Sistemas de un grado de libertad

Respuesta de sistemas dinmicos con un grado de libertad

Respuesta de sistemas dinmicos con un grado delibertad

F. Javier Cara

ETSII-UPM

Curso 2013-2014

1


Contenido

Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguadorClculo de la respuesta mediante la ecuacin diferencialTransformacin en ecuacin diferencial de primer ordenClculo de la respuesta mediante la integral de convolucinClculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base

2


Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador


Figura: (a), (b) Modelos dinmicos para un edificio; (c) Modelo general paraun sistema de un grado de libertad.

3



Clculo de la respuesta mediante la ecuacin diferencial

Clculo de las respuesta mediante la ecuacin diferencial

Figura: Equilibrio de fuerzas.

Aplicando la 2a Ley de Newton (segn el principio de DAlambert, lafuerza my (t) tiene sentido opuesto al movimiento)

F (t) = my(t) F (t) Fc(t) Fk(t) = my (t)Sustituyendo cada fuerza por su valor

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t)

La ecuacin diferencial del sistema masa-muelle-amortiguador es

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t) (1a)

y(0) = y0, y (0) = y0 (1b) 4




Solucin para fuerza constanteSlo para determinadas situaciones la ecuacin anterior se puede resolverde manera exacta. Uno de estos casos es cuando la fuerza aplicada alsistema es constante:

my(t) + cy(t) + ky(t) = F0 (2a)

y(0) = y0, y(0) = y0 (2b)

Como es bien conocido, la solucin de esta ecuacin es la suma de lasolucin de la parte homognea ms una solucin particular

y(t) = yh(t) + yp(t)

Solucin de la ecuacin homogneaLa ecuacin homognea correspondiente a (2) es

myh(t) + cyh(t) + kyh(t) = 0

La solucin de esta ecuacin es de la forma

yh(t) = Aest

5




Sustituyendoms2Aest + csAest + kAest = 0

Para est 6= 0, esto es, para yh(t) 6= 0 se tienems2 + cs + k = 0

cuya solucin es

s1 =c +

c2 4mk2m

, s2 =c

c2 4mk2m

y la solucin homognea queda

yh(t) = A1es1t + A1e

s2t = A1ec+

c24mk2m t + A2e

c

c24mk2m t

En dinmica de estructuras es usual definir los siguientes trminos

ndef=

k

m[rad/s]

def=

c

2

mk(0 1)

dnde n es la frecuencia natural de vibracin y es la razn deamortiguamiento. 6




Podemos expresar la solucin de la ecuacin homognea teniendo encuenta estas variables

yh(t) = A1e

(

n+in

12)

t+ A2e

(

nin

12)

t

donde se ha considerado que c2 4mk < 0. En caso contrario el sistemano es estable.Definimos ahora otra nueva variable, la frecuencia natural amortiguada

ddef= n

1 2 [rad/s]por lo que

yh(t) = A1e(n+id )t + A2e

(nid )t

Solucin particularUna solucin particular de (2) es

yp(t) =F0

k

Solucin finalFinalmente

y(t) = yh(t) + yp(t) = A1e(n+id )t + A2e

(nid )t +F0

k 7




la velocidad se obtiene derivando

y (t) = A1 (n + id) e(n+id )t + A2 (n id ) e(nid )t

Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales, y(0) = y0, y(0) = y0

y(0) = A1 + A2 +F0

k= y0

y (0) = A1 (n + id) + A2 (n id ) = y0La solucin de este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas es

A1 =d

(

y0 F0k)

i(

n(

y0 F0k)

+ y0)

2d

A2 =d

(

y0 F0k)

+ i(

n(

y0 F0k)

+ y0)

2d

8




Sustituyendo

y(t) =

(

y0 F0

k

)

ent cosdt+

(

n(

y0 F0k)

+ y0

d

)

ent sendt+F0

k

(3)

y (t) = y0ent cosdt

(

n(

y0 F0k)

+ y0

1 2

)

ent sendt (4)

y la aceleracin se obtiene sustituyendo en (2)

y (t) =1

m(F0 cy(t) ky(t)) (5)

9




Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de ungrado de libertad sometido a vibracin libre.

Un sistema est sometido a vibracin libre cuando la fuerza externa esnula. Por tanto las ecuaciones de equilibrio se obtienen a partir de (1)

my(t) + cy(t) + ky(t) = 0 (6a)

y(0) = y0, y(0) = y0 (6b)

y la solucin se obtiene fcilmente de las ecuaciones (3) y (4)

y(t) = ent[

y0 cosdt +

(

ny0 + y0d

)

send t

]

(7)

y(t) = ent

[

y0 cosd t (

ny0 + y0

1 2

)

send t

]

(8)

y(t) = 1m(cy(t) + ky(t)) (9)

10




0 5 10 151

0.5

0

0.5

1

t (s)

y (m

)

0 5 10 1510

5

0

5

10

t (s)

v (m

/s)

0 5 10 1540

20

0

20

40

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Vibracin libre de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , n = 2 rad/s, = 0,025, y0 = 1 m, y0 = 0 m/s.

11




Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de ungrado de libertad sometido a una fuerza escalon.

Figura: Fuerza escalon

12




La respuesta se divide en: t0 t t1 Vibracin forzada con F (t) = F0. Por lo tanto:

y(t) =

(

y0 F0

k

)

ent cosdt+

(

n(

y0 F0k)

+ y0

d

)

ent sendt+F0

k

y (t) = y0ent cosdt

(

n(

y0 F0k)

+ y0

1 2

)

ent sendt

y (t) =1

m(F0 cy(t) ky(t))

en t1 la posicion y la velocidad y seran y(t1) y y (t1). t t1 Vibracin libre con condiciones iniciales y(t1) y y (t1).

y(t) = en(tt1)[

y(t1) cosd(t t1) +(

ny(t1) + y(t1)

d

)

send(t t1)]

y(t) = en(tt1)

[

y (t1) cosd (t t1)(

ny(t1) + y (t1)

1 2

)

send (t t1)]

y(t) = 1m(cy(t) + ky(t))

13




0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

t (s)

F(t

) (N

)

0 5 10 15 20 25 300.5

0

0.5

t (s)

y (m

)

F0/k

0 5 10 15 20 25 302

0

2

t (s)

v (m

/s)

0 5 10 15 20 25 3010

0

10

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Vibracin de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , n = 2 rad/s, = 0,025, y0 = 0 m, y0 = 0 m/s, F0 = 10 N.

14




Solucin para una fuerza cualquiera. Mtodo incremental.Vamos a calcular ahora la respuesta del sistema para una fuerzacualquiera F (t). Para ello se tiene que resolver la ecuacin diferencial (3)utilizando tecnicas numericas.

Mtodos de integracin de escuaciones diferenciales:Newton-Raphson, diferencias finitas, ...

Mtodos especficos para dinmica de estructuras: mtodo deNewmark, mtodo de Wilson,...

Nosotros vamos a utilizar uno muy sencillo, el mtodo incremental. Paraello aproximamos F (t) en escalones, como en la figura:

15




Para ti t ti+1

F (t) =

{

F (ti ) ti t ti+10 resto

Adems tenemos las condiciones iniciales yti , yti y yti . Por tanto

y(t) =

(

y(ti )F (ti )

k

)

en(tti ) cosd (t ti )

+

n

(

y(ti ) F (ti )k)

+ y (ti)

d

en(tti ) send(t ti) +F (ti )

k

y (t) = y(ti )en(tti ) cosd (t ti)

n

(

y(ti) F (ti )k)

+ y (ti)

1 2

en(tti ) send(t ti)

y(t) =1

m(F (ti ) cy(t) ky(t))

Con esas expresiones calculamos yti+1 , yti+1 y yti+1 y repetimos el proceso. 16




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

0

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 810

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 850

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8500

0

500

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Vibracin de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , n = 2 rad/s, = 0,025, y0 = 0 m, y0 = 0 m/s, N = 128 puntos.

17



Transformacin en ecuacin diferencial de primer orden

Transformacin en ecuacin diferencial de primer orden La ecuacin de equilibrio es una ecuacin diferencial de 2do orden

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t)

que se puede reescribir como

y(t) = m1ky(t) m1cy(t) + m1F (t) Si aadimos la ecuacin trivial y(t) = y(t)

y(t) = y (t)

y(t) = m1ky(t) m1cy(t) + m1F (t) En forma matricial

[

y(t)y(t)

]

=

[

0 1m1k m1c

] [

y(t)y (t)

]

+

[

0m1

]

F (t)

Que es una ecuacin diferencial de primer orden

x(t) = Acx(t) + BcF (t)

18




Solucin de la ecuacin de primer orden

x(t) = Acx(t) + BcF (t)

La solucin de esta ecuacin se puede encontrar haciendo:

eAct(

d

dtx(t) Acx(t)

)

= eAc tBcF (t)

d

dt

(

eActx(t))

