ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Thị Thanh Huệ

SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIANĐÀN HỒI KHÔNG TỰ DO ĐỐI VỚI ỨNG SUẤT

Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn

Mã số: 62 44 21 01

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2016

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Phạm Chí Vĩnh

Phản biện: ......................................................

......................................................

Phản biện: ......................................................

......................................................

Phản biện: ......................................................

......................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia

chấm luận án tiến sĩ họp tại ...................................................

vào hồi giờ ngày tháng năm 20......

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Việt Nam

Mở đầu

Các bài toán truyền sóng trong các môi trường đàn hồi (xem, chẳng hạn Achen-bach (1973), Ben-Menahem and Singh (2000), Brekhovskikh and Goncharov (1994),Ewing, Jardetzky and Press (1957)), nổi bật là sóng mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyếtcho nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học công nghệ.

Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, màRayleigh tìm ra hơn một trăm năm trước (năm 1885), và vẫn đang được nghiên cứumột cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhaucủa khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vậy lý, công nghệ truyềnthông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóngmặt truyền trong bán không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiệnđại. Nó được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiếtbị điện tử cực nhỏ, ... như Adams và các cộng sự (2007) đã nhấn mạnh. Đã có mộtsố lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Google.Scholar, một trong nhữngcông cụ tìm kiếm mạnh nhất về khoa học, cho chúng ta hơn một triệu đường linkscho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết quả tìm kiếm thu được thật đáng kinhngạc! Nó chỉ ra rằng, sóng mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, đã và đangđược sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học trong và ngoài nước.

Tuy nhiên, trong hầu hết các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, bán khônggian đàn hồi được giả thiết là tự do đối với ứng suất. Có rất ít nghiên cứu dành chobán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất. Chính vì lý do này mà luậnán đi nghiên cứu các bài toán truyền sóng Rayleigh trong các bán không gian đànhồi không tự do đối với ứng suất.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án

• Đối tượng nghiên cứu: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồikhông tự do đối với ứng suất như bán không gian chịu điều kiện biên trở kháng,bán không gian phủ lớp mỏng.

• Phạm vi nghiên cứu: Tìm ra các phương trình tán sắc chính xác và xấp xỉcủa sóng Rayleigh dưới dạng tường minh.

1

Mục tiêu của luận án

• Mục tiêu thứ nhất của luận án là phát triển phương pháp vectơ phân cực chotrường hợp khi ma trận Stroh là ma trận phức (được gọi là "phương phápvectơ phân cực phức").

• Mục tiêu thứ hai của luận án là tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện(dạng tường minh) của sóng Rayleigh truyền trong các bán không gian đànhồi không tự do đối với ứng suất.

Phương pháp nghiên cứu

• Các phương trình tán sắc dạng hiện (dạng tường minh) thu được trong luậnán được tìm ra bằng phương pháp truyền thống và phương pháp vectơ phâncực phức.

• Đưa bài toán truyền sóng trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồivề bài toán truyền sóng trong bán không gian không tự do đối với ứng suấtbằng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng.

Các kết quả mới của luận án

• Phát triển phương pháp vectơ phân cực khi ma trận Stroh là ma trận phức.

• Tìm được phương trình tán sắc chính xác dạng tường minh của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng và monoclinic với mặtphẳng đối xứng x3 = 0) nén được và không nén được chịu điều kiện biên trởkháng.

• Xây dựng được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu kéo nén thuần túy vàđồng thời chịu kéo nén và cắt) chịu điều kiện biên trở kháng.

• Thiết lập được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 quaychịu điều kiện biên trở kháng và sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồikhông nén được quay có gia cố cốt sợi chịu điều kiện biên trở kháng.

• Dẫn ra được phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán khônggian đàn hồi dị hướng (nén được và không nén được) được phủ lớp mỏng đànhồi dị hướng (nén được và không nén được). Phương trình tán sắc tìm đượccó dạng bậc hai đối với độ dày của lớp mỏng.

2

Cấu trúc của luận án

Luận án bao gồm bốn chương:

• Chương 1: Tổng quanTrình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về sóng mặtRayleigh trong các bán không gian tự do và không tự do đối với ứng suất.

