Controladores PIDSistemas de control digitales Aplicacin simultnea de 3 acciones: proporcional, integral y derivativa Es el controlador ms utilizado en la prctica por su flexibilidad y ajuste sencillo Para ver cmo afecta cada una de las acciones a la salida, consideraremos la siguiente planta, cuya respuesta a la entrada escaln aparece a continuacin: Controladores PID

Controladores PIDSistemas de control digitales

Fenmeno indeseado: offset, que es un error en estado estacionario debido a que la accin de control es constante si el error tambin lo es Kp = 300

Reduce el tiempo de subida Aumenta el sobreimpulso mximo Disminuye el tiempo de establecimiento

Accin P (proporcional)

Controladores PIDSistemas de control digitales La accin integral elimina el offset, ya que la accin de control aumenta aunque el error permanezca constante (integra el error). Con Kp = 30 y Ki = 70,

Incrementa el tiempo de subida Reduce el sobreimpulso mximo Disminuye el tiempo de establecimiento Mejora el sobreamortiguamiento

Accin I (Integral)

Controladores PIDSistemas de control digitales La accin derivativa aumenta la velocidad de reaccin a un cambio del error (accin anticipadora) D(s) = KP + KDs. Con Kp = 300 y Kd = 10,

Reduce el sobreimpulso mximo Disminuye el tiempo de asentamiento Aumenta el ancho de banda

Accin D (Derivativa)

Controladores PIDSistemas de control digitales Rene todas las ventajas de las acciones P, I y D

Pero tambin arrastra los problemas de cada una de las acciones

Saturacin de la accin derivativa (la salida se hace muy grande ante cambios repentinos de la seal de error). Se soluciona incluyendo en el trmino derivativo una constante de relajacin = 0.050.2. Integral windup: debido a la integracin de la seal de error. Si hay un sobreimpulso, la accin integral sumar estos errores positivos para generar la accin integral necesaria. Si el error se hace negativo entonces, la direccin de la seal de control no variar para compensar este error mientras la suma del error previo sea dominante.

Controladores PID (Proporcionales Integrales - Derivativos)

Sintonizacin de reguladores PIDSistemas de control digitales Sintonizacin: ajuste de los parmetros Kp, Ti y Td para que se satisfagan los requisitos del diseo Mtodos clsicos. Se utilizan desde los aos 50, y son bsicamente un ajuste emprico de los parmetros. Veremos 3 mtodos principales:

Mtodo de oscilacin de Ziegler-Nichols: halla el valor de la accin proporcional mediante el mtodo de lugar de races y calcula el resto de los parmetros mediante unas tablas. Mtodo de la curva de reaccin de Ziegler-Nichols Mtodo de la curva de reaccin de Cohen-Conn

Mtodos basados en modelo.

Sintonizacin de reguladores PIDSistemas de control digitales Mtodo de oscilacin de Ziegler-Nichols: ajuste de los parmetros Kp, Ti y Td para que se satisfagan los requisitos del diseo Se utiliza un controlador P para el control del sistema en lazo cerrado Se incrementa la ganancia Kp hasta que el sistema se hace crticamente estable. Se calcula la ganancia Ku y el periodo de las oscilaciones Tu Los parmetros del regulador se calculan segn la tabla:

AccinKpTiTdP0.5/Ku--PI0.4/Ku0.8Tu-PID0.6/Ku0.5Tu0.12Tu

Sintonizacin de reguladores PIDSistemas de control digitales Analizaremos la plantaEjemplo Kc (ganancia crtica) = 4.6

Sintonizacin de reguladores PIDSistemas de control digitales Con un controlador proporcional con Kp = 4.6 tenemos la siguiente respuesta a la entrada escalnEjemplo Mediante la tabla de Ziegler- Nichols obtenemos los siguientes valores:Tu = 2.2 seg

AccinKpTiTdP2.3--PI1.81.8-PID2.81.10.3

Sintonizacin de reguladores PIDSistemas de control digitalesEjemploControlador PControlador PIControlador PID

