Sistemas de ecuaciones

Prof. Esteban Hernández

2Justificación

Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemática, las ramas de administración de empresas, la ingeniería, etc. Espero que este módulo sirva de guía para que los estudiantes se inicien en la comprensión de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.

3Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

4x + y = 0-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.5x - 2y = -17x + 4y = 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .2x + 6y = -16-2x - 13y = 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

5x + 13y = 812x - 11y = -23

5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =132x - 7y =-7

4

6. Resuelve el ejercicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?

5

Objetivos:Objetivos:

1. Definir el concepto de sistema de ecuaciones.

2. Verificar si un par ordenado es solución de un sistema 2 x 2.

3. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de sustitución.

4. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de gráfico.

5. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de eliminación por adición

Sistemas de Ecuaciones

6

DefiniciónDefiniciónUn Un sistema de ecuacionessistema de ecuaciones es un conjunto de es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas.

2 61)

3 4

x y

x y

1 310

2 43) 3

44

x y

x y

3 04)

0

x y

x y

2 52)

2 4

x y

x y

Ejemplos:Ejemplos:


7

AclaraciónAclaraciónEl tamaño de un sistema de ecuaciones está El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un sistema con tres número de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3.variables se dice que es un sistema 2x3.

Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama al sistema se le llama sistema ecuaciones linealessistema ecuaciones lineales.. De lo contrario se le llama De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones no linealno lineal..


8

DefiniciónDefiniciónUna solución de un sistema Una solución de un sistema 2x22x2 es un par es un par ordenado ordenado (x,y)(x,y) que hace cierta cada una de las que hace cierta cada una de las ecuaciónes del sistema.ecuaciónes del sistema.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conoce como el conjunto soluciónconjunto solución del sistema. del sistema.


9

Ejemplo:Ejemplo:Verifica si el par ordenado es una solución del Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.sistema de ecuaciones.

2 61)

3 4

x y

x y

2 , 1 :OrdenadoPar

:Verificación

2 1 2 6

3 1 2 4

Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solución.


10

2 52)

2 4

x y

x y

Par Ordenado: 1 , 6

561 2 4612

Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solución.

:Verificación


11

Existen varios métodos para resolver sistemas Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos,de ecuaciones, entre ellos,

1. Método gráfico 2. Método de sustitución

3. Método de eliminación por adición

4. Regla de Cramer

5. Método de la matríz aumentada

6. Método de matrices

En esta sección solo trataremos el método gráfico, el método de sustitución y el método de eliminación por adición para sistemas de ecuaciones 2x2.


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Tipos de sistemas de ecuacionesLos sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones.

1. Sistema consistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen

una única solución. Las gráficas de las líneas son diferentes.

2. Sistema consistente dependiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen

infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas son iguales.

3. Sistema inconsistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen

solución. Las dos gráficas de las líneas son paralelas.


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MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2

Procedimiento

1. Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas.

2. Construya la gráfica de cada ecuación.

Aclaración:Este método es útil solo si podemos leer con precisión los puntos de intersección entre las gráficas. En la mayoría de los casos eso no es posible.


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Ejemplos:Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico

51)

1

2x y

x y

y

x

1 , 2:Solución

52x y 1x y


15

22)

0

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

:Solución 1 , 1

2x y

0x y


16

23)

2 2 0

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Las dos líneas son paralelas, no tienenpuntos de intersección.El conjunto de solucioneses vacío.

. .C S


17

24)

2 2 4

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

2x y

2 2 4x y

El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas.

. . , 2 :C S x x x


182

2

25)

4

y x

y x

El conjunto solución contiene dos paresordenados.

. . 2,0 , 2,0C S


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PROCEDIMIENTO1. Despeja una de las variables en cualquiera de las

ecuaciones.2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto

producirá el valor de una de las variables.3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en

cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2


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Ejemplos:Resuelve usando el método de sustitución.

2 61)

3 4

x y

x y

xy 26

4263 xx4263 xx

2x

226 y 2 2 , 2Conjunto Solución

Escogiendo la ecuación, , tenemos 2 6x y

Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos


21

Escogiendo la ecuación, , tenemos

2 52)

4

x y

2x y

2 5x y


25 xy

452 2 xx

452 2 xx

0122 xx

011 xx

01x 1x


22

215 y 6

1 , 6Conjunto Solución

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos,

2 5 x y

25 xy


23

1 310

2 43) 3

44

x y

x y

44

3 xy

1044

3

4

3

2

1

xx

Escogiendo la ecuación, , tenemos 3

44

x y



24

10316

9

2

1 xx

1604898 xx

Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,

4816017 x

17

208x

Sustituyendo en la ecuación tenemos, 44

3 xy

417

208

4

3

y

17

88y 208 88

. . , 17 17

C S


25

Método de Eliminación por AdiciónMétodo de Eliminación por Adición

Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables.objetivo que se elimine una de las variables.

Procedimiento:

1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los números correspondientes.

2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.

3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitución.


26

2 3 31)

2 5

x y

x y

2 3 3

2 4 10

x y

x y

Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,

Restando las ecuaciones obtenemos,

2 3 3

2 4 10

0 7 7

x y

x y

x y


27

77 y 1y

4 6 6

3 6 15

x y

x y

Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primerapor 2 obtenemos,

Sumando las ecuaciones obtenemos,

4 6 6

3 6 15

7 0 21

x y

x y

x y

2 2 3 3

3 2 5

x y

x y


28

Sustituyendo y = 1 en la ecuación,

512 x

3x

. . 3, 1C S

El sistema es consistente independiente.

7 21x

Observación:Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar el método de sustitución.

3x

2 5x y


29

2 3 32)

4 6 6

x y

x y

664

664

yx

yx

C.S.=El sistema es inconsistente.No tiene soluciones.

Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,

2 2 3 3

4 6 6

x y

x y

4 6 6

4 6 6

0 0 12

x y

x y

x y

Sumando las ecuaciones obtenemos,

0 12 Falso


30

2 3 33)

4 6 6

x y

x y

4 6 6

4 6 6

x y

x y

00

El sistema es dependiente.Tiene infinitas soluciones.

2 2 3 3

4 6 6

x y

x y

Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,

Sumando las ecuaciones obtenemos, 4 6 6

4 6 6

0 0 0

x y

x y

x y

Cierto

3 2. . , :

2

xC S x x R


31

Aplicaciones:Aplicaciones:1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

:SoluciónSea el número de boletos vendidos de adultos.xSea el número de boletos vendidos de niños.y

:sistema el Obtenemos

450

2.25 1.50 777.75

x y

x y


32

adultos de boletos 137x

niños de boletos 313y

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,


33

2. 2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.

:SoluciónSea la velocidad de la corriente.Sea la velocidad de la lancha.

xy

corriente. la de contraen lancha la de velocidad xy

corriente. la defavor a lancha la de velocidad xy


34

Usando la fórmula para distancia ycambiando el tiempo a horas tenemos que:

d vt

hora60

15 minutos 15 hora

4

1

hora60

10 minutos 10 hora

6

1

44

1 xy

46

1 xy

1 1

44 41 1

46 6

y x

y x

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,


35

horamillasx 4

La velocidad de la corriente es, 4 .x mph

horamillasy 20

La velocidad de la lancha es, 20 .y mph


36

Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

4x + y = 0-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.5x - 2y = -17x + 4y = 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .2x + 6y = -16-2x - 13y = 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

5x + 13y = 812x - 11y = -23


37

6. Resuelve el ejercicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?


5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =132x - 7y =-7

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Respuestas de la pre y pos prueba

1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%


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