SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA - ucg.ac.me · Prvo se vrši projektovanje kontrolera kojim se...

SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Predavanje 10

Ishodi učenja:

Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:

v Definišu osnovne komponente kontrolera (statičke i dinamičkeperformanse)

v Prepoznaju vezu između karakterističnih veličina sistema u otvorenojsprezi, karakterističnih veličina spregnutog sistema i karakterističnihveličina u vremenskom domenu.

v Razmiju uticaj pojačavača i integralnog kompenzatora na frekvencijskekarakteristike sistema

v Izvrše sintezu integralnog kompenzatora u frekvencijskom domenu

2

Dizajn kompenzatora u frekvencijskom domenu

Mapa kursa

Modelovanje

3

Diferencijalne jednačineFunkcija prenosa• Polovi, nule, pojačanje• Strukturni blok

dijagramiModel u prostoru stanja• Kanonične forme• Linearizacija• Rješavanje jednačina

stanjaPrelazak iz jednog domena u drugi

Kontrolabilnost i opservabilnostStabilnost sistema• Raus• NikvistPerformanse SAU-a• Stacionarno stanje• Prelazni proces• Kompleksni domenFrekvencijske karakteristike• Bodeovi dijagrami

Specifikacije sistemaKompenzatori• Pojačavač• Integralni kompenzator• Diferencijalni

kompenzator• Diferencijalno -

integralni kompenzatorPID regulatorFizičke realizacijePrimjeri dizajna sistema upravljanja

DizajnAnaliza

Dizajn SAU-a

Podsjetimo se još jednom osnovne šeme upravljanja, koja izgleda kao naslici iznad, pod uslovom da je senzor idealan, odnosno da ima jediničnufunkciju prenosa. Pošto je cilj SAU-a da minimizuje grešku izmeđereferentnog i izlaznog signala, a ne između referentnog i mjerenogsignala, gornja šema se može ekvivalentirati šemom sa slike ispod.

4

-

( )D s

( )W s( )R s ( )Y s

( )N s

( )C s

( )aE s

( )U saktuator i

objekat upr.regulator

senzor

-

( )D s

( )W s( )R s ( )Y s

( )N s

( )C s

( )aE s( )U s

aktuator i


( )E s -

Dizajn SAU-a

5

Cilj upravljanja je minimizacija greške e(t)=r(t)-y(t):

• bez obzira na poremećaje koji djeluju na sistem,

• bez obzira na greške u modelovanju sistema W(s),

• bez obzira na mjerne šumove,

• bez obzira na dinamiku sistema (spor, nestabilan, itd.).

-

( )D s

( )W s( )R s ( )Y s

( )N s

( )C s

( )aE s( )U s

aktuator i


( )E s

( )W s

-

Dizajn SAU-a

6

Da bi postigli ovaj cilj treba dizajnirati regulator (kontroler) kojitreba da zadovolji više zahtjeva:

• stabilnost u nominalnim uslovima (bez šuma, poremećaja, itd.),

• stabilnost u slučaju peturbacija modela,

• statičke performanse (odgovarajuća konstanta greške),

• dinamičke performanse (preskok, vrijeme smirenja),

• redukcija uticaja šuma (odgovarajući propusni opseg),

• fizička izvodljivost (kauzalnost kontrolera).

-

( )D s

( )W s( )R s ( )Y s

( )N s

( )C s

( )aE s( )U s

aktuator i


( )E s

( )W s

-

Dizajn SAU-a

7

U opštijem slučaju kada senzor ima neku dinamiku H(s), koristi setakozvana šema sa dva stepena slobode (2DOF), kod koje se poredkontrolera koristi i komponenta koja se zove prefiltar P(s). Zadatakprefiltra je, između ostalog, poništavanje dinamike senzora H(s).Sjetimo se primjera pozicionog servomehanzima, kod kojeg jemjerena pozicija pretvarana u napon preko potenciometrakonstante kp. U tom primjeru je referentni signal takođe množen saistom konstantom, koja je u stvari predstavljala neku vrstuprefiltra.

