SISTEMI DI NUMERAZIONE -...
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Università degli Studi di Roma – Tor VergataFacoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Medica
SISTEMI SISTEMI DIDI NUMERAZIONENUMERAZIONE
Come i calcolatori rappresentano i Numeri e i Dati
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Numeri
I numeri rappresentano il modo simbolico per descrivere su un supporto delle quantità.
Fin dall’antichità gli esseri umani hanno avuto bisogno di quantificare le cose e gli eventi.Anche gli animali hanno un loro modo di
quantificare e qualificareCi sono popolazioni che ancora usano solo piccoli
numeriAlcune popolazioni hanno ideato le loro modalità di
rappresentazione
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Numerali
Numerale è una stringa di simboli che rappresentano un numero124 BF189AH 100000 MCMLXXXVIII
Il valore non è definibile se non si conoscono le regole che sono state definite per le modalitàdi rappresentazione
NUMERI Maya - Babilonesi - Egizi - Etruschi
Sistemi additivi e sistemi posizionalihttp://it.wikipedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.svg
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Sistemi di numerazione
SISTEMI ADDITIVISono stabiliti dei simboli baseIl valore del numero risulta dalla somma o differenza di una sequenza di tali simboli posizionati in modo opportunoNella rappresentazione è insita una operazione matematica non costanteRisulta a volte impossibile rappresentare tutti i numeriPer i Maya ci sono 20 simboli base costituiti da 3 ripetutiPer i Babilonesi 60 costituiti da 2 simboli ripetutiPer i romani sono 7 (I V X L C D M)
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NUMERAZIONE ROMANAI II III IV V VI VIIsimboli usati e loro pesoI uno V cinque X dieci L cinquanta C cento D cinquecento M milleIl simbolo può avere valore positivo o negativo a
secondo che preceda un simbolo minore o uguale oppure segua un simbolo di peso maggiore.
IV (4=-1+5) VI (6=5+1) XL (40=-10+50) LX (60=50+10)Poi ci sono altre regole …..
Sistemi di numerazione
C = C *1000 = 50000
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Sistemi di numerazione
SISTEMI POSIZIONALI o ArabiVi troviamo due condizioni essenziali:1-E’ definito un’insieme di simboli base2-Ad ogni simbolo è associato un peso, che
NON cambia mai.Il valore del numero è funzione del valore
assegnato al simbolo e della posizione in cui il simbolo stesso si trova nel numerale
SIMBOLOGIA della CIFRA decimale0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Criterio di rappresentazione-Numeri Naturali
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Il peso di ogni singolo simbolo è relazionato al precedente ed al successivo dall’aggiunta o dalla sottrazione del peso unitario3 + 1 = 4 = 5 – 1 3 precede 5 segue
Giunti all’ultimo simbolo si ricomincia dal primo simbolo con il riporto di una unità nella PRIMA colonna a sinistra9 + 1 = 0 con il riporto di 1 = 10 19+1 = 0 con il riporto di 1 che sommato a 1(decine) da 2(decine) = 20 e così via fino a 99
99 + 1 = 0 unità con il riporto di 1(decine) che sommato a 9 da 0 con il riporto di 1(centinaia) = 100
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Rappresentazioni numeriche Sistema decimale24D = 2x10(1) + 4x10(0) = 20 + 4
4735D = 4x10(3) + 7x10(2) + 3x10(1) + 5x10(0)
= 4000 + 700 + 30 + 5La costruzione di un qualsiasi numero può essere effettuata aggiungendo allo 0 più a destra l’unità tenendo presente che ogni volta che si arriva a 9, l’ulteriore valore è dato dall’aggiunta (riporto) nella colonna a sinistra di 1 e riazzerando il simbolo più a destra. Esempio:
unitàdecinecentinaiamigliaia
0 00 123456789010 1234567892 0Perché gli uomini hanno scelto un sistema decimale! Perché hanno 10 dita!
