Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 59

2. 9. Menyelesaikan operasi matriks.

Matriks

Bentuk Umum Operasi Aljabar Matriks

𝐴𝑚×𝑛 = (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⋯

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

)

Transpose Matriks “Tukar Baris Kolom”

𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ⇒ 𝐴𝑇 = (𝑎 𝑐𝑏 𝑑

)

Determinan Matriks 2 × 2 “Diagonal Utama – Diagonal Samping”

𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ⇒ |𝐴| = |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Invers Matriks 2 × 2 “Pembagian Matriks” 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼

𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ⇒ 𝐴−1 =1

|𝐴|(

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

)

Persamaan Matriks “Dikali Invers dari Kanan atau Kiri ???”

𝐴𝐵 = 𝐶 ⇒ { 𝐴 = 𝐴𝑩−𝟏

𝐵 = 𝑨−𝟏𝐶

Kesamaan Matriks

“Elemen yang Sama, Nilainya Sama”

(𝑎 𝑏1 −5

) = (3 −21 −5

) ⇒ { 𝑎 = 3𝑏 = −2

Penjumlahan Matriks

“Jumlahkan Elemen yang Sama”

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) + (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎 + 𝑒 𝑏 + 𝑓𝑐 + 𝑔 𝑑 + ℎ

)

Pengurangan Matriks

“Kurangkan Elemen yang Sama”

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) − (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎 − 𝑒 𝑏 − 𝑓𝑐 − 𝑔 𝑑 − ℎ

)

Perkalian Matriks dengan Skalar

“Kalikan dengan Semua Elemen”

𝑘 (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (𝑘𝑎 𝑘𝑏𝑘𝑐 𝑘𝑑

)

Perkalian Matriks dengan Matriks

“Syarat Harus Dipenuhi”

( )𝑚×𝒏

( )𝒏×𝑘

= ( )𝑚×𝑘

“Jumlah Perkalian Elemen Baris Kolom”

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎𝑒 + 𝑏𝑔 𝑎𝑓 + 𝑏ℎ𝑐𝑒 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑ℎ

)

sama

Halaman 60 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah, asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan aljabar sederhana. Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks, Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks. Sifat Operasi Aljabar Matriks:

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴

Sifat Transpose Matriks:

(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴 (𝐴 ∙ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ∙ 𝐴𝑇 (𝑘𝐴)𝑇 = 𝑘𝐴𝑇

Sifat Determinan Matriks:

|𝐴𝑇| = |𝐴|

|𝐴−1| =1

|𝐴|

|𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵| 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶 ⇒ |𝐴| ∙ |𝐵| = |𝐶|

|𝐴| ∙ |𝐵| = |𝐶| ⇒ |𝐵| =|𝐶|

|𝐴|

|(𝐴 ∙ 𝐵)−1| =1

|𝐵|∙

1

|𝐴|

Sifat Invers Matriks:

𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ∙ 𝐴−1

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 61

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan Operasi Aljabar Matriks. Contoh Soal 1:

Diketahui matriks-matriks 𝐴 = (−𝑐 21 0

), 𝐵 = (4 𝑎

𝑏 + 5 −6), 𝐶 = (

−1 30 2

), dan 𝐷 = (4 𝑏

−2 3)

Jika 2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝐷 maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8

Penyelesaian:

2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝐷 ⇒ 2 (−𝑐 21 0

) − (4 𝑎

𝑏 + 5 −6) = (

−1 30 2

) (4 𝑏

−2 3)

⇔ (−2𝑐 4

2 0) − (

4 𝑎𝑏 + 5 −6

) = (−10 −𝑏 + 9−4 6

)

⇔ (−2𝑐 − 4 4 − 𝑎−3 − 𝑏 6

) = (−10 −𝑏 + 9−4 6

)

Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh: −2𝑐 − 4 = −10 ⇒ −2𝑐 = −10 + 4

⇔ −2𝑐 = −6⇔ 𝑐 = 3

−3 − 𝑏 = −4 ⇒ −𝑏 = −4 + 3

⇔ −𝑏 = −1⇔ 𝑏 = 1

4 − 𝑎 = −𝑏 + 9 ⇒ 4 − 𝑎 = −(1) + 9

⇔ 4 − 𝑎 = 8⇔ −𝑎 = 8 − 4⇔ −𝑎 = 4⇔ 𝑎 = −4

Jadi nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (−4) + (1) + (3)

= 0

Halaman 62 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan Determinan Matriks. Contoh Soal 1:

Diketahui matriks 𝐴 = (3 20 5

), dan 𝐵 = (−3 −1

−17 0).