-

( )D s

( )W s( )R s ( )Y s

( )N s

( )C s

( )aE s

( )U saktuator i


senzor

( )H s

( )P s

prefiltar

Dizajn SAU-a

8

Prethodna šema se može svesti na šemu sa jediničnom povratnom spregom, kao što je prikazano na slici ispod.

Dakle, ako želimo da poništimo funkciju prenosa senzora H(s),prefiltar treba odabrati tako da važi P(s)=H(s). Tada se čitavašema svodi na referentnu šemu sa jediničnom povratnom spregom:signal Eb(s) će biti jednak stvarnom signalu greške (razlici izmeđureferentnog i izlaznog signala), dok je funkcija povratnog prenosaC(s)H(s)W(s). Odnosno, regulator C(s) funkcije prenosa procesa,aktuatora i senzora vidi kao jednu funkciju prenosa H(s)W(s).

Provjerite!

-

( )D s

( )W s( )Y s

( )N s

( )C s( )aE s

( )U saktuator i


( )bE s( )R s( )P s

prefiltar

1

( )H ssenzor

( )H s

-

Statičke performanse

Zahtijev sa praćenjem referentnog signala iz klase polinomjalnihsignala se zadovoljava korišćenjem kontrolera:

gdje h definiše tip kontrolera, dok je K pojačanje kontrolera. Naprimjer, ukoliko želimo da SAU prati rampa funkciju bez greške,tada h ima vrijednost 2 (pod uslovom da objekat upravljanja nemaastatizam), dok se K nalazi iz zahtijeva za konstantom ubrzanja iligreške u praćenju paraboličnog signala. Treba imati u vidu dapovećavanje reda astatizma destabiliše sistem u otvorenoj sprezi,što implicira veće vrijednosti upravljačkog signala u zatvorenojsprezi. Iako linearna teorija ne postavalja ograničenja u pogleduvrijednosti upravljačkih signala, treba uzeti u obzir da u praksiregulatori i aktuatori ne mogu da daju proizvoljne vrijednosti, većpostoje radni opsezi u kojima je njihova karakteristika linearna.

9

( ) ,h

KC s

s

Dinamičke performanse

Za poboljšavanje tranzijenta koristi se sljedeći tip kontrolera:

Parametre kontrolera treba odabrati tako da SAU bude stabilan ida ima odgovarajući prelazni proces. Pojačanje ovog kontrolera jejedinično, što znači da ne utiče na grešku u stacionarnom stanju.Prvo se vrši projektovanje kontrolera kojim se podešava željenavrijednost greške i tip sistema, a zatim se biraju parametri ovogkontrolera. Najčešće se koriste kontroleri koji imaju jedan prosti poli jednu prostu nulu u lijevoj poluravni s-ravni, odnosno redna vezaviše njih.

10

2

2

2

2

( ) 21 1

( ) .( ) 2

1 1

z

k zk nz nz

l

i li nl nl

j j j

aC s

j j j

a


11

Za poboljšavanje relativne stabilnosti i smanjenje preskoka uvremenskom domenu koristi se lag (eng. phase lag) ili integralnikompenzator koji ima funkciju prenosa:

pri čemu se pol nalazi bliže koordinanom početku u odnosu nanulu. Naziv lag potiče zbog negativne fazne karakteristike, što ćekasnije biti pokazano. Sa druge strane amplitudska karakteristikana određenom opsegu učestanosti ima karakteristiku sličnuintegratoru, pa otuda naziv integralni kompenzator. Konačno, lagregulator se najčešće naziva kompenzatorom zbog načina na koji sevrši njegova sinteza (kompenzuje se frekvencijska karakteristikasistema u otvorenoj sprezi).

1(s) , ,

1i

s

bG a bs

a


12

Drugi tip regulatora koji se često koristi je lead (eng. phase lead) ilidiferencijalni kompenzator:

Ovaj kompenzator ima istu funkciju prenosa kao i integralnikompenzator. Razlika je u tome što se kod njega nula nalazi bližekoordiantnom početku. Diferencijalni kompenzator se najčećekoristi za povećavanje propusnog opsega, skraćenje vremena usponai vremena smirenja. Naziv lead potiče zbog pozitivne faznekarakteristike, dok amplitudska karakteristika na određenomopsegu učestanosti ima karakteristiku sličnu diferencijatoru, pa sezato zove i diferencijalni kompenzator.

