Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.3 Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Fungsi...
Transcript of Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.3 Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Fungsi...
Smart Solution
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 213
5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Integral Tak Tentu
Definisi βKebalikan Proses Turunanβ
πΉ(π₯) Integral Turunan
π(π₯)
πΉβ²(π₯) = π(π₯) β β«π(π₯) β π₯ = πΉ(π₯) + πΆ
Integral Fungsi Aljabar Integral Fungsi Trigonometri
β« π₯π β π₯ =1
π+1π₯π+1 + πΆ
β« ππ₯π β π₯ =π
π+1π₯π+1 + πΆ
Sifat:
β« β [π(π₯)] = π(π₯) + π
β« π β π(π₯)β π₯ = πβ« π(π₯) β π₯
β« [π(π₯) Β± π(π₯)] β π₯ = β« π(π₯) β π₯ Β± β« π(π₯) β π₯
Integral Tertentu
Definisi
β« π(π₯) β π₯π
π
= πΉ(π₯) |π
π= πΉ(π) β πΉ(π)
π¬π’π§πππ¨π¬π
βπ¬π’π§πβππ¨π¬π
β« sec2 π₯ β π₯ = β tan π₯ + πΆ
β« csc2 π₯ β π₯ = βcot π₯ + πΆ
β« sec π₯ tan π₯ β π₯ = βsec π₯ + πΆ
β« cscπ₯ cot π₯ β π₯ = βcsc π₯ + πΆ
Halaman 214 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Teknik Integral Aljabar
Integral Langsung βJika sesuai dengan Rumus Dasarβ harus dalam bentuk pangkat
β«β‘π β β‘ = 1
π+1β‘π+1 + πΆ
harus sama
β« [π(π₯) Β± π(π₯)] β π₯ = β¦. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan tidak boleh perkalian pembagian!!!!!
β« [π(π₯) Γ π(π₯)] β π₯ = β¦.
β«[π(π₯)
π(π₯)] β π₯ = β¦.
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah Substitusi Parsial
β« 3π₯(πππ + π)5 β π
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
β« 3π₯(πππ + π)5 β (πππ + π)
4π₯
β« βπ₯ β π₯ β«5
π₯2β π₯
Bentuk pangkat Bentuk pangkat belum terlihat!!! belum terlihat!!!
β« π₯12 β π₯ β« 5π₯β2 β π₯
β« π₯(π₯ + 3) β π₯ β« (π₯ + 1)2 β π₯ Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! bentuk perkalian!!!
β« (π₯2 + 3π₯) β π₯ β« (π₯2 + 2π₯ + 1) β π₯
dan lain-lain β¦
turunan
β« 3π₯2(πππ + π)5 β π
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
β« 3π₯2(πππ + π)5 β (πππ + π)
4π₯
β« π’ β π£ = π’π£ β β« π£ β π’
turunan
Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan
teknik integral parsial.
Sederhanakan! Nggak boleh muncul
variabel π
Sederhanakan! Tetapi masih muncul
variabel π
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 215
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:
π(π) = πππ β π(π) =π
π+πππ+π + πͺ
πππ πππ+π π
π+πππ+π
Proses mencari integral fungsi ππ₯π terhadap π₯:
1. Tambah satu pangkatnya! 2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! 3. Tambahkan dengan konstanta πΆ. 4. Selesai!
TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.
Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan?
π(π) = ππ β π(π) =π
π+πππ+π + πͺ
Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya,
β«2π₯32 β π₯ = 2β«π₯
32 β π₯ (Ingat konsep β« ππ(π₯) β π₯ = πβ« π(π₯) β π₯)
= 2 β2
5π₯52 + πΆ
=4
5π₯52 + πΆ
Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!
Pangkat 3
2 ditambah 1 menjadi berapa?
5
2, kan?
Mudah saja, balik angka 5
2 menjadi
2
5.
Jadi,
β«π₯32 β π₯ =
2
5π₯52 + πΆ
Lho ini kan saling berkebalikan?