9 90 01
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Sistema decimale-Numeri Naturali
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·Tutti gli infiniti valori interi positivi sono ottenuti da combinazioni ordinate di un numero definito di cifre. Ogni singola cifra assume quindi un peso nel numero, che è funzione della sua posizione.
·7924D = 7*103 + 9*102 + 2*101 + 4*100
·4735D = 4*103 + 7*102 + 3*101 + 5*100
·32196D = 3*104+2*103+1*102 + 9*101 + 6*100
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SISTEMI DI NUMERAZIONE a 4 cifre
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RIPORTO 1ma con erroreOVERFLOW
10000
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Nunerazione ternaria Realizziamo ora, come esempio una nostra base numerica del tutto arbitraria formata da solo 3 simboli
& di peso 0$ di peso 1§ di peso 2
scriviamo i valori che possiamo rappresentare con quattro cifre partendo da zerosi ottiene la seguente tabella dove nella colonna di sinistra è rappresentato il numero espresso con la nostra base ternaria , mentre nella colonna di destra il numero espresso in base decimale
Base 3 Base 10
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L’elettronica nel calcolo
Elettronicamente si possono realizzare dispositivi in grado di effettuare operazioni matematiche.
Dispositivi analogiciSommatoreAmplificatoreIntegratoreDerivatore
Questa tecnologia è però imprecisa e risente in modo pesante di varie condizioni al contorno
Temperatura, rumore, caratteristiche dei singoli componenti nel tempo
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Rappresentazione Binaria
Anche i calcolatori sono realizzati con tecnologie elettroniche ma le modalità con cui rappresentano le informazioni sono diverse. I circuiti che li compongono vengono fatti funzionare come elementari interruttori, dando così luogo a due soli stati possibili
circuito APERTO o CHIUSO0 o 1
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Rappresentazione Binaria
Questa condizione può essere sfruttata per definire una base di numerazione diversa da quella decimalecon una base di due soli simboli
che possiede le stesse proprietà e segue le stesse regole dell’algebra. Con opportuni insiemi di interruttori e circuiti adeguati si possono Rappresentare e memorizzare i numeri binariRappresentare funzioni da svolgere
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Rappresentazione Binaria
Nel sistema binario il set di simboli base è composto solo da 0 e 1
unità212223Decimale
0 0000123456 101 11 0 011 07 18 1 00 0 1910 1 011 1
Perché nei computer si utilizza il sistema binario ?
Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili ben definiti aperto o chiuso !
Utilizzando ad esempio una combinazione di 4 cifre binarie (“interruttori”)
duinequartineottine
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Rappresentazione Binaria
Il valore della combinazione sarà allora :1011B
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 8 + 0 + 2 + 11011B binario = 11D decimaleCosì come per il sistema decimale, possiamo
stabilire di lavorare con un numero prefissato di cifre999 tre cifre 99999 cinque cifre 9 una cifra
La singola cifra prende il nome di BIT (Binary Digit)
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Rappresentazione Binaria
Con 4 cifre decimali si conta da 0 a 9999avendo a disposizione 10000 combinazioni
Con 4 cifre binarie si conta da 0 a 1111 (15D)avendo a disposizione 16 combinazioni
Con 8 cifre binarie da 0 a 11111111 (255D)avendo a disposizione 256 combinazioni
Con k cifre a disposizione posso rappresentare (10k -1) numeri
Con n cifre a disposizione posso rappresentare (2n -1) numeri
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Ripetizione dei simboli
00 0 0 0 001 0 0 0 102 0 0 1 003 0 0 1 104 0 1 0 005 0 1 0 106 0 1 1 007 0 1 1 1
08 1 0 0 009 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1
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Codifica esadecimale
0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 1
8 1 0 0 09 1 0 0 1A 1 0 1 0B 1 0 1 1C 1 1 0 0D 1 1 0 1E 1 1 1 0F 1 1 1 1
La numerazione esadecimale base 16 (sedici simboli pesati) nasce per la necessità di associare (rappresentare un numero binario di 4 cifre), con un unico simbolo pesato, i 6 pesi che hanno valori superiori al 9, dal 10 al 15
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Un numero esadecimale è composto da lettere che assumo i per da 10 a 15 con una sola cifra e la base diventa di 16 simboli
A3CDH = A*163 + 3*162 + C*161 + D*160 == 10*4096 + 3*256 + 12*16 + 13*1= 40960 + 768 + 72 +13
A3CDH = 41933D
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Codifica dei dati – Tipologia dei dati
NumericiNumeri naturali – interi – razionali - irrazionali0,1,2,3,4,5,…. ; -5,-4,-3,…,0,1,2,3,4,5,….;½ ; ¼, 1/8, 1/10 \ 1/3 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,1 ; \ 0,3333…Non numerici (Alfabetici o Alfanumerici)A,a,B,b,C,c,…….., 00150,……Istruzioni+, -, *, /, carica, deposita , trasferisci,……..