1(s) , .

1i

s

aG a bs

b

Sinteza regulatora

Kompenzatori se mogu dizjanirati na više načina: analitički, ukompleksnom domenu i frekvencijskom domenu. Analitčki pristupje jednostavan ukoliko je funkcija prenosa u otvorenoj sprezi prvogili drugog reda. U kompleksnom domenu se kompenzatori mogudizajnirati pomoću metode koja se zove geometrijsko mjestokorijena (GMK). Kod ove metode dominantni polovi sistema sepodešavaju na željenu vrijednost. GMK metoda neće biti obrađenau okviru ovog kursa.

Treći način za sintezu kompenzatora je u frekvencijskom domenu.Pomoću ove metode se funkcija povratnog prenosa modifikuje takoda ima željeni oblik, uzimajuću u obzir njen uticaj na frekvencijskukarakteristiku spregnutog sistema, odnosno performanse uvremenskom domenu. Upravo, zbog ovakvog načina dizajna, ovekomponente SAU-a se nazivaju kompenzatorima, jer se njimakompenzuje funkcija prenosa u otvorenoj sprezi.

13

Performanse u frekvencijskom domenu

Kako bi se obezbijedilo dobro praćenje referentnog signala amplitudskakarakteristika spregnutog sistema na niskim učestanostima treba daima jedinično pojačanje, odnosno 0dB na decibelskoj skali. Na visokimučesnostima, van propusnog opsega amplituda treba da ima vrijednostišto bliže nuli, odnosno -∞ dB, kako bi spregnuti sistem bio robusniji namjerne šumove.

14

dobro praćenje referentnog signala

robusnost na mjerne šumove

ovaj dio karakteriše prelazni proces

0dB

Performanse u frekvencijskom domenu

15

Karakteristika spregnutog sistema na srednjim učestanostimakarakteriše prelazni proces. Veći rezonantni vrhovi znače da će biti iveći preskok u vremenskom domenu. Sa druge stane, veći propusniopseg implicira kraće vrijeme uspona, a i vremena smiranje (za istuvrijednost rezonantnog vrha).

dobro praćenje referentnog signala

robusnost na mjerne šumove

ovaj dio karakteriše prelazni proces

0dB

Veza sa funkcijom povratnog prenosa

Sinteza kompenzatora u frekvencijskom domenu se zasniva namodifikovanju frekvencijske karakteristike u otvorenoj sprezi (eng.loop shaping), kako bi spregnuti sistem imao željene karakteristike.Naravno, najprije treba napraviti vezu između frekvencijskekarakteristike u otvorenoj i zatvorenoj sprezi.

Bitne karakterisitke sistema u otvorenoj sprezi, koje utiče nakarakteristike/ponašanje sistema sa zatvorenom spregom su:

margine stabilnosti (pretek pojačanja i pretek faze),

presječne učestanosti preteka faze i preteka pojačanja,

statičke konstante greške (konstanta položaja, brzine, itd.).

Dizajn regulatora u frekvencijskom domenu se svodi na podešavanjeovih veličina, jer one direktno utiču na performanse spregnutogsistema u smislu prelaznog procesa i stacionarnog stanja.

16

Pretek faze i pretek pojačanja

17

Pretek faze i pretek pojačanja smo definisali na Nikvistovoj krivojkako mjere relativne stabilnosti, odnosno veličine koje govore koliko jesistem udaljen od kritične tačke (-1, j0). Prilikom projektovanja SAU-apreteke faze i pojačanja treba ostaviti dovoljno velike, jer se timeobezbjeđujemo na greške u modelovanju sistema u otvorenoj sprezi,kao i na promjene parametara modela. Preteci pojačanja i faze kodminimalno faznih sistema se mogu očitati i sa Bodeovih dijagrama.