• Chương 2: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biêntrở kháng

• Chương 3: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay chịu điềukiện trở kháng

• Chương 4: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặtphẳng đối xứng x3 = 0 được phủ lớp mỏng đàn hồi

3

Chương 1

Tổng quan

Một bán không gian đàn hồi mà trên mặt biên của nó véctơ ứng suất bằngkhông được gọi là “bán không gian tự do đối với ứng suất”. Sóng Rayleigh truyềntrong bán không gian này được gọi là “sóng Rayleigh tự do ứng suất” hay sóngRayleigh thông thường. Một bán không gian đàn hồi mà trên mặt biên của nó véctơứng suất không triệt tiêu được gọi là “bán không gian không tự do đối với ứng suất”.Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian này được gọi là “sóng Rayleigh khôngtự do ứng suất” hay sóng Rayleigh suy rộng.

1.1. Sóng Rayleigh tự do ứng suất

Sóng Rayleigh tự do ứng suất truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướngnén được được Rayleigh năm 1885, vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽvì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học vàcông nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoahọc vật liệu, như đã nhấn mạnh ở phần mở đầu.

Đối với sóng Rayleigh nói chung, phương trình tán sắc dạng tường minh (dạnghiện) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: khảosát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu, đặc biệt, nó là cơ sở lýthuyết để giải bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo đượccủa vận tốc sóng. Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầutiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng Rayleigh tự docũng như không tự do ứng suất.

Đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng hoặc trực hướng, phương trìnhtán sắc của sóng Rayleigh tự do ứng suất được tìm ra bằng phương pháp truyềnthống, dựa vào phương trình đặc trưng của sóng. Tuy nhiên, đối với các môi trườngđàn hồi có tính dị hướng cao hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic, hoặc môitrường đàn hồi dị hướng chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện trường, từ

4

trường, sự quay vi mô), phương trình đặc trưng của sóng mất tác dụng, phươngpháp truyền thống không còn hiệu lực. Để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiệncủa sóng Rayleigh tự do ứng suất đối với các môi trường phức tạp, các phương phápmới đã được đề ra. Đó là phương pháp vectơ phân cực, phương pháp tích phân đầuvà phương pháp ma trận trở kháng. Tuy nhiên, các pháp này mới chỉ áp dụng đượccho các môi trường là các bán không gian có điều kiện biên là thực (như điều kiệnbiên tự do đối với ứng suất).

1.2. Sóng Rayleigh không tự do ứng suất

Ngoài cấu trúc gồm chỉ một bán không gian (không tự do ứng suất), các cấutrúc sau:

i) Bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi,ii) Bán không gian đàn hồi liên kết với một bán không gian đàn hồi khác, cũng

đưa được về mô hình “một bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất”,bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp đàn hồi hay bán không gian đàn hồibằng một “điều kiện biên hiệu dụng” trên mặt phân chia giữa bán không gian vàlớp, giữa bán không gian và giữa bán không gian. Điều kiện biên hiệu dụng là mộthệ thức liên hệ tuyến tính véctơ ứng suất và véctơ chuyển dịch trên mặt biên củabán không gian. Chú ý rằng, lớp (bán không gian) đàn hồi có thể thay thế bằng mộtlớp chất lỏng (một bán không gian chất lỏng).

Luận án quan tâm nghiên cứu sóng Rayleigh không tự do ứng suất truyền trongcác môi trường sau:

- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng.- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước chịu điều kiện

biên trở kháng.- Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay, chịu điều kiện biên trở

kháng.- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng.

1.2.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điềukiện biên trở kháng

Trong các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, hầu hết đều giả thiết bánkhông gian là tự do đối với ứng suất. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế nhưtrong lĩnh vực âm học hay điện từ học, bán không gian thường chịu một điều kiệnbiên được gọi là "điều kiện biên trở kháng". Điều kiện này là một liên hệ tuyến tínhgiữa các hàm cần tìm và các đạo hàm của chúng trên biên của bán không gian.

Trong luận án, điều kiện biên trở kháng được xét có dạng sau

σ12 + ωZ1u1 = 0, σ22 + ωZ2u2 = 0 tại x2 = 0 (1.1)

5

trong đó, σij là các thành phần ứng suất, uj là các thành phần chuyển dịch, ω làtần số góc của sóng, Zk là tham số trở kháng. Với điều kiện biên (1.1), các nghiêncứu mới chỉ dừng lại ở bán không gian đàn hồi đẳng hướng.

