1 = -1

Nilai Zj - Cj terbesar berada pada kolom S1 sehingga kolom tersebut menjadi

kolom kunci.

Mencari nilai Ri

R1=41=4

R2=63

=2

R3=3−1,5

=−2


menjadi baris kunci adalah baris A1.



Tabel 6

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 S1 S2 A1 A2

x1 0 4 1 0 1 0 0 0 4

A1 1 6 0 0 3 1 1 0 2

x2 0 3 0 1 -1,5 -0,5 0 0,5 -2

Zj 0 0 3 1 1 0

Zj - Cj 0 0 3 1 0 -1

vii. Tabel 7 (hasil transformasi Ketiga baris Program)

Transformasi Pertama dilakukan pada baris A1 (karena pada baris



Program A1 diganti dengan kolom kunci, objektifnya adalah Ckolom kunci


kunci.

Baris yang bukan baris kunci adalah baris pertama dan baris ketiga. Cara

mentransformasi baris pertama dan baris ketiga adalah dengan mengurangi




Tabel 7

Program Obyektif Kuantita 0 0 0 0 1 1 Ri


s x1 x2 S1 S2 A1 A2

x1 0 2 1 0 0 -1/3 -1/3 0 R1

S1 0 2 0 0 1 1/3 1/3 0 R2

x2 0 6 0 1 0 0 -1/2 1/2 R3

viii. Tabel 8 (dilengkapi dengan nilai Zj , Zj - Cj , dan nilai Ri)


Z1 = (1 x 0) + (0 x 0) + (0 x 0) = 0 Z2 = (0 x 0) + (0 x 0) + (1 x 0) = 0

Z3 = (0 x 0) + (1 x 0) + (0 x 0) = 0 Z4 = (-1/3 x 0) + (1/3 x 0) + (0 x 0) = 0

Z5 = (-1/3 x 0) + (1/3 x 0) + (-1/2 x 0) = 0 Z6 = (0 x 0) + (0 x 0) + (1/2 x 0) = 0


Z1 – C1 = 0 - 0 = 0 Z2 – C2 = 0 - 0 = 0

Z3 – C3 = 0 - 0 = 0 Z4 – C4 = 0 - 0 = 0

Z5 – C5 = 0 - 1 = -1 Z6 – C6 = 0 - 1 = -1

Nilai Zj - Cj terbesar berada pada kolom S1 sehingga kolom tersebut menjadi

kolom kunci.

Karena nilai dari Zj - Cj seluruhnya tidak ada yang positif, maka iterasi

dihentikan. Tidak perlu lagi mencari nilai Ri. Proses selanjutnya adalah Fase

2.

TAHAP 2

ix. Tabel 9 (Tabel awal dengan memasukkan fungsi kendala)

Obyektif dan Cj-ny mengikuti kofisien dari fungsi yang akan maksimumkan

atau diminimumkan.

Nilai yang akan diminimumkan adalah z=3 x1+5 x2.

Tabel 9

Progra

mObyektif

Kuantita

s

3 5 0 0

x1 x2 S1 S2

x1 3 2 1 0 0 -1/3

S1 0 2 0 0 1 1/3


x2 5 6 0 1 0 0

x. Tabel 10 (dilengkapi dengan nilai Zj , Zj - Cj , dan nilai Ri)


Z1 = (1 x 3) + (0 x 0) + (0 x 5) = 3 Z2 = (0 x 3) + (0 x 0) + (1 x 5) = 5

Z3 = (0 x 3) + (1 x 0) + (0 x 5) = 0 Z4 = (-1/3 x 3) + (1/3 x 0) + (0 x 5) = -1


Z1 – C1 = 3 - 3 = 0 Z2 – C2 = 5 - 5 = 0

Z3 – C3 = 0 - 0 = 0 Z4 – C4 = -1 - 0 = -1

Karena Zj - Cj sudah semua tidak positif maka iterasi pada fase 2 berhenti. Jadi

didapat x1 = 2, x2 = 6.

Sehingga, nilai z minimum adalah z=3(2 )+5(6 )=36.

