slide7

Ukuran Penyebaran

Ukuran Penyebaran

Darma Ekawati

Statistik

April 9, 2015

Darma Ekawati Ukuran Penyebaran

Ukuran PenyebaranRentang DataSimpanganUkuran Penyebaran Relatif

Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran merupakan ukuran yang menjelaskankecenderungan variasi penyimpangan dari ukuran gejala pusat.Ukuran penyebaran disebut juga ukuran simpangan atau ukurandispersi. Beberapa macam ukuran penyebaran yang akan dibahas,yaitu:

I Rentang data

I Simpangan

I Ukuran penyebaran relatif



Rentang Data

Rentang data merupakan ukuran data yang didefinisikan sebagaijarak atau selisih antara dua nilai. Jenis-jenis rentang data yangakan dibahas meliputi:

I Rentang antarkuartil

I Rentang semi antarkuartil

I Rentang a-b persentil



Rentang Antarkuartil

Rentang antarkuartil merupakan jarak atau selisih antara kuartilketiga dengan kuartil pertama. Rentang antarkuartil disimbolkandengan RAk dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

RAk = K3 − K1



Contoh:Berikut disajikan data tentang upah tiap jam untuk 94 pegawai disuatu pabrik.

Upah(ribuan) Frekuensi

5, 0− 5, 9 326, 0− 6, 9 307, 0− 7, 9 258, 0− 8, 9 59, 0− 9, 9 2

Jumlah 90

Tentukan RAk dan artinya



Jawaban:Dari tabel data tentang upah tiap jam untuk 94 pegawai di suatupabrik diperoleh tabel distribusi frekuensi kumulatif sebagaiberikut:

Upah(ribuan) Frekuensi Frekuensi Kumulatif

5, 0− 5, 9 32 326, 0− 6, 9 30 627, 0− 7, 9 25 878, 0− 8, 9 5 929, 0− 9, 9 2 94

Jumlah 90 −



Dengan menggunakan rumus untuk menghitung kuartil diperolehnilai K1 = 5, 7 dan K3 = 7, 3. Dengan demikian, diperolehRAk = 7, 3− 5, 7 = 1, 6 yang dinyatakan dalam ribuan rupiah.Jadi, RAk upah pegawai pabrik adalah Rp 1.600, 00 (seribu enamratus rupiah). Ini berarti 50% data yang nilainya paling rendahRp 5.700, 00 dan yang paling tinggi Rp 7.300, 00.



Rentang Semi Antarkuartil

Rentang semi antarkuartil disebut juga dengan simpangan kuartilmerupakan setengah dari nilai rentang antarkuartil. Rentang semiantarkuartil dilambangkan dengan RSAk dapat dicari denganmenggunakan rumus berikut:

RSAk =K3 − K1

2



Dari contoh sebelumnya, dapat dihitung

RSAk =7.300− 5.600

2= 800.

Selanjutnya, karenaK3 + K1

2= 6.500, maka 50% pegawai

mendapat upah pada interval (6500± 800) rupiah.



Rentang a-b Persentil

Selain menggunakan kuartil, persentil pun dapat digunakan sebagaisalah-satu ukuran penyebaran. Jika a dan b bilangan bulat antara0 dan 100, dimana a lebih kecil dari b, kita definisikan rentang a-bpersentil yang dilambangkan dengan R(a−b)p dengan rumus:

R(a−b)p = Pb − Pa



ContohTentukan R(5−90)p dari tabel berikut:

Nilai Frekuensi

131− 135 3136− 140 11141− 145 17146− 150 19151− 155 27156− 160 22161− 165 14166− 170 8171− 175 4

Jumlah 125



Jawaban:Dari tabel distibusi frekuensi sebelumnya diperoleh tabel distribusifrekuensi kumulatif sebagai berikut

Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

131− 135 3 3136− 140 11 14141− 145 17 31146− 150 19 50151− 155 27 77156− 160 22 99161− 165 14 113166− 170 8 121171− 175 4 125

Jumlah 80 −



Dengan menggunakan rumus persentil diperoleh P5 = 136, 98 danP90 = 165, 32 dengan demikian,

R(5−90)p = 165, 32− 136, 98 = 28, 34



Simpangan

Kata simpangan mengacu pada selisih nilai setiap data dengannilai rata-ratanya. Simpangan meliputi:

I Rata-rata simpangan

I Simpangan baku dan variansi



Rata-rata Simpangan

Misalkan, data hasil pengamatan berbentuk x1, x2, x3, ..., xn

memiliki rata-rata x . Selanjutnya, kita tentukan jarak antara tiapdata dengan rata-rata. Jarak ini ditulis dengan |xi − x |. Jika|xi − x | untuk i = 1, 2 3, ..., n dijumlahkan kemudian dibagi denganbanyaknya data n, diperoleh ukuran penyebaran yang disebutdengan rata-rata simpangan yang dilambangkan dengan RS , dandihitung dengan menggunakan rumus berikut:

RS =

n∑i=1

|xi − x |

n



Contoh:Tentukan rata-rata simpangan dari: 1, 3, 4, 7, 9, 12Jawaban:Data tersebut memberikan rata-rata x = 6. Sebagai alat bantuperhatikan tabel berikut:

xi xi − x |xi − x |1 −5 53 −3 34 −2 27 1 19 3 312 6 6

Jumlah − 20

Jumlah nilai-nilai mutlak pada kolom ketiga adalah 20, sehinggadiperoleh

RS =20

6= 3, 33



Rata-rata simpangan data yang disusun dalam tabel distribusifrekuensi dihitung dengan menggunakan rumus:

RS =

k∑i=1

fi |xi − x |

n

dengan:

xi = tanda kelas intervalfi = frekuensi yang sesuai dengan xi

n = ukuran sampel atau banyaknya datak = banyak kelas interval



Simpangan Baku

Ukuran penyebaran yang paling sering digunakan adalahsimpangan baku. Pangkat dua dari simpangan baku disebutdengan variansi. Simpangan baku dan variansi sampelberturut-turut dilambangkan dengan s dan s2, sedangkan untukpopulasi diberi lambangkan dengan σ dan σ2

Untuk sampel yang berukuran n dengan data x1, x2, x3, ..., xn danrata-rata x , statistik variansi s2 dihitung dengan rumus:

s2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n − 1

sehingga simpangan baku dapat dihitung dengan rumus:

s =

√√√√√ n∑i=1

(xi − x)2

n − 1Darma Ekawati Ukuran Penyebaran


Contoh:Tentukan variansi dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 7, 9, 12Jawaban:Data tersebut memberikan rata-rata x = 6. Sebagai alat bantuperhatikan tabel berikut:

xi xi − x (xi − x)2

1 −5 253 −3 94 −2 47 1 19 3 912 6 36

Jumlah − 84



Dari tabel tersebut diperolehn∑

i=1(xi − x)2 = 84 sehingga diperoleh

variansi sebagai berikut:

s2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n − 1

=84

6− 116, 8

dan diperoleh simpangan baku s = 4, 1



Bentuk lain rumus variansi sampel adalah:

s2 =

nn∑

i=1xi

2 −(

n∑i=1

xi

)2

n (n − 1)

dan bentuk lain dari simpangan baku, yaitu akar kuadrat darivariansi:

s =

√√√√√nn∑

i=1xi

2 −(

n∑i=1

xi

)2

n (n − 1)



Jika data dari sampel telah disusun dalam tabel distribusifrekuensi, penentuan variansi s2 menggunakan rumus:

s2 =

nk∑

i=1fi (xi − x)2

n − 1

atau

s2 =

nk∑

i=1fixi

2 −(

k∑i=1

fixi

)2

n (n − 1)



Contoh:Tentukan variansi dan simpangan baku dari data dalam tabelberikut

Nilai Frekuensi

5, 0− 5, 9 326, 0− 6, 9 307, 0− 7, 9 258, 0− 8, 9 59, 0− 9, 9 2

Jumlah 90



Jawaban:Untuk menghitung variansi dan simpangan baku dari data,digunakan tabel bantu berikut:

Upah(ribuan) fi xi xi2 fixi fi xi

2

5, 0− 5, 9 32 5, 45 29, 7025 174, 40 950, 48006, 0− 6, 9 30 6, 45 41, 6025 193, 50 1248, 07507, 0− 7, 9 25 7, 45 55, 5025 186, 25 1387, 56258, 0− 8, 9 5 8, 45 71, 4025 42, 25 357, 01259, 0− 9, 9 2 9, 45 89, 3025 18, 90 178, 6050

Jumlah 90 − − 615, 30 4121, 7350



Dari tabel tersebut terlihat bahwa n = 94,5∑

i=1fi xi = 615, 30 dan

5∑i=1

fi xi2 = 4121, 735, sehingga diperoleh variansi sebagai berikut

s2 =94 (4121, 735)− (615, 30)2

94× 93= 1, 0122

dans =

√1, 0122 = 1, 0061



Variansi Gabungan

Misalkan, terdapat k buah sampel yang masing-masing berukurann1, n2, n3, ..., nk , serta nilai variansi masing-masing jugaberturut-turut s1

2, s22, s3

2, ..., sk2. Kalau k sampel ini

digabungkan menjadi satu sampel yang berukurann = n1 + n2 + n3 + ... + nk , variansi sampel besar ini adalahgabungan variansi masing-masing sampel semula dengan rumus:

s2 =

k∑i=1

(ni − 1) si2

k∑i=1

(ni − 1)



Variansi merupakan ukuran penyebaran mutlak. Variansi 5cmuntuk jarak 100m dan variansi 5cm untuk jarak 10m tentumempunyai pengaruh yang berbeda. Demikian pula variansi 5untuk satuan penukuran gram dan variansi 5 untuk satuanpengukuran cm, keduanya tidak dapat dibandingkan. Untukmengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variansiantara nilai-nilai besar dengan nilai-nilai yang kecil, ataumembandingkan nilai-nilai yang mempunyai satuan pengukuranyang berbeda, digunakan ukuran penyebaran relatif.Ukuran penyebaran relatif yang akan dibahas antara lain:

I Koefisien variasi

I Koefisien rata-rata simpangan



Koefisien Variasi

Salah satu ukurun penyebaran relatif yang paling sering digunakanadalah koefisien variasi yang dilambangkan dengan KV dan dapatdihitung dengan menggunakan rumus berikut:

KV =simpangan baku

rata− rata× 100%



Koefisien Simpangan Rata-rata

Ukuran penyebaran relatif yang lain adalah koefisien simpanganrata-rata yang dilambangkan dengan KSR yaitu rata-ratasimpangan dibagi dengan rata-rata atau median. Jadi, KSR dapatdihitung dengan dua macam rumus, yiatu:

KSR =rata− rata simpangan

rata− rata× 100%

atau

KSR =rata− rata simpangan

median× 100%


slide7

Documents

Transcript of slide7