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Sistemas Fuzzy
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Sistemas especialistas Fuzzy
n Especialistas n Senso comum para resolver problemas n Impreciso, inconsistente, incompleto, vago “Embora o transformador esteja um pouco carregado, pode-se
usá-lo por um tempo” n Nenhum problema para outro especialista, mas sim para o EC
n Lógica Fuzzy: n Idéia: todas as coisas admitem graus (temperatura, altura,
velocidade, distância, etc...) n Desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na
década de 60
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Grau de Crença x Grau de Verdade n Grau de Crença x Teoria das Probabilidades
n 80% dos pacientes com dor de dentes têm cáries n Uma probabilidade de 0.8 não significa “80% verdade” mas sim um grau de
crença de 80% na regra Grau de verdade x Lógica Fuzzy
n Mário é alto n A proposição é verdadeira para uma altura de Mario 1.65m ?
n ...mais ou menos.... n Observar que não há incerteza, estamos seguros da altura de Mario
n O termo linguístico “alto” é vago, como interpretá-lo? n Por exemplo, a teoria de conjuntos Fuzzy (semântica para lógica fuzzy) permite
especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga (predicado vago) n O grau de pertinência de um objeto a um conjunto fuzzy é representado por algum número
em [0,1]
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Características: Lógica Fuzzy (1/2)
n Lógica convencional: sim-ou-não, verdadeiro-ou-falso n Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa):
n Refletem o que as pessoas pensam n Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de decisão ou senso
comum
n Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.
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Características: Lógica Fuzzy (2/2)
n Antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações não tinham como ser processadas
n A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas lógicos binários, como também os multi-valorados
n A lógica fuzzy vem sendo aplicada nas seguintes áreas n Análise de dados n Construção de sistemas especialistas n Controle e otimização n Reconhecimento de padrões, etc.
n Conjunto de princípios matemáticos para a representação do conhecimento baseado no grau de pertinência dos termos
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Conjuntos Fuzzy (1/3)
n Conjuntos com limites imprecisos
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Clássico 1.0
Função de pertinência
Altura (m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Fuzzy
A = Conjunto de pessoas altas
.8
1.70
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Conjuntos Fuzzy (2/3) n Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é caracterizado por uma
função de pertinência µA, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
µA:Xà[0,1]
n Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x pertencente a X um número real µA(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.
n Uma sentença pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa n µA(X) : x à[0,1], µA(X) = 0 0 < µA(X) < 1 µA(X) = 1
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Conjuntos Fuzzy (3/3)
n Definição formal n Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares
ordenados:
}|))(,{( XxxxA A ∈= µ
Universo ou Universo de discurso
Conjunto fuzzy
Função de pertinência
(MF)
Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência (MF)
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Como representar um conjunto Fuzzy num computador?
1. Função de pertinência n Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade
com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy n Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista n Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a
um conjunto
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Função de Pertinência
n Várias formas diferentes n Representadas uma função de mapeamento n Características das funções de pertinência:
n Medidas subjetivas n Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes, decrescentes
ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.