SOAL 2


Meminimumkan : z=x1+2 x2−x3+4 x 4

Dengan kendala :

x1+2 x2−3 x3+x 4=4x1+2 x2+x3+2 x4=4x1 , x2 , x3 , x4≥0

Penyelesaian :

Dengan cara serupa seperti soal nomor 1, kita mengikuti langkah-langkah sebagai

berikut.

i. Ubah terlebih dahulu fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam bentuk simpleks.

ii. Masukkan nilai-nilai yang bersesuaian pada tabel.

iii. Cari nilai Zj , dan Zj - Cj.

Apabila ada nilai Zj - Cj bernilai positif, maka proses dilanjutkan dengan

mencari nilai Ri. Nilai Zj - Cj terbesar akan menjadi kolom kunci, sedangkan

nilai dari Ri terkecil akan menjadi baris kunci. Perpotongan antara kolom

kunci dengan baris kunci merupakan bilangan pivot.


iv. Transformasi ketiga baris tersebut. Pada transformasi pertama dilakukan untuk

baris kunci (baris yang terdapat bilangan pivotnya dengan cara membagi baris

dengan bilangan pivot). Transformasi selanjutnya adalah transformasi baris-

baris yang bukan baris kunci dengan cara dengan mengurangi angka-angka

pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angka-angka pada baris

kunci dengan rasio tetap.

v. Setelah semuanya ditransformasi, cek kembali nilai Zj - Cj apakah ada nilai

positif. Jika ada yang bernilai positif, maka langkah iii dan seterusnya diulang

kembali. Iterasi pada tahap pertama akan berhenti jika nilai Z j - Cj tidak ada

yang positif. Selanjutnya dilakukan ke Fase 2.

vi. Pada fase 2, obyektif dan Cj-ny mengikuti kofisien dari fungsi yang akan

maksimumkan atau diminimumkan. Dan langkah selanjutnya dilakukan

seperti langkah pada fase 1.

Dari langkah-langkah tersebut, berikut ini akan langsung dipaparkan nilai-nilai

pada tabel berdasarkan langkah-langkah tersebut.

Tabel 1

ProgramObyekti

fKuantitas

0 0 0 0 1 1

x1 x2 x3 x4 A1 A2

A1 1 4 1 2 -3 1 1 0

A2 1 4 1 2 1 2 0 1

Tabel 2

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 x3 x4 A1 A2

A1 1 4 1 2 -3 1 1 0 2

A2 1 4 1 2 1 2 0 1 2

Zj 2 4 -2 3 1 1

Zj - Cj 2 4 -2 3 0 0


Tabel 3

Program Obyektif Kuantitas0 0 0 0 1 1

Rix1 x2 x3 x4 A1 A2

x2 0 2 0,5 1 -1,5 0,5 0,5 0 R1

A2 1 0 0 0 4 1 -1 1 R2

Tabel 4

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 x3 x4 A1 A2

x2 0 2 0,5 1 -1,5 0,5 0,5 0 -4/3

A2 1 0 0 0 4 1 -1 1 0

Zj 0 0 4 1 -1 1

Zj - Cj 0 0 4 1 -2 1

Tabel 5

Program Obyektif Kuantitas0 0 0 0 1 1

Rix1 x2 x3 x4 A1 A2

x2 0 2 0,5 1 0 7/8 1/8 3/8 R1

x3 0 0 0 0 1 0,25 -0,25 0,25 R2

Tabel 6

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 1 1

x1 x2 x3 x4 A1 A2

x2 0 2 0,5 1 0 7/8 1/8 3/8

x3 0 0 0 0 1 0,25 -0,25 0,25

Zj 0 0 0 0 0 0


Zj - Cj 0 0 0 0 -1 -1

TAHAP 2

Tabel 9

Program Obyektif Kuantitas0 0 0 0

x1 x2 x3 x4

x2 2 2 0,5 1 0 7/8

x3 -1 0 0 0 1 0,25

Zj 1 2 -1 2

Zj - Cj 0 0 0 -2


didapat x2 = 2, x3 = 0, x1 = 0, x4 = 0.

Sehingga, nilai z minimum adalah z=0+2(2)−0+4 (0 )=4.

SOAL 3


Minimumkan : z=x1+6 x2+2x3

Dengan kendala :

x1+2 x2≥2x1+x2+3 x3≥12x1 , x2 , x3≥0

Penyelesaian :

Dengan cara serupa seperti soal nomor 1, kita mengikuti langkah-langkah sebagai

berikut.

vii. Ubah terlebih dahulu fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam bentuk simpleks.

viii. Masukkan nilai-nilai yang bersesuaian pada tabel.

ix. Cari nilai Zj , dan Zj - Cj.