1.2.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian quay, chịu điềukiện biên trở kháng

Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay với một vận tốc khôngđổi có nhiều ứng dụng thực tế. Tuy nhiên, các nghiên cứu mới chỉ tập trung chotrường hợp khi bán không gian tự do đối với ứng suất.

1.2.3. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớpmỏng

Cấu trúc "một lớp mỏng gắn với một lớp dày", mô hình hóa như một bánkhông gian phủ lớp mỏng, đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại.Việc đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của chúng trước và trong quátrình sử dụng là quan trọng và hết sức cần thiết. Để đánh giá không phá hủy cáctính chất cơ học của cấu trúc này, sóng mặt Rayleigh (không tự do ứng suất) làcông cụ tiện lợ. Khi đó, phương trình tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ sởlý thuyết để chắt lọc ra (xác định) các tính chất cơ học của cấu trúc từ các dữ liệu(các giá trị của vận tốc sóng) đo được từ thực nghiệm.

Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các phương trình tán sắc xấp xỉ được tìm ra bằngcách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng bằng một "điều kiện biên hiệu dụng",bằng cách coi lớp như bản mỏng, hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên củalớp theo độ dày của lớp (được giả thiết là nhỏ).

Đến nay, các nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở bán không gian đàn hồi trực hướng.

1.2.4. Phương pháp vectơ phân cực

Phương pháp vectơ phân cực là một phương pháp dùng để tìm ra phươngtrình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi, dựatrên các phương trình xác định vectơ biên độ chuyển dịch tại biên của bán khônggian, được gọi là vectơ phân cực. Taziev (1989) sử dụng thành công phương phápvectơ phân cực để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trongmôi trường đàn hồi dị hướng tổng quát. Phương pháp vectơ phân cực tiếp tục đượcphát triển bởi Collet và Destrade (2004), Ting (2005) dựa trên phát biểu Stroh.

Phương pháp vectơ phân cực được xây dựng và phát triển bởi các tác giả trênchỉ áp dụng được khi ma trận Stroh của sóng Rayleigh là thực. Tuy nhiên, trongnhiều bài toán thực tế, ma trận Stroh của sóng Rayleigh là phức. Do vậy, phát triểnphương pháp vectơ phân cực cho các phát biểu Stroh với ma trận phức là việc làmhết sức có ý nghĩa (được gọi là phương pháp vectơ phân cực phức). Đó là một trong

6

các mục tiêu của luận án. Cơ sở toán học của phương pháp này được trình bày trongmục 2.1 chương 2.

7

Chương 2

Sóng Rayleigh trong bánkhông gian đàn hồi chịu điềukiện biên trở kháng

2.1. Hệ thức cơ bản

Cơ sở toán học của phương pháp vectơ phân cực phức là hệ thức cơ bản đượctrình bày dưới dạng mệnh đề sau đây

Mệnh đề 2.1: Nếu véctơ 2m chiều Y(y) là nghiệm của bài toán:

Y′ = iPY, 0 ≤ y < +∞, Y(+∞) = 0 (2.1)

trong đó dấu phẩy là kí hiệu của đạo hàm theo biến y và:

P =

[

P1 P2

P3 P4

]

(2.2)

với các ma trận Pk cấp m ×m là các ma trận hằng số (không phụ thuộc vào biếny) và chúng thõa mãn các hệ thức sau:

P2 = PT2 , P3 = PT

3 , P4 = PT1 , (2.3)

Khi đó, ta cóYT (0)IPnY(0) = 0 ∀ n ∈ Z (2.4)

trong đó

I =

[

0 I

I 0

]

(2.5)

với I là ma trận đơn vị cấp m×m.Ta gọi phương trình (2.4) là hệ thức cơ bản.

8

2.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi dịhướng chịu điều kiện biên trở kháng

2.2.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng,nén được chịu điều kiện biên trở kháng

Áp dụng phương pháp truyền thống ta thu được phương trình tán sắc (dưới dạngkhông thứ nguyên) dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trựchướng, nén được chịu điều kiện biên trở kháng như sau

x(e1 − x)(1 − δ1δ2) + [e23 − e2(e1 − x)− δ1δ2x]√P

= [δ1e2√P + δ2(e1 − x)]

√x

√

S + 2√P (2.6)

trong đó x = c2/c22, c22 = c66/ρ, là vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh và

δn = Zn/√ρc66 (∈ R), n = 1, 2, là các tham số trở kháng và là các đại lượng không

thứ nguyên. S and P được xác định như sau

P =(e1 − x)(1 − x)

e2, S =

e2(e1 − x) + 1− x− (1 + e3)2

e2(2.7)

e1 = c11/c66, e2 = c22/c66, e3 = c12/c66 (2.8)

với cij là các hằng số vật liệu, ρ mật độ khối lượng.

