Skripta - 1. Dio

Skripta riješenih zadataka

Kolegij: Otpornost materijala 1

Pripremili: Torić Neira Šćulac Paulo

Škec Leo

Literatura: Šimić, V.: Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 2002. Šimić, V.: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 2002. Brnić, J.,Turkalj,G.: Nauka o čvrstoći I, Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci,

2004. Brnić, J.,Turkalj,G.: Nauka o čvrstoći II, Zigo, Rijeka, 2006. Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995. Bazjanac D.: Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. Timošenko S.: Otpornost materijala 1, Građevinska knjiga, Beograd, 1972. Timošenko S.: Otpornost materijala 2, Građevinska knjiga, Beograd, 1966. Benham P.P., Crawford R.J.: Mechanics of Engineering Materials, Longman

Scientific and Technical, Harlow, 1988. Beer F.P., Johnston E.R.: Mechanics of Materials, McGraw-Hill, London, 1992. Stanek M., Turk G.: Osnove mehanike trdnih teles, Fakulteta za gradbeništvo in

geodezijo Univerze v Ljubljani, Ljubljana, 1996. Rašković D.: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1985. Brčić V.: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1982.

2

1. Zadatak Za konzolni nosač prikazan na slici potrebno je izračunati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja.

2

2

11

11

mm

NMPa

m

NPa

Vrijednosti uzdužnih sila na pojedinim segmentima :

NFFFN

FFN

NFN

I

II

III

4123

21

41

104

0

102

Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :

MPaPaA

NA

N

MPaPaA

N

II

III

IIIIII

401040

0

201020

6

6

mb

ma

mcmA

PaE

NF

NFF

1

2

1010

102,2

104

102

232

11

43

421

3

F

F

F

1

2

3

(1)

(2)

(3)

l 1

l 2

l 3

120 cm

x

2. Zadatak Cilindrični stup promjera 4 cm, dužine 120 cm opterećen je na udaljenostima 0, 40 i 80 cm od slobodnog kraja aksijalnim silama F1= 15 kN, F2= 10 kN i F3= 5 kN. Izračunati naprezanja u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.

24422

321

5

1056,124

104

4

403

;120

4

102

md

A

cmL

llllcmL

cmd

MPaE

Naprezanja po dijelovima:

MPaPa

m

N

A

N

kNFFFN

cmx

MPaPam

N

A

N

kNFFN

cmx

MPaPam

N

A

N

kNFN

cmx

2410241056,12

1030

30

120803

2010201056,12

1025

25

80402

1210121056,12

1015

15

4001

624

33

3

3213

624

32

2

212

624

31

1

11

Pomak slobodnog kraja:

mmllll

mmmNkl

mmmNkl

mmmNkl

N

m

AE

lk

NkNNNAE

lllll

ii

112,0

048,01080,4103010159,0

04,01000,4102510159,0

024,010415,2101510159,0

10159,01021056,12

4,0

321

53833

53822

53811

8114

3

1321321

4

A

B

1

2

FB

1

2

lt

Bl

E1 1A

E 2A2

1

2

T

l

l

FAA

B

1

2

1

2

E1 1A

E 2A2

1

2

l

l

3. Zadatak Za sastavljeni štap koji je kraći za od razmaka dviju krutih nepomičnih stijenki potrebno je odrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za +ΔT .

Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu. To znači da se štap AC može slobodno izdužiti pod utjecajem temperature za veličinu δ. Sve dok je tl u štapu nema naprezanja.

Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za tl , aktivira se u štapu sila koja opet “ vraća “ štap

na realnu dužinu AB, kao što se vidi na slici. Može se zaključiti i da će sila u štapu biti tlačna, odnosno s predznakom – (minus). δ – realno izduženje Iz uvjeta ravnoteže štapa: BABA FFFF 0

0,0

0,02211

t

t

t

l

l

TlTll

3

2)(

1

22

2

11

1

2211

AE

lF

AE

lFl

Tlll

ll

BBB

t

Bt

22

11

1

212

112211

22

22

11

1

21

12211

11

22

11

1

21

112211

1

)(

1

)(

1

)(13;2

AE

AE

l

llA

AETll

A

F

AE

AE

l

ll

ETll

A

F

AE

AE

l

ll

AETllF

Bx

Bx

B

5

S1

S

A

BC

2

1 AE 1

2E A2

1S

D

E oo

F

2S

acba

b

b

HG

2

1

E oo

4. Zadatak Dimenzionirati štapove AB i DG kružnog poprečnog presjeka napravljene od čelika, te odrediti njihova produljenja.

mc

mb

ma

kNF

MpaE

Mpadop

1

2

3

100

102

1405

ml

ml

2

2222

2

221

Iz sume momenata oko točke H i C dobivamo sile u štapovima 1 i 2.

kNSSSSM

kNFSFSM

C

H

8,17645sin3

575

45sin3

50345sin50

751004

3

4

30340

2112

22

Dimenzioniranje:

)15,6(2861,24

4

36,510536,010140

1075

)85,13(4201,44

4

6,121026,110140

108,176

221

22

22

2

2236

32

2

211

11

21

1

2236

31

1

cmAmmdusvojenocmA

dd

A

cmmS

A

cmAmmdusvojenocmA

dd

A

cmmS

A

SA

A

S

doppot

doppot

doppotdopx

6

cmmAE

lSl

cmmAE

lSl

MPaMPaA

S

MPaMPaA

S

dopx

dopx

12,010195,121015,6102

21075

18,010056,181085,13102

22108,176

štapovaaProduljenj

1409,1211015,6

1075

1406,1271085,13

108,176

Kontrola

4411

3

22

222

4411

3

11

111

4

3

2

22

4

3

1

11

7

F

2S1S

CD

B

A B CD

VA

HA

5. Zadatak Odrediti naprezanja u štapovima 1 i 2 te vertikalni pomak točke D.

Sustav je jedanput statički neodređen (ima jednu prekomjernu veličinu), odnosno nepoznate su 4 veličine ( AH , AV , S1 , S2 ). Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu sličnosti trokuta. Iz uvjeta ravnoteže sila :

30sin0

2cos0cos0

10sin0

12

11

1122

V

HH

A

RSFSY

SASAX

aSaSFlM

Iz plana pomaka :

sin; 1

2

ll BC

4...

Iz sličnosti trokuta :

512

aa

BC

Iz Hookovog zakona :

22

222

11

111 ;

AE

lSl

AE

lSl 6...

)5()4( sin1

1

2

2

a

l

a

l

7...

8

)7()6(

sin111

11

222

22

aAE

lS

aAE

lS

22

2

21

1

2

22

112

21

2

1

1

2

22

1121

sin1

1

sin

a

a

l

l

AE

AEa

FlSS

a

a

l

l

AE

AESS

Naprezanja u štapovima:

2

22

1

11

A

S

A

S

Vertikalni pomak točke D ( 2lC ):

222

22

22

2 aAE

llS

a

ll

la DDC

9

A B C D

E

1 2

F

A ,E1 A ,E2

E=

200 cm 150 cm 150 cm 100 cm

300

cm

6. Zadatak Greda ABCD, beskonačno velike krutosti, zglobno je povezana u točki A i ovješena o dva čelična štapa BE i CE te opterećena silom F. Potrebno je odrediti dopuštenu veličinu sile F iz uvjeta da naprezanja u štapovima BE i CE ne prekorače dopuštenu vrijednost naprezanja 140dop MPa.

E = 2,0 105 N/mm2 A1 = 4,0 cm2 A2 = 1,5 A1= 6,0 cm2

m,,ll 3543513 2221

A

200 cm 150 cm 150 cm 100 cm

S1 S2F

A

B'

C'D'

1 2

E=

B

D

C

l 1

l2

B C D

Iz plana pomaka dobivamo sljedeće podatke:

)2(5

2

52CB

CB

43630251

3,,

,tg

1065sin2sin

0

21

FSS

M A

)4(

)3(

22

11

sin

llsin

sin

llsin

CC

BB

10

Uvrštavanjem jednadžbi (3) i (4) (2) uz 1

111 EA

lSl i

1

22

1

22

2

222 3

2

2

3 EA

lS

AE

lS

EA

lSl

slijedi:

)(SSlllSlS

EA/EA

lS

EA

lS

ll

sin/sin

l

sin

l

515

4)(

15

4

3

2

5

25

25

2

21212211

11

22

1

11

21

21

(5) (1)

F,F

sinsin

FSFsinsinS

FSsinSsin

2124183

90

15

836

6)515

8(

65215

4

22

22

Uvrstimo li dobivenu vrijednost sile u štapu 2 S2 u (5) dobivamo S1 u ovisnosti o sili F:

F,Fsin

S 3233083

90

15

41

.

Dopuštenu veličinu sile F dobivamo iz uvjeta da naprezanja u štapovima ne prekorače dopuštene vrijednosti naprezanja:

kNNF

mmmm

NA

FA

F

A

S

dop

dopdopdop

dop

214,173173214

3233,0

400140

3233,0

3233,02

21

1

1

11

kNNF

mmmm

NA

FA

F

A

S

dop

dopdopdop

dop

284,6969284

2124,1

600140

2124,1

2124,12

22

2

2

22

Mjerodavno je kNNFdop 284,6969284 .

11

2

2cossin

5

4

6

53

2

cos5

3

6

52sin

l

l

l

l

7. Zadatak Dimenzionirati čeličnu zategu kružnog porečnog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog poprečnog presjeka (h=2b) površine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a dopuštena naprezanja za čelik 12 ·107 N/m2 i drvo 6·106 N/m2.

ll

l

llllll

l

3

2

32

6

5

36

25

9

4

43

2

2

2

2

22222

1

Plan pomaka :

F

2S

1S

B2l

Lo1l

B'D'

C'

A C DB

DC

bh

AA

EEm

NE

m

NE

m

Nm

N

dop

dop

2

10

20

101

102

106

1012

12

21

210

2

211

1

26

2

27

1

12

Sile u štapovima :

kNSkNSFFF

S

SSSlAE

lAES

SlAE

lAES

AE

lS

AE

lS

AE

lSl

AE

lSl

ll

lSlSFlM

DC

CDDc

A

41,296;38,154996,0

6

2

125

96sin3

2

25

48sin

3

1

125

48

255310

2362202

sin

sin2

sin2

sin2

sinsin;

sinsin

22

3

2

3

1

103

1sin

3

2sin0

122

212

12

121

2122

2111

22

22

11

11

11

111

22

222

21

Dimenzioniranje :

cmh

cmb

cmA

bcmbhbA

cmAA

cmd

A

cmdcmmd

Sd

SdA

A

S

dopdopdop

78,23

89,11

89,112

70,282

270,2822

70,28227,281010

27,284

6

4

66,5056,0

1012

1041,29644

4

2222

212

222

1

7

3

1

1

1

12

111

11

Kontrola naprezanja :

MPaMPaA

S

MPaMPaA

S

dop

dop

646,51089,112

1038,154

12083,104

4

106

1041,296

242

3

2

22

142

3

1

11

13

8. Zadatak Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura štapa 2 poveća za ΔT :

E 1A1AE 22

12

1E 1A

F2

1F1F

2l

l1

T1

l12l D

D''D'

F2l

tl T1.

F22.

Iz plana pomaka i opterećenja (ovdje promjena temperature) možemo zaključiti da se štap 2 nastoji izdužiti, no njegovo potpuno izduženje sprječavaju druga dva štapa spojena u čvoru D, koji nisu direktno opterećeni i nemaju tendenciju izduženja. Štap 2 se izduži za Δlt pri čemu čvor D zauzme položaj D'. Tada se javi otpor štapova 1 koji u štapu 2 aktivira tlačnu silu F2 koja čvor D vraća iz D' u D''. Budući da su sva tri štapa međusobno spojena u čvoru D, izduženjem štapa 2 prisilno se izdužuju i štapovi s brojem 1. Kao posljedica izduženja u njima se javlja vlačna sila F1 (vlačna sila uzrokuje izduženje ako nema nikakvog drugog opterećenja). Iz uvjeta ravnoteže sila :

1cos20cos20 2121 FFFFY Iz plana pomaka :

2coscos 212

1

1

2 lll

l

l

l


311

111

AE

lFl 4

22

222222

AE

lFlTlll Ft

Ukupno izduženje 2l = utjecaj temp.(=povećanje) + utjecaj tlačne sile(=skraćenje: predznak –)

22

2122

11

11

22

2222

11

11

cos2

cos)5()1(

)5...(cos)()2()4(,3

AE

lFlT

AE

lF

AE

lFlT

AE

lF

14

F2

1F1F

2l

l1 D

D'

cos12 ll

3

22

11

2112

1

cos21

cos

AE

AEATE

F

3

22

11

3112

212

cos21

cos2cos2)1(

AE

AEATE

FFF

Naprezanja u štapovima: 2

22

1

11 ;

A

F

A

F

Zadatak se može riješiti i na način da se u svim štapovima pretpostave vlačne sile (svi će se štapovi produžiti). Iz uvjeta ravnoteže sila :

1cos20cos20 2121 FFFFY Iz plana pomaka :

2coscos 212

1

1

2 lll

l

l

l


311

111

AE

lFl 422

22

222 lT

AE

lFl

Ukupno izduženje 2l = utjecaj vlačne sile(=povećanje) + utjecaj temp.(=povećanje)

2222

21

11

11

2222

22

11

11

cos2

cos)5()1(

)5...(cos)()2()4(,3

lTAE

lF

AE

lF

lTAE

lF

AE

lF

cos12 ll

3

22

11

2112

1

cos21

cos

AE

AEATE

F

3

22

11

3112

212

cos21

cos2cos2)1(

AE

AEATE

FFF

Naprezanja u štapovima: 2

22

1

11 ;

A

F

A

F

15

9. Zadatak Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap izveden kraći za δ od predviđene duljine l.

F

E A11

22E 2A

AE 11

1

F 1

2

F

1l

2l

strelice - smjer deformiranja

D

D''

D'

1

1l2l

1

D''

Iz uvjeta ravnoteže sila : 1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Iz plana pomaka :

2cos

1)(

cos

cos

11

11

22

2212

2

1

1

2

AE

lF

AE

lFll

l

l

l

l

2223

211

32211

1222

211

22211

2

2223

211

22211

1222

211

22111

11

1

22

21

11

11

22

21

cos)(2

cos2

cos)(2

cos21

cos)(2

cos

cos)(2

cos

cos

1cos2

cos

1cos

)(221

lAElAE

AEAE

lAElAE

AEAEF

lAElAE

AEAE

lAElAE

AEAEF

AE

l

AE

lF

AE

lF

AE

lF

Naprezamja u štapovima 1

11 A

F

2

22 A

F

22

222

11

111

)(

AE

lFl

AE

lFl

16

10. Zadatak Kruta greda AB obješena je o tri čelična štapa istog poprečnog presjeka površine 10 cm2. Dužina štapova je h = 1 m, s tim da je srednji štap (2) napravljen kraći od projektirane dužine za Δ = 0,6 mm. Odrediti sile u štapovima i izduženje srednjeg štapa ako je izvršena prinudna montaža sustava.

hlll

EAAEAEAE

321

332211

A

a

B

h

a a

2 31

E oo

S2

S3

S1

1l2l

3l-A

B

VA

HA

EA

hSl

EA

hSl

EA

hSl 3

32

21

1 ;)(

;

mmmEA

hSl

kNS

kNS

kNS

kNSh

h

h

EASS

kNSSS

kNh

EASSS

h

h

h

EAS

SSSaSaSaSM

Sh

h

h

EAS

EA

hS

EA

hSll

a

l

a

l

SSEA

hS

EA

hSll

a

l

a

l

A

429,01029,4101101,2

)106,01(1090)(

54

05,90

18

05,902

2

5431

181014

29)

2(232,1

3320320

222)(

22

13333

4311

332

2

3

2

1

121

131

1111

321321

1212

2121

1313

1313

17

1 2

A B C

E D

50 cm 100 cm

100

cm

A,E A,E

E=

+T

11. Zadatak Greda ABC, beskonačno velike krutosti, ovješena je o 2 čelična štapa kružnog poprečnog presjeka promjera d. Pri izradi konstrukcije štap AE izrađen je kraći za od potrebne duljine, te se pri njegovoj montaži morala upotrijebiti sila. Potrebno je odrediti: a) naprezanja u štapovima AE i CD ako se temperatura štapa CD poveća za 25T K, b) vertikalni pomak točke C. mm1

E = 2,1 105 MPa 51001 ,T K-1 d = 2 cm

mmmmmml 999110001

ml 0,12

222

1434

2

4cm,

dA

A B C

1 2

S1 S2

A B C

1 2

A'

C'

l2

-l1

l1

Produljenja štapova 1 i 2 definiramo kao:

EA

lSl 111 i 2

222 lT

EA

lSl T

12

00,15,0

0

21

21

SS

SS

M B

22

5001

12

12

...ll

,

l

,

l

18

Uvrštavanjem produljenja 1l i 2l u (2) dobivamo:

32 112

22

EA

lSlT

EA

lST

Uvrštavanjem (1) (3) slijedi

mmKKmmmmmm

mmmm

N

lTll

EAS

lTEA

l

EA

lS

EA

lSlT

EA

lS

T

T

T

1000251011299941000

314101,22

4

24

222

15

22

5

212

2

212

2

122

22

kNNS 098,235,230972

kNNSS 196,46461952 21

Naprezanja u štapovima iznose:

MPamm

N

A

S

MPamm

N

A

S

56,73314

23098

12,147314

46196

22

22

21

11

Vertikalni pomak točke C:

mmmmmml

mmKKmm

mm

NmmN

lTEA

lSl T

6,025,035,0

100025101314101,2

100023098

2

15

22

52

222

19

12. Zadatak Za zadani poprečni presjek (čije su mjere zadane u cm) potrebno je: a) Odrediti momente površine drugog reda (momente tromosti) zI , yI i zyI s obzirom na težište

poprečnog presjeka. b) Odrediti glavne momente površine drugog reda (momente tromosti) poprečnog presjeka, te

položaj pripadajućih glavnih osi.

8 8 8

88

y

z

1

1

8

Površina poprečnog presjeka iznosi

22 73,2694881624 cmA .

Težište poprečnog presjeka:

cmy

cmz

T

T

95,873,269

844)88(8)1624(

85,1073,269

8420)88(12)1624(

2

2

8 8 8

88

y

z

1

1

8 Tz

y

10,85 13,15

7,05

8,95

2,85 5,15

0,95

20

y

z

1

1

z

y

u

v

18,43°

Momenti površine drugog reda zI , yI i zyI s obzirom na težište poprečnog presjeka iznose:

4224

23

23

4224

23

23

9,1263085,2)4(64

815,9)88(

12

8815,1)1624(

12

2416

6,638295,0)4(64

895,4)88(

12

8895,0)1624(

12

1624

cmI

cmI

y

z

4

2

1,2343

)95,0()85,2()4(0)95,4(15,9)88(0)95,0(15,1)1624(0

cmI

I

zy

zy

Budući je 0zyI , osi z i y nisu glavne osi poprečnog presjeka.

Glavni momenti površine drugog reda (momenti tromosti) poprečnog presjeka računaju se prema sljedećem izrazu:

18,390575,9506

1,23434)9,126306,6382(2

1

2

9,126306,6382

4)(2

1

2

2,1

222,1

222,1

I

I

IIIII

I zyyzyz

4

24

1 57,560193,13411 cmIcmI Budući je yz II vrijedi:

4

2min

41max

57,5601

93,13411

cmIII

cmIII

u

v

Kut glavnih osi tromosti poprečnog presjeka:

43,1887,362

75,09,126306,6382

1,234322

yz

zy

II

Itg

Skripta - 1. Dio

Documents

Transcript of Skripta - 1. Dio