Apabila ada nilai Zj - Cj bernilai positif, maka proses dilanjutkan dengan

mencari nilai Ri. Nilai Zj - Cj terbesar akan menjadi kolom kunci, sedangkan

nilai dari Ri terkecil akan menjadi baris kunci. Perpotongan antara kolom

kunci dengan baris kunci merupakan bilangan pivot.

x. Transformasi ketiga baris tersebut. Pada transformasi pertama dilakukan untuk

baris kunci (baris yang terdapat bilangan pivotnya dengan cara membagi baris

dengan bilangan pivot). Transformasi selanjutnya adalah transformasi baris-

baris yang bukan baris kunci dengan cara dengan mengurangi angka-angka

pada baris yang bersangkutan dengan hasil kali antara angka-angka pada baris

kunci dengan rasio tetap.

xi. Setelah semuanya ditransformasi, cek kembali nilai Zj - Cj apakah ada nilai

positif. Jika ada yang bernilai positif, maka langkah iii dan seterusnya diulang

kembali. Iterasi pada tahap pertama akan berhenti jika nilai Z j - Cj tidak ada

yang positif. Selanjutnya dilakukan ke Fase 2.

xii. Pada fase 2, obyektif dan Cj-ny mengikuti kofisien dari fungsi yang akan

maksimumkan atau diminimumkan. Dan langkah selanjutnya dilakukan

seperti langkah pada fase 1.

Dari langkah-langkah tersebut, berikut ini akan langsung dipaparkan nilai-nilai

pada tabel berdasarkan langkah-langkah tersebut.

Tabel 1

Program Obyektif Kuantitas0 0 0 0 0 1 1

x1 x2 x3 S1 S1 A1 A2

A1 1 2 1 2 0 -1 0 1 0

A2 1 12 1 1 3 0 -1 0 1

Tabel 2

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 x3 S1 S1 A1 A2

A1 1 2 1 2 0 -1 0 1 0 2


A2 1 12 1 1 3 0 -1 0 1 2

Zj 2 3 3 -1 -1 1 1

Zj - Cj

2 3 3 -1 -1 0 0

Tabel 3


x1 x2 x3 S1 S1 A1 A2

x2 0 1 0,5 1 0 -0,5 0 0,5 0

A2 1 11 0,5 0 3 0,5 -1 -0,5 1

Tabel 4

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 0 1 1Ri

x1 x2 x3 S1 S1 A1 A2

x2 0 1 0,5 1 0 -0,5 0 0,5 0 ∞

A2 1 11 0,5 0 3 0,5 -1 -0,5 1 1/3

Zj 0,5 0 3 0,5 -1 -0,5 1

Zj - Cj

0,5 0 3 0,5 -1 -1,5 0

Tabel 5


x1 x2 x3 S1 S1 A1 A2

x2 0 1 0,5 1 0 -0,5 0 1/2 0

x3 0 11/3 1/6 0 1 1/6 1/3 -1/6 1/3

Tabel 6

Progra

mObyektif

Kuantita

s

0 0 0 0 0 1 1

x1 x2 x3 S1 S1 A1 A2

x2 0 1 0,5 1 0 -0,5 0 1/2 0


x3 0 11/3 1/6 0 1 1/6 1/3 -1/6 1/3

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj

0 0 0 0 0 -1 -1

TAHAP 2

Tabel 7

Program Obyektif Kuantitas0 0 0 0 0

Ri

x1 x2 x3 S1 S1

x2 6 1 0,5 1 0 -0,5 0 2

x3 2 11/3 1/6 0 1 1/6 1/3 22

Zj 10/3 6 2 -10/3 -2/3

Zj - Cj 7/3 0 0 -10/3 -2/3

Tabel 8

Program Obyektif Kuantitas0 0 0 0 0

x1 x2 x3 S1 S1

x1 1 2 1 2 0 -2 0

x3 2 10/3 0 -1/3 1 1/3 -1/3

Tabel 9

Progra

mObyektif Kuantitas

0 0 0 0 0

x1 x2 x3 S1 S1

x1 1 2 1 2 0 -2 0

x3 2 10/3 0 -1/3 1 1/3 -1/3

Zj 1 4/3 2 -4/3 -2/3


Zj - Cj 0 -14/3 0 -4/3 -2/3


didapat x3 = 10/3, x1 = 2, dan x2 = 2

Sehingga, nilai z minimum adalah z=2+6 (0)−0+2(10/3 )=26 /3

SOAL 4

Selesaikan soal program linier berikut:

Meminimumkan: z = 4x1 + x2

Dengan kendala: 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Penyelesaian :

Bentuk siap simpleks untuk soal ini:


Meminimumkan : z = 4x1 + x2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 1A2

Dengan kendala : 3x1 + x2 + A1 = 3

A1 = 3 - 3x1 - x2

4x1 + 3x2 - S1 + A2 = 6

A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S1

a= A1 + A2 = 9 – 7x1 - 4x2 + S1

x1 + 2x2 + S2 = 4

x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

FASE I

Interasi

ke-

Basis X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solusi Ri

A1 3 1 0 0 1 0 3 1

0 A2 4 3 -1 0 0 1 6 6/4


S2 1 2 0 1 0 0 4 4

a 7 4 -1 0 0 0 9 9/7

Interasi

ke-


X1 1 1/3 0 0 1/3 0 1 3

1 A2 0 5/3 4/3 0 -4/3 0 2 6/5

S2 0 5/3 0 0 -1/3 0 3 9/5

a 0 5/3 0 0 -7/3 0 2 6/5

Interasi

ke-


X1 1 0 -4/5 0 9/15 0 3/5

2 X2 0 1 4/5 0 -4/5 0 6/5

S2 0 0 -4/3 0 1/3 0 1

a 0 0 -4/3 0 -1 0 0

Karena artificialnya sudah minimum, maka kita lanjut ke tahap 2.

Dari iterasi ke-2 kita mendapat,

X1 = 3/5 + 4S1/15

X2 = 6/5 – 4S1/5

Dimana kita akan meminimumkan

z = 4x1 + x2

z = 4(3/5 + 4S1/15) + 6/5 – 4S1/5

z= 12/5 + 16 S1/15 + 6/5 – 4S1/5

z= 36/15 + 16 S1/15 +18/15 - 12 S1/15

z - 4S1/15 = 54/15

a diganti dengan z.

FASE II


Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah54/15 dengan

x1=3/5 dan x2 = 6/5

SOAL 5


Meminimumkan z = 3x1 + 5x2

Dengan kendala:

x1 ≤ 4

2x2 =12

3x1 + 2x2 ≥ 18

x1 , x2 ≥ 0

Penyelesaian :


Meminimumkan : z = 3x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 1A2

Dengan kendala :

x1 +S1 = 4

2x2 + A1 = 12

A1 = 12 - 2x2

3x1 + 2x2 – S2 + A2 = 18

A2 = 18 - 3x1 - 2x2 + S2

a= A1 + A2= 30 - 3x1 - 4x2 + S2

x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

FASE 1

Interasi Basis X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solusi Ri


Interasi

ke-

Basis X1 X2 S1 S2 solusi

X1 1 0 -4/15 0 3/5

0 X2 0 1 4/5 0 6/5

S2 0 0 -4/3 0 1

z 0 0 -4/15 0 54/15

ke-

A1 0 2 0 0 1 0 12 6

0 A2 3 2 0 -1 0 1 18 9

S1 1 0 1 0 0 0 4 ∞

a 3 4 0 -1 0 0 30 30/4

Interasi

ke-


X2 0 1 0 0 1/2 0 6 ∞

1 A2 3 0 0 -1 -1 1 6 2

S1 1 0 1 0 0 0 4 4

a 3 0 0 -1 -2 -2 6 2

Interasi

ke-


X2 0 1 0 0 1/2 0 6

2 X1 1 0 0 -1/3 -1/3 1 2

S1 0 0 1 1/3 1/3 -1/3 2

a 0 0 0 0 -1 -1 0



X1 = 2 + 1/3 S2

X2 = 6


z = 3x1 + 5x2

z = 3(2 + 1/3 S2) + 5(6)

z= 6 + S2 +30

z=36 + S2

a diganti dengan z.