2.2.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạobởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0,nén được chịu điều kiện biên trở kháng

Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta thiết lập được phương trình tánsắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởivật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được chịu điều kiện biêntrở kháng

D21 +D2

2 − 4DD3 = 0 (2.9)

với

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Q(−1,r)12 Q

(−1,i)12 Q

(−1)22

Q(1,r)12 Q

(1,i)12 Q

(1)22

Q(2,r)12 Q

(2,i)12 Q

(2)22

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−Q(−1)11 Q

(−1,i)12 Q

(−1)22

−Q(1)11 Q

(1,i)12 Q

(1)22

−Q(2)11 Q

(2,i)12 Q

(2)22

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Q(−1,r)12 −Q

(−1)11 Q

(−1)22

Q(1,r)12 −Q

(1)11 Q

(1)22

Q(2,r)12 −Q

(2)11 Q

(2)22

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Q(−1,r)12 Q

(−1,i)12 −Q

(−1)11

Q(1,r)12 Q

(1,i)12 −Q

(1)11

Q(2,r)12 Q

(2,i)12 −Q

(2)11

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(2.10)

9

trong đóQ

(1)11 = −η + (1 + c66δ

21n66)X,Q

(1)22 = (1 + c66δ

22n22)X,

Q(1)12 = δ1δ2n26c66X + i(δ1 − δ2r2)

√

c66X(2.11)

Q(2)11 =− 2[δ21(n26 + n66r6)c66X + r6(X − η)],

Q(2)22 =− 2δ22n26r2c66X

Q(2)12 =η − δ1δ2(n22 + n66r2 + n26r6)c66X − (1 + r2)X

− i[δ1(r6 + n26X) + δ2(ηn26 − r2r6 − n26X)]√

c66X

(2.12)

Q(−1)11 =X [(X − η)n22 − r22 ]− δ21(n22 + n2

26X − n22n66X)c66X

Q(−1)22 =η − [(1 + r26) + n66(η −X)]X

+ δ22 [(η −X)(n226 − n22n66)− n66r

22 − n22r

26 + 2n26r2r6]c66X

Q(−1)12 =δ1δ2(n22r6 − n26r2)c66X +X [(η −X)n26 + r2r6]

+ iδ1(r2 − n66r2X + n26r6X) + δ2[(X − η)n22 − r22 ]√

c66X

(2.13)

n66 =c22∆

, n26 = −c26∆

, n22 =c66∆

, r6 = −c12c26 − c22c16∆

r2 =c12c66 − c16c26

∆, ∆ = c22c66 − c226, η = c11 − r6c16 − r2c12, X = ρc2

(2.14)

ở đây cij là các hằng số vật liệu, ρ mật độ khối lượng và c là vận tốc sóng.

2.2.3. Sóng Rayleigh trong bán không đàn hồi trực hướng,không nén được chịu điều kiện biên trở kháng

Áp dụng phương pháp truyền thống ta thu được phương trình tán sắc (dưới dạngkhông thứ nguyên) dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trựchướng, nén được chịu điều kiện biên trở kháng như sau

(δ − x)√1− x+ (δ1δ2 − 1)x = (δ1

√1− x+ δ2)

√x

√

δ − 2− x+ 2√1− x (2.15)

trong đó x = c2/c22, c22 = c66/ρ, là vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh,

δ = (c11 − 2c12 + c22)/c66 và δn = Zn/√ρc66 (∈ R), n = 1, 2, là các tham số trở

kháng và là các đại lượng không thứ nguyên. Và cij là các hằng số vật liệu, ρ mậtđộ khối lượng.

