Tarea 03

DIPLOMADO EN CLCULO Y DISEO ESTRUCTRUAL APLICADO A EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO Y ALBAILERA

DEFINICIONES Y CONCEPTOS DE ANLISIS ESTRUCTURALPROBLEMA 1

Para cada una de las estructuras mostradas determinar el nmero de grados de libertad, escoger un sistema de coordenadas adecuado y bosquejar la configuracin deformada y los diagramas de fuerzas internas. Analizar las estructuras usando MASTAN2. Presentar diagramas acotados de reacciones, fuerzas internas y de la configuracin deformada usando el sistema de coordenadas elegido.

1.1. PRTICO 2D

Datos del problema:

Material:Concreto, E=2.2x106 Ton/m2 = 2.157x107 kN/m2

Secciones:a : 0.30m x 0.50m

b : 0.30m x 0.80m

Solucin

(A) Considerando deformaciones Axiales

En una estructura de tipo prtico plano, tal como la que se muestra, se consideran tres grados de libertad por nudo, tratndose de deformacin por todo concepto, ya sea, fuerza axial, flexin y corte. Normalmente se desprecian las deformaciones por corte ya que son muy pequeas en comparacin con las deformaciones por flexin. Por lo tanto para la estructura mostrada, se tiene, que el nmero total de grados de libertad es de 2 nudos x 3 g.d.l./nudo, es decir, 6.

n.g.d.l. = 6

Los sistemas de coordenadas elegidos son:

Los 3 g.d.l. de cada nudo corresponden a: desplazamiento horizontal (a lo largo del eje global x positivo), desplazamiento vertical (a lo largo del eje global y positivo) y rotacin (alrededor del eje z, perpendicular al papel, positivo de acuerdo a la regla de la mano derecho).

De acuerdo al sistema de coordenadas globales, la estructura tiene en total 6 g.d.l., es decir, desplazamientos globales independientes que conllevan al ensamblaje de un matriz de rigidez total de 6x6, simtrica e invertible.

De acuerdo al sistema de coordenadas locales, cada elemento debe tener tambin 3 g.d.l. por nudo, en total 6 g.d.l. Por lo tanto la matriz de rigidez de cada elemento es de 6x6, simtrica y singular. La matriz de rigidez del elemento es singular, porque algunas fuerzas y desplazamientos son dependientes y por el tanto, en la formulacin de su matriz de rigidez, algunas ecuaciones son redundantes.

(B) Despreciando las deformaciones Axiales

Para el sistema estructural mostrado, se puede comprobar que las deformaciones por fuerza axial son muy pequeas en comparacin con las deformaciones por flexin, por lo tanto, se puede idealizar la estructura teniendo en cuenta que no existe deformacin axial en ninguna barra. Por lo tanto, los nudos en cuestin solo pueden rotar y debido a la geometra de la estructura, solo puede haber un desplazamiento lateral en cualquiera de los 2 nudos, ya que el otro viene a ser un grado de libertad dependiente. Adems, no existe g.d.l. verticales, debido a que se asume que las columnas no presentan deformacin por fuerza axial. En conclusin, la estructura tiene solo 3 g.d.l.

n.g.d.l. = 3

Los sistemas de coordenadas elegidos son:

En este caso, solo consideramos un g.d.l. por nudo, que corresponde a una rotacin alrededor del eje Z (perpendicular al papel). El desplazamiento lateral depende de la geometra de la estructura, el resto de g.d.l. posibles no se consideran porque son dependientes.

De acuerdo al sistema de coordenadas globales, la estructura tiene en total 3 g.d.l., es decir, desplazamientos globales independientes que conllevan al ensamblaje de un matriz de rigidez total de 3x3, simtrica e invertible.

De acuerdo al sistema de coordenadas locales, cada elemento debe tener tambin 1 g.d.l. por nudo (rotacin), en total 2 g.d.l. Por lo tanto la matriz de rigidez de cada elemento es de 2x2, simtrica. La matriz de rigidez del elemento no es singular, porque las fuerzas (momentos) y desplazamientos (rotaciones) son independientes tambin.

Tanto para el caso en que consideran deformaciones axiales, como para el caso donde se las desprecian, podemos bosquejar la configuracin deformada y las fuerzas internas en la estructura.

Configuracin deformada

Fig. 1.1-B.1. Estructura deformada aproximada del prtico 2D.

Diagramas de Fuerzas Internas

Fig. 1.1-B.2. Bosquejo de Diagrama de Fuerzas Axiales.

Fig. 1.1-B.3. Bosquejo de Diagrama de Fuerzas Cortantes.

Fig. 1.1-B.3. Bosquejo de Diagrama de Momentos Flectores.