MFs
Altura (m)
“alto” no Brasil
1.75
.5
.8
.1
“alto” nos EUA
“alto” na Itália
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Função de Pertinência n Função Triangular
n Função Trapezoidal
n Função Gaussiana
n Função Sino Generalizada
trimf x a b cx a
b a
c x
c b( ; , , ) max min , ,=
−
−
−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟0
trapmf x a b c dx a
b a
d x
d c( ; , , , ) max min , , ,=
−
−
−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟1 0
gbellmf x a b cx c
b
b( ; , , ) =
+−
1
1
2
2
21
),,;(⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
= σcx
ecbaxgaussmf
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Função de Pertinência
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia"
(a) Triangular
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia"
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 G
rau
de P
ertin
ênci
a"
(d) Sino Gerneralizada
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Função de pertinência: Universo Discreto
n X = {SF, Boston, LA} (discreto e não ordenado)
n C = “Cidade desejável para se viver” n C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}
n X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) n A = “Número de filhos” n A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6),
(5, .2), (6, .1)}
0 2 4 6 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
X = Número de filhos
Gra
u de
Per
tinên
cia
(a) Universo Discreto
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Função de pertinência: Universo Contínuo
n X = (Conjunto de números reais positivos) (contínuo)
n B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos”
n B = {(x, µB(x) )| x em X}
µB x x( ) =
+−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
1
1 5010
2
0 50 100 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
X = Idade
Gra
u de
Per
tinên
cia
(b) Universo Contínuo
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Partição Fuzzy
n Partição fuzzy do universo de X representando “idade”, formada pelos conjuntos fuzzy “jovem”, “maduro” e “idoso”.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2
X = Idade
Gra
u de
Per
tinên
cia Jovem Maduro Idoso
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Variáveis Lingüísticas
n Uma variável lingüística possui valores que não são números, mas sim palavras ou frases na linguagem natural. n Idade = idoso
n Um valor lingüístico é um conjunto fuzzy. n Todos os valores lingüísticos formam um conjunto de termos:
n T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,... Maduro, não maduro,... Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho,... Não muito jovem e não muito velho,...}
n Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas
Exemplo: If projeto.duração is não muito LONGO then risco is ligeiramente reduzido
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Hedges (modificadores)
n Termos que são usados para modificar a forma dos conjuntos fuzzy n Muito, algo mais ou menos, um
pouco
n São universais n Compostos de nome e fórmula n Muito:
n Extremamente
n Muito muito
n Um pouco
n Mais ou menos
n Indeed ( )2)()( xx AMA µµ =
( )3)()( xx AMA µµ =
( ) 3,1)()( xx AMA µµ =
)()( xx AMA µµ =
( )( ) 15,0,)(121)(
5,00,)(*2)(2
2
≤<−−=
≤≤=
µµµ
µµµ
xx
xx
AMA
AMA
( )4)()( xx AMA µµ =
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A ⊂ B, se µB(x) ≥ µA(x) para cada x∈ X A = B, se µA(x) = µB(x) para cada x∈ X ⎤ A = X - A à µ⎤A(x) = 1 - µA(x)
µE(x) = Max [0, µA(x) - µB(x)]
C = A ∪ B à µc(x) = max(µA(x), µB(x)) C = µA(x) ∨ µB(x)
C = A ∧ B à µc(x) = min(µA(x), µB(x)) C = µA(x) ∧ µB(x)
Operações Básicas
n Subconjunto n Igualdade n Complemento n Complemento Relativo
n União
n Interseção
∈∈
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Representação
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 A está contido em B
Gra
u de
Per
tinên
cia
B A
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy não “A”
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 A B
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 (c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 (d) Conjunto Fuzzy "A e B"
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Exemplo (União|Interseção)
n X = {a, b, c, d, e} n A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} n B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
n União n C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
n Interseção
n D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
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Propriedades n Comutatividade
n A ∨ B = B ∨ A A ∧ B = B ∧ A
n Idempotência n A ∨ A = A A ∧ A = A
n Associatividade n A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C = A ∨ B ∨ C A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C = A ∧ B ∧ C
n Distributividade n A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Propriedades padrões: Comutatividade, Idempotência Associatividade, Distributividade etc. são válidas para os conjuntos fuzzy. Exceção:
⎤ A ∧ A ≠ φ ⎤ A ∨ A ≠ X
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Regras Fuzzy
Consistem: n Conjunto de condições IF
(usando conectivos and, or ou not) n Uma conclusão THEN n Uma conclusão opcional ELSE
Exemplo:
1. Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros
2. Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros
1. Se velocidade é alta Então DPP é longa
2. Se velocidade é baixa Então DPP é curta
Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta
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Regras Fuzzy
n E o raciocínio? n Avaliar o antecedente n Aplicar o resultado ao conseqüente n As regras são ativadas parcialmente, dependendo do antecedente n Ex: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso = ?)
1.85
.5 .75
.1
Alto
90
.5 .75
.1
Pesado
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Regras Fuzzy
n E no caso de existir vários antecedentes?
n E no caso de existir vários conseqüentes?