FASE 2


Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 36 dengan x1=2

dan x2 = 6

SOAL 6


Meminimumkan z = 6x1 + 2x2 + 5x3

Dengan kendala: 2x1 + 3x2 + x3 = 10

x1 + 2x3 ≥ 8

x1 + 2x2 + 5x3 ≥ 19

Penyelesaian :

Bentuk siap simpleks untuk soal ini : z = 6x1 + 2x2 + 5x3 + 0S1 + 0S2 + A1 + A2 +

A3

Dengan kendala : 2x1 + 3x2 + x3 + A1 = 10

A1 = 10 - 2x1 - 3x2 - x3

x1 + 2x3 - S1 + A2 = 8

A2 = 8 - x1 - 2x3 + S1

x1 + 2x2 + 5x3 - S2 + A3= 19

A3= 19 - x1 - 2x2 - x3 + S2

a= A1 + A2 + A3 = 37 - 4 x1 - 5x2 – 8x3 + S1 + S2

Interasi

ke-

Basis X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 A3 Solusi Ri

A1 2 3 1 0 0 1 0 0 10 10


Interasi

ke-


X2 0 1 0 0 6

0 X1 1 0 0 -1/3 2

S1 0 0 1 1/3 2

Z 0 0 0 -1 36

A2 1 0 2 -1 0 0 1 0 8 4

0 A3 1 2 5 0 -1 0 0 1 19 19/5

a 4 5 8 -1 -1 0 0 0 37 37/8

Interasi

ke-


A1 9/5 13/5 0 0 1/5 1 0 -1/5 31/5 31/9

1 A2 3/5 -4/5 0 -1 2/5 0 1 -2/5 2/5 2/3

X3 1/5 2/5 1 0 -1/5 0 0 1/5 19/5 19

a 12/5 9/5 0 -1 3/5 0 0 -8/5 33/5 33/12

Interasi

ke-


A1 0 5 0 3 -1 1 -3 1 5 1

2 X1 1 -4/3 0 -5/3 2/3 0 5/3 -2/3 2/3 -1/2

X3 0 10/15 1 1/3 -5/15 0 -1/3 5/15 55/15 55/10

a 0 5 0 3 -1 0 -4 0 5 1

Interasi

ke-


X2 0 1 0 3/5 -1/5 1/5 -3/5 1/5 1

3 X1 1 0 0 -13/5 6/15 4/15 13/15 -14/15 2

X3 0 0 1 -1/15 -3/15 -2/15 1/15 3/15 3

a 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0



X1 = 2 + 13/5S1 - 6/15S2

X2 = 1 - 3/5S1 + 1/5S2

X3 = 3 + 1/15 S1 + 3/15 S2


z = 6x1 + 2x2 + 5x3

z = 6(2 + 13/5S1 - 6/15S2) + 2(1 - 3/5S1 + 1/5S2) + 5(3 + 1/15 S1 + 3/15 S2)


z= 12 + 78/15 S1 – 36/15 S2 + 2 – 6/5 S1 + 2/5 S2 + 15 + 5/15 S1 + 15/15 S2

z=180/15 + 78/15 S1 – 36/15 S2 + 30/15– 18/15 S1 + 6/15 S2 + 15 + 5/15 S1 +

15/15 S2

z= 29 + 65/15 S1 – S2

a diganti dengan z.

FASE II

Interasi

ke-

Basis X1 X2 X3 S1 S2 Solusi Ri

X2 0 1 0 3/5 -1/5 1 -5

0 X1 1 0 0 -13/15 6/15 2 5

X3 0 0 1 -1/15 -3/15 3 -15

Z 0 0 0 -65/15 1 29 29

Interasi

ke-

Basis X1 X2 X3 S1 S2 Solusi Ri

X2 1/2 1 0 5/30 0 2

S2 15/6 0 0 -13/6 1 5

X3 1/2 0 1 -15/30 0 4

Z -15/6 0 0 -65/30 0 24

Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 24dengan x1=0 ,

x2 = 2 dan x3 =4

SOAL 7

Meminimumkan z = x1+ 2x2

Terhadap : x1 + 3x2 ≥ 11

2x1 + x2 ≥ 9

x1 , x2 ≥ 0

Penyelesaian

Bentuk siap simpleks untuk soal ini:

Meminimumkan : z = x1+ 2x2 + 0S1 + 0S2 + A1 + A2


Terhadap: x1 + 3x2 - S1 + A1 = 11

A1 = 11 - x1 - 3x2 + S1

2x1 + x2 - S2 + A2 = 9

A2 = 9 - 2x1 - x2 + S2

a= A1 + A2= 20 - 3x1 - 4x2 + S1+ S2

FASE I

Interasi

ke-


A1 1 3 -1 0 1 0 11 11/3

0 A2 2 1 0 -1 0 1 9 9

a 3 4 -1 -1 0 0 4 9/7

Interasi

ke-


X2 1/3 1 -1/3 0 1/3 0 11/3 11

1 A2 5/3 0 1/3 -1 -1/3 1 16/3 16/5

a 5/3 0 1/3 -1 -1/3 0 16/3 16/5

Interasi

ke-


X2 0 1 -6/15 1/5 6/15 -1/5 39/15

2 X1 1 0 1/5 -3/5 -1/5 3/5 16/5

a 0 0 0 0 0 -1 0



X1 = 16/5 -1/5S1 + 3/5S2

X2 = 39/15 + 6/15S1 - 1/5S2


z = x1 + 2x2

z = 16/5 -1/5S1 + 3/5S2 + 2(39/15 + 6/15S1 - 1/5S2)

z= 16/5 -1/5S1 + 3/5S2 +78/15 + 12/15 S1 - 2/5 S2


z=18/15 -3/15S1 + 9/15S2 +78/15 + 12/15 S1 - 2/5 S2

z= 268/15 + 9/15S1 + 3/15 S2

a diganti dengan z.

FASE II

Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 126/15 dengan

x1= 16/5,x2 = 39/15

Soal 8


Meminimumkan z = 2x1 + x2

Dengan kendala 4x1 + 2x2 ≥ 8

2x1 + 3x2 ≥ 9

x1,x2 ≥0

Penyelesaian :

Kendalanya menjadi:

4x1 + 2x2 - S1 + A1 = 8

A1 = 8 - 4x1 - 2x2 + S1

2x1 + 3x2 - S2 + A2 = 9

A2 = 9 - 2x1 - 3x2 + S2

a = A1 + A2 = 17 – 6x1 – 5x2 +S1+S2

x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

Meminimumkan z = 12x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2 + a

FASE 1

Kita akan meminimumkan A1 dan A2 terlebih dahulu.


Interasi

ke-


X2 0 1 -6/15 1/5 39/15

0 X1 1 0 1/5 -3/5 16/5

Z 0 0 -9/15 -3/15 126/15

Iterasi ke- Basis x1 X2 S1 S2 A1 A2 Solusi

0

A1 4 2 -1 0 1 0 8

A2 2 3 0 -1 0 1 9

a 6 5 -1 -1 0 0 17

Karena ini adalah masalah meminimumkan, maka kolom kunci adalah kolom

yang memiliki nilai a terbesar. Jadi kolom x1.

Iterasi ke- Basis x1 X2 S1 S2 A1 A2 Solusi Ri

0

A1 4 2 -1 0 1 0 8 2

A2 2 3 0 -1 0 1 9 4,5

a 6 5 -1 -1 0 0 17

Untuk baris kunci, pilih Ri terkecil, sehingga baris 1 merupakan baris kunci.


0

A1 4 2 -1 0 1 0 8 2

A2 2 3 0 -1 0 1 9 4,5

a 6 5 -1 -1 0 0 17

Lanjut ke iterasi selanjutnya,

Basis A1 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu x1

Baris kunci dikalikan ¼

Baris A2 dikurangi ¼ Baris kunci.

Baris a dikurangi 3/2 Baris kunci

Tabelnya akan menjadi,


1 x1 1 ½ -1/4 0 ¼ 0 2Soal Latihan Matematika Keuangan Materi Simpleks Dua Fase 24

A2 0 2 ½ -1 -1/2 1 5

a 0 2 ½ -1 -3/2 0 5




1

x1 1 ½ -1/4 0 ¼ 0 2 4

A2 0 2 ½ -1 -1/2 1 5 2,5

a 0 2 ½ -1 -3/2 0 5



1

x1 1 ½ -1/4 0 ¼ 0 2 4

A2 0 2 ½ -1 -1/2 1 5 2,5

a 0 2 ½ -1 -3/2 0 5



Baris kunci dikalikan ½ (pivot)

Baris x1 dikurangi ¼ Baris kunci.