Controladores PID digitalesSistemas de control digitales El trmino integral se digitaliza mediante la aproximacin trapezoidal (Tustin)

El trmino derivativo se digitaliza mediante el mtodo de Euler

Forma posicional del PID:Digitalizacin del PID

Controladores PID digitalesSistemas de control digitales Forma de velocidad del PID: trabajamos con la variacin de u(kT) (u(kT) u((k-1)T). Simplificando, la funcin de transferencia queda:

Importante: slo el trmino del control integral incluye la entrada R(z). Por lo tanto el trmino integral no se puede excluir del controlador digital si ste se utiliza en la forma de velocidad. Esta forma tiene una serie de ventajas, entre ellas que elimina la saturacin del integrador.Digitalizacin del PID

Rediseo de reguladores continuos: especificaciones de diseoSistemas de control digitales Las condiciones ideales de un sistema de control son que el valor de la seal de salida sea el deseado y que las perturbaciones influyan lo mnimo posible sobre el sistema. Se define como error del sistema la diferencia entre el valor deseado a la salida y su valor real.

Si el sistema es estable, el valor en rgimen permanente se puede calcular a partir del teorema del valor final:

Error en rgimen permanente

Rediseo de reguladores continuos: especificaciones de diseoSistemas de control digitales Entrada escaln (error de posicin)

Definimos el error de posicin como:

Entrada rampa (error de velocidad) Definimos el error de velocidad como:

Entrada parbola (error de aceleracin) Se define el error de aceleracin como:

Error en rgimen permanente

Rediseo de reguladores continuos: especificaciones de diseoSistemas de control digitales El tipo califica el sistema segn el nmero de integradores de la funcin de transferencia en lazo abierto Conforme se aumenta el tipo, la precisin aumenta PERO La estabilidad se complicaError en rgimen permanente: tipo de un sistema

SistemaEntrada escalnEntrada rampaEntrada parbolaTipo 0 Tipo 10 Tipo 200

Rediseo de reguladores continuos: especificaciones de diseoSistemas de control digitales La respuesta transitoria depende de la posicin de los polos y los ceros del sistema en lazo cerrado Se asume que el sistema en lazo cerrado es estable Las caractersticas de desempeo estn especificadas generalmente como la respuesta a una entrada escaln. Las cantidades utilizadas generalmente son: Tiempo de retardo: td Tiempo de subida: trTiempo de pico: tpSobreimpulso mximo: MpTiempo de asentamiento: ts

Respuesta transitoria

Rediseo de reguladores continuos: especificaciones de diseoSistemas de control digitales La estabilidad relativa del sistema puede ser investigada en relacin con el crculo unitario del plano Z. El objetivo fundamental del diseo de un controlador mediante el lugar de races consiste en aadir polos y ceros a la funcin de transferencia en lazo abierto para modificar los de sta en lazo cerrado, de forma que cumpla unas especificaciones determinadas. Si llamamos F(z) a la funcin de transferencia en lazo abierto del sistema, los polos estarn determinados por1 + F(z) = 0. Al ser F(z) compleja, obtenemos las siguientes condiciones para que un polo forme parte del lugar de races

Condicin de ngulo:

Condicin de magnitud: Lugar de races

Rediseo de reguladores continuosSistemas de control digitales Regla prctica: En sistemas subamortiguados muestrear de 8 a 10 veces durante un ciclo de las oscilaciones amortiguadas de la salida del sistema en lazo cerrado Para sistemas sobreamortiguados es conveniente probar de 8 a 10 veces durante el tiempo de subida de la respuesta escaln. El ngulo de los polos dominantes en lazo cerrado determina el nmero de muestras por ciclo de oscilacin senoidal. En este caso son tiles ciertos procedimientos que permiten acotar las regiones del plano z en las que se cumplen las especificaciones impuestas al sistema. Efectos de T sobre la respuesta transitoria

Rediseo de reguladores continuosSistemas de control digitales Suponemos un controlador de tipo integral T = 0.5 seg