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Rappresentazione a numero finito di bit
Nell’utilizzo dei sistemi informatizzati è di questione fondamentale stabilire il numero di bit da utilizzare per la rappresentazione dei numeri.Tale numero di bit ci permette di stabilire il massimo \ minimo valore rappresentabile per evitare le condizioni di
OVERFLOW \ UNDERFLOW
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Errori di rappresentazione
Numeri a precisione finitanumero di cifre definito a priori (es. 2)
80 + 23 = 03 ? (103) errore chiusura o overflow)
Associazione nelle operazioni (Proprietà associativa)70+80-60 = ?70+(80-60)= 70+20 = 90(70+80)-60 = 150 - 60 = -10
Errori di arrotondamento / troncamentoÈ possibile rappresentare esattamente un numero decimale ?SI - Se la parte decimale è multiplo di frazioni di 2 fino al numero di bit che uso per la rappresentazione binaria multiplo di ½ per 1 bit o ¼ per 2 bit o 1/8 per 3 bit etc…
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Rappresentazione dei decimali
I decimali si rappresentano con lo stesso criterio posizionale con cui rappresentiamo gli interi.S*102+ S*101+ S*100 +S*10-1 +S*10-2 +S*10-3 (dec)22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 + 2-3 + 2-4
4 2 1 ½ ¼ 1/8 1/16….. ………………0,5 0,25 0,125 0,0625 …..
101,1011B = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 + 0,0625 5,6875D
Rappresentazione in virgola fissa esempi
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Numeri interiI numeri interi sono l’estensione ai valori negativi dei numeri naturaliSi rappresentano con il segno – (meno) davanti al numero.-14 - 325Per i numeri espressi in binario scritto su carta non ci sono problemi è la stesso meccanismo, ma …(pensiamo al supporto elettronico)
Rappresentazione con bit di segno + = 0 - = 1Rappresentazione complemento ad 1 (obsoleto) Rappresentazione complemento a 2
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Rappresentazione con bit di segno 1 bit in piùSe usiamo 5 bit , 1 bit per il segno e 4 bit per il numero
0- 10000-1 10001-2 10010-3 10011-4 10100-7 10111……………-12 11100……………
0+ 000001 000012 000103 000114 001007 00111……………12 01100……………
Intervallo [-15, +15]
È poco usata per l’elevata complessità della circuiteria da realizzare
Doppia rappresentazione dello zero
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Rappresentazione complemento a 1
Se usiamo 4 bit , 1 bit per il segno e 3 bit per il numero
Intervallo [-7, +7]Per cambiare di segno si complementa bit a bit
Doppia rappresentazione dello zero[-2n-1+1, +2n-1-1]
0- 1111-1 1110-2 1101-3 1100-4 1011-7 1000
0+ 00001 00012 00103 00114 01007 0111
Il complemento si ottiene cambiando0 in 1 e 1 in 00101 complementato 1010
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Rappresentazione complemento a 2
I valori negativi sono ottenuti complementando il valore positivo e sommando 1
Con 4 bit (1+3)Intervallo [-8, +7]
UNICA rappresentazione dello zero
[-2n-1, +2n-1-1]
-1 1111-2 1110-3 1101-4 1100-5 1011-6 1010-7 1001-8 1000
0+ 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 0111
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Rappresentazione complemento a 2
Intervallo più esteso di una unitàIntervallo asimmetrico Intervallo [-8, +7]Il segno è associato alla sola cifra più significativaSi rappresentano i numeri -2n-1,+2n-2,...... +21, +20
Esempiocomplem + 1
6 = 0110 1001 + 0001 = 1010
-6 = 10101*(-23)+ 0*(22)+ 1*(21) +0*(20) = -8 + 0 + 2 + 0=-6
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Interpretazione grafica
Numeri reali positivi
Negativi segnati Negativi c’1 e c‘2
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Operazioni algebriche
SommaA+B+C+D+E = RisultatoA+B=x x+C=y y+D=z z+E=R
SottrazioneA-B-C-D=Risulatato A-(B+C+D) = RisultatoB+C=x x+D=y A-y=R
MoltiplicazioneA * B = RisultatoA+A+A+A+A+A….B volte = RisultatoB+B+B+B+B……..A volte = Risultato oppure ….
DivisioneA / B = Risultato …… esempio
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Operazione somma
Sommare i due numeri 10111 e 11110 a 5 bit
Le operazioni di somma possono aver bisogno di 1 bit in più
1 1 1 1 riporti1 0 1 1 1 +1 1 1 1 0 =
1 1 0 1 0 1
23 +30 =53 (21)
Regole della somma: 0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 1 con riporto di 1
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Operazioni-Somma
Le operazioni matematiche nel sistema binario si eseguono con le identiche modalitàdel sistema decimaleErrore di overflowsu numeri definiti positivi
173D
101D
274D
274D > 255DOVERFLOW
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Operazioni prodotto
Moltiplicare i due numeri 111 e 011 a 3 bit
Le operazioni di prodotto possono aver bisogno di 2n bit dove n è il numero bit stabiliti per la rappresentazione
1 1 1 *0 1 1 = 111 1
111 10 0 01 0 1 0 1
7 *3 =
21
7 * 7 = 49 3 bit110001 = 32+16+1 = 4932.16.8.4.2.1
Risultato 6 bit
Moltiplicare i due numeri 111 e 111 a 3 bit
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Sottrazione
Regole della sottrazione: 0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 0 0 - 1 = 1 con prestito di 1
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Operazioni - sottrazioneI numeri naturali non ammettono i negativiIl minuendo deve essere sempre maggiore del sottraendo
15 – 6 = 90 0 0 0 prestiti1 1 1 1 – 15-0 1 1 0 61 0 0 1 9
13 – 6 = 70 1 1 0 prestiti1 1 0 1 – 13 -0 1 1 0 60 1 1 1 7
6 - 13 = -71 0 0 1 0 prestiti
0 1 1 0 – 6 -1 1 0 1 13
1 1 0 0 1 -7 (25)
Se non ho definito i numeri negativi il suo valore èsbagliato
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Esempi di somme
1 1 riporti0 0 0 1 + 0 0 1 1 = 0 1 0 0
Sommare i numeri lavorando a 4 bit segnati e non1 1 1 riporti
0 0 1 0 1 + 0 0 1 1 1 = 0 1 1 0 0
La regola è se il risultato ha segno opposta agli operandi di egual segno allora se c’èstato un overflow il risultato non è corretto.
1 1 0 1 1 rip.1 1 1 0 1 1 + 1 1 1 0 0 1 = 1 1 0 1 0 0
NS5 +7 = S12 (-4)
S-5 +-7 =-12 (4)
3 bit con overflow4 bit senza overflow
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Sottrazione svolta come sommaA – B = CLa sottrazione prevedeun minuendo Aun sottraendo Bun risultato differenza C
Lo stesso risultato si ottienesommando il minuendo Aal complemento del sottraendo B alla base numericaed eliminando il riporto
9 – 4 = 59 + 6 = 1 1 5
17 – 8 = 917 + 2 = 1 1 9
6 è il complemento a 10 di 4
2 è il complemento a 10 di 8
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Sottrazione
Operazione svolta in complementocon base
Complemento a 2 del sottraendo
Operazione da svolgerebinario
Operazione svolta in complementocon base 10
Operazione da svolgeredecimale
9 –6 = ------3
9 + 4 = ------13
1001 –0110 =----------0011
1001 +(1001+1)
01001 +11010 =
----------10011
20 –12 = ------
8
20 + 88 =
------108
10100 –01100 =----------01000
10100 +(10011 +1)
1 0 1 0 0 +1 0 1 0 0 =
----------------1 0 1 0 0 0
Nella numerazione binaria effettuare il complemento a due equivale atrasformare gli 1 in 0 e gli 0 in 1 e sommare 1 al risultato
01011 (11) il suo C1s è 10100 + 1 = 10101 (-11)
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NumeraliUn numerale è una stringa di cifre (sequenza di simboli) che può rappresentare un numero solo se viene specificata la base.Lo stesso numerale può rappresentare più valori se considerato scritto su basi numeriche diverse.
101110basecentouno mila centodieci in decimale
Valore decimale se …….46D se letto come binario naturale-17D se letto in complemento a 1-18D se letto in complemento a 256D se letto in ottale1052944D se letto in esadecimale
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Rappresentazione in virgola mobileRisulta molto spesso più agevole rappresentare i numeri in formato diverso (normalizzato) la virgola viene spostata fintantoché la cifra delle unità è 0 mentre la prima cifra decimale èla cifra più significativa del numero, il tutto moltiplicato per una potenza di 10 elevata al numero di passi di cui si è spostata la virgola positiva quando si sposta verso sinistra, negativa quando si sposta verso destra
762342 mantissa1678928 mantissa
segno positivosegno negativo
-5 esponente negativo7 esponente positivo
0,762342D x 10-5D- 0,1678928D x 107
D
0,00000762342D-1.678.928D
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Rappresentazione in virgola mobile
Lo stesso vale per la numerazione binaria tutti i numeri sono espressi in base 2
0 segno +1 segno -
1001 (-3) esponente negativo101 (5) esponente base 2
101011B mantissa0110011B mantissa
0,101011BComplemento a 2 1,0110011B
0,101011B x 10B1001 (-3)- 0,1001101B x 10B
101 (5)
0,000101011B- 10011,01B
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Numero di bit per le rappresentazioni
Numeri in precisione singola32 bit
23 per la mantissa il primo con segno8 per l’esponente di cui il primo è il segno
Si rappresentano i numeri tra -1038 e -10-38 10-38 e 1038
7 bit esponente022 bit mantissa0
22 bit mantissa8 bit esponente0 segno
Modello ISO (internationl Organization for Standardization)OSI (Open System Interconnection protocols) e standard IEEE 754
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Numero di bit per le rappresentazioni
Numeri in doppia precisione64 bit
52 per la mantissa il primo con segno11 per l’esponente
Si rappres. i numeri tra -10308 e -10-308 10-308 e 10308
Numeri in quadrupla precisione128 bit
112 per la mantissa il primo con segno15 per l’esponente
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esempio
52,6975 0,526875 x 10D2
110100,1011 x 10B0 convertito in binario
shift della virgola calcolo dell’esponente0,1101001011 x 10B
0110 26 = 64riconversione in decimale 0,8232422D x 64D = 52,6975
00001100110100101100000000
EsponenteSmantissaS
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Esempio di somma in virgola mobileSupponiamo di voler sommare i valori 5,5 e 2,625 = 8,125
0,1000001*24
2-1 + 2-7 _(0,5 + 0,0078125)*16
Risultato0,5078125 * 16 = 8,125
0,100000*24
(0,5)*16A sei bit di mantissa
0,5 *16= 8
0,010101*230,1011 * 23
1,000001*23Risultato binario
0,10101*220,1011 * 23
10,101*20
2+0+0,5+0+0,125101,1 * 20
4+0+1+0,5
2,6255,5
0,101100 0,010101
1,000001
somma
Università degli Studi di Roma – Tor VergataFacoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Medica
Fine Lezione 3