2012-02-15

1

Madeleine Löwing, Marie Fredriksson, Eva Färjsjö Södertörns Högskola och Göteborgs Universitet

Laborativ matematik, konkretiserande undervisning och

matematikverkstäder

En utvärdering av matematiksatsningen.

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

”Statsbidraget  sy.ar  /ll  a1  få  ökad  kunskap  om  vilka  åtgärder  och  under  vilka  förutsä1ningar  som  lokal  skolutveckling  leder  /ll  önskad  måluppfyllelse.”    •   synliggöra  faktorer  som  påverkar  kvaliteten  i  posi=v  riktning    •   utvärdera  om  det  skapats  nya  möjligheter  inom  undervisningen,  vilka  i  sin  tur  kan  leda  =ll  ökad  måluppfyllelse    •   studera  lärares  undervisning  och  hur  aktuella  material  har  använts  

Övergripande utgångspunkter för utvärderingsuppdraget:

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Tillvägagång:

•  Studerat ansökningar

•  Skickat ut enkäter

•  Genomfört intervjuer och lektionsbesök

Urvalet av skolor som besökts har gjorts med en jämn fördelning mellan åldersgrupper, matematikinnehåll, geografisk spridning, kommunala och fristående skolor. Hälften av besöken har genomförts i skolor som fått medel beviljade 2009 och hälften i skolor som fått medel 2010.

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Insamling  och  analys  av  material  u3från:  

•  Ramfaktormodellen •  Didaktisk ämnesteori Teori för: •  utvärdering •  bedömning •  klassrumsstudier

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Ramfaktormodellen  

madeleine.lowing@ped.gu.se   5  

Politiska mål

Syfte och mål enligt Styrdokumenten

Lokal arbetsplan

Givna (fasta) Ramar

Av läraren valda ramar

Undervisningsprocessen

Undervisningens resultat

Matema3kdidak3k  -­‐  en  modell  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Konkre=sering

Labora=oner

Didak3ska  ämneskunskaper

Ämnes-­‐  Kunskaper  

Bedömning  för  lärande

Planering  för  struktu-­‐  rerad  undervisning

IUP

Lek=ons  planering

Prov

Undervisningsprocessen  

Läsårsplanering Diagnoser

2012-02-15

2

Begrepp och uppfattning

Begrepp  nivå  A+1

UppfaOning  nivå  A+1,  3

UppfaOning  nivå  A+1,  2

UppfaOning  nivå  A+1,  1

Under-­‐  

visnings  

process  

 

     Begrepp  nivå  A

F F

UppfaOning  nivå  A,  3

UppfaOning  nivå  A,  2

UppfaOning  nivå  A,  1

F F

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

•  Matematikverkstad •  Laborativt arbete •  Konkret matematik •  Färdighetsträning •  Vardagsmatematik •  Begrepp och uppfattning •  Uttrycksform och representationsform •  Varierad undervisning •  Syfte och förmågor i kursplanen

Några för utvärderingen centrala definitioner

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Konkre=sering    

•  AO  konkre=sera  innebär  aO  man  lyRer  fram  och  illustrerar  strukturen  hos  en  matema=sk  idé,  tankeform  eller  opera=on  med  hjälp  av  en  metafor,  en  =digare  erfarenhet  eller  eO  material  (en  artefakt).  Konkre=sering  kan  då  bli  eO  stöd  för  inlärningen.  

•  Målet  med  matema=kundervisningen  är  aO  eleverna  ska  lära  sig  abstrahera  matema=ska  idéer  och  opera=oner.    

•  Med  deOa  menas  aO  eleverna  ska  förstå  idéer  och  opera=oner  på  eO  sådant  säO  aO  de  kan  generaliseras  =ll  aO  lösa  problem  av  olika  slag,  i  olika  situa=oner.  

•  ERer  hand  som  eleverna  har  förståO  den  idé  som  har  konkre=serats,  är  det  vik=gt  aO  man  lämnar  det  konkre=serande  materialet.    

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Labora=on  

•  Det  primära  syRet  med  labora=v  matema=kundervisning  är  aO  eleverna  genom  labora=oner  ska  få  uppleva,  skapa  och  (åter)upptäcka  någon  del  av  matema=ken,  inte  presenteras  för  en  färdig  metod.  

•  DeOa  kan  väcka  nyfikenhet  och  s=mulera  eleverna  =ll  aO  diskutera  såväl  resultatet  som  själva  processen.  En  labora=on  ger  =llfälle  aO  bygga  upp  eO  språk  med  vars  hjälp  man  kan  diskutera  matema=k.    

•  En  rad  intressanta  labora=oner  kan  lika  väl  uWöras  utan  material,  enbart  med  papper.    