Baris a dikurangi Baris kunci



2

x1 1 0 -3/8 ¼ 3/8 -1/4 0,75

x2 0 1 ¼ -1/2 -1/4 ½ 2,5

a 0 0 0 0 -1 -1 0



X1 = 7,5+3S1/8 – S2/4

X2 = 25+S2/2 – S1/4



z = 2x1 + 1x2

z = 2(0,75+3S1/8 – S2/4) + (2,5+S2/2 – S1/4)

z= 1,5+3S1/4 – S2/2 + 2,5+S2/2 – S1/4

z= 4+3S1/2

z - S1/2 = 4

a diganti dengan z

FASE 2

Iterasi ke- Basis x1 X2 S1 S2 Solusi

0

x1 1 0 -3/8 ¼ 0,75

x2 0 1 ¼ -1/2 2,5

z 0 0 -13/4 0 4

Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 4 dengan x1=0,75

dan x2 = 2,5

SOAL 9


Meminimumkan z = 4x1 + x2

Dengan kendala 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

Penyelesaian :

Kendalanya menjadi:

3x1 + x2 + A1 = 3

A1 = 3 - 3x1 + x2

4x1 + 3x2 – S1 + A2 = 6

A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S1

x1 + 2x2 + S2 = 4


a = A1 + A2 = 9 – 7x1 – 2x2 +S1

x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

Meminimumkan z = 4x1 + x2 + 0S1 + 0S2 + a

FASE 1



0

A1 3 -1 0 0 1 0 3

A2 4 3 -1 0 0 1 6

S2 1 2 0 1 0 0 4

a 7 2 1 0 0 0 9




0

A1 3 -1 0 0 1 0 3 1

A2 4 3 -1 0 0 1 6 1,5

S2 1 2 0 1 0 0 4 4

a 7 2 1 0 0 0 9



0

A1 3 -1 0 0 1 0 3

A2 4 3 -1 0 0 1 6

S2 1 2 0 1 0 0 4

a 7 2 1 0 0 0 9



Baris kunci dikalikan ¼

Baris A2 dikurangi 4/3 Baris kunci.


Baris S2 dikurangi 1/3 Baris kunci.




1

x1 1 -1/3 0 0 1/3 0 1

A2 0 13/3 -1 0 -5/3 1 2

S2 0 7/3 0 1 -1/3 0 3

a 0 11/3 1 0 -7/3 0 2

Kolom kunci adalah kolom yang memiliki nilai a terbesar. Untuk baris kunci,

pilih Ri terkecil


1

x1 1 -1/3 0 0 1/3 0 1 -3

A2 0 13/3 -1 0 -4/3 1 2 0,461

S2 0 7/3 0 1 -1/3 0 3 1,29

a 0 13/3 1 0 -7/3 0 2



Baris kunci dikalikan 3/13

Baris x1 dikurangi 1/13 Baris kunci.

Baris S2 dikurangi 7/13 Baris kunci.




2

x1 1 0 -1/13 0 3/13 1/13 15/13

x2 0 1 -3/13 0 -4/13 3/13 6/13

S2 0 0 7/13 1 5/13 7/13 25/13

a 0 0 2 0 -1 -1 0

Ini sudah minimum, maka dilanjutkan ke tahap 2

Tahap 2

X1-s1/13=15/13 => x1=15/13 + s1/13


X2-3s1/13=6/13 => x2 = 6/13 +3s1/13

S2+7s1/13=25/13 => s2 =25/13-7s1/13

Z= 4x1+x2 = 60/13+4s1/13 + 6/13 +3s1/13 = 66/13+7s1/13


0

x1 1 0 -1/13 0 15/13

x2 0 1 -3/13 0 6/13

S2 0 0 7/13 1 25/13

z 0 0 -7/13 0 66/13


pilih Ri terkecil

Iterasi ke- Basis x1 X2 S1 S2 Solusi Ri

0

x1 1 0 -1/13 0 15/13 -15

x2 0 1 -3/13 0 6/13 -2

S2 0 0 7/13 1 25/13 25/7

z 0 0 7/13 0 66/13


Basis S2 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu S1


Baris x1 dikurangi -1/7 Baris kunci.

Baris x2 dikurangi -3/7 Baris kunci.