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1ª FUZZIFICAÇÃO
2ª INFERÊNCIA
AGREGAÇÃO
3ª DEFUZZIFICAÇÃO
COMPOSIÇÃO
Etapas do raciocínio Fuzzy
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Linguístico Numérico Nível
Variáveis Calculadas
Variáveis Calculadas
(Valores Numéricos)
(Valores Linguísticos) Inferência Variáveis de Comando
Defuzzificação
Objecto
Fuzzificação
(Valores Linguísticos)
Variáveis de Comando (Valores Numéricos)
Nível
Etapas do raciocínio Fuzzy
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Fuzzificação
n Etapa na qual as variáveis lingüísticas são definidas de forma subjetiva, bem como as funções membro (funções de pertinência)
n Engloba n Análise do Problema n Definição das Variáveis n Definição das Funções de pertinência n Criação das Regiões
n Na definição das funções de pertinência para cada variável, diversos tipos de espaço podem ser gerados: n Triangular, Trapezoidal, ...
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TRIANGULAR
Frio Normal Quente
TRAPEZOIDAL
Lento Rápido
Fuzzificação
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Inferência Fuzzy n Etapa na qual as proposições
(regras) são definidas e depois são examinadas paralelamente
n Engloba: n Definição das proposições n Análise das Regras n Criação da região resultante
n O mecanismo chave do modelo Fuzzy é a proposição
n A proposição é o relacionamento entre as variáveis do modelo e regiões Fuzzy
n Na definição das proposições, deve-se trabalhar com:
n Proposições Condicionais if W is Z then X is Y
n Proposições Não-Condicionais
X is Y
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Inferência Fuzzy
n AGREGRAÇÃO n Calcula a importância de uma determinada regra para a situação
corrente
n COMPOSIÇÃO n Calcula a influência de cada regra nas variáveis de saída.
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Defuzzificação n Etapa no qual as regiões resultantes são convertidas em valores
para a variável de saída do sistema n Esta etapa corresponde a ligação funcional entre as regiões Fuzzy e
o valor esperado
n Dentre os diversos tipos de técnicas de defuzzificação destaca-se: n Centróide n First-of-Maxima n Middle-of-Maxima n Critério Máximo
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Exemplos:
z0 z0 z0
Centróide First-of-Maxima Critério Máximo
Defuzzificação
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Inferência Fuzzy: Um exemplo
n Objetivo do sistema: n um analista de projetos de uma
empresa que determina o risco de um determinado projeto
n Quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas no projeto
n Representação das variáveis de entrada
n Base de conhecimento 1. Se dinheiro é adequado ou
pessoal é pequeno então risco é pequeno
2. Se dinheiro é médio e pessoal é alto, então risco é normal
3. Se dinheiro é inadequado, então risco é alto
Problema: dinheiro = 35% e pessoal = 60%
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Inferência Fuzzy: Um exemplo
n Passo 1: Fuzzificar
75,0)(&25,0)( == dd mi µµ
Dinheiro
Inadequado Médio
Adequado 35
.25
.75
Pessoal
60
Baixo Alto
.2
.8
8,0)(&2,0)( == pp ab µµ
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Inferência Fuzzy: Um exemplo n Passo 2: Avaliação das regras
n Ou → máximo e → mínimo
Adequado
Regra 1:
Baixo 0,0 ou
0,2
Risco
médio
Regra 2:
Alto 0,25
e
0,8
Risco
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Inferência Fuzzy
Risco
Inadequado
Regra 3:
0,75
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Inferência Fuzzy n Passo 3: Defuzzificação
Risco
0,75
0,25
10 20 30 40 70 60 50 100 90 80
4,708,35,267
75,075,075,025,025,025,02,02,02,02,075,0*)1009080(25,0*)706050(2,0*)40302010(
==+++++++++
+++++++++=C
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Inferência Fuzzy
n O método de Sugeno n Igual ao Mandani n Conseqüente Singleton
n Computacionalmente eficaz n Mais utilizado em otimização e adaptação (controle de
sistemas