skrátenáverziaprepotrebyštudentov “Počítačovéhomodelovania...
Transcript of skrátenáverziaprepotrebyštudentov “Počítačovéhomodelovania...
Škálovacia teória lokalizácieskrátená verzia pre potreby študentov
“Počítačového modelovania”
Peter Markoš
Katedra experimentálnej fyziky FMFI UK
FMFI Zimný semester 2016/2017
Obsah
I Základné pojmy: prah pohyblivosti, fázový diagram, kritickéexponenty
I Thoulessova konduktancia
I Škálovacia teória lokalizácie
I Konečnorozmerné škálovanie
Andersonov model
H = W∑n
εnc†ncn + V
∑[nn′]
c†ncn′ .
Model tesnej vazby s “atómami” v uzloch mriežky.Elektrónové prechody medzi najbližšími susedmi.V = 1, definuje škálu energie
veľkosť systému L = Na, a = 1 definuje dĺžkovú škálu
dimenzia d
W - neuspriadanosť
ε . . . náhodné číslo simuluje neusporiadanosť
nx−1 n
x n
x+1
ny+1
ny
ny−1
-1 0 10
0.5
1
1.5
ε
Box
Gauss
P(ε)
Bez disorderu: ideálna mriežka s disperzným vzťahom (d = 3)
E (~k) = 2V cos kxa+2V cos kya+2V cos kza −6V ≤ E ≤ 6V
Fázový diagram
Fázový diagram v rovine paramtrov energia elektŕonu - disorder
Všimnime si prechod izolant - kov spôsobený nárastom neusporiadanosti.Dôvodom je rozširenie vodivostného pásu.
Kritický disorder Wc : pre W >Wc sú všetky stavy lokalizované - nie súschopné viesť elektrický prúd, lebo elektrón neopúšťa priestor, v ktorom jelokalizovaný.
Kritické indexy
Ec
F. energy E
σ∼(Ec-E)
s
λ−1
∼(E-Ec)
ν
Metal Insulator
Wc
disorder W
σ∼(Wc-W)
s
λ−1
∼(W-Wc)
ν
Metal Insulator
El. vodivosť a polomer lokalizácie v okolí kritického bodu sú danékritickými indexami s a ν.Wegner (1976) s = (d − 2)ν takže hľadáme len jeden kritický index.Úlohy:
I Nájsť hranicu medzi kovom a izolátorom
I Nájsť kritické indexy pre systémy s rôznym d a fyzikálnou symetriou
I Dokázať univerzalitu
Koeficient prechodu T vs konduktancia g
A
B
C
D
(CB
)= S
(AD
)S =
(t ′ rr ′ t
)(
CD
)= T
(AB
)T =
(t−1 −r ′t−1
rt−1 t ′ − r ′t−1r
)Economou - Soukoulis odvodili Landauerovu formulu
g = T = Tr t†t (e2/h = 1)
Vhodná na štúdium prechodu akýchkoľvek (nielen elektrónových) vĺn.
Univerzalita: škálovacia teória lokalizácie
Neusporiadaný systém charakterizujeme viacerými dlžkovými škálami:- stredná voľná dráha ` pre pružný rozptyl,- polomer lokalizácie λ,- korelačná dĺžka náhodného potenciálu `c ,- . . . .
AALR (“Gang Four”): predpokladajme L dostatočne veľké (vačšie akotypické dĺžky modelu).Potom predpokladajme, že pri zmene veľkosti vzorky L→ bL
g(bL) = F (b, g(L))
V limite b → 0
∂ ln g∂ ln L
= β(ln g)
Škálovacia teória lokalizácie
∂ ln g∂ ln L
= β(ln g).
Univerzálna funkcia β(ln g):
- spojitá- monotónna- neznáma.
β(ln g)
ln g
d=3
d=2
d=1-1
1
ln gc
Konduktancia g je parametrom usporiadania pre prechod kov - izolant
g � 1 g ∼ σLd−2 β(ln g) = d − 2g � 1 g ∼ exp−2L/λ β(ln g) = ln g
g = gc β(gc) ≡ 0, s =1
gcβ′(gc).
Konduktancia g ako indikátor lokalizácie
Závislosť konduktancie od veľkosti vzorky L:
Kov: g = σLd−2 (σ . . . vodivosť)
Izolant: g ∼ e−2L/λ (λ . . . polomer lokalizácie)
Kritický bod: g = gc nezávisí od veľkosti vzorky:∂g
∂L= 0
Komentáre
I Prechod kov - izolant závisí od dimenzie systému
I v 1D ľubovoľne malá neusporiadanosť spôsobí lokalizáciu.
I v 2D neexistuje kovový stav !!
Musíme ale pamätať, že
I uvažujeme nulovú teplotu - pri T > 0 vstupuje do hry dekoherencia
I zanedbávame interakcie medzi elektrónmi
I hovoríme zatiaľ len o najjednoduchšom Andersonovom modelineinteragujúcich bezspinových častíc(ortogonálna symetria)
Konečnorozmerné škálovanie
Predpoklad: Existuje korelačná dĺžka, ktorá v kritickom bode diverguje
Neusporiadaný systém charakterizujeme viacerými dlžkovými škálami:- stredná voľná dráha ` pre pružný rozptyl,- polomer lokalizácie λ,- polomer dráhy v magnetickom poli `B- korelačná dĺžka náhodného potenciálu `c ,- . . . .
Konduktancia je funkciou mnohých parametrov
g(W , L,B, . . . ) = F (`/L, `B/L, `c/L, . . . , ξ/L)
Kritický bod: ξ je podstatne vačšia ako ostatné dĺžky, preto v limiteL→∞ bude g funkciou len jediného parametra
Preto sú všetky ostatné parametre v okolí kritického bodu irelevantné
Konečnorozmerné škálovanie
V okoli kritického bodu : g je funkciou len jediného parametra
g = F (L/ξ(W )), ξ(W ) . . . korelačná dĺžka ξ(W ) ∝ |W−Wc |−ν
V blízkosti kritického bodu g = gc + α(W −Wc) a preto
〈g〉 ≈= gc + A(W −Wc)L1/ν + BLy + . . .
(y < 0)
Numericky nájdeme g = g(W , L) a získané hodnoty fitujeme toutorovnicou.
Príklad: 3D Andersonov model
〈ln g〉 počítaná numericky pre neusporiadaný Andersonov model.Štatistický sśbor s Nstat ∼ 104 −−106 vzoriek, L = 4−−18, energiaelektrónu E = 0.01.
Numerické dáta môžeme vyjadriť ako funkciu jediného parametra:
H = W∑n
εnc†ncn + V
∑[nn′]
c†ncn′ .
Kritická hodnota W ≈ 16.5.
Konečnorozmerné škálovanie
〈g〉 ≈= gc + A(W −Wc)L1/ν + BLy + . . .
(y < 0)Naozaj vidíme, lineárnu závislosť 〈ln g〉 ∼ a+ bW v okolí kritického bodu.Všetky čiary by sa mali pretnúť v jedinom bode, ktorý zodpovedáW = Wc . To nenastane (finite size effect).
2D Andersonov model
10 100 1000L
0.01
0.1
1
10
<g
>
W=1W=2W=3W=4W=5W=6
2D orthogonal system box disorder
10 100 1000L
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
<g>
2D orthogonal system box disorder W = 2
Zdanlivo podobné správanie, ako v 3D: pre malé W konduktancia rastie sL, pre veľké klesá.Ide ale o efekt konečnej veľkosti vzorky: L stále nie je dostatočne veľké.
Stredná voľná dráha ` ∝ 1/W 2. Pre slabý disorder je oveľa väčšia akonumericky dosažiteľná veľkosť vzorky. Preto nevidíme lokalizáciu.
Vždy sme odkázaní na numerickú analýzu konečných vzoriek -potrebujeme “finite size scaling”
Komentár k závislosti konduktancie od veľkosti vzorky
V reálnom svete sa nemusím dostať k limite L∞. Preto v experimente ajnuemrickej simulácii môžeme pzorovať viaceré režimy:
I balistický: L ≤ ` elektrón sa nemá na čom rozptýliť g = Ld−1.
I Difúzny (kovový) ` <� L� λ elektrón prežije množstvo zrážok a“difunduje” cez vzorku g = σLd−2
I kritický (v kritickom bode g = const nezávisí od L)
I lokalizovaný g ∼ exp−L/λ
Mezoskopická fyzika: analýza el. transportu v týchto režimoch: kvantovébodky, nanodrôty, prstence, dvojrozmerné štruktúry, . . .O charaktere transportu rozhodujú pomery dĺžkových škál.
Príklad: magnetický polomer `B = mv/(eB). Pre L� `B nehrámagnetické pole žiadnu rolu