= eActBcF (t)

eAc tx(t) = k +

t

t0

eAcsBcF (s)ds

x(t) = eAc tk + eAc t t

t0

eAcsBcF (s)ds

x(t0) = eAc t0k k = eAct0x(t0)

x(t) = eAc(tt0)x(t0) + eAct

t

t0

eAcsBcF (s)ds

19




Solucin en tiempo discreto

x(t) = eAc(tt0)x(t0) + eAct

t

t0

eAcsBcF (s)ds

Por tanto

x(t +t) = eAc(t+tt0)x(t0) + eAc(t+t)

t+t

t0

eAcsBcF (s)ds

eActx(t) = eAc(t+tt0)x(t0) + eAc(t+t)

t

t0

eAcsBcF (s)ds

Restando

x(t+t)eActx(t) = eAc (t+t)[

t+t

t0

eAc sBcF (s)ds

t

t0

eAc sBcF (s)ds

]

x(t +t) = eActx(t) + eAc (t+t) t+t

t

eAcsBcF (s)ds

20




Solucin en tiempo discreto (2)Hemos encontrado que

x(t +t) = eActx(t) + eAc (t+t) t+t

t

eAcsBcF (s)ds

Vamos a suponer que F (t) es constante en el intervalo(tk , tk +t) = (tk , tk+1) e igual a F (tk)

x(tk +t) = eActx(tk) + e

Ac (tk+t)

tk+t

tk

eAcsBcF (tk)ds

x(tk +t) = eActx(tk) + e

Ac(tk+t)[

eActA1c]tk+t

tkBcF (tk)

x(tk +t) = eActx(tk) +

[

I2 eAct]

A1c BcF (tk)

Por tanto, la solucin en tiempo discreto es

x(tk+1) = Adx(tk) + BdF (tk) xk+1 = Adxk + BdFk

Ad = eAct , Bd = [I2 Ad ]A1c Bc

21




Clculo del desplazamiento, velocidad y aceleracin

xk+1 = Adxk + BdFk

Ad = eAct , Bd = [I2Ad ]A1c Bc , Ac =

[

0 1m1k m1c

]

, Bc =

[

0m1

]

Como el vector

x(t) =

[

y(t)y(t)

]

xk =[

ykyk

]

Y adems

y(t) = m1ky(t) m1cy(t) + m1F (t) yk = m1kyk m1cyk + m1Fk

Podemos hacer

ykykyk

=

1 00 1

m1k m1c

xk +

00

m1

Fk

Una vez calculado xk se obtiene {yk , yk , yk} con esta ecuacin.22



Clculo de la respuesta mediante la integral de convolucin

Clculo de la respuesta a un impulsoSea una fuerza constante aplicada en ti hasta ti+1

Suponiendo que y(ti ) = 0, y(ti ) = 0, entonces se tiene que en ti+1

y(ti+1) =F0

k

(

1 ent cosdt (

nd

)

ent sendt

)

y (ti+1) =F0

k

[(

n

1 2

)

ent sendt

]

23




Vamos a calcular la respuesta cuando t 0

limt0

y(ti+1) =1

klim

t0

1 ent cosdt (

nd

)

ent sendt

t

LHopital=

1

klim

t0

(

2nd

)

ent sendt

1

= 0

limt0

y(ti+1) =n

k

1 2lim

t0

[

ent sendt

t

]

LHopital=

n

k

1 2lim

t0

[nent sendt + dent cosdt1

]

=n

k

1 2(0+ d ) =

1

m

24




Es decir, cuando ti+1 ti

y(ti+1) = 0, y(ti+1) =1

m

Para t > ti+1 tenemos vibracion libre con condiciones iniciales y(ti+1),y(ti+1), es decir

y(t) =

(

1

md

)

en(tti+1) send(t ti+1)

y(t) =

(

1

m

)

en(tti+1)

[

cosd(t ti+1)(

1 2

)

send(t ti+1)]

Como hemos hecho ti+1 ti

y(t) (

1

md

)

en(tti ) send(t ti)

y(t) (

1

m

)

en(tti )

[

cosd (t ti)(

1 2

)

send(t ti)]

25




Estas ecuaciones representan la respuesta a una funcin impulso (delta deDirac) aplicada en ti (se suele representar como h(t ti)), y la velocidaddebida a un impulso, h(t ti). Para una delta aplicada en t=s

F (t) = (t s)

y(t) = h(t s) =(

1

md

)

en(ts) send(t s)

y(t) = h(ts) =(

1

m

)

en(ts)

[

cosd (t s)(

1 2

)

send (t s)]

Obviamente, ambas respuestas estn definidas para t s. Es inmediatoque

F (t) = A(t s) y(t) = A h(t s) t s

y(t) = A h(t s) t s

26




Clculo de la respuesta mediante la integral de convolucinVamos a calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador auna fuerza F (t) utilizando la respuesta a un impulso.