Halaman 216 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Teknik Integral Trigonometri
Integral Langsung βJika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometriβ
β« sinβ‘ β β‘ = βcosβ‘ + πΆ
β« cosβ‘ β β‘ = βsinβ‘ + πΆ
β« sec2 β‘ β β‘ = β tanβ‘ + πΆ
β« csc2 β‘ β β‘ = βcotβ‘ + πΆ
β« secβ‘ tanβ‘β β‘ = βsecβ‘ + πΆ
β« cscβ‘ cot β‘ β β‘ = βcscβ‘ + πΆ
β« [π(π₯) Β± π(π₯)] β π₯ boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan
Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:
Diubah Substitusi Parsial
β« tan2 π₯ β π₯ β« cot2 π₯ β π₯ Adanya konsep Adanya konsep integral π¬πππ π !!! integral ππ¬ππ π !!!
β« (sec2 π₯ β 1) β π₯ β« (csc2 π₯ β 1) β π₯ β« sinππ₯ cosππ₯ β π₯ β« sin2 π₯ β π₯ β« cosππ₯ cosππ₯ β π₯ β« cos2 π₯ β π₯ β« sinππ₯ sinππ₯ β π₯ dst β¦ Diubah menjadi Sin Cos berpangkat bentuk perjumlahan genap harus diubah! Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ke penjumlahan setengah sudut
π + π 2ππΆπ β π 2πΆππΆ + πΆ 2πΆπΆπΆ β πΆ β 2ππ
sin2 π₯ =1
2β1
2cos2π₯
cos2 π₯ =1
2+1
2cos 2π₯
Jadi, β« sin4 π₯ β π₯ juga diubah menjadi
β« sin2 π₯ sin2 π₯ β π₯
dan lain-lain β¦
β« 2π₯ sin(πππ + π)β π
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
β« 2π₯ sin(πππ + π) β (πππ + π)
6π₯
β« π¬π’π§3 π₯ cos π₯ β π
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
β« π¬π’π§3 π₯ cos π₯ β (π¬π’π§ π)
cos π₯
β« 2π₯2 sin(πππ + π) β π
Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama
β« 2π₯2 sin(πππ + π) β (πππ + π)
6π₯
β« π’ β π£ = π’π£ β β« π£ β π’ β β
turunan turunan
Sederhanakan! Nggak boleh muncul
variabel π
turunan
Sederhanakan! Nggak boleh muncul
variabel π
Sederhanakan! Tetapi masih muncul
variabel π
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 217
LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:
π¬π’π§ πππ¨π¬ π
βπ¬π’π§ πβππ¨π¬ π
β« βsin π₯ β π₯ = β cos π₯ + πΆ
β« βcos π₯ β π₯ = β sin π₯ + πΆ
β« βsin π₯ β π₯ = β cos π₯ + πΆ
β« βcos π₯ β π₯ = β sin π₯ + πΆ
Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus.
KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut:
tan π₯ cot π₯ sec π₯ csc π₯ β‘π β‘π
*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)
Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:
β« sec2 π₯ β π₯ = β tan π₯ + πΆ
β« csc2 π₯ β π₯ = βcot π₯ + πΆ
β« sec π₯ tan π₯ β π₯ = βsec π₯ + πΆ
β« csc π₯ cot π₯ β π₯ = βcsc π₯ + πΆ
Cara membacanya: π¦ = tan π₯
β π¦β² = sec2 π₯
π¦ = cot π₯ β π¦β² = βcsc2 π₯
π¦ = sec π₯ β π¦β² = sec π₯ tan π₯
π¦ = csc π₯ β π¦β² = βcsc π₯ cot π₯
Halaman 218 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tips dan Trik Integral Trigonometri
Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:
Rumus identitas trigonometri
sin2 π₯ + cos2 π₯ = 1tan2 π₯ + 1 = sec2 π₯1 + cot2 π₯ = csc2 π₯
sin2 π₯ =1
2β1
2cos2π₯
cos2 π₯ =1
2+1
2cos 2π₯
sin2π₯ = 2 sinπ₯ cos π₯
Rumus perkalian trigonometri
sin π₯ cos π¦ =1
2[sin(π₯ + π¦) + sin(π₯ β π¦)]
cos π₯ sin π¦ =1
2[sin(π₯ + π¦) β sin(π₯ β π¦)]
cos π₯ cos π¦ =1
2[cos(π₯ + π¦) + cos(π₯ β π¦)]