•  Det  primära  syRet  med  aO  laborera  är  inte  aO  ak=vera  eleverna  eller  aO  skapa  varia=on  i  undervisningen.  Väl  planerade  labora=oner  kan  emeller=d  ge  dessa  mervärden.      

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

   

Vad  är  det  som  ska  varieras?        

•  Arbetsform/arbetssäD:    naturligt    och  gynnsamt  aO  variera  arbetssäO  i  undervisningen  och  därmed  ge  eleven  möjlighet  aO  förstå  och  befästa  kunskapen  samt  formulera,  reflektera,  argumentera  och  kommunicera  

•  Undervisningens  innehåll:      aO  variera  aspekter  av  innehållet  i  undervisningen,  aO  variera  graden  av  konkre=sering,  så  aO  den  anpassas  =ll  olika  individuella  behov.    

•  Frågor  3ll  eleverna  i  avsikt:    aO  individualisera    genom  aO  med  flexibilitet  följa  upp  nya  idéer  från  eleverna,  utmana  olika  elever  eller  med  hjälp  av  frågor  synliggöra  missuppfaOningar  och    =llräOalägga  dessa.  

   Det  är  alltså  inte  varia=onen  i  sig  som  är  det  primära  det  är  syRet  med  varia=on.    

 

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Lärare  visa  en  hög  social  kompetens,  alla  elever  uppmärksammas  

•  Lärare  fokuserar  oRa  på  aO  alla  elever  ska  bli  sedda  och  få  komma  =ll  tals  och  våga  prata,  istället  för  på  vad  eleverna  fak=skt  säger  och  vilken  matema=sk  förståelse  som  kommer  =ll  uOryck  i  redovisningarna.    

 •  En  konsekvens  av  deOa  blir  aO  felak=ga  redovisningar  och  

lösningar  inte  uppmärksammas  och  tas  upp  =ll  diskussion  och  korrigeras,  utan  får  stå  kvar  oemotsagda  på  tavlan,  något  som  i  sin  tur  skapar  förvirring  bland  eleverna.  De  kan  ju  inte  all=d  avgöra  om  det  kan  vara  så  –  kanske  är  det  eO  annat  säO  aO  tänka?    

2012-02-15

3

Lärare  vill  utveckla  sin  undervisning!  

Vi  har  möO  •  Projektledare  som  är  eldsjälar  •  Lärare  som  läst  många  didak=kböcker  •  Lärare  som  besökt    konferenser  och  gjort  studiebesök  •  Lärare  som  deltagit  i  studiecirklar    •  Lärare  som  lagt  ner  mycket  arbete  på  aO  bygga  

matema=kverkstäder  •  Lärare  som  vill  förbäOra  och  utveckla  

Vi  har  seO  ak=va  elever  som  laborerar,  diskuterar  och  presenterar  lösningar              men…………..  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Vad  vi  har  kommit  fram  =ll:  

•  Framgångsfaktorer    

 •  Begränsande  faktorer          •  Från  läromedelsstyrning  =ll  

materialstyrning  

•  Tydliga  mål  på  kort  och  lång  sikt  •  Fokus  på  innehåll  i  undervisningen  •  Varia=on  gällande  såväl  aspekter  av  innehållet  

som  arbetssäO    •  Kunskapskontroll      •  Ledarskapet  i  klassrummet  behöver  utvecklas  

när  det  gäller  en  del  avgörande  dimensioner  •  Didak=ska  ämneskunskaper  behöver  utvecklas  

och  fördjupas  •  Materialet  överordnat  innehållet          •  Material  blir  oRast  mer  eO  görande  än  skapar  

förståelse  •  Labora=oner  tar  för  lång  =d  anser  lärarna  

   

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Framgångsfaktorer

•  Läraren  har  tydliga  mål  för  lek=onen  :  Månghörningar  och  dess  egenskaper  

•  Lek=onen  är  eO  led  i  en  välplanerad  sekvens  av  geometrilek=oner  

•  Eleverna  arbetar  =llsammans,    pratar  om  begrepp  och  illustrerar  dem  

•  Läraren  går  runt  och  stödjer  deras  arbete  genom  aO  ställa  utmanande  frågor  samt  korrigerar  om  något  blir  fel    

•  Läraren  samlar  klassen  för  en  gemensam  sammanfaOning    

•  Eleverna  arbetar  individuellt  vilket  befäster  kunskaperna  

 

 

Bild  L5.4

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Begränsande  faktorer  kan  utvecklas  

 Ledarskapet  i  klassrummet  behöver  utvecklas  när  det  gäller  några  avgörande  dimensioner:  

 •  Tydliga  mål  för  undervisningen  •  Fokus  i  undervisningen  måste  hållas  •  Materialanvändning  får  inte  bli  överordnat  innehållet  •  Forma=v  bedömning  kräver  goda  didak=ska  

ämneskunskaper  •   Innehållsliga  nivån  på  lek=onerna  bör  höjas  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Vanligaste  målen  i  projektansökningarna  

•  Bort  från  läromedlens  styrning  

•  Mer  varia=on  i  undervisningen  

•  Arbeta  med  förmågor  

•  Bygga  upp  en  Matema=kverkstad  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Mål    och  fokus  Ex  från  innehåll-­‐  och  delningsdivision  

1.  Eleverna  skriver  egna  utsagor,            redovisar  på  tavlan:        4/20  =5  (20  delat  på  4)        24/8=3    (24  delas  på  3  blir  8)        16/3=5          27  kr/  9  kr  (27  kr  delas  på  3  barn  =  9  kr)        Demonstra=on:  15/3    2.  Redovisa  färdiga  uOryck  i  fyrfältsblad.  Alla  grupper  utom  en  gör  delningsdivision.  Innehållsexemplet  ändras  =ll  delning.  Elevfråga:  ”Varför  får  vi  så  läOa  tal,  kan  vi  inte  få  lite  större?”      

2012-02-15

4

1/2  =  50%  =  0,5    •  Att jämföra ½, 50% och 0,5 är

olyckligt, talen 0,5 och ½ uppfattas som tal.

•  Talet ½ kan också tolkas som en

andel, nämligen 1 av 2 eller 50 av 100 dvs. 50/100.

•  50% är däremot inte ett tal utan

enbart en andel och ger ett tal först när man tar 50% av något.

50% av en hel är lika med ½ 50% av 4 är lika med 2.

Varia3on  -­‐  av  vad?  Utvecklingsbart  och  generaliserbart  

     Men……      Materialet  begränsar  möjligheten  =ll  varia=on  av  eO  antal      

 aspekter  av  bråkbegreppet.  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Förmåga?    Redovisning/uppföljning?  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

 Forma3v  bedömning  och  varia3on  i  

tankeformer    UppgiN    (Åk  7):    

Av  talen  6,  9  och  15  kan  man  bilda  sex  olika  bråk,  vilket  är    a)  minst                b)  störst    

 Elevgrupp  redovisar  vid  tavlan,  beskriver  aO  de  hade  tänkt  via  decimalform.      Annan  elev:  15  är  minsta  delen  och  ju  mindre  delar  där  nere  (nämnaren),  desto  mindre  är  bråket.  Har  man  då  få  sådana  bitar  (täljaren)  så  måste  det  vara  minst.  Alltså  femtondelar.  Och  då  är  sex  femtondelar  minst  eRersom  det  är  färre  än  nio  femtondelar.  Ju  större  delar  (nämnaren)  och  ju  fler  av  dessa  man  tar  desto  större  blir  talet.  Alltså  femton  sjäOedelar  är  störst.      Läraren  säger  så  kan  man  också  tänka  och  går  vidare.    

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Forma3v  bedömning  och  elevers  dokumenta3on:  

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Om  materialet:  

 •   Matema=kverkstäder  på  de  skolor  vi  besökt  påminner  mycket  om  varandra  och  om  förebilden  från  NCM    •   Hur  verkstaden/materialet  är  organiserat  och  =llgängligheten/användningen  varierar  mellan  skolor.    •   Många  lärare  uOrycker  osäkerhet  om  vad  ak=viteten  syRar  =ll  och  hur  den  bör  genomföras  och  följas  upp.    

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

2012-02-15

5

Hur  kan  dessa  begränsande  faktorer  utvecklas?  

Lärarens  didak=ska  ämneskunskaper  behöver  utvecklas  och  fördjupas    Undervisningsprocessens  delar  förtydligas    •  Målbeskrivning  •  Innehållslig  progression  årskurs  F-­‐9  •  Materialets  syRe:    Konkre=sering,  Labora=on  eller  Färdighetsträning  •  Individualisering  •  Bedömning    

Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

Rekommenda3oner  

•  Utvecklingsarbete  på  skolor  behöver  en  extern  handledare  

 •  Kompetensutveckling  för  lärare  behöver  fokusera  på  

didak=ska  ämneskunskaper  

•  Lärare  behöver  hjälp  med  strukturering  av  innehållet  så  aO  undervisningen  får  en  gynnsam  progression  

•  Uthållighet  och  =d  

 Madeleine  Löwing,  Marie  Fredriksson,  Eva  Färjsjö  

AO  samtala  om  

•  Vikten  av  aO  planera  och  diskutera  sin  undervisning  (innehåll)!  

•  Hur  oRa  och  vilka?  •  När?  •  Vad  behöver  tas  bort?  •  Genomförbart?