10

2.2.4. Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồikhông nén được được tạo bởi vật liệu monoclinic vớimặt phẳng đối xứng x3 = 0, không nén được chịu điềukiện biên trở kháng

Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta suy ra phương trình tán sắc dạngtường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vật liệumonoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được chịu điều kiện biên trở khángcó dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó

Q(1)11 = −a1 + (δ21 + 1)X, Q

(1)22 = X, Q

(1)12 = i

√

c66X(δ1 − δ2) (2.16)

Q(2)11 = 2b1[−a1 + (δ21 + 1)X ], Q

(2)22 = 0,

Q(2)12 = a1 − (δ1δ2 + 2)X + ib1

√

c66X(δ1 − δ2)(2.17)

Q(−1)11 = −X, Q

(−1)12 = −b1X + i[

√

c66X(δ1 − δ2)− δ1X√

X/c66]

Q(−1)22 =

c66(a1 − δ22X)− (a1 + c66 + b21c66)X +X2

c66

(2.18)

vớia1 = c11 − 2c12 + c22 −

(c16 − c26)2

c66

b1 =c26 − c16

c66

(2.19)

ở đây cij là các hằng số vật liệu, X = ρc2, ρ mật độ khối lượng và c là vận tốc sóng.

2.3. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi cóứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng

2.3.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, nén đượccó ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng

Phương trình tán sắc dạng hiện của sóng trong trường hợp này như sau

(e1 − x)[e24 − e5(1 − x)− δ1δ2x] + e5[e23 − e2(e1 − x)− δ1δ2x]

√P

+ e5[δ1e2√P + δ2(e1 − x)]

√x

√

S + 2√P = 0

(2.20)

trong đó, S và P được xác định như sau

S =e2(e1 − x) + e5(1 − x)− (e3 + e4)

2

e2e5, P =

(e1 − x)(1 − x)

e2e5(2.21)

11

với x = ρc2/A1212, δn = Zn/√ρA1212(∈ R), n = 1, 2 là các tham số trở kháng và là

các đại lượng không thứ nguyên và

e1 =A1111

A1212, e2 =

A2222

A1212, e3 =

A1122

A1212, e4 =

A2112

A1212, e5 =

A2121

A1212(2.22)

ở đây, c là vận tốc sóng, ρ là mật độ khối lượng còn Aijkl là các thành phần củatenxơ đàn hồi bậc bốn.

2.3.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, không nénđược có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng

Phương trình tán sắc dạng hiện (dạng không thứ nguyên) của sóng Rayleightruyền trong bán không gian đàn hồi không nén được có ứng suất trước chịu điềukiện biên trở kháng.

[δ1δ2e1x− e23 + e1(1− x)] +√e1(2e2 + 2e3 − x)

√1− x

− (δ1√e1√1− x+ δ2e1)

√x

√

S + 2√P = 0

(2.23)

vớie1 =

B2121

B1212, e2 =

B1111 +B2222 − 2B1122 − 2B1221

2B1212,

e3 =B2121 − σ2

B1212, S =

2e2 − x

e1, P =

1− x

e1, x =

ρc2

B1212

(2.24)

với ρ là mật độ khối lượng, c là vận tốc của sóng, δn = Zn/√ρB1212(∈ R), n = 1, 2

là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên và σ2 là ứng suấtCauchy theo hướng chính và Bijkl là các thành phần của tenxơ đàn hồi bậc bốn.

2.3.3. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nénđược, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) vàcắt, chịu điều kiện biên trở kháng

Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta xây dựng được phương trình tánsắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nénđược, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt, chịu điều kiện biên trởkháng có dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó

Q(1)11 = (1 + δ21)X − 2(β + γ − σ22) +

ν221γ

Q(1)12 = ν12 + ν21 −

ν21σ22

γ+ i

[

(δ1 − δ2)√

γX − σ22

γδ1√

γX

]

Q(1)22 = X − α+

(γ − σ22)2

γ

(2.25)

12

Q(2)11 =2(ν21 − ν12)− 2

ν321γ2

− 2[

(1 + δ21)X − 2β + σ22

] ν21γ

Q(2)12 =α+ γ + 2

ν221σ22

γ− 2(X − β + σ22)− δ1δ2X

+1

γ

[

σ22(X − 2β + σ22)− ν21(ν12 + 2ν21)]

+ i [γ(δ2ν21 − δ1ν12)− 2δ1ν21(γ − σ22)]

√γX

γ2

Q(2)22 =− 2ν21

γ2(γ − σ22)

2 − 2ν12γ

(γ − σ22)

(2.26)

Q(−1)11 =− (X − α)− (γ − σ22)

2

γ

Q(−1)12 =

ν21(X − α)− ν12(γ − σ22)

