Sistemas de Controle I - mecatronica.eesc.usp.br · Sistemas de Controle I Adriano Almeida...
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Sistemas de Controle IAdriano Almeida Goncalves Siqueira
Aula 7 - Lugar das Raızes - Compensadores em Avanco e Atraso
Sistemas de Controle I – p. 1/25
Lugar das Raízes
• Exemplo
G(s) =s + 1
s2(s + 12)
• Passo 1: Plotar no plano complexo os pólos (×)
e zeros (◦) deG(s)
• Passo 2: Determinar o LR sobre o eixo real: Seo número de pólos e zeros à direita des0 éímpar, entãos0 pertence ao LR
Sistemas de Controle I – p. 2/25
Lugar das Raízes
• Passo 3: Desenhar as assíntotas do LR paraK → ∞
• Ângulo das assíntotas
φl =180◦ + 360◦(l − 1)
n−m, l = 1, 2, · · · , n−m
• Ponto de cruzamento das assíntotas,α
α =
∑pi −
∑zi
n−mSistemas de Controle I – p. 3/25
Lugar das Raízes
• Passo 4: Determinar os ângulos de partida dospólos
φpartida =∑
ψi −∑
φi − 180◦ − 360◦l
• e ângulos de chegada dos zeros
ψchegada =∑
φi −∑
ψi + 180◦ + 360◦l
Sistemas de Controle I – p. 4/25
Lugar das Raízes
• Passo 5: Determinar os pontos de cruzamentocom o eixo imaginário
1) Critério de Routh
2) Substituis0 = ω0j na eq. característica edetermina-seK eω0
Sistemas de Controle I – p. 5/25
Lugar das Raízes
• Passo 6: Determinar os pontos de separação departida e de chegada
a(s)b′(s) − a′(s)b(s) = 0
• Dois segmentos se separam em±90◦
• Três segmