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Continuidade: Definições, Interpretação Continuidade: Definições, Interpretação Gráfica e Propriedades e Continuidade de Gráfica e Propriedades e Continuidade de

Funções InversasFunções Inversas

Prof. MSc. Marcos Antônio Resende MirandaProf. MSc. Marcos Antônio Resende Miranda

1 – Continuidade

De acordo com o que foi visto anteriormente neste curso, o gráfico da função f terá um “buraco” ou uma “quebra” em um ponto c se ocorrer qualquer uma das seguintes situações:

- a função y = f(x) não está definida em c.

x

yy = f(x)

c

- o limite de f(x) não existe quando x se aproxima de c.

x

y

y = f(x)

c

- o valor da função e o valor do limite em c são diferentes.

x

yy = f(x)

c

DEFINIÇÃO. Diz-se que uma função f é contínua em um ponto c se as seguintes condições forem satisfeitas:

1 – f(c) está definida (ou seja, a função está definida no ponto c)

2 – existe. )(lim xfcx

3 – = f(c). )(lim xfcx

Caso uma ou mais condições desta definição não for satisfeita, então diz-se que f tem uma descontinuidade no ponto x = c.

Se f for contínua em cada ponto do intervalo aberto (a,b), então diz-se que f é contínua em (a,b).

Esta definição se aplica para intervalos abertos infinitos da forma (a, ), ( , b) e ( , ).

No caso onde f for contínua em ( , ), diz-se que f é contínua em toda parte.

De fato, as duas primeiras condições da DEFINIÇÃO estão implícitas na terceira condição.

Na prática, necessita-se confirmar apenas que a terceira condição é válida para mostrar que a função f é contínua no ponto c.

EXEMPLO 01

Determinar se a função é contínua no ponto x = 2.2

4)(

2

x

xxf

Solução

Deve-se determinar se o limite da função em questão quandoé o mesmo que o valor da função em x = 2 (a terceira condição da DEFINIÇÃO).

2x

4)2(lim2

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxx

ATENÇÃO: a regra de utilizar apenas o maior grau do numerador e o maior grau do denominador só vale se ou e não se (ou seja, x tende a um ponto).

x xax

A função f é indefinida em x = 2 e, portanto, não é contínua naquele ponto.

x

y

2

4

2

2

4)(

2

x

xxf

Solução

EXEMPLO 02

Determinar se a função

24

22

4

)(

2

x

xx

x

xf

é contínua no ponto x = 2.

4)2(lim2

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxx

44lim2

x

O valor da função f(x) no ponto x = 2 é f(2) = 4.

Este é o mesmo valor do limite naquele ponto.

A função f é contínua no ponto x = 2.

x

y

2

4

2

24

22

4

)(

2

x

xx

x

xf

NOTA: a função f(x) poderia ser escrita de forma simplificada f(x) = x + 2 ao invés de ser definida por partes.

2 – Algumas Aplicações

Este conceito aplica-se a importantes fenômenos físicos.

A figura abaixo é um gráfico da voltagem versus tempopara um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no tempo t = t0. A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.

t

V

t0

A figura abaixo é um gráfico de unidades de estoque versus tempo para uma companhia reabastecer com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades.

As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento.

t

y

t1 t2 t3t4

y1

y0

tempos de reabastecimento

3 – Continuidade dos Polinômios

O procedimento geral para mostrar que uma função é contínua em toda parte é verificar a continuidade em um ponto arbitrário.

Da definição de limite de um polinômio viu-se que:

)()(lim apxpax

(que é justamente a terceira condição da DEFINIÇÃO vista em 1!)

Logo, os polinômios são contínuos em toda parte.

4 – Algumas Propriedades de Funções Contínuas

Se as funções f e g forem contínuas em c, então:

(a) f + g é contínua em c.

(b) f – g é contínua em c.

(c) f g é contínua em c.

(d) f / g é contínua em c se g(c) for diferente de zero e tem uma descontinuidade em c se g(c)=0.

5 – Continuidade de Funções Racionais

Uma vez que os polinômios são funções contínuas, e como funções racionais são razões de polinômios, tem-se que uma função racional é contínua em toda parte, exceto nos pontos onde o denominador for zero.

EXEMPLO 03

Para quais valores de x há um “buraco” ou uma interrupção

no gráfico de ?65

9)(

2

2

xx

xxf

Solução

A função f(x) é contínua em toda parte exceto nos pontos onde o denominador é zero.

Assim, resolvendo a equação

0652 xx

obtêm-se dois pontos de descontinuidade, x = 2 e x = 3.

6 – Continuidade de Composição

Suponha que lim simbolize um dos limites

xxcxcxcxlimlimlimlimlim

Se lim g(x) = L e se a função f for contínua em L, então

)())((lim Lfxgf

Ou seja:

))((lim))((lim xgfxgf

Em palavras, este teorema afirma que um símbolo de limite pode passar pelo sinal de função (no caso, pelo sinal de f) desde que o limite da expressão dentro desse sinal exista (no caso, o limite de g(x)) e a função (no caso, a função f) seja contínua neste limite.