γ− i

√γX

γ[δ1(X − α) + δ2(γ − σ22)]

Q(−1)22 =

X2 − 2(β + γ − σ22)(X − α)− αX − δ22 γX − ν212γ

(2.27)

với X = ρc2 (với ρ là mật độ khối lượng, c là vận tốc của sóng), δn = Zn/√ργ(∈

R), n = 1, 2 là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên, σ22 làthành phần của ứng suất Cauchy và

α := B1212, 2β := B1111 + B2222 − 2B1122 − 2B1221

γ := B2121, ν21 := B1121 − B2122, ν12 := B1222 − B2111

(2.28)

với Bijkl là các thành phần của tenxơ hằng số đàn hồi.

13

Chương 3

Sóng Rayleigh trong bánkhông gian đàn hồi quay chịuđiều kiện biên trở kháng

3.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồimonoclinic x3 = 0 quay, nén được chịu điều kiệnbiên trở kháng

Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta thu được phương trình tán sắcdạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vậtliệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 quay, nén được chịu điều kiện biêntrở kháng có dạng như phương trình (2.9), (2.10) trong đó

Q(1)11 = −η + (1 + δ2)X + c266δ

21n66X,

Q(1)22 = (1 + δ2)X + c266δ

22n22X,

Q(1)12 = c266δ1δ2n26X + i[−2δX + (δ1 − δ2r2)

√

c66X]

(3.1)

14

Q(2)11 = −2r6(X − η)− 2c66δ

21(n26 + n66r6)X − 2δ2r6X

+ 4δδ1n26X√

c66X,

Q(2)12 = η − (1 + r2)X − c66δ1δ2(n22 + n66r2 + n26r6)X

− δ2(1 + r2)X−2δ(−δ2n22 + δ1n66)X√

c66X + 2iδr6X

− i[(δ2ηn26+δ1r6−δ2r2r6)+(1 + δ2)(δ1−δ2)n26X ]√

c66X

Q(2)22 = −2c266δ

22n26r2X − 4δδ2n26X

√

c66X

(3.2)

Q(−1)11 = −(1 + δ2)(ηn22 + r22)X + (−1 + δ2)2n22X

2

+ 4δδ1n22X√

c66X − c66δ21 [n22 + (1 + δ2)(n2

26 − n22n66)X ]X

Q(−1)22 = η + η[−n66 + c66δ

22(n

226 − n22n66)]X −X(1 + r26 − n66X)

− c66δ22(n66r

22 − 2n26r2r6 + n22r

26 + n2

26X − n22n66X)X

Q(−1)12 = (1 + δ2)ηn26X − c66δ1δ2n26r2X + c66δ1δ2n22r6X + r2r6X

− n26X2 − δ4n26X

2 + δ2(r2r6 + 2n26X)X

+ 2δX(−δ1n26 − δ2n22r6 + δ2n26r2)√

c66X

+ i[δ1(r2 − n66r2X + n26r6X)− δ2(ηn22 + r22 − n22X)]√

c66X

(3.3)

n66 =c22∆

, n26 = −c26∆

, n22 =c66∆

, r6 = −c12c26 − c22c16∆

r2 =c12c66 − c16c26

∆, ∆ = c22c66 − c226, η = c11 − r6c16 − r2c12, X = ρc2

(3.4)

ở đây cij là các hằng số vật liệu, δ = Ω/(kc) = Ω/ω (Ω không đổi là vận tốc quaycủa bán không gian), X = ρc2, ρ mật độ khối lượng, k là số sóng và c là vận tốcsóng.

3.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồiđược gia cố cốt sợi, không nén được, quay chịuđiều kiện biên trở kháng

Áp dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta thu được phương trình tán sắcdạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được gia cố cốtsợi, không nén được, quay, chịu điều kiện biên trở kháng có dạng như phương trình

15

(2.9), (2.10) trong đó

Q(1)11 = −(c21 + c22) + (1 + δ2)X + δ21X,

Q(1)22 = (1 + δ2)X,

Q(1)12 = −i[2δX + (δ2 − δ1)

√

c23X ]

(3.5)