Influencia de T en la estabilidad del sistema en lazo cerrado

Kc (ganancia crtica) = 8.165 Para K = 2 los polos en lazo cerrado son z1 = 0.4098 + j0.6623 z2 = 0.4098 - j0.6623

Rediseo de reguladores continuosSistemas de control digitales T = 1 segInfluencia de T en la estabilidad del sistema en lazo cerrado

Kc (ganancia crtica) = 4.328 Para K = 2 los polos en lazo cerrado son z1 = 0.0518 + j0.6043 z2 = 0.0518 - j0.6043

Rediseo de reguladores continuosSistemas de control digitales T = 2 segInfluencia de T en la estabilidad del sistema en lazo cerrado

Kc (ganancia crtica) = 2.626 Para K = 2 los polos en lazo cerrado son z1 = -0.2971 + j0.2169 z2 = -0.2971 - j0.2169

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales A partir de las especificaciones dinmicas se pueden acotar las regiones del plano Z en las que deben estar situados los polos dominantes para cumplir las especificaciones. Especificaciones ms habituales:Regiones que cumplen las especificaciones Intervalo de subida:

Intervalo de pico:

Sobreamortiguamiento:

Tiempo de establecimiento:

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales En sistemas de segundo orden se puede realizar un anlisis grfico teniendo en cuenta que:Regiones que cumplen las especificaciones En el plano z una regin de constante aparece como una espiral logartmica. La d constante viene dada por lneas rectas que salen del origen. El ngulo de los polos dominantes en lazo cerrado determina el nmero de muestras por ciclo de oscilacin senoidal.

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales Un controlador proporcional permite seleccionar la posicin de los polos en bucle cerrado del sistema al desplazarse stos por las ramas del lugar de races. Los pasos a seguir son: Fijar la posicin de los polos dominantes en el sistema final para que estn situados en las regiones adecuadas. Representar el lugar de races para comprobar si es posible situar las races en la regin acotada de las especificaciones usando slo una accin proporcional. En principio habr que elegir el mnimo valor de ganancia K que site a las races en la regin adecuada.

Controladores P

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales El regulador PD introduce un polo en el origen y un cero entre el origen y el punto (1, 0). Una vez fijada la posicin del cero se puede determinar la ganancia mediante el criterio del mdulo.

Controladores PDControladores PI El regulador PI introduce un polo en z = 1 y un cero que en condiciones normales estar prximo a ese polo. Al introducir un polo en z = 1 mejora el comportamiento en rgimen permanente. El objetivo es desplazar el lugar de races hacia regiones ptimas del plano Z.

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales Para el siguiente sistema, calcular el regulador R(z) discreto ms sencillo que cumple: Mp 20% ts 14 muestras ep 22%EjemploR(z)1/(z-0.7)*(z-0.9)

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales Establecemos la regin de validez de las especificaciones

Los polos dominantes estarn en p = 0.7435 j0.323

Ejemplo

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales Se dibuja entonces el lugar de races y se comprueba si se puede trabajar en esos puntos de funcionamiento

Se puede comprobar que el lugar de races no pasa por esos puntos: es necesario un regulador PD.

Ejemplo

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales Para calcular la posicin del cero se hace uso del criterio del argumentoEjemplo Por el criterio del argumento a1 + a2 + a3 b = 180(2n + 1) Por lo que b = 41.66 y el cero estar en:c = 0.7435 0.323/tan41.66 = 0.38

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales La ganancia se puede calcular mediante el criterio del mdulo o analizando el lugar de races.Ejemplo Por el criterio del mdulo K = d1d2d3/d4 = 0.039 Analizando el lugar de races vemos que con una ganancia de 0.039 el lugar de races pasa por los puntos requeridos Por tanto, el regulador PD tendr la expresin:

Diseo de reguladores discretos mediante lugar de racesSistemas de control digitales A continuacin hay que comprobar que el error de posicin entra dentro de las especificaciones:

Con lo que la respuesta al impulso queda:Ejemplo