Slides_Yared_Cap1 [Modo de Compatibilidade]
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Captulo 1
Sinais e Sistemas
-
Sinais de Tempo Contnuo e Tempo Discreto
Sinais descrevem fenmenos fsicos Sinal de presso acstica associado a fala
humana Sinal cardaco Sinal cardaco
-
Sinais de Tempo Contnuo e Tempo Discreto
Sinal de cota fluviomtrica
ndice Dow-Jones da 20
22
24
26
28
30
leve
l (m
)
Flood-flux from 1903 to 1912
ndice Dow-Jones da bolsa de valores de NY
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350014
16
18
days
-
Sinais de Tempo Contnuo e Tempo Discreto
Sinais de tempo contnuo x(t) A varivel independente (tempo t) assume
valores contnuos
Sinais de tempo discreto x[n] Sinais de tempo discreto x[n] A varivel independente (tempo n) assume
valores discretos e inteiros Tambm denominados de sequncias de
tempo discreto Podem ser obtidos pela amostragem de
sinais de tempo contnuo
-
Definies
Energia de um sinal de tempo contnuo no intervalo
Energia de um sinal de tempo discreto no ( )2
1
2t
tE x t dt=
1 2t t t
Energia de um sinal de tempo discreto no intervalo
[ ]2
1
2n
n n
E x n=
=
1 2n n n
-
Definies
Energia total de um sinal de tempo contnuo
Energia total de um sinal de tempo
( ) 2lim TTT
E x t dt =
Energia total de um sinal de tempo discreto
[ ] 2limN
Nn N
E x n ==
-
Definies
Potncia mdia em um intervalo de durao infinita
lim lim2 2 1T NE E
P ou PT N
= =
+ Potncia mdia de um sinal de tempo contnuo
Potncia mdia de um sinal de tempo discreto
2 2 1T N +
( ) 21lim2
T
TTP x t dt
T =
[ ] 21lim2 1
N
Nn N
P x nN =
=+
-
Definies
Classes de sinais: Energia total finita
Exemplo:
Energia total infinita e potncia mdia finita
E <
1E = Energia total infinita e potncia mdia finita
Exemplo: sinal constante x[n] = 4
Energia total e potncia mdia infinitas
E e P = <
E e P = =
( ) '2 1 .16lim 162 1
L Hospital
N
NE e P P
N +
= = =+
-
Definies
Exerccio 1.3: determine a energia total e potncia mdia dos sinais abaixo
( ) ( )21 tx t e u t= [ ]3 cos 4x n n =
-
Transformao da Varivel Independente
Deslocamento no tempo
[ ] [ ]( ) ( )
0
0
x n e x n n
x t e x t t
-
Transformao da Varivel Independente
Reflexo no tempo (espelhamento em torno do eixo das ordenadas)
[ ] [ ]( ) ( )
x n e x n
x t e x t
( ) ( )x t e x t
-
Transformao da Varivel Independente
Mudana de escala no tempo
[ ] [ ]( ) ( )
.
.
x n e x n
x t e x t
1 sinal comprimido
1 sinal estendido
se
se
>
<
-
Transformao da Varivel Independente
Exemplo 1.3: dada a funo x(t) abaixo,
determine graficamente: 3
12
x t + 2
t0 t1 t2
-
Transformao da Varivel Independente
t0 t1 t2
0
1
2
3 21 0
2 33
1 1 023 2
1 22 3
t t t
t t t
t t t
+ = = =
+ = = =
+ = = =
31
2x t +
t
-
Transformao da Varivel Independente
Exerccio 1.21: dada a funo x(t) abaixo, determine
3
42
tx
3
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
t
x(t)
0 2 4 6 8 10 12-3
-2
-1
0
1
2
3
t
x(t)
-
Sinais Peridicos e Aperidicos
Sinal peridico de tempo contnuo x(t) Existe um valor positivo T tal que x(t) = x(t + T) O sinal no se modifica com o deslocamento T no
tempotempo Alm disso, se x(t) for peridico, ento x(t) = x(t + mT), para qualquer m inteiro Assim, os valoes mT so os perodos de x(t) e T0
o menor valor positivo dentre os perodos, denominado perodo fundamental
Se x(t) for constante, ento o perodo indefinido
-
Sinais Peridicos e Aperidicos
Sinal peridico de tempo discreto x[n] Existe um valor positivo N tal que x[n] = x[n + N] O sinal no se modifica com o deslocamento O sinal no se modifica com o deslocamento
T no tempo Alm disso, se x[n] for peridico, ento x[n] = x[n + mN], para qualquer m inteiro Assim, os valoes mN so os perodos de
x[n] e N0 o menor valor positivo dentre os perodos, denominado perodo fundamental
-
Sinais Peridicos e Aperidicos
Perodo fundamental T0 = T
-
Sinais com Simetria Par e com Simetria mpar
Sinais com simetria par possuem a seguinte caracterstica:
( ) ( )[ ] [ ]
x t x t
x n x n
=
= Sinais com simetria mpar possuem a seguinte caracterstica:
[ ] [ ]x n x n =
( ) ( )[ ] [ ]
x t x t
x n x n
=
=
-
Sinais com Simetria Par e com Simetria mpar