sin π₯ sinπ¦ = β1
2[cos(π₯ + π¦) β cos(π₯ β π¦)]
Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat π dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
β« sinπ π₯ (cosπ₯) β π₯ =1
π + 1sinπ+1 π₯ + πΆ
β« cosπ π₯ (sinπ₯) β π₯ = β1
π + 1cosπ+1 π₯ + πΆ
β« tanπ π₯ (sec2 π₯) β π₯ =1
π + 1tanπ+1 π₯ + πΆ
β« cotπ π₯ (csc2 π₯) β π₯ = β1
π + 1cotπ+1 π₯ + πΆ
β« secπ π₯ (secπ₯ tan π₯) β π₯ =1
π + 1secπ+1 π₯ + πΆ
β« cscπ π₯ (csc π₯ cot π₯) β π₯ = β1
π + 1cscπ+1 π₯ + πΆ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 219
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat
β«β‘π β β‘ = 1
π+1β‘π+1 + πΆ
harus sama
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat
β«β‘π β β belum sama
Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel π₯? Tidak! Ya! Nggak ada variabel π₯ lagi! Masih menyisakan variabel π₯! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi
Halaman 220 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya:
β
β π₯(π₯2 + 4π₯ β 9) = (2π₯ + 4) β β (π₯2 + 4π₯ β 9) = (2π₯ + 4)β π₯
ββ (π₯2 + 4π₯ β 9)
(2π₯ + 4)= β π₯
β β π₯ =β (π₯2 + 4π₯ β 9)
(2π₯ + 4)
Jadi β π₯ pada soal bisa diganti dengan π(π(π₯))
πβ²(π₯)
Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, β π₯ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh:
β«(3π₯ β 5)10000000000000 β π = β«(3π₯ β 5)10000000000000β (ππ β π)
π
β«sin(4π₯)β π = β«sin(4π₯)β (ππ)
π
β«3π₯ cos(2π₯2)β π = β«3π₯ cos(2π₯2)β (πππ)
ππ
dan lain-lain β¦..
Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya:
β«3π₯ cos(2π₯2) β π₯ = β«3π₯ cos(2π₯2)β (2π₯2)
4π₯= β«
3π₯
4π₯cos(2π₯2) β (2π₯2) = β«
3
4cos(2π₯2) β (2π₯2) = β«
3
4cos β‘ β β‘
Pokoknya variabel π₯ Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel π₯ udah hilang!!!! Sudah sama!!!! Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial.
turunannya
turunannya
turunannya
turunannya
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 221
Contoh Soal 1:
Hasil dari
β«(π₯ β 3)(π₯2 β 6π₯ + 1)β3 β π₯ = β¦.
a. β1
8(π₯2 β 6π₯ + 1)β4 + πΆ
b. β1
4(π₯2 β 6π₯ + 1)β4 + πΆ
c. β1
2(π₯2 β 6π₯ + 1)β4 + πΆ
d. β1
4(π₯2 β 6π₯ + 1)β2 + πΆ
e. β1
2(π₯2 β 6π₯ + 1)β2 + πΆ
Pembahasan:
Perhatikan soal,
β«(π₯ β 3)(ππ β ππ + π)β3β π
belum sama
Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.
β«(π₯ β 3)(ππ β ππ + π)β3β π β β«(π₯ β 3)(ππ β ππ + π)
β3 β (ππ β ππ + π)
(ππ β π)
Periksa, apakah hasil (π₯β3)
(2π₯β6) tidak menyisakan variabel π₯?
Ternyata hasil dari (π₯β3)
(2π₯β6)=1
2 , dan kita sudah tidak menemukan variabel π₯ yang tersisa.
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β«(π₯ β 3)(π₯2 β 6π₯ + 1)β3 β π₯ = β«(π₯ β 3)(π₯2 β 6π₯ + 1)β3β (π₯2 β 6π₯ + 1)
(2π₯ β 6) (Ingat β«
1
2β‘π β π₯ =
1
2β«β‘π β π₯)
=π
πβ«(π₯2 β 6π₯ + 1)β3 β (π₯2 β 6π₯ + 1) (Ingat β«β‘π β π₯ =
1
π + 1β‘π+1 + πΆ)
=1
2β
π
((βπ) + π)(ππ β ππ + π)(βπ)+π + πΆ
=1
2β1
(β2)(π₯2 β 6π₯ + 1)β2 + πΆ
= β1
4(π₯2 β 6π₯ + 1)β2 + πΆ
Ganti operator integral
turunannya
Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel π?
