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Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger skript_10_02_2017 Dies ist die Sammlung des Materials von Freitag, 03.02. bis Freitag 10.02.2017. Inhalt:
1. gitterschwingungen_longitudinal.pdf Seite 2 Akustische Phononen, nächste und übernächste Nachbar WW
2. spezifische_waerme.pdf Seite 6 Experiment mit der Wärmebildkamera
3. einstein_modell.pdf Seite 12 Einstein Modell der spezifischen Wärme
4. debye_int.pdf Seite 15 Debye Modell der spezifischen Wärme
5. waermeleitfaehigkeit_02.pdf Seite 20 Herleitung der mittleren freien Weglänge
6. waermeleitfaehigkeit.pdf Seite 24 Diffusionsgleichung, Wiedemann-Franz'sches Gesetz
7. waermeleitung.pfd Seite 28 Numerische Lösungen der Diffusionsgleichung
GAWD's MATLAB Analysen
'gitterschwingungen_longitudinal.docx' 01.02.2017 GAWD
1
Longitudinale Gitterschwingungen Diese Ausarbeitung lehnt sich an die Darstellung im Kap. 5.2.2 im Gross/Marx an. Die "Federkonstanten" für die Kopplung an die Nachbaratome werden mit D1, D2, etc. bezeichnet. D1: Kopplung an die nächsten Nachbarn D2: Kopplung an die übernächsten Nachbarn etc. Man betrachtet die Auslenkungen der äquivalenten Netzebenen; diese werden mit un(t) bezeichnet.
j
njnjn uuDut
M )(2
2
, summiert wird über alle relevanten Nachbarn.
Mit einem (diskreten) Wellenansatz lässt sich dieses partielle DGL-System lösen.
)( )(exp taqjiAu jn
j
j aqjiDM ))exp(1(2 Da D-j = Dj (Die Kopplung ist symmetrisch!)
)cos(1(2
1
2 aqjDM j
j
Berücksichtigt man nur die Wechselwirkung mit den nächsten und übernächsten Nachbarn, erhält man:
)()( )2cos(12)cos(12 212 qaMDqa
MD
Nq=2000; a=1.0; deltq=pi/a/Nq; q=[0:deltq:(Nq-1)*deltq]; M=1.0; D1=1.0; D2=0.0; omega1sq=2*D1/M*(1-cos(q*a)); omega2sq=2*D2/M*(1-cos(2*q*a)); OMEGA_1_0=sqrt(omega1sq+omega2sq);
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'gitterschwingungen_longitudinal.docx' 01.02.2017 GAWD
2
plot(q/(pi*a),OMEGA_1_0,'r-','Linewidth',3);axis([0 1 0 2.5]);xlabel('q /(pi*a)');ylabel('OMEGA');title('D1=1, D2=0');
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
q /(pi*a)
OM
EG
A
D1=1, D2=0
M=1.0; D1=1.0; D2=0.5; omega1sq=2*D1/M*(1-cos(q*a)); omega2sq=2*D2/M*(1-cos(2*q*a)); OMEGA_1_05=sqrt(omega1sq+omega2sq); plot(q/(pi*a),OMEGA_1_05,'b-','Linewidth',3);axis([0 1 0 2.5]);xlabel('q /(pi*a)');ylabel('OMEGA');title('D1=1, D2=0.5');
GAWD's MATLAB Analysen
'gitterschwingungen_longitudinal.docx' 01.02.2017 GAWD
3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
q /(pi*a)
OM
EG
A
D1=1, D2=0.5
plot(q/(pi*a),OMEGA_1_0,'r-',q/(pi*a),OMEGA_1_05,'b- ','Linewidth',3);axis([0 1 0 2.5]);xlabel('q /(pi*a)');ylabel('OMEGA');title('D1=1, D2= 0 und 0.5');
GAWD's MATLAB Analysen
'gitterschwingungen_longitudinal.docx' 01.02.2017 GAWD
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
q /(pi*a)
OM
EG
A
D1=1, D2= 0 und 0.5
spezifische_waerme.jn
0 2 4 6 8 1050
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130 B Aluminium C Blei D Edelstahl E Kupfer
Te
mp
era
tur
(°C
)
Zeit (min)messung_04.opj
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 243035404550556065707580859095
100105110115120125130
B Aluminium C Blei D Edelstahl E Kupfer
Te
mp
era
tur
(°C
)
Zeit (min)messung_04.opj
0 5 10 15 20
40
60
80
100
120
140
messung_04.opj
Aluminium
Datafile: 'alu.dat' Fri Jun 12 21:45:05 2009
Formel1=p0*exp(-x/p1)+p2