Qualquer sinal pode ser decomposto em uma soma de dois sinais, sendo um com simetria par e outro com simetria mpar
( ){ } ( ) ( )12
Ev x t x t x t= +
( ){ } ( ) ( )12
Od x t x t x t=
(parte par)
(parte mpar)
( ){ } ( ){ } ( )Ev x t Od x t x t+ =
-
Sinais com Simetria Par e com Simetria mpar
Exemplo: dado determine
a parte par e a parte mpar de x[n]
[ ] 1, 00, 0
nx n
n
=
-
Sinais com Simetria Par e com Simetria mpar
Exerccio 1.24: Esboce a parte par e a parte mpar do sinal indicado abaixo
3
-6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
n
x[n]
-
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-3
-2
-1
0
1
2
3
n
Parte par
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-3
-2
-1
0
1
2
3
n
Parte mpar
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
Sinal exponencial complexo de tempo contnuo , sendo:
e Casos especiais importantes
( ) atx t Ce=jC C e = 0a r j= +
Casos especiais importantes I Se C e a forem nmeros reais, ento x(t)
ser uma exponencial crescente ou decrescente (dependendo do sinal de a)
II Se a for um nmero imaginrio puro e C for igual a 1, ento ( ) 0j tx t e =
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
O sinal possui como propriedade importante a periodicidade
Sendo um sinal peridico, tem-se:
( ) 0j tx t e =
( )00 0 0 0j t Tj t j t j t j Te e e e e += =
Perodo Fundamental
Assim, para que a condio de periodicidade seja satisfeita, tem-se:
e e e e e= =
0
0
00
0
1
22
j Te ou
T T
== = =
00
2T
=
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
Note que os mltiplos de 2 tambm satisfazem a condio de periodicidade. Portanto
tambm satisfaz a condio de 0 1j Te =0 2 , 0, 1, 2,T k k = = K
tambm satisfaz a condio de O sinais exponenciais complexos
so harmonicamente relacionados e a k-sima harmnica possui perodo de
0 1j Te =
( ) 0 , 0, 1, 2,jk tk t e k = = K
00 0
22
kT T k T k T
= = =
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
III Se a for um nmero imaginrio puro e C for um nmero complexo genrico, pode-se obter um sinal senoidal a partir de:
( ) 0 00cos 2 2j t j tj jA AA t e e e e + = +
a qual pode ser verificada a partir da relao de Euler
( )0cos 2 2A t e e e e + = +
( ) ( )cosje jsen = +
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
Representao de uma soma de dois exponenciais complexos como o produto entre uma exponencial complexa e um sinal senoidal
Passo 1: determinar o fator exponencial complexa, cujo expoente igual a mdia das frequncias das duas exponenciais complexas
Exemplo:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 3 2,5 0,5 0,5
2,52 cos 0,5
j t j t j t j t j t
j t
x t e e x t e e e
x t e t
= + = +
=
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
IV Se a e C forem nmeros complexos genricos, ento:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0r j t j tat j rtx t Ce C e e C e e + += = =
( ) ( ) ( )0 0cosat rt rtx t Ce C e t j C e sen t = = + + +
0jsendo C C e e a r j = = +
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo
Exemplo de sinais exponenciais complexas genricos
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Discreto
Sinal exponencial complexo de tempo discreto definido como:
[ ] [ ] ,n nx n C ou x n Ce sendo e = = =
Casos especiais importantes I Se C e forem nmeros reais, ento x(t)
ser uma exponencial, cuja forma depende de
[ ] [ ]
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Discreto
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Discreto
II Se for um nmero imaginrio puro e C for igual a 1, de modo que ||=1, ento
III Se for um nmero imaginrio puro e C for
[ ] 0j nx n e = III Se for um nmero imaginrio puro e C for
um nmero complexo genrico, pode-se obter um sinal senoidal a partir de:
a qual pode ser verificada a partir da relao de Euler
( ) 0 00cos 2 2j n j nj jA AA n e e e e + = +
( ) ( )cosje jsen = +
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Discreto
IV Se C e forem nmeros complexos genricos, representados na forma polar por
ento
0jjC C e e e = =ento
[ ] ( )00n n j nj nn jx n C C e e C e += = =