2
1
Halaman 222 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Hasil dari
β«6π₯β3π₯2 + 5β π₯ = β¦.
a. 2
3(6π₯2 + 5)β6π₯2 + 5 + πΆ
b. 2
3(3π₯2 + 5)β3π₯2 + 5 + πΆ
c. 2
3(π₯2 + 5)βπ₯2 + 5 + πΆ
d. 3
2(π₯2 + 5)βπ₯2 + 5 + πΆ
e. 3
2(3π₯2 + 5)β3π₯2 + 5 + πΆ
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β«6π₯β3π₯2 + 5β π₯ = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!
(Ingat β«ββ‘β π₯ = β«β‘12 β π₯)
= β«6π₯(3π₯2 + 5)12 β π₯
= β«6π₯(3π₯2 + 5)12β (3π₯2 + 5)
6π₯ (Samakan dulu operator integralnya )
= β«(3π₯2 + 5)12 β (3π₯2 + 5) (Ingat β«β‘π β π₯ =
1
π + 1β‘π+1 + πΆ)
=π
(ππ + π)
(πππ + π)ππ+π+ πΆ
=132
(3π₯2 + 5)32 + πΆ
=2
3(3π₯2 + 5)
32 + πΆ
=2
3(3π₯2 + 5)
1+12 + πΆ (Ingat sifat pangkat ππ+π = ππ β ππ)
=2
3(3π₯2 + 5)(3π₯2 + 5)
12 + πΆ
=2
3(3π₯2 + 5)β3π₯2 + 5 + πΆ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 223
Contoh Soal 3:
Hasil dari
β«sin(4π₯ β π)β π₯ = β¦.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4π₯ β π). Padahal operator integralnya adalah β π₯. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel π₯. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β«sin(4π₯ β π)β π₯ = β«sin(4π₯ β π)β (4π₯ β π)
4 (Samakan dulu operator integralnya )
Ternyata tidak ada variabel π₯ tersisa.Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.
=1
4β«sin(4π₯ β π)β (4π₯ β π) (Ingat β« sinβ‘β β‘ = βcosβ‘ + πΆ)
=1
4β (β cos(4π₯ β π)) + πΆ
= β1
4cos(4π₯ β π) + πΆ
Halaman 224 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4:
Hasil dari
β«sin3 π₯ cos π₯ β π₯ = β¦.
Pembahasan:
Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan?
π(π₯) = sinπ₯ β πβ²(π₯) = cosπ₯
π(π₯) = cosπ₯ β πβ²(π₯) = βsin π₯
π(π₯) = tan π₯ β πβ²(π₯) = sec2 π₯
π(π₯) = cot π₯ β πβ²(π₯) = βcsc2 π₯
π(π₯) = secπ₯ β πβ²(π₯) = secπ₯ tan π₯
π(π₯) = csc π₯ β πβ²(π₯) = βcsc π₯ cot π₯
Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat π dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:
β« sinπ π₯ (cosπ₯) β π₯ =1
π + 1sinπ+1 π₯ + πΆ
β« cosπ π₯ (sinπ₯) β π₯ = β1
π + 1cosπ+1 π₯ + πΆ
β« tanπ π₯ (sec2 π₯) β π₯ =1
π + 1tanπ+1 π₯ + πΆ
β« cotπ π₯ (csc2 π₯) β π₯ = β1
π + 1cotπ+1 π₯ + πΆ
β« secπ π₯ (secπ₯ tan π₯) β π₯ =1
π + 1secπ+1 π₯ + πΆ
β« cscπ π₯ (csc π₯ cot π₯) β π₯ = β1
π + 1cscπ+1 π₯ + πΆ
Jadi β« sin3 π₯ cos π₯ β π₯ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula β π₯ menjadi β (sinπ₯). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β«sin3 π₯ cos π₯ β π₯ = β«sin3 π₯ cosπ₯β (sinπ₯)
cos π₯ (Samakan dulu operator integralnya )
= β«sin3 π₯ β (sin π₯) (Ingat β« sinπ β‘β (sinβ‘) =1
π + 1sinπ+1 β‘ + πΆ)
=1
4sin4 π₯ + πΆ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 225
Contoh Soal 5:
Hasil dari
β«sin3 π₯ β π₯ = β¦.