EXEMPLO 04

Achar2

35lim x

x

Solução

445lim5lim 2

3

2

3

xx

xx

O símbolo de limite pode ser passado pelo sinal do valor absoluto desde que o limite da expressão dentro do sinal do valor absoluto exista.

OBS.01: A função |x| é contínua em toda parte.

OBS.02: O valor absoluto de uma função contínua é contínuo.

Por exemplo: o polinômio g(x) = 5 – x2 é contínuo em toda parte; logo, conclui-se que a função h(x) = |5 – x2| também é contínua em toda parte.

DEFINIÇÃO. TEOREMA

(a) Se a função g for contínua em um ponto c e a função f for contínua no ponto g(c), então a composição f o g é contínua em c.

(b) Se a função g for contínua em toda parte e a função f for contínua em toda parte, então a composição fog é contínua em toda parte.

7 – Continuidade à Esquerda e à Direita

A definição de continuidade dada anteriormente (página 04) envolve limite bilateral.

Para resolver este problema, considera-se que uma função é contínua nos pontos extremos de um intervalo, se o valor no ponto extremo for igual ao limite lateral adequado naquele ponto.

Este conceito não se aplica geralmente aos extremos do intervalo fechado [a,b] ou aos pontos extremos de um intervalo da forma [a,b), (a,b], ( ,b] ou [a, ).

A seguir é apresentado um exemplo.

mas não é contínua no ponto extremo à esquerda porque:

)()(lim afxfax

A função cujo gráfico é apresentado abaixo é contínua noponto extremo à direita do intervalo [a,b] porque:

)()(lim bfxfbx

x

y

y=f(x)

a b

Em geral, diz-se que uma função é contínua à esquerda no ponto c se

)()(lim cfxfcx

e é contínua à direita no ponto c se

)()(lim cfxfcx

Assim, define-se continuidade em um intervalo fechado da seguinte maneira:

DEFINIÇÃO. Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a,b], se as seguintes condições são satisfeitas:

(a) f é contínua em (a,b).

(b) f é contínua à direita em a.

(c) f é contínua à esquerda em b.

EXEMPLO 05

O que pode ser dito a respeito da continuidade da função

?29)( xxf

O domínio natural desta função é oIntervalofechado [-3, 3].

Solução

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

y

29)( xxf

A função f é também contínua nos pontos extremos, uma vez

que:

)3(09lim9lim)(lim 2

3

2

33fxxxf

xxx

)3(09lim9lim)(lim 2

3

2

33

fxxxf

xxx

Logo, f é contínua no intervalo fechado [-3,3].

Necessita-se investigar a continuidade de f:(a) no intervalo aberto (-3,3)

(b) nos pontos extremos

Seja c um ponto qualquer no intervalo (-3,3). Então:

)(99lim9lim)(lim 222 cfcxxxfcxcxcx

Isto prova que f é contínua em cada ponto do intervalo (-3,3).

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b] e k é um número qualquer entre f(a) e f(b), inclusive, então há no mínimo um número x no intervalo [a,b] tal que f(x) = k.

x

y

a bx

f(a)

f(b)

k

8 – Continuidade das Funções Inversas

TEOREMA. Se a função f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = f

-1(x) são reflexões um do outro em relação à reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta.

x

y

y = f(x)

y = f -1(x)

(a,b)

(b,a)

y = x

Como os gráficos de f(x) e f -1(x) são reflexões um do outro

em relação à reta y = x, é intuitivamente óbvio que se o gráfico de f(x) for contínuo, então o mesmo acontecerá com o gráfico de f

-1(x).

TEOREMA. Se uma função f for contínua e tiver uma inversa, então f

-1 é também contínua.

9 – Alguns Tipos de Funções Contínuas

Os seguintes tipos de funções são contínuos em cada ponto de seus domínios:

(a) funções polinomiais

(b) funções racionais

(c) funções raiz

(d) funções trigonométricas

(e) funções trigonométricas inversas

(f) funções exponenciais

(g) funções logarítmicas

A função y=1/x é uma função contínua em cada ponto de seu domínio.

Entretanto, ela apresenta um ponto de descontinuidade em x=0, pois não está definida aí.

EXEMPLO 06

Comentar sobre a continuidade da função y=1/x ?

Solução

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

x

y

10 – Mais Dois Exemplos

EXEMPLO 07

Encontrar o valor de c que torna a função contínua

13

12)(

2 xx

xcxxf

Solução

A continuidade que se busca aqui é no ponto x = 1.

Para que a função seja contínua neste ponto, o deve existir

– o que, no caso, implica dizer que devem existir os limites laterais

e – e deve existir também a função no ponto, ou

seja, f(1).

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

A primeira equação garante a existência de f(1), embora c ainda precise ser determinado.

Além de existirem os limites laterais e ainda

deve-se garantir que:

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim)(lim11

xfxfxx

ou seja:

)3(lim)2(lim 2

11

xcx

xx

LEMBRETE. O valor de f(x) em x = 1 não tem nada a ver com o limite quando (ou seja, o valor da função pode até não ser definido no ponto – o que não é o caso – mas ainda assim existir o limite neste ponto). Para que haja a continuidade, no entanto, deve existir f(1).

1x

Portanto:

)3(lim)2(lim 2

11

xcx

xx

3)1()1(2 2 c

42 c

2c