La respuesta en t debido a F (t1)(t t1) es y(t) = F (t1)h(t t1). La respuesta en t debido a F (t2)(t t2) es y(t) = F (t2)h(t t2). La respuesta en t debido a F (t1)(t t1) y F (t2)(t t2) es

y(t) = F (t1)h(t t1) + F (t2)h(t t2)27




Siguiendo este razonamiento, la respuesta en t defido a F(t) es

y(t) =

s

0

F (s)h(t s)ds

y(t) =

s

0

F (s)h(t s)ds

En definitiva, la respuesta del sistema es la covolucin en el tiempo deF (t) y h(t s). Tambin se conoce como integral de Duhamel.Si sustituimos h(t s) y h(t s) por su valor

y(t) =

t

0

(

F (s)

md

)

en(ts) send(t s)ds

y(t) =

t

0

(

F (s)

m

)

en(ts)

[

cosd (t s)(

1 2

)

send(t s)]

ds

28




0 5 10 15 20 25 300.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

t (s)

h(t)

(N

/m)

1/(m*wd)e(wn*z*t)

Figura: Respuesta de un sistema de un gdl (m = 1 kg , n = 2 rad/s, = 0,025), a un impulso o delta de Dirac aplicado en t=0.

29




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

100

0

100

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 86

4

2

0

2

4

6

8

t (s)

y (m

)

incrementalduhamel


30




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

0

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 810

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 850

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8500

0

500

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Posicin, velocidad y aceleracin.

31



Clculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Clculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta enfrecuencia

Si consideramos una fuerza armnica de frecuencia y con amplitud quepuede ser distinta para cada :

F (t) = F ()e it

la respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a una carga de estetipo tambin es armnica de frecuencia :

y(t) = Y ()e it

y (t) = iY ()e it

y(t) = 2Y ()e it

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuacin de equilibrio

m2Y ()e it + icY ()e it + kY ()e it = F ()e it

Y () = 1(k m2) + icF ()

32




Se define entonces:

H() =1

(k m2) + ic

Esta ecuacin es la funcin de respuesta en frecuencia de un sistemamasa-muelle-amortiguador de un grado de libertad. Se cumple que

Y () = H()F ()

La velocidad se calcula de:

y (t) = iY ()e it y (t) = iy(t)

y(t)eitdt =

iy(t)eitdt

Y () = iY ()De igual manera se tiene que:

Y () = 2Y ()

33




0 10 200.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

(rad/s)

Rea

l(H(

)) (

m/N

)

0 10 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

(rad/s)

|H(

)| (

m/N

)

0 10 203.5

3

2.5

2

1.5

1

(rad/s)

|H(

)| (

dB r

ef 1

m/N

)

0 10 200.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

(rad/s)

Imag

(H(

)) (

m/N

)

0 10 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(rad/s)

(H

())

(ra

d)

Figura: Funcin de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:m = 1 kg , n = 2 rad/s, = 0,025.

34




Relacin entre h(t) y H()Consideremos de nuevo una fuerza armnica del tipo

F (t) = F ()e it y(t) = Y ()e it

Por la integral de convolucin sabemos que

y(t) =

F (s)h(t s)ds =

F (t )h()d

=

F ()e i(t )h()d = F ()e it

eih()d

Y ()e it = F ()e it

eih()d

Y segn la funcin de respuesta en frecuencia

Y () = H()F () H() =

h(t)eitdt

Luego H() es la transformada de Fourier de h(t).35




En realidad, la T. de Fourier la hemos definido como

H() =1

2

h(t)eitdt H() = 2H()

Luego la funcin de respuesta en frecuencia, H(), es 2 veces latransformada de Fourier de h(t), H(). En el caso discreto

H() =

h(t)eitdt H(n) =N1

k=1

h(tk)eintkt

H(n) =N1

k=1

h(kt)ei(2nNt )ktt = t

N1

k=1

h(kt)ei2nk/N

H(n) = tHnEs decir, si utilizamos matlat, la funcin de respuesta en frecuenciadiscreta sera H(n) = tH

matlabn

36




Por tanto, el procedimiento para calcular la respuesta de un sistemamasa-muelle-amortiguador de un grado de libertad usando la funcin derespuesta en frecuencia es:

Calcular la TF de la fuerza, F ().