P0=83.3873 R0= 0.01P1=9.32833 R1= 0.01P2=34.5133 R2= 0.01
Fehlerquadratsumme= 21.6543
T (
°C)
Zeit (min)
0 5 10 15 2020
40
60
80
100
120
messung_04.opj
Datafile: 'blei.dat' Tue Jun 16 08:54:32 2009
Formel1=p0*exp(-x/p1)+p2
P0=71.3547 R0= 0.01P1=6.00543 R1= 0.01P2=36.0028 R2= 0.01
Fehlerquadratsumme= 66.0546
Blei
Tem
pera
tur
(°C
)
Zeit (min)
0 5 10 15 20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
messung_04.opj
Datafile: 'edelstahl.dat' Fri Jun 12 21:45:57 2009
Formel1=p0*exp(-x/p1)+p2
P0=77.0349 R0= 0.01P1=14.642 R1= 0.01P2=39.6208 R2= 0.01
Fehlerquadratsumme= 5.00114
Te
mp
era
tur
(°C
)
Zeit (min)
Edelstahl
0 5 10 15 20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
messung_04.opj
Te
mp
era
tur
(°C
)
Zeit (min)
Kupfer
Datafile: 'kupfer.dat' Fri Jun 12 21:46:43 2009
Formel1=p0*exp(-x/p1)+p2
P0=77.105 R0= 0.01
P1=12.7483 R1= 0.01
P2=39.2176 R2= 0.01
Fehlerquadratsumme= 10.746
'einstein_modell.docx'
1
Einstein Modell der Gitterschwingungen Der harmonische Oszillator spielt auch in der Festkörperphysik eine wichtige Rolle. Dies liegt unter anderem an: 1. Die quantenmechnischen Lösungen sind analytisch bekannt und haben eine einfache Struktur. 2. Das elektromagnetische Feld lässt sich im Modell harmonischer Oszillatoren leicht quantisieren und dann auch lösen. Die quantenmechnischen Lösungen des EM-Feldes nennt man Photonen. Für die Gitterschwingungen im Festkörper kann man im Rahmen der harmonischen Näherung des Bindungspotentials zwischen den Bausteinen den quantenmechnaischen harmonischen Oszillator erfolgreich einsetzen. Einstein hat folgendes Modell im Jahre 1907 vorgestellt: Alle 3N-Eigenschwingungen haben die gleiche Frequenz:
)(3)( END Die Frequenz E nennt man: Einsteinfrequenz. Die Besetzung der Schwingungsmoden wird über die Bose-Einstein-Statistik bestimmt:
1( )
exp( ) 1U D d
kT
E
13
exp( ) 1E
U N
kT
Für hohe Temperaturen ( kT >> ħE ) gilt:
EE
3 3kT
U N N kT
Für niedrige Temperaturen ( kT << ħE ) gilt:
E3 exp( )EU NkT
'einstein_modell.docx'
2
2E
2
exp( )3
kT exp( ) 1
E
E
U kTNkT
kT
Setzt man E
kTx
, dann ist die Wärmekapazität:
22
1exp( )13
1exp( ) 1
U xNk
xTx
Np=1000; deltx=4/Np; x=[deltx:deltx:Np*deltx]; oneoverx=1./x; cv= oneoverx.^2.*exp(oneoverx)./(exp(oneoverx)-1).^2;
plot(x,cv,'Linewidth',3);xlabel('T/TE');ylabel('Cmol/(3R)');title('Einstein-Model');
'einstein_modell.docx'
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
T/TE
Cm
ol/(
3R)
Einstein-Model
NT = 600;Temp = linspace(1,600,NT);
theta = 343;
for j1=1:NT;arg=theta/Temp(j1);wert=quad(@debye_int,1e-15,arg);wert=wert/arg^3;cv(j1)=wert*3;end
function wert=debye_int(y)wert=exp(y).*y.^4./(exp(y)-1).^2;
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'waermeleitung.doc' 30.06.2009
1
Wärmeleitungsgleichung Wärmeleitung entlang eines Stabes kann als eindimensionales Problem behandelt werden. Die Konstante Dw bestimmt die Wärmeausbreitung.
2
2w
T TD
t x
Die Größe Dw ist durch die Wärmeleitung, die spezifische Wärme und die Dichte gegeben:
ws
D c
ist die Wärmeleitfähigkeit (in W/K/m) , cs die spezifische Wärme (in Ws/K/kg) und die Dichte (in kg/m3). Die Größe Dw hat dann die Einheit m2/s. Dw=1e-5; Ntime=100000; Nx=512; L=1.0; Für ganz kurze Zeiten zeigt sich das Anregungsprofil: tges=0.001; tic;[x,T]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc; plot(x,T,'r-','Linewidth',3);axis([0.48,0.52, 0 1.1]); Elapsed time is 5.197328 seconds.