Po definiciji, pretek pojačanja γ je recipročna vrijednost amplitudske

karakterisitke na učestanosti na kojoj faza iznosi -180◦:

Pretek faze se definiše kao maksimalni ugao za koji se smije zarotiratiNikvistova kriva u negativnom smjeru, a da sistem sa NJPS ostanestabilan:

1

, za ( ) 180 ili u dB -20 log ( ) .( )

a j a W jW j

180 ( ), za ( ) 1 ili ( ) 0dB.j A j A j


18

1.41rad/s

0.466 rad/s

180 ( ) 53.4j

( ) 15.6dBa A j

15.6dB

126.6

Amplitudu smijemo podići za najviše 15.6 dB

Fazu smijemo spustiti za najviše 53.4◦


19

Ako su preteci faze i pojačanje veći od nule, sistem sa jediničnompovratnom spregom će biti stabilan. Odnosno, ako su ove veličinemanje od nule, sistem sa NJPS će biti nestabilan.

Za sistem drugog reda, pretek faze se može dovesti u vezu sa faktoromrelativnog prigušenja i preskokom:

pri čemu smo preskok već ranije definisali:

Ove relacije se mogu primijeniti i za sisteme većeg reda, pri čemu je suveze tačnije ukoliko su dodatni polovi i nule dovoljno udaljeni oddominantnih polova. Svakako, date formule se dobre za početnopodešavanje parametra regulatora, pa se postupak može iterativnoponavljati, ukoliko specifikacije u vremenskom domenu nijesuzadovoljene.

/ 100,za 70 ,

21 %.e


20

Bitno je zapamtiti pravilo da se sa povećanjem preteka faze povećavafaktor relativnog prigušenja, a samim tim se smanjuje preskok uvremenskom domenu. Rezonatni vrh spregnutog sistema je približnojednak:

Konačno, presječna učestanost preteka faze se može povezati sapropusnim opsegom spregnutog sistema. Naime, aproksimativno važisljedeća veza:

Povećavanjem presječne učestanosti preteka faze, povećava se propusniopseg sistema, a samim tim se skraćujuju vrijeme uspona. Vrijemesmirenja je takođe obrnuto proporcionalno propusnom opsegu, ali ifaktoru relativnog prigušenja.

[1.25,2] .B

1.

2 sin( / 2)rM


21

Još jedna korisna aproksimacija koja važi za sistem drugog reda,odnosno za sistem većeg reda sa dominantnim kompleksnimpolovima, je veza između presječne frekvencije preteka faze iprirodne neprigušene učestanosti spregnutog sistema:

Na osnovu ove veze se može napraviti procjena vremena smirenja:

Vrijeme uspona se je proporcionalno propusnom opsegu i može seestimirati pomoću formule:

pri čemu je za manje vrijeme uspona bliže donjoj granici gornjeopsega.

.n

4 4.

0.01s

n

T

21 1.1 1.14

1.6 2.2 ,r BT

Konstante greške

22

Ako funkcija prenosa u otvorenojsprezi nema astatizam, tada jeamplitiduska karakterisitka naniskim frekvencijama ravna i imavrijednost 20logKp, gdje je Kpkonstanta položaja. Ukolikofunkcija prenosa ima astatizamprvog reda, tada se za nju definišekonstanta brzine Kv. Konstantabrzine predstavlja tačku presjekapočetne prave nagiba -20 dB/dec saω osom. Takođe, konstanta brzineu dB se može odrediti iz razlikeamplitudske karakteristike na 0.1rad/s i 20 dB (za Kv=1karakterisitika počinje od 20 dB).Na sličan način se određujekonstanta ubrzanja Ka.

20 log pK

20 log aK

vK

20 dB/dec

aK

40 dB/dec

20 log vK

Primjer – veza između funkcija W i G

23

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi je jednaka:

Presječna učestanost preteka faze ipretek faze su jednaki: 53.4◦ i 0.466rad/s. Rezonantni vrh je jednak (uobičnim vrijednostima):

Propusni opseg bi trebalo da bude uopsegu:

Faktor relativnog prigušenja jepribližno jednak:

1.

( 1)( 2)W

s s s

2 sin( / 2) 1.1128.rM

/100 0.534.