[ ] ( ) ( )0 0cosn nnx n C C n j C sen n = = + + +
-
Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Discreto
Exemplos:
1 >
1
-
Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto 1a) Para , quanto maior for ,
maior ser a taxa de oscilao do sinal 1b) O sinal peridico para qualquer
valor de e o perodo T pode ser
0j te 0
0j te
valor de e o perodo T pode ser qualquer nmero real
2a) O sinal se repete a medida que a frequncia angular incrementada de 2
0
0j ne
( )0 0 02 2j n j n j nj ne e e e + = =
-
Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto
-0.5
0
0.5
1
x[n]
= c
os(w
0n)
cos[(pi/10)n]cos[(pi/6)n]
00
0 5 10 15 20 25 30-1
n
cos[(pi/6)n]cos[(pi/2)n]cos[(pi)n]
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1
n
x[n]
= c
os(w
0n)
cos[(pi)n]cos[(3pi/2)n]cos[(11pi/6)n]cos[(57pi/30)n]
0 2
-
Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto 2b) A condio para que seja peridico 0j ne
( ){
00 0 0
1
j n Nj n j n j Ne e e e +
=
= =
0 001 .2 2
j N me N mN
= = =Deve-se encontrar um valor m tal que
lembrando que o perodo N um nmero inteiro0
2N m
=
01 .2 2e N m
N
= = =
-
Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto Exerccio: avalie se a funo abaixo
peridica ou no:
Exerccio: avalie se os sinais abaixo so ( ) ( ) ( )41 2 j tx t e u t+=
Exerccio: avalie se os sinais abaixo so peridicos ou no e, em caso afirmativo, determine o perodo fundamental
( ) ( )101 j tx t je u t=( )3 5 1 2
5[ ] 3j nx n e +=[ ] ( )
31 2
54 3
j nx n e
+=
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
[ ] ( )0, 0 0, 01, 0 1, 0
n tn e t
n t
= = = =
Funo Impulso Unitrio
[ ] ( )0, 0 0, 01, 0 1, 0
n tu n e u t
n t
<
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
Relao entre impulso unitrio e degrau unitrio de tempo discreto
[ ] [ ] [ ]1n u n u n = Equao de diferena(equivalente a derivao)[ ] [ ]
n
m
u n m=
= Soma cumulativa(equivalente a integrao)
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
Relao entre impulso unitrio e degrau unitrio de tempo discreto
[ ] [ ]u n n k
=
Mudana de varivelk = n m, na equao da
soma cumulativa
[ ] [ ]0k
u n n k=
=
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
Relao entre impulso unitrio e degrau unitrio de tempo contnuo
( ) ( )t
u t d = ( ) ( )u t d
=
( ) ( )du ttdt
=
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
Reescrevendo a Equao
( ) ( )t
u t d
=
Mudana de varivel t =
( ) ( )( ) ( )0
0
u t t d t d
= =
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
H uma descontinuidade em t = 0. Assim, em termos prticos deve-se considerar a aproximao:
( ) ( )du tt = ( ) ( )limt t =( ) ( )du ttdt
= ( ) ( )0limt t =
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
Na prtica, o pulso com uma durao suficientemente curta, quando comparada aos tempos de resposta de um sistema fsico, uma aproximao da funo fsico, uma aproximao da funo impulso Exemplo: pulso utilizado para amostragem de um sinal
-
Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio
Exerccio 1.14:
A derivada deste sinal est relacionada com o trem de impulsos
( ) 1, 0 12, 1 2
tDado x t
t
= <
-
Sistemas de Tempo Contnuo e Sistemas de Tempo Discreto
-
Descrio de um Sistema Fsico: Aproximao X Real
Qualquer descrio de um sistema fsico ser to boa quanto mais aproximado for o modelo matemtico obtido para represent-lorepresent-lo
Na prtica da Engenharia, fundamental identificar os limites de validade das hipteses utilizadas na determinao de um modelo
-
Interconexo de Sistemas
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Sistemas sem memria: Sada em um determinado instante depende
apenas do valor da entrada neste instante Exemplo: Exemplo:
Sistema com memria Sada atual depende da entrada em instante
de tempo diferente do atual
( ) ( ) [ ] ( )y t x t ou y n x n= = Sistema identidade
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
O sistema com memria armazena informaes sobre valores de entrada em instantes diferentes do atual (passados ou futuros)
Frequentemente, a memria est associada ao armazenamento de energia em sistemas fsicos.