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'waermeleitung.doc' 30.06.2009
2
0.48 0.485 0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515 0.520
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Die Anregung wird auf 3 Punkte in x-Richtung gleichmäßig verteilt. D.h., die Temperatur wird an 3 Punkten der x-Achse auf 1 gesetzt. Man beachte die stark gespreizte x-Achse. tges=1000; [x,T]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); plot(x,T,'r-','Linewidth',3);
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
Temperaturverteilung nach tges = 1000 s, Dw=1e-5m2/s. x-Achse in m, y-Achse: rel.Temperatur. Im Bereich tges = 0.001 s bis tges = 1000 s schauen wir uns jetzt die Temperaturprofile genauer an: tges=0.1; [x,T1]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);
tges=1; [x,T2]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); tges=10; [x,T3]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); tges=100; [x,T4]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); tges=1000; [x,T5]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); plot(x,T2,x,T3,x,T4,x,T5,'Linewidth',3);axis([0 1 0 0.1]);
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
1s, 10 s, 100s, 1000s Dw= 1e-5 Insgesamt ergibt sich folgendes Bild: Das Profil der Temperaturverteilung ist ein Gaußprofil. Die Breite dieses Profils nimmt proportional zur Wurzel aus der Zeit zu. Solange die Ränder des Stabes noch nicht in die Temperaturverteilung eingehen, bestimmt die Wärmeleitungsgleichung die Verteilung, ohne daß die Randwerte einen Einfluß haben. Erst wenn die Temperaturverteilung nennenswert die Ränder "berührt", gehen die Randwerte in das Problem ein. tges=4000; tic;[x,T5]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.754262 seconds. plot(x,T5,'r-','Linewidth',3);
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
-3
Für tges=4000s ist der Einfluß der Ränder ganz deutlich. Dort wird die Temperatur T auf 0 gehalten. Physikalisch haben wir bisher die Situation betrachtet, welche durch einen kurzen Wärmeimpuls in der Mitte des Stabes die Wärmeausbreitung ausgelöst. in dieser Rechnung wird das dadurch realisiert, daß als Anfangsbedingung die Temperatur an z.B. 3 Punkten in der Mitte des Stabes auf T = 1 gesetzt werden. Die Funktion waermeleitung.m function [x,T]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,laenge,Nx) dt=tges/Ntime; dx=laenge/Nx; T=zeros(1,Nx); T(Nx/2+1)=1; %% Man setzt die drei innersten Punkte auf 1 T(Nx/2)=1; T(Nx/2+2)=1; fact=zeros(1,Nx); x=[0:dx:laenge-dx]; scale=dt/(dx*dx); for j1=1:Ntime;
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'waermeleitung.doc' 30.06.2009
6
for j2=2:Nx-1; fact(j2) = Dw*(T(j2+1)+T(j2-1)-2*T(j2)); end for j2=2:Nx-1; T(j2)=T(j2)+ fact(j2)*scale; end end
Experimentell einfacher zu realisieren ist die Situation, in welcher man ein Ende des Stabes durch Ankopplung an eine Wärmequelle permanent auf der Temperatur T = 1 hält. Dazu modifiert man einfach die Funktion 'waermeleitung.m' entsprechend. … T=zeros(1,Nx); T(1)=1; %% Man setzt den ersten Punkt auf 1 … Da der erste Punkt nicht von der DGL-Lösung verändert wird, hat man jetzt die korrekten Randbedingungen für das einseitige Heizen. tges=1; tic;[x,T1]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 5.082560 seconds. plot(x,T1,'r-','Linewidth',3);
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Nach 1 sec ist die "Wärme" noch nicht sehr weit gekommen! plot(x,T1,'r-','Linewidth',3);axis([0 0.05 0 1]);
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
8
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Das Profil sieht nur vordergründig wie eine abfallende exp-Funktion aus. Tatsächlich fällt die Funktion aber genügend weit vom linken Rand wie eine Gauß-Funktion ab! tges=10; tic;[x,T2]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc plot(x,T2,'r-','Linewidth',3);axis([0 0.2 0 1]); Elapsed time is 5.320651 seconds.
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
9
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tges=10 s. tges=100; tic;[x,T3]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.748692 seconds. tges=1000; tic;[x,T4]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.571436 seconds. tges=10000; tic;[x,T5]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.552340 seconds. plot(x,T2,'k-',x,T3,'g-',x,T4,'b-',x,T5,'r','Linewidth',3);axis([0 1 0 1]);
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Temperaturverteilungen zu tges=10s, 100s, 1000s,10000s. Für tges=10000 ist dann der Einfluß des Stabendes deutlich zu sehen. Dies wird in der Simulation auf T=0 gehalten. Quantitativ kann man z.B. die Breite der Verteilung bei halber Höhe auswerten: Man rechnet z.B. mit einer festen Zeit von 1000 s = 16.66 min, und sieht sich die Änderungen mit Dw an. tges=1000; Dw=1e-7; tic;[x,T1]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 5.304222 seconds. Dw=1e-6; tic;[x,T2]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.818799 seconds. Dw=1e-5; tic;[x,T3]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.649451 seconds. Dw=1e-4; tic;[x,T4]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc
GAWD's scibits
'waermeleitung.doc' 30.06.2009
11
Elapsed time is 4.638273 seconds. plot(x,T1,'k-',x,T2,'g-',x,T3,'b-',x,T4,'r-','Linewidth',3);
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tges=1000s, Dw=1e-7, Dw=1e-6, Dw=1e-5, Dw=1e-4, jeweils in m2/s. plot(logDw,log10(width),'ro-');axis([-7.2 -2.8 -2.1 -0.1]);