[1.25,2] 1.25,2] 0.466 rad/s

0.5825,0.9320 rad/s.B

Primjer – veza između funkcija W i G

24

Očekivano vrijeme smirenja je:

dok bi vrijeme uspona trebalo da bude jednako:

Na slici desno je prikazan step odzivsregnutog sistema, a ne prethodnomslajdu Bodeovi dijagrami sistema uotvorenoj sprezi i sa zatvorenomspregom. Poklapanje sa tačnimvrijednostima karakterističnihveličina zavisi od toga koliko je trećipol udaljen od dominantnih polova.

>> s=tf('s');

>> W=3086/(s^2+145.5*s+86.14)/s

>> margin(W);

>> figure(2)

>> margin(G);

>> G=feedback(K*W,1)

>> figure(3),

>> step(G)

>> bandwidth(G)

>> stepinfo(G)

4 4 416.07 ,

0.01 0.534 0.466s

n

T s

2

2

1 1.1 1.14

1 1.1 0.534 1.14 0.5344.1 .

0.466

rT

s

Primjer – konstante greške

25

Na slici su prikazane amplitudske karakteristike dva sistema. Odrediti konstantegreške i grešku spregnutog sistema u praćenju referentnog step signala.

Sa dijagrama se može zaključiti daprvi sistem nema astatizma, a dadrugi sistem ima astatizma prvogreda. Shodno, tome konstantapoložaja prvog sistema je jednaka:

dok su kontante brzine i ubrzanjajednake nuli. Konstanta brzinedrugog sistema se računa iz uslova:

Konstanta položaja drugog sistemaje beskonačno, a konstantaubrazanja nula.

20 log 6 2,p pK K

26

20

26 20 log 00.1

0.1 10 2.vK

Sinteza u frekvencijskom domenu

Već smo rekli da procedura dizajna SAU-a teče tako što se prvozadovoljavaju zahtjevi vezani za konstante greške i red astatizma.Ovaj dio sinteze se radi analitički. Nakon toga se dodaju potrebnielementi koji imaju jedinično pojačanje, u cilju zadovoljenjadinamičkih performansi SAU-a. Parametri dodatnih komponenti sene određuju analitički, već se primjenjuje grafički pristup,posmatranjem Bodeovih dijagrama sistema u otvorenoj sprezi. Pritome, zahtjeve za željenim dinamičkim performansama trebaizraziti u vidu karakterističnih veličina sistema u otvorenoj sprezi.Ako specifikicaciju SAU-a zadajemo direktno u vremenskomdomenu, onda se mogu koristiti aproksimativne formule zaprevođenje tih zahjteva u frekvencijski domen. Često se može desitida se na ovaj način ne dobije SAU koji ima željene vremenskekarakteristike, ali se procedura može ponavljati iterativno sve dokzahtjevi ne budu ispunjeni.

26

Pojačavač

Pojačavač se najčešće koristi zakorekciju performansi sistema ustacionarnom stanju, odnosnokada treba da se podese željenekonstante greške. Ako sistemima astatizam, a pri tom senema zahtjeva za praćenjemrampa funckije, pojačanje semože iskoristiti za podešavanjemargina stabilnosti. Pojačavač:

podiže/spušta amplitudskukarakteristiku

ne utiče na faznu karakteristiku

27

20 logK

20 log 0dB, za >1K K

20 log 0dB, za 0< 1K K

U tabeli ispod je dat uticaj pojačanja na različite karakterističneveličine sistema. Znak „+“ označava da se data veličina povećava,“–” da se smanjuje, a praznina da nema generalnog pravila.

Pojačavač

28

Karakteristike K>1 K<1

Otvorena sprega margine stabilnosti presječna učestanost preteka faze

–

++

–

Spregnuti sistem propusni opseg rezonatni vrh

++

–

–

Kompleksni domen faktor prigušenja – +

Vremenski domen preskok vrijeme smirenja vrijeme uspona konstanta greške greška u stacionarnom stanju

+

–

+

–

–

+++

Pojačavač

29

Ukoliko je pojačanje manje od jedinice, tada se ono možerealizovati preko pasivnih elemenata. Ako je pojačanje veće odjedinice, tada se koriste aktivne komponente, koje imaju napajanje.Ispod su date dvije realizacije preko invertujućeg i neinvertujućegpojačavača.