Pembahasan:
Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:
β« sinπ π₯ (cosπ₯) β π₯ =1
π + 1sinπ+1 π₯ + πΆ
β« cosπ π₯ (sinπ₯) β π₯ = β1
π + 1cosπ+1 π₯ + πΆ
Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1. Misalnya β« sin3 π₯ β π₯, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi β« cos2 π₯ sin π₯. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:
sin2 π₯ + cos2 π₯ = 1 Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β«sin3 π₯ β π₯ = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1)
Jadi ubah dulu sinπ π₯ = sinπβ1 π₯ sin π₯
= β«sin2 π₯ sinπ₯ β π₯
= β«(1 β cos2 π₯) sinπ₯ β π₯ (Ingat sin2 π₯ + cos2 π₯ = 1 β sin2 π₯ = 1 β cos2 π₯)
= β«(sin π₯ β cos2 π₯ sinπ₯) β π₯ (Ingat β« π(π₯) + π(π₯)β π₯ = β« π(π₯) β π₯ + β« π(π₯) β π₯)
= β«sin π₯ β π₯ ββ«cos2 π₯ sin π₯ β π₯ (Penyelesaian β« cos2 π₯ sin π₯ β π₯ lihat Contoh Soal 4)
= βcos π₯ β β«cos2 π₯ sin π₯β (cos π₯)
β sinπ₯ (Ingat β« cosπ β‘β (cosβ‘) =
1
π + 1cosπ+1 β‘ + πΆ)
= βcos π₯ + β«cos2 π₯ β (cosπ₯)
= βcos π₯ +1
3cos3 π₯ + πΆ
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI yang akan segera dipublish nanti di http://pak-anang.blogspot.com !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Halaman 226 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat
β«β‘π β β‘ = 1
π+1β‘π+1 + πΆ
harus sama
Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan
Teknik Integral Parsial atau
Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat
β«β‘π β β belum sama
Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel π₯? Tidak! Ya! Nggak ada variabel π₯ lagi! Masih menyisakan variabel π₯! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 227
Contoh Soal 1:
Hasil dari β«π₯βπ₯ + 1β π₯ = β¦.
a. 2
5(π₯ + 1)βπ₯ + 1 β
2
3(π₯ + 1)2βπ₯ + 1 + πΆ
b. 2
15(3π₯2 + π₯ β 2)βπ₯ + 1 + πΆ
c. 2
15(3π₯2 + π₯ + 4)βπ₯ + 1 + πΆ
d. 2
15(3π₯2 β π₯ β 2)βπ₯ + 1 + πΆ
e. 2
5(π₯2 + π₯ β 2)βπ₯ + 1 + πΆ
Pembahasan:
Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,
β«π₯βπ₯ + 1β π₯ = β«π₯(π + π)12 β π
belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.
β«π₯(π + π)12 β π β β«π₯ (π + π)
12β (π + π)
π
Periksa, apakah hasil π₯
1 tidak menyisakan variabel π₯?
Ternyata hasil dari π₯
1= π₯ , dan kita masih menemukan variabel π₯ yang tersisa.
Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.
β«π₯(π₯ + 1)12 β π₯ = (Ingat integral parsial β«πβ π = ππ ββ«πβ π)
Misal π = π₯ ββ π’
β π₯= 1
β β π = β π₯
Maka β π = (π₯ + 1)12β π₯ β β« β π£ = β« (π₯ + 1)
12β π₯
β π =2
3(π₯ + 1)
32
β β«π₯(π₯ + 1)12 β π₯ = ππ β β«πβ π
= π βπ
π(π + π)
ππ ββ«
π
π(π + π)
ππ β π
=2
3π₯(π₯ + 1)
32 β
2
3β«(π₯ + 1)
32β (π₯ + 1)
1
=2
3π₯(π₯ + 1)
32 β
2
3β2
5(π₯ + 1)
52 + πΆ
=2
3π₯(π₯ + 1)
32 β
4
15(π₯ + 1)
52 + πΆ (keluarkan FPB-nya (π₯ + 1)
12)
= (π₯ + 1)32 [2
3π₯ β
4
15(π₯ + 1)] + πΆ
= (π₯ + 1)12(π₯ + 1) (
6
15π₯ β
4
15) + πΆ
= (π₯ + 1)12(π₯ + 1)
2
15(3π₯ β 2) + πΆ
=2
15(3π₯ β 2)(π₯ + 1)(π₯ + 1)
12 + πΆ
=2
15(3π₯2 + π₯ β 2)(π₯ + 1)
12 + πΆ
=2
15(3π₯2 + π₯ β 2)βπ₯ + 1 + πΆ
Ganti operator integral
Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel π?
turunannya
Halaman 228 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2a:
Hasil dari
β«(π₯2 + 1) cos π₯ β π₯ = β¦.