Baris z dikurangi Baris kunci



0

x1 1 0 0 1/7 10/7

x2 0 1 0 3/7 9/7

S1 0 0 1 13/7 25/7

z 0 0 0 1 7


pilih Ri terkecil



0

x1 1 0 0 1/7 10/7 10

x2 0 1 0 3/7 9/7 3

S1 0 0 1 13/7 25/7 25/13

z 0 0 0 1 7


Basis S1 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu S2




Baris z dikurangi 7/13 Baris kunci


Iterasi

ke-

Basis x1 X2 S1 S2 Solusi

0

x1 1 0 0 0105/9

1x2 0 1 0 0 42/91

S1 0 0 7/13 1 25/13

z 0 0 0 0 66/13

Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 66/13 dengan

x1=105/91 dan x2 = 42/91

Z=4x1 + x2 = 4105/91 + 42/91

= 420/7 + 42/91

= 462/91

= 66/13

Soal 10



Meminimumkan z = 2x1 + 3x2

Dengan kendala x1 + 2x2 ≥ 4

3x1 + x2 ≥ 7

x1,x2 ≥0

Penyelesaian :

Kendalanya menjadi:

x1 + 2x2 - S1 + A1 = 4

A1 = 4 - x1 - 2x2 + S1

3x1 + x2 - S2 + A2 = 7

A2 = 7 - 3x1 - x2 + S2

a = A1 + A2 = 11 – 4x1 –3x2 +S1+S2

x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

Meminimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0S1 + 0S2 + a

FASE 1



0

A1 1 2 -1 0 1 0 4

A2 3 1 0 -1 0 1 7

a 4 3 -1 -1 0 0 11




0

A1 1 2 -1 0 1 0 4 4

A2 3 1 0 -1 0 1 7 7/3

a 4 3 -1 -1 0 0 11




0

A1 1 2 -1 0 1 0 4 4

A2 3 1 0 -1 0 1 7 7/3

a 4 3 -1 -1 0 0 11




Baris A1 dikurangi 1/3 Baris kunci.




1

A1 0 5/3 -1 1/3 1 -1/3 5/3X1 1 1/3 0 -1/3 0 1/3 7/3a 0 5/3 -1 1/3 0 -4/3 5/3




1

A1 0 5/3 -1 1/3 1 -1/3 5/3X1 1 1/3 0 -1/3 0 1/3 7/3a 0 5/3 -1 1/3 0 -4/3 5/3



1

A1 0 5/3 -1 1/3 1 -1/3 5/3 1

X1 1 1/3 0 -1/3 0 1/3 7/3 7

a 0 5/3 -1 1/3 0 -4/3 5/3Lanjut ke iterasi selanjutnya,








2

X2 0 1 -3/5 1/5 3/5 -1/5 1

x1 1 0 1/5 -2/5 -1/5 2/5 2

a 0 0 0 0 -1 -1 0



x2 -3S1/5 + S2/5 = 1 => x2 = 1 +3S1/5 - S2/5

x1 +S1/5 -2S2/5 = 2 => x1 = 2 - S1/5 + 2S2/5


z = 2x1 + 3x2

z = 3(1 +3S1/5 - S2/5)+2(2 - S1/5 + 2S2/5)

z= 7 + 7S1/5 + S2/5

z - 7S1/5 - S2/5 = 7

a diganti dengan z

FASE 2


0

x1 0 1 -3/5 1/5 1

x2 1 0 1/5 -2/5 2

z 0 0 -7/5 1/5 7

Tentukan kolom kunci dan baris kunci, karena ini masalaah meminimumkan

maka pilihlah z terbesar (sebagai kolom kunci) dan Ri terkecil (sebagai baris

kunci).


0

x1 0 1 -3/5 1/5 1 5

x2 1 0 1/5 -2/5 2 -5

z 0 0 -7/5 1/5 7



Basis x1 digantikan oleh Basis kolom kunci yaitu S2

Baris kunci dikalikan 5

Baris x2 dikurangi (-2) Baris kunci.

Baris z dikurangi Baris kunci



1

S1 0 5 -3 1 1

x2 1 2 -1 0 2

z 0 -1 -4/5 0 6

Nilai z 0. Maka iterasi selesai. Jadi nilai minimumnya adalah 6 dengan x1=0

dan 2x2 = 4 => x2 = 2


Soal Dan Pembahasan Simpleks Dua Fase

Documents

Transcript of Soal Dan Pembahasan Simpleks Dua Fase