Q(2)11 = 0, Q

(2)22 = 0

Q(2)12 = (c21 + c22)− (2 + 2δ2 + δ1δ2)X − 2

δδ1X2

√

c23X

(3.6)

và Q(−1)ij = Q

(−1)ij /q trong đó q ∈ R là định thức của ma trận Q

(1)3 và

Q(−1)11 = −(1 + δ2)X

Q(−1)22 = (c21 + c22)− δ22X

+1

c23[−(1 + δ2)(c21 + c22 + c23)X + (δ2 − 1)2X2 − 4δδ2X

√

c23X]

Q(−1)12 = −i[2δX +

(1 + δ2)δ1X + c23(δ2 − δ1)

c23

√

c23X]

(3.7)

vớic21 = 4µE − µL, c22 = µT , c23 = µL (3.8)

µL và µT là các modun lực cắt dọc và cắt ngang còn µE là modun cắt có tải. µE , µT

được liên hệ theo công thức sau:

µE =EL

ET

µT (3.9)

với EL, ET lần lượt là các modun Young dọc và ngang. X = ρc2, δn = Zn/√

ρc23 (∈R), n = 1, 2, là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên,δ = Ω/(kc) = Ω/ω (Ω không đổi là vận tốc quay của bán không gian), ρ mật độkhối lượng, k là số sóng và c là vận tốc sóng.

16

Chương 4

Sóng Rayleigh trong bánkhông gian đàn hồimonoclinic có mặt phẳng đốixứng x3 = 0 được phủ lớpmỏng

4.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồimonoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nénđược phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặtphẳng đối xứng x3 = 0 nén được

Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta suy ra phương trình tán sắcdạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vậtliệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén đượcphủ lớp mỏng đàn hồimonoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được có dạng như phương trình (2.9),(2.10) trong đó

Q(1)11 = X − η +

n66(X − η)2 + r2[η + X(r2 − 1)]

ε2

Q(1)12 = −i[η + X(r2 − 1)]ε+

1

2

2n26X(X − η)− r6[η + X(r2 − 1)]

ε2

Q(1)22 = X −

[η + X(r2 − 1)]− n22X2

ε2

(4.1)

17

Q(2)11 =− 2r6(X − η)−

[η + X(r2 − 1)][n26(X − η) + r2r6]

+2(n26 + n66r6)(X − η)2

ε2

Q(2)12 =η − (r2 + 1)X + i[n26(Xη − Xη)− r6(X − η) + r2r6X]ε

+

[η + X(r2 − 1)](r26 − n22X + n66X − n66η)

−2(n22 + n66r2 + n26r6)X(X − η)

ε2

Q(2)22 =

[η + X(r2 − 1)](r6 + n26X)− 2n26r2X2

ε2

(4.2)

Q(−1)11 = [n22(X − η)− r22 ]X +

[η + X(r2 − 1)][r22 − n22(X − η)]

−(n22 + n226X − n22n66X)(X − η)2

ε2

Q(−1)12 = X [r2r6 − n26(X − η)]

+ i[(n26r6 − n66r2)X(X − η) + r2(X − η) + n22X(X − η)− r22X ]ε

1

2

[η + X(r2 − 1)][n26(X − η)− r2r6 + (n22r6 − n26r2)X ]

+2(n22r6 − n26r2)X(X − η)

ε2

Q(−1)22 = (n66X − 1)(X − η)− r26X

−

[η + X(r2 − 1)](r2 − n66r2X + n26r6X)

+X2[(X − η)(n226 − n22n66) + r2(n66r2 − n26r6) + r6(n22r6 − n26r2)]

ε2

(4.3)

với X = ρc2, X = ρc2 (c vận tốc của sóng, ρ, ρ lần lượt là mật độ khối lượng củabán không gian và lớp), ε = kh (k là số sóng, h là độ dày của lớp) và

r2 =c12c66 − c16c26c22c66 − c226

, r6 = − c12c26 − c22c16c22c66 − c226

η = c11 − r6c16 − r2c12

n66 =c22∆

, n26 = −c26∆

, n22 =c66∆

, r6 = −c12c26 − c22c16∆

r2 =c12c66 − c16c26

∆, ∆ = c22c66 − c226, η = c11 − r6c16 − r2c12,

(4.4)

ở đây cij và cij lần lượt là hằng số đàn hồi của bán không gian và lớp.