1.2. PRTICO 3D

Datos del problema:

Material:Concreto, E=2.2x106 Ton/m2 = 2.157x107 kN/m2

Secciones:a : 0.30m x 0.50m

b : 0.30m x 0.80m

Solucin

(A) Considerando Techo Rgido

En una estructura de tipo prtico espacial, tal como la que se muestra, se deben considerar 6 grados de libertad por nudos, ya que cada nudo en el espacio tiene 6 desplazamientos (3 traslaciones y 3 rotaciones). El hecho de tener un techo de material muy rgido permite simplificar el problema ya que el comportamiento de diafragma rgido de los techos por lo general evite que ste presente deformaciones axiales en su plano, pero s puede flexionarse. Por lo tanto todos lo nudos que se conecten a este techo rgido tendrn 3 g.d.l. dependientes: traslacin en x, traslacin en z y rotacin alrededor del eje y. Es suficiente representar cualquiera de estos g.d.l. en un solo nudo contenido en el techo rgido. Adems, los nudos pueden rotar alrededor del eje x y el eje z. Si despreciamos las deformaciones axiales de las columnas, entonces no hay g.d.l. de desplazamiento vertical en ningn nudo. En conclusin, se tienen 3 g.d.l. del comportamiento de diafragma rgido ms 2 rotaciones por 4 nudos que hacen 8 g.d.l. En total se tiene:

n.g.d.l. = 11

Los sistemas de coordenadas elegidos son:

Los 2 g.d.l. de cada nudo corresponden a: rotacin a lo largo de los ejes x y z y los desplazamientos horizontales y el giro en planta del techo rgido se representa por un nudo maestro ubicado generalmente en el centro de gravedad en entrepiso. Los nudos que se ubican a nivel del techo dependen de estos desplazamientos.

De acuerdo al sistema de coordenadas globales, la estructura tiene en total 11 g.d.l., es decir, desplazamientos globales independientes que conllevan al ensamblaje de un matriz de rigidez total de 11x11, simtrica e invertible.

De acuerdo al sistema de coordenadas locales, cada elemento debe tener tambin 5 g.d.l. por nudo, en total 10 g.d.l. (ya que se desprecian las deformaciones por fuerza axial). Por lo tanto la matriz de rigidez de cada elemento es de 10x10, simtrica y singular. La matriz de rigidez del elemento es singular, porque algunas fuerzas y desplazamientos son dependientes y por lo tanto, en la formulacin de su matriz de rigidez, algunas ecuaciones son redundantes.

(B) Techo Flexible

Para el prtico en 3D mostrado, si se consideran deformaciones por todo concepto y el techo tiene una rigidez axial relativamente baja, entonces, se dice que el techo es flexible y por lo tanto, no se considera un comportamiento de diafragma. Y si adems se consideran las deformaciones axiales de vigas y columnas, se deber, entonces, considerar los 6 g.d.l. de cada nudo, es decir 3 traslaciones y 3 rotaciones. En nmero total de g.d.l. es el siguiente:

n.g.d.l. = 6 x 4 = 24

Los sistemas de coordenadas elegidos son:

De acuerdo al sistema de coordenadas globales, la estructura tiene en total 24 g.d.l., es decir, desplazamientos globales independientes que conllevan al ensamblaje de un matriz de rigidez total de 24x24, simtrica e invertible.

De acuerdo al sistema de coordenadas locales, cada elemento debe tener tambin 6 g.d.l. por nudo (rotacin), en total 12 g.d.l. Por lo tanto la matriz de rigidez de cada elemento es de 12x12, simtrica. La matriz de rigidez del elemento tambin es singular.

Tanto para el caso en que consideran techo rgido como para el que no se considera, se puede bosquejar la configuracin deformada y las fuerzas internas en la estructura.

Configuracin deformada

Fig. 1.2-B.1. Estructura deformada aproximada del prtico 3D.

Fuerzas Internas

Fig. 1.2-B.2. Bosquejo de las Fuerzas Axiales del prtico 3D.

Fig. 1.2-B.3. Bosquejo de las Fuerzas Cortantes (direcc. de las cargas) del prtico 3D.

Fig. 1.2-B.4. Bosquejo de las Momentos Flectores (direcc. de las cargas) del prtico 3D.

1.3. PARRILLA 2D

Datos del problema:

Material:Concreto, E=2.2x106 Ton/m2 = 2.157x107 kN/m2

Secciones:a : 0.30m x 0.50m

b : 0.30m x 0.80m

Solucin

En una estructura de tipo Parrilla se considera que las cargas actan perpendiculares al plano de la estructura y por lo tanto los nudos se desplazan solo verticalmente y rotan alrededor de los ejes que forman el plano en el que est contenido la parrilla. En conclusin, tal como en el prtico plano, cada nudo tiene 3 grados de libertad: un desplazamiento vertical y 2 desplazamientos rotacionales. Por lo tanto:

n.g.d.l. = 3 x 3 = 9

Los sistemas de coordenadas elegidos son:

Los 3 g.d.l. de cada nudo corresponden a: desplazamiento vertical (a lo largo del eje global y positivo), rotacin alrededor del eje x y rotacin alrededor del eje z.

De acuerdo al sistema de coordenadas globales, la estructura tiene en total 6 g.d.l., es decir, desplazamientos globales independientes que conllevan al ensamblaje de un matriz de rigidez total de 6x6, simtrica e invertible.

De acuerdo al sistema de coordenadas locales, cada elemento debe tener tambin 3 g.d.l. por nudo, en total 6 g.d.l. Por lo tanto la matriz de rigidez de cada elemento es de 6x6, simtrica y singular. La matriz de rigidez del elemento es singular, porque algunas fuerzas y desplazamientos son dependientes y por el tanto, en la formulacin de su matriz de rigidez, algunas ecuaciones son redundantes.

M.I. Jos Velsquez Vargas jvelasquez@uptrujillo.edu.pe