[ ] [ ]n
k
y n x k=
= [ ] [ ]1y n x n= acumulador atracador
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1
1n
k
y n x k x n y n y n x n
=
= + = +
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Sistemas inversos Um sistema inverso se colocado em
cascata com outro e a sada resultante igual a entrada do sistema que o precedea entrada do sistema que o precede
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Causalidade Um sistema causal se a sada depende dos
valores da entrada apenas nos instantes presente e passadospresente e passados
Os sistemas no causais dependem de valores futuros das entradas
Exemplo: mdia no causal
[ ] [ ]12 1
M
k M
y n x n kM =
= +
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Estabilidade Um sistema estvel se para um entrada
limitada, a sada correspondente tambm limitada (no diverge)
Invarincia no tempo Invarincia no tempo As caractersticas fsicas do sistema so
constantes ao longo do tempo Se um deslocamento no tempo do sinal de
entrada produz um deslocamento no tempo do sinal de sada
( ) ( ) [ ] [ ]0 0 0 0x t t y t t ou x n n y n n
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Linearidade Um sistema linear se obedecer o princpio
da superposio: Entrada consiste de uma soma ponderada de Entrada consiste de uma soma ponderada de
diversos sinais, ento a sada a soma ponderada das respostas para cada um desses sinais
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2 1 2x t x t y t y t ou x n x n y n y n+ + + +Aditividade
( ) ( ) [ ] [ ]1 1 1 1ax t ay t ou ax n ay n Homogeneidade
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Combinando as propriedade de aditividade e homogeneidade:
Generalizando, dada a entrada x[n] de um ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2 1 2ax t bx t ay t by t ou ax n bx n ay n by n+ + + +
Generalizando, dada a entrada x[n] de um sistema linear
a sada y[n] ser, pelo princpio da superposio
[ ] [ ]k kk
x n a x n=
[ ] [ ]k kk
y n a y n=
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Para sistemas lineares, uma entrada que constantemente nula produz uma sada que constantemente nula (de acordo com a propriedade da homogeneidade)
( ) ( ) [ ] [ ]0. 0. 0. 0.x t y t ou x n y n Alguns sistemas no-lineares podem ser
representados como a superposio da resposta de um sistema linear e a resposta entrada nula do sistema
( ) ( ) [ ] [ ]0. 0. 0. 0.x t y t ou x n y n
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Um sistema no-linear cuja sada a superposio da resposta de um sistema linear e a resposta entrada nula denominado incremental
[ ] [ ] [ ]{
1 0
resposta aentradanula
y n y n y n= +
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Exemplo de sistema incremental:
se x1[n] = 2 e x2[n] = 3, ento y1[n] = 7 e y2[n] = 9. Assim, a propriedade da
[ ] [ ]2 3y n x n= + Resposta a entrada nula
y1[n] = 7 e y2[n] = 9. Assim, a propriedade da aditividade foi violada, pois
[ ] [ ] [ ] [ ]( )( )
1 2 1 22 3
7 9 2 2 3 3
16 13
y n y n x n x n+ + +
+ + +
-
Propriedades Bsicas de Sistemas
Note que o sistema gerado pela diferena entre as respostas a duas entradas distintas para um sistema incremental linear, pois
[ ] [ ]{ } [ ] {}0 , ,dado y n f x n y n sendo f linear= +
obtem-se uma funo linear resultante da diferena
[ ] [ ]{ } [ ] {}[ ] [ ] [ ] [ ]
0
1 1 2 2
, ,
,
dado y n f x n y n sendo f linear
dado que x n y n e x n y n
= +
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]{ }1 2 1 2y n y n f x n f x n =