Calcular la funcin de respuesta en frecuencia, H().

Multiplicarlas y calcular Y () = H()F ().

Calcular la velocidad y la aceleracin en frecuencias,V () = iY (), A() = 2Y ().

Calcular y(t), v(t), a(t) con la transformada inversa de Fourier.

Hay que tener cuidado con la construccin de la H() discreta, H(n).Hay dos opociones:

1. Calcular la transformada de Fourier discreta de h(tk).

2. Construir H(n) a partir de la frmula de H(). Hay que tenercuidado con esta opcin como se observa en la figura siguiente(recordad que a partir de la frecuencia de Nyquist, la transformadade Fourier discreta tiene que cumplir H(N2 +r)

= H(N2 r)

)

37




0 2 4 60.2

0.1

0

0.1

0.2

t (s)

h(t k

) (N

/m)

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

T.F

ourie

r h(

t k) (

m/N

)

fnq

Parte real

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

T.F

ourie

r h(

t) (

m/N

)

fnq

Parte imaginaria

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

H(

=n)

(m

/N)

0 20 40 600.2

0.1

0

0.1

0.2

(rad/s)

H(

) (m

/N)

Figura: Funcin de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:m = 1 kg , n = 2 rad/s, = 0,025, obtenidas a partir de la TF de h(t) y apartir de la frmula terica.

38




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

100

0

100

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 86

4

2

0

2

4

6

8

t (s)

y (m

)

incrementalduhamelFRF


39




0 1 2 3 4 5 6 7 8200

0

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 810

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 850

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8500

0

500

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Posicin, velocidad y aceleracin.

40




Distintas funciones de respuesta en frecuencia

Se tiene que

H() =1

(k m2) + icEliminando los complejos del denominador queda:

H() =(k m2) ic

(k m2)2 + (c)2

Se define la funcin de ganancia como el mdulo de la funcin derespuesta en frecuencia:

|H()| =

H()H() =

(Re H)2 + (Im H)2

|H()| = 1(k m2)2 + (c)2

41




Existen otras relaciones, como por ejemplo

Relacion entre la velocidad y la fuerza excitadora:

Y () = H1()F ()

H1() =i

(k m2) + ic

|H1()| =

(k m2)2 + (c)2= |H()|

Relacion entre la aceleracin y la fuerza excitadora:

Y () = H2()F ()

H2() =2

(k m2) + ic

|H2()| =2

(k m2)2 + (c)2= 2|H()|

42




Relacion entre la fuerza transmitida a la base y la fuerza excitadora:

FB() = HFB()F ()

Como

FB(t) = ky(t) + cy(t)T .F .= FB() = kY () + cY ()

HFB() =k + ic

(k m2) + ic

|HFB()| =

k2 + (c)2

(k m2)2 + (c)2

43



Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador amovimientos de la base

Vamos a estudiar ahora el sistema masa-muelle-amortiguador cuandoest sometido a un movimiento de la base:

Esto ocurre, por ejemplo, en un terremoto. La fuerza en el muelle y en elamortiguador son proporcionales al movimiento relativo. Si definimos:

y(t) = ym(t) yB(t)44



Sustituyendo en la ecuacin de equilibrio

Figura: Equilibrio de fuerzas.

Aplicando la 2a Ley de Newton (segn el principio de DAlambert, lafuerza mym(t) tiene sentido opuesto al movimiento)

F (t) = mym(t) Fc(t) + Fk(t) = mym(t)

Sustituyendo cada fuerza por su valor

cy(t) + ky(t) = mym(t) = m(y (t) + yB(t))

my (t) + cy(t) + ky(t) = myB(t)

45



En frecuencias se pueden definir, por ejemplo, las siguientes relaciones: Relacion entre el desplazamiento relativo y la aceleracin de la base:

F (t) = myB(t) T .F .= F () = mYB()Y () = H()F () = H1()YB()

H1() =m

(k m2) + ic|H1()| =

m

(k m2)2 + (c)2= m|H()|

Relacion entre la aceleracin relativa y la aceleracin de la base:

Y () = 2Y ()Y () = H2()YB ()

H2() =m2

(k m2) + ic

|H2()| =m2

(k m2)2 + (c)246

Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguadorClculo de la respuesta mediante la ecuacin diferencialTransformacin en ecuacin diferencial de primer ordenClculo de la respuesta mediante la integral de convolucinClculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia


Sistemas de un grado de libertad

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