18

4.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồimonoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 khôngnén được phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic cómặt phẳng đối xứng x3 = 0 không nén được

Sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, ta suy ra phương trình tán sắcdạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi được tạo bởi vậtliệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén đượcphủ lớp mỏng đàn hồimonoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0 nén được có dạng như phương trình (2.9),(2.10) trong đó

Q(1)11 = X − a1 +

[

a1 +(X − a1)

2

c66

]

ε2

Q(1)12 = −ia1ε +

a1b12

ε2

Q(1)22 = X − a1ε

2

(4.5)

Q(2)11 =2b1(X − a1) +

b1c66

[2(X − a1)2 + a1c66]ε

2

Q(2)12 =a1 − 2X − ia1b1ε+

a1(b21c66 +X − a1 + 2X)− 2X2

2c66ε2

Q(2)22 =− a1b1ε

2

(4.6)

và Q(−1)ij = Q

(−1)ij /q trong đó q ∈ R là định thức của ma trận Q

(1)3 và

Q(−1)11 =−X + a1ε

2

Q(−1)12 =− b1X − i

a1(c66 −X) +XX

c66ε+

a1b12

ε2

Q(−1)22 =

(a1 −X)(c66 −X)

c66− b21X − a1(c66 −X) +X2

c66ε2

(4.7)

với X = ρc2, X = ρc2 (c vận tốc của sóng, ρ, ρ lần lượt là mật độ khối lượng củabán không gian và lớp), ε = kh (k là số sóng, h là độ dày của lớp) và

a1 = c11 − 2c12 + c22 −(c16 − c26)

2

c66

a1 = c11 − 2c12 + c22 −(c16 − c26)

2

c66, b1 =

c26 − c16c66

(4.8)

ở đây cij và cij lần lượt là hằng số đàn hồi của bán không gian và lớp.

19

Kết luận

Truyền sóng trong các môi trường đàn hồi là cơ sở lý thuyết cho nhiều ứng dụngthực tế, trải dài từ dự báo động đất đến việc chế tạo các thiết bị vi nhỏ trong côngnghệ viễn thông. Các kết quả nghiên cứu mới về sóng đàn hồi sẽ làm cho các ứngdụng của nó ngày càng mở rộng và hiệu quả hơn. Các kết quả nghiên cứu của luậnán là mới, và do vậy là một sự đóng góp tuy nhỏ bé nhưng có nhiều ý nghĩa cho lĩnhvực sóng đàn hồi. Các kết quả chính mà luận án thu được là:

1. Phát triển phương pháp vectơ phân cực cho phát biểu Stroh với ma trận Strohlà phức. Phương pháp áp dụng không chỉ cho các bài toán nghiên cứu trong luận ánmà cho nhiều bài toán khác.

2. Rút ra được phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong cácbán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng, monoclinic với mặt phẳng đối xứngx3 = 0) nén được, không nén được, chịu điều kiện biên trở kháng.

3. Xây dựng được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu kéo nén thuần túy và đồngthời chịu kéo nén và cắt) chịu điều kiện biên trở kháng.

4. Thiết lập được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 quay chịuđiều kiện biên trở kháng và sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nénđược, quay, có gia cố cốt sợi chịu điều kiện biên trở kháng.

5. Dẫn ra được phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán khônggian đàn hồi dị hướng (nén được và không nén được) được phủ lớp mỏng đàn hồi dịhướng (nén được và không nén được).

Các vấn đề tiếp tục phát triển sau luận án

1. Tìm phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gianđàn hồi quay phủ lớp mỏng.

2. Tìm phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh trong bán không gianđàn hồi có phủ lớp mỏng đàn hồi mà tính chất nén được, không nén được ở bánkhông gian và lớp là khác nhau.

20

3. Tìm phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh trong bán khônggian liên kết với một bán không gian khác.

21

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quanđến luận án

1. Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ (2013), Phương trình tán sắc xấp xỉcủa sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 được phủ lớpmỏng đàn hồi trực hướng, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạnglần thứ XI, pp. 1387-1394.

2. Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), Rayleigh waves with impedanceboundary conditions in anisotropic solids, Wave Motion (51), pp. 1082-1092.

3. Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), Rayleigh waves with impedanceboundary conditions in incompressible anisotropic half-space, International Journalof Engineering Science (85), pp. 175-185.

4. Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ (2015), Phương trình tán sắc xấp xỉcủa sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = 0 được phủ lớpmỏng đàn hồi monoclinic x3=0 không nén được, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơhọc Vật rắn biến dạng lần thứ XII, pp. 1685-1691.

22