1R

2R

ulu

2

1 2

iz ul

Ru u

R R

ulu2

1

iz ul

Ru u

R

1R

2R

ulu

2

1

1

iz ul

Ru u

R

2R

1R

Pojačavač sa integratorom

30

Nekad je potrebno povećati red astatizma, kako bi se eleminisalagreška u praćenju nekih klasa signala. Dodavanje integratora ima inegativne strane. Ukoliko u direktnu granu dodamo integratorprvog reda, to će značajno destabilisati sistem, jer se na svimfrekvencijama unosi negativna faza od 90◦, odnosno pretek faze sesmanjuje za 90◦. Često se može desiti da se takav sistem ne možeustabiliti samo sa pojačavačem. Ispod je data implemetacijajednostrukog integratora K/s pomoću operacionog pojačavača.

C

ulu1

iz ul ul

Ku u u

sRC s

R

Primjer – pozicioni servo

31

Za određene parametre DC servomehanizma, funkcija prenosa između napona i ugaonog pomjeraja je jednaka:

Odrediti pojačanje K tako da budu

zadovoljeni sljedeći zahtjevi:

2

3086

( 145.5 86. 4)( .

1)s s s

W s

*

*

*

*

*

a) 60

b) 20

c) ( ) 0.01

d) 10 /

e) 100v

a dB

e

rad s

K

-

( )E sDCK

( )s( )r s

Na slici desno u prikazani Bodeovidijagrami nekompenzovanog sistema.


32

Kako je željena vrijednost pretekafaze:

a sa pojačanjem ne možemo dautičemo na faznu karakteristiku,jasno da je da treba podesitipresječnu učestanost preteka faze.Prvo treba naći frekvenciju na kojojfaza iznosi -120◦. Očitana frekvencijapredstavlja željenu presječnuučestanost preteka faze, odnosno, nanjoj vrijednost pojačanja treba dabude 0 dB. Dakle, amplitudu trebaspustiti za 39.2 dB:

20 log 39.2 0.011.K K

* *60 180 ( ),j

>> s=tf('s');

>> W=3086/(s^2+145.5*s+86.14)/s

>> K=10^(-39.2/20)

K = 0.0110

>> margin(W);

>> hold on

>> margin(W);


33

Na slici desno su prikazani dijagramispregnutog nekompenzovanog ikompenzovanog sistema. Sistem bezkompenzatora ima mali pretek faze,pa samim tim i veliki rezonantni vrhspregnutog sistema i veliki preskok uvremenskom domenu. Dodavanjempojačavača čije je pojačanje manjeod 1, popravlja se pretek faze,smanjuje preskok, ali i propusniopseg, odnosno brzina sistema.

Na slikama su prikazani step odzivipočetntog i kompenzovanog sistema.Može se uočiti da je preskokznačajno smanjen i da iznosi 8.23%.Vrijeme uspona je takođe smanjeno,jer je smanjen i propusni opseg.


34

Provjerimo i za ovaj primjeraroksimativne formule. Očekivanavrijednost faktora relativnog prigušenjaje oko:

što znači da bi preskok trebalo da budeoko 9.48%. Očekivana vrijednostpropusnog opsega je u intervalu:

Propusni opseg spregnutog sistema je0.5472 rad/s, što je u skladu saočekivanim rezultatima. Zanimljivo jeda je u ovom primjeru vrijeme smirenjakompenzovanog sistema smanjeno, iakoje smanjen propusni opseg. Razlog zato je što je značajano povećan i faktorprigušenja, a vrijeme smiranja je njemuobrnuto proporcionalno.

>> G=feedback(W,1)

>> G1=feedback(K*W,1)

ans = 0.5472

>> bandwidth(G1)

>> margin(G);

>> hold on

>> margin(G1)

>> figure(2)

>> step(G)

>> hold on

>> step(G1)

* /100 0.6,

*[1.5 2] [0.51 0.68] rad/ s.