a. π₯2 sin π₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
b. (π₯2 β 1) sinπ₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
c. (π₯2 + 3) sinπ₯ β 2π₯ cosπ₯ + πΆ
d. 2π₯2 cosπ₯ + 2π₯2 sin π₯ + πΆ
e. 2π₯ sinπ₯ β (π₯2 β 1) cosπ₯ + πΆ
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β«(π₯2 + 1)β π
cos π₯ β π₯β β π
= (Ingat integral parsial β«πβ π = ππ ββ«πβ π)
Misal π = 2π₯ ββ π’
β π₯= 2
β β π = 2β π₯Maka β π = cos π₯ β π₯ β β« β π£ = β« cos π₯ β π₯
β π = sinπ₯
β β«(π₯2 + 1) cos π₯ β π₯ = ππ ββ«πβ π
= (ππ + π) β π¬π’π§π β β«π¬π’π§π β ππβ π
= (π₯2 + 1) sinπ₯ β β«2π₯ sinπ₯ β π₯
(Bentuk β«2π₯ sin π₯ β π₯ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)
β β«(π₯2 + 1) cos π₯ β π₯ = (π₯2 + 1) sinπ₯ β β«2π₯βπsin π₯ β π₯β β π
Misal π = 2π₯ ββ π’
β π₯= 2
β β π = 2β π₯Maka β π = sin π₯ β π₯ β β« β π£ = β« sinπ₯ β π₯
β π = βcos π₯
β β«(π₯2 + 1) cos π₯ β π₯ = (π₯2 + 1) sinπ₯ β [ππ ββ«πβ π] + πΆ1
= (π₯2 + 1) sinπ₯ β [2π₯ β (β cos π₯) β β«(βcosπ₯) β 2 β π₯ + πΆ2] + πΆ1
= (π₯2 + 1) sinπ₯ β [(β2π₯ cos π₯) +β«2 cosπ₯ β π₯ + πΆ2] + πΆ1
= (π₯2 + 1) sinπ₯ β [(β2π₯ cos π₯) + 2 sinπ₯ + πΆ2] + πΆ1= (π₯2 + 1) sinπ₯ + 2π₯ cosπ₯ β 2 sinπ₯ + πΆ2 + πΆ1β
πͺπ+πͺπ=πͺ
= (π₯2 + 1) sinπ₯ β 2 sinπ₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
= (π₯2 + 1 β 2) sinπ₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
= (π₯2 β 1) sinπ₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 229
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal 2b:
Hasil dari
β«(π₯2 + 1) cos π₯ dπ₯ = β¦.
a. π₯2 sin π₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
b. (π₯2 β 1) sinπ₯ + 2π₯ cosπ₯ + πΆ
c. (π₯2 + 3) sinπ₯ β 2π₯ cosπ₯ + πΆ
d. 2π₯2 cosπ₯ + 2π₯2 sin π₯ + πΆ
e. 2π₯ sinπ₯ β (π₯2 β 1) cosπ₯ + πΆ
Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:
Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai!
β«(π₯2 + 1)β mudah
cos π₯βrumit
β π₯ = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit)
Kolom Kiri
(Turunkan)
Kolom Kanan
(Integralkan)
(π₯2 + 1) cos π₯
2π₯ sin π₯
2 βcos π₯
0 βsinπ₯
β«(π₯2 + 1) cos π₯ dπ₯ = (π₯2 + 1) sinπ₯ + 2π₯ cos π₯ β 2 sin π₯ + πΆ
= (π₯2 + 1) sinπ₯ β 2 sin π₯ + 2π₯ cos π₯ + πΆ
= (π₯2 + 1 β 2) sinπ₯ + 2π₯ cos π₯ + πΆ
= (π₯2 β 1) sinπ₯ + 2π₯ cos π₯ + πΆ
Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya!
β
β
β (π₯2 + 1) sin π₯
2π₯ cos π₯
β2 sinπ₯
Halaman 230 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:
bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa
diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.
Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI yang akan segera dipublish nanti di http://pak-anang.blogspot.com !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.
Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan
dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk βπ β π’2, βπ + π’2, dan
βπ’2 β π. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI yang akan segera dipublish nanti di http://pak-anang.blogspot.com !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 231
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.
Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu
β« π(π₯) β π₯π
π
= πΉ(π₯) |π
π= πΉ(π) β πΉ(π)
Contoh Soal 1:
Hasil dari
β« (6π₯2 β 8π₯ + 3)4
2
β π₯ = β¦.
a. 96
b. 108
c. 112
d. 116
e. 128
Pembahasan:
Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:
β« (6π₯2 β π₯ + 3)4
2
β π₯ = [2π₯3 β1
2π₯2 + 3π₯]
2
4
= (2(4)3 β1
2(4)2 + 3(4)) β (2(2)3 β
1
2(2)2 + 3(2))
= (2 β 64 β1
2β 16 + 12) β (2 β 8 β
1
2β 4 + 6)
= (128 β 8 + 12) β (16 β 2 + 6)
= (132) β (20)= 112
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.
Misal πΉ(π₯) = 2π₯3 β1
2π₯2 + 3π₯
Maka, πΉ(π) β πΉ(π) = (2(4)3 β1
2(4)2 + 3(4)) β (2(2)3 β
1
2(2)2 + 3(2))
= 2(4)3 β1
2(4)2 + 3(4) β 2(2)3 +
1
2(2)2 β 3(2)
= 2(4)3 β 2(2)3 β1
2(4)2 +
1
2(2)2 + 3(4) β 3(2)
= 2 (43 β 23)β selisihnya π₯3
β1
2(42 β 22)β selisihnya π₯2
+ 3 (4 β 2)β selisihnya π₯
β« (6π₯2 β π₯ + 3)4
2
β π₯ = [2π₯3 β1
2π₯2 + 3π₯]
2
4
= 2(43 β 23) β1
2(42 β 22) + 3(4 β 2)
= 2(64 β 8) β1
2(16 β 4) + 3(2)
= 2(56) β1
2(12) + 3(2)
= 112 β 6 + 6= 112
Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.
Halaman 232 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Integral iniβ¦.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 233
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Hasil dari
dx
xx
x72 723
13 ....
A.
C7233
162
xx
B.
C7234
162
xx
C.
C7236
162
xx
D.
C72312
162
xx
E.
C72312
172
xx
2. Hasil dari dxxx 133 2 ....
A. C13)13(3
2 22 xx
B. C13)13(2
1 22 xx
C. C13)13(3
1 22 xx
D. C13)13(2
1 22 xx
E. C13)13(3
2 22 xx
3. Hasil dari dxxxx92 96434 ....
A. C96410
1 102 xx
B. C3215
1 20x
C. C3220
1 20x
D. C96420
1 102 xx
E. C96430
1 102 xx
4. Hasil dari
dx
x
x
7 53
2
52
2 ....
A. C527
3 7 33 x
B. C523
6 6 73 x
C. C527
6 7 63 x
D. C526
7 7 23 x
E. C526
7 2 73 x
β«3π₯ β 1
(3π₯2 β 2π₯ + 7)7 β π₯ = β«(3π₯ β 1)(3π₯2 β 2π₯ + 7)β7
β (3π₯2 β 2π₯ + 7)
(6π₯ β 2)
=1
2β«(3π₯2 β 2π₯ + 7)β7β (3π₯2 β 2π₯ + 7)
=1
2β (β
1
6) (3π₯2 β 2π₯ + 7)β6 + C
=β1
12(3π₯2 β 2π₯ + 7)6+ C
β«3π₯β3π₯2 + 1 β π₯ = β«3π₯(3π₯2 + 1)12 β (3π₯2 + 1)
6π₯
=1
2β«(3π₯2 + 1)
12 β (3π₯2 + 1)
=1
2β2
3β (3π₯2 + 1)
32 + C
=1
3(3π₯2 + 1)β3π₯2 + 1 + C
β«(4π₯ + 3)(4π₯2 + 6π₯ β 9)9 β π₯ = β«(4π₯ + 3)(4π₯2 + 6π₯ β 9)9 β (4π₯2 + 6π₯ β 9)
8π₯ + 6
=1
2β«(4π₯2 + 6π₯ β 9)
9 β (4π₯2 + 6π₯ β 9)
=1
2β1
10β (4π₯2 + 6π₯ β 9)
10+ C
=1
20(4π₯2 + 6π₯ β 9)
10+ C
β«2π₯2
β(2π₯3 β 5)57
β π₯ = β«2π₯2
β(2π₯3 β 5)57
β (2π₯3 β 5)
(6π₯2)
=1
3β«(2π₯3 β 5)β
57 β (2π₯3 β 5)
=1
3β7
2(2π₯3 β 5)
27 + C
=7
6β(2π₯3 β 5)27
+ C
Halaman 234 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
5. Nilai dari
2
1
2 54 dxxx ....