Jika 𝐴𝑡 = transpos matriks 𝐴 dan 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡, maka determinan matriks 𝑋= …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8

Penyelesaian: 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡 ⇒ 𝑋 = 𝐴−1(𝐵 + 𝐴𝑡)

=1

|𝐴|𝐴𝑑𝑗(𝐴)(𝐵 + 𝐴𝑡)

=1

15(

5 −20 3

) ((−3 −1

−17 0) + (

3 02 5

))

=1

15(

5 −20 3

) (0 −1

−15 5)

=1

15(

30 −15−45 15

)

= (2 −1

−3 1)

Karena 𝑋 = (2 −1

−3 1), maka determinan matriks 𝑋 adalah :

|𝑋| = |2 −1

−3 1| = 2 − 3 = −1

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini. 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡 ⇒ |𝐴||𝑋| = |𝐵 + 𝐴𝑡|

⇔ |𝑋| =|𝐵+𝐴𝑡|

|𝐴|

⇔ |𝑋| =|𝐵+𝐴𝑡|

|𝐴|

=−15

15

= −1

𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠

𝑀𝑎𝑘𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑢𝑙𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 (𝐵 + 𝐴𝑡)

𝑇𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎 𝐵 + 𝐴𝑡 = ((−3 −1

−17 0) + (

3 02 5

))

= (0 −1

−15 5)

𝐽𝑎𝑑𝑖, |𝐵 + 𝐴𝑡| = −15

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 63

Contoh Soal 2:

Diketahui matriks 𝐴 = (4 23 −4

), dan 𝐵 = (5 −32 1

).

Jika 𝐶𝐴 = 𝐵 dan 𝐶−1 adalah invers matriks 𝐶 maka determinan dari matriks 𝐶−1 = …. a. −2 b. −1 c. 1 d. 2 e. 3

Penyelesaian: 𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐶 = 𝐵 ∙ 𝐴−1

⇔ 𝐶−1 = (𝐵 ∙ 𝐴−1)−1

⇔ 𝐶−1 = 𝐴 ∙ 𝐵−1

= (4 23 −4

) ∙1

11(

1 3−2 5

)

=1

11(

4 23 −4

) (1 3

−2 5)

=1

11(

0 2211 −11

)

= (0 21 −1

)

Karena 𝐶−1 = (0 21 −1

), maka determinan matriks 𝐶−1 adalah :

|𝐶−1| = |0 21 −1

| = 0 − 2 = −2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini. 𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐶 = 𝐵 ∙ 𝐴−1

⇔ 𝐶−1 = (𝐵 ∙ 𝐴−1)−1

⇔ 𝐶−1 = 𝐴 ∙ 𝐵−1

⇔ |𝐶−1| =|𝐴|

|𝐵|

=−22

11= −2

Halaman 64 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui matriks A =

15

3 y, B =

63

5x dan C =

9

13

y.

Jika A + B – C =

4

58

x

x, maka nilai yxyx 2 adalah ....

A. 8

B. 12

C. 18

D. 20

E. 22

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

𝐴 + 𝐵 − 𝐶 = (8 5𝑥

−𝑥 −4)

⇒ (𝑥 + 6 𝑦 + 62 − 𝑦 −4

) = (8 5𝑥

−𝑥 −4)

⇔ 𝑥 + 6 = 8∴ 𝑥 = 2

⇔ 2 − 𝑦 = −𝑥∴ 𝑦 = 4

Substitusi 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 4 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 + 16 + 4 = 22