Primjer – brzinski servo

35

DC motor je opisan funkcijom prenosa

Dizajnirati kontroler tako da greška u praćenju rampe funkcije bude 0.01. Nacrtati prinicpijelnu šemu upravljanja.

Kako sistem u otvorenoj sprezi nema astatizam, treba odabrati sljedećikontroler:

gdje se K traži uz uslova da je greška za linearni referentni signal budejednaka 0.01:

Iz prethodnog uslova se dobija da je K=3200.

Voditi računa da je nova funkcija povratnog prenosa C(s)W(s).

( ) 0.02( ) .

( ) 0.0384 0.64

sW s

U s s

( ) ,K

C ss

0

( )( ) lim 0.01.

1 (s) ( )s

R se

C W s

Primjer – upravljanje brzinom

36

Ispod je data principijelna šema SAU-a. Vrijednosti otpornika ikondenzatora treba odabrati na osnovu prethodnog proračuna. Zaformiranje signala greške korišten je sumator, pri čemu je prije toga napontahogenetaora invertovan kako bi se dobio negativan predznak. Referentnisignal se zadaje u vidu napona.

Rm

M

Lm

e(t)

+

b

,

Ji(t) TG

u(t)

C

R

refu

R

R

R

R

R

sumator

Invertujući pojačavač

integrator

upravljački signal

( )ref Tu k

Tk

principijelna šema!

Integralni kompenzator

Često kod sistema upravljanja imamo dva zahtjeva: jedan vezan zagrešku u stacionarnom stanju (ili konstante greške), a drugi vezanza stabilnost i dinamiku sistema (pretek faze, pojačanja ili nekudrugu frekvencijsku karakteristiku sistema u otvorenoj sprezi).

Proporcionalni regulator K se ne može iskoristiti za ispunjavanjeoba zahtjeva. Pojačanje K se tada koristi za podešavanje greške ustacionarnom stanju (ili konstante greške), dok se za podešavanjefrekvencijskih karakteristika koriste integralni i deferencijalnikompenzatori. Funkcija prenosa integralnog kompenzatora je:

Integralni kompenzator na niskim učestanostima ne utiče na sistem,na srednjim učestanostima se ponaša kao integrator, dok se navisokim učestanosima ponaša kao pojačavač.

37

/ 1( ) , .

/ 1i

s bG s a b

s a


38

-20loga

-20log- sba

A

do 3dB

5-10o-45log

0.1a

- 45logba


39

Integralni kompenzator ima jedinično pojačanje, pa samim tim neutiče na konstante greške i grešku u stacionarnom stanju sistema saNJPS. Iz toga razloga uvijek treba prvo treba odrediti potrebni redastatizma i izračunati K, i time zadovoljiti zahtjeve vezane zakonstante greške. Nakon toga pristupiti sintezi integralnogkompenzatora.

Integralni kompenzator može da smanji presječnu učestanostpreteka faze, povećava pretek faze i relativnu stabilnost, a samimtim i da smanji vrijednost rezonantnog vrha spregnutog sistema ipreskoka u vremenskom domenu. Pored toga, integralnikompenzator smanjuje propusni opseg spregnutog sistema, odnosnousporava sistem povećavajući vrijeme uspona, a najčešće i vrijemesmirenja (vrijeme smirenja je obrnuto proporcionalno propusnomopsegu, ali i faktoru relativnog prigušenja koji se takođe smanjuje).


40

Integralni kompenzator se takođe može realizovati pomoću pasivnihili aktvnih komponenti, u zavisnosti od toga da li je pojačanje većeili manje od nule (integralni kompenzator obično ide u paru sapojačavačem). Ispod je dati primjeri realizacija. Predloženarealizacija preko aktivnih komponenti ima negativan predznakpojačanja, što znači da bi redno trebalo vezati invertujućipojačavač. Takođe treba imati u vidu da veći broj aktivnihkomponetni povlači sa sobom i veću cijenu implementacije sistemaupravljanja.

1R

2R

ulu

2

1 2

1

( ) 1

iz ul

sCRu u

sC R R

ulu1 12

1

2 2

11

11

iz ul

sR CRu u

R

sR C

2C

2R1C

1R

Sinteza integralnog kompenzatora

41

Ukoliko pomoću integralnogkompenzatora želimo da spustimoamplitudu na nekoj učestanosti ωiza vrijednost As, a da pri tomene utičemo na fazu, tada sekoristi dio karakteristike na kojojse Gi ponaša kao čisto pojačanje.

Prvo se bira parametar b izuslova da fazni pomjeraj na ωibude jednak nuli:

Parametar a se bira iz uslova dapojačanje bude jednako -As: /20, 10

10sAib a b

10 .10i

ib b

/2020 log 10 .sAsA a b

b

a

Sinteza integralnog kompenzatora

42

Predloženi način nije i jedini načinza odabir tačaka a i b. Nekad semože zahtijevati da na učestanostiωi spustimo amplitudu za As, a dapri tome ne utičemo na amplituduna nekoj nižoj učestanosti ωj. Tadaprvo treba fiksirati parametar a:

dok se parametar b se bira izuslova da pojačanje na ωi budejednako -As:

Ako je se dobije da je b>ωi, tadatreba usvojiti dvostruki integrator.

/20, 10 .sAjb b a

,ja

/2020 log 10 .sAsA b a

b

a

Treba voditi računa da su daterelacije izvedene na osnovuasimptotske karakteristike.


43

Za određene parametre DC motora, funkcija prenosa između napona i ugaonogpomjeraja je jednaka:

Izvršiti sintezu kompenzatora tako da

budu zadovoljeni sljedeći zahtjevi:

2

3086

( 145.5 86. 4)( .

1)s s s

W s

* * 100, 60 ( 3 ). vK

-

( )E sDC( )C s

( )s( )r s

Na slici desno u prikazani Bodeovidijagrami sistema nakon unošenjapojačanja.

Pojačanje sistema se određuje izuslova:

*

0 100 lim ( )

3086

86.2.7913

14v

sK sKW s K

K


44

Sa Bodeovih dijagrama, nakon dodavanja K, se očitavaju sljedeći podaci:

odakle se dobija da je a=7.5853×10-5 i b=0.026. Na slici iznad su prikazaniBodeovi dijagrami kompenzovanog sistema. Može se primijetiti da pretek fazeima zadovoljavajuću vrijednost.

0.224 rad/s i 50.7 dB,i sA

Kada podešavamo pretek faze naželjenu vrijednost, treba imati u vidukarakteristiku realnog integratorakoji na učestanosti 10b unosinegativnu fazu od 5-10◦. To znači dau ovom slučaju nećemo tražitifrekvenciju na kojoj faza iznosi -120◦,već ćemo se pomjeriti ulijevo za 6◦

(-114◦), jer će nakon sintezeintegralnog kompenzatora faza naposmatranoj frekvenciji iznositi oko-120◦.


45

Na slici je prikazan step odzivspregnutog sistema. Može se uočiti dapreskok ima zadovoljavajućuvrijednost, međutim vrijeme smirenjaje veliko, oko 60s. Vrijeme smirenja jepovećano iz razloga što je integralnikompenzator smanjuje propusni opsegsistema. U suštini što se tačka 10bnalazi lijevlje od presječeneučestanosti preteka faze i što je Asveće, to će propusni opseg biti višesmanjen.

Propusni opseg sistema je 0.4308rad/s, dok se se na osnovuaproksimativnih formula očekivalo daće on bude u intervalu [0.4005, 0.5340]rad/s. Preskok sistema je 12.9%, aočekivana vrijednost je bila 9.42%(provjeriti proračun).

>> s=tf('s');

>> W=3086/(s^2+145.5*s+86.14)/s

>> K=100*86.14/3086

>> margin(K*W);

>> b=0.26/10

>> a=b*10^(-50.7/20)

>> Gi=(s/b+1)/(s/a+1)

>> margin(K*W*Gi)

>> G=feedback(K*Gi*W,1)

>> step(G)

>> bandwidth(G)

SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA - ucg.ac.me · Prvo se vrši projektovanje kontrolera kojim se...

Documents

Transcript of SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA - ucg.ac.me · Prvo se vrši projektovanje kontrolera kojim se...