A. 6
33
B. 6
44
C. 6
55
D. 6
65
E. 6
77
6. Nilai dari
4
1
2 22 dxxx ....
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
E. 20
7. Nilai dari
2
0
2 733 dxxx ....
A. 6
B. 10
C. 13
D. 16
E. 22
8. Nilai dari
3
1
2 342 dxxx ....
A. 3
127
B. 2
127
C. 3
137
D. 2
137
E. 2
151
β« (4π₯2 β π₯ + 5) β π₯2
1
= [4
3π₯3 β
1
2π₯2 + 5π₯]
1
2
= (4
3(2)3 β
1
2(2)2 + 5(2)) β (
4
3(1)3 β
1
2(1)2 + 5(1))
= (32
3β 2 + 10) β (
4
3β1
2+ 5)
=56
3β35
6
=112 β 35
6
=77
6
β« (π₯2 β 2π₯ + 2) β π₯4
1
= [1
3π₯3 β π₯2 + 2π₯]
1
4
= (1
3(4)3 β (4)2 + 2(4)) β (
1
3(1)3 β (1)2 + 2(1))
= (64
3β 16 + 8) β (
1
3β 1 + 2)
=64
3β 8 β
1
3β 1
= 12
β« (3π₯2 β 3π₯ + 7) β π₯2
0
= [π₯3 β3
2π₯2 + 7π₯]
0
2
= ((2)3 β3
2(2)2 + 7(2)) β ((0)3 β
3
2(0)2 + 7(0))
= (8 β 6 + 14) β (0) = 16
β« (2π₯2 + 4π₯ β 3) β π₯3
1
= [2
3π₯3 + 2π₯2 + 3π₯]
0
2
= (2
3(3)3 + 2(3)2 + 3(3)) β (
2
3(1)3 + 2(1)2 + 3(1))
= (18
3+ 18 + 9) β (
2
3+ 2 + 3)
= (18
3+ 27) β (
2
3+ 5)
= 27 β 5 +18
3β2
3
= 22 +16
3
= 22 + 51
3
= 271
3
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 235
9. Nilai dari
Ο2
1
0
cos32sin2 dxxx ....
A. β5
B. β1
C. 0
D. 1
E. 2
10. Nilai dari
Ο2
1
0
cos2sin3 dxxx ....
A. β2
B. β1
C. 0
D. 1
E. 2
11. Nilai dari 2
Ο
0
)2sin( dxx ....
A. β2
B. β1
C. 0
D. 2
E. 4
12. Nilai dari
Ο3
1
0
)cos32(sin dxxx ....
A. 324
3
B. 334
3
C. 3214
1
D. 3214
2
E. 3214
3
Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
β« (2 sin 2π₯ β 3 cos π₯)
π2
0
β π₯ = [β cos 2π₯ β 3 sin π₯]0
12π
= (βcos π β 3 sin1
2π) β (β cos 0 β 3 sin 0)
= (1 β 3) β (β1 β 0)= β2 + 1= β1
β« (3 sin 2π₯ β cos π₯) β π₯
12π
0
= [β3
2cos 2π₯ β sin π₯]
0
12π
= (β3
2cosπ β sin
1
2π) β (β
3
2cos 0 β sin 0)
= (β3
2β 1) β (β
3
2β 0)
= 2
β« sin(2π₯ β π) β π₯
π2
0
= [β1
2cos(2π₯ β π)]
0
π2
= (β1
2cos 0) β (β
1
2cos(βπ))
= (β1
2) β (
1
2)
= 1
TRIK SUPERKILAT:
β« sin(2π₯ β π) β π₯
π2
0
= β« βsin(2π₯) β π₯
π2
0
= [1
2cos(2π₯)]
0
π2
= 1
β« (sin 2π₯ + 3 cos π₯) β π₯
13π
0
= [β1
2cos 2π₯ + 3 sin π₯]
0
13π
= (β1
2cos 240Β° + 3 sin 60Β°) β (β
1
2cos 0Β° + 3 sin 0Β°)
= (β1
2(β1
2) +
3
2β3) β (β
1
2+ 0)
=1
4+3
2β3 +
1
2
=3
4+3
2β3
=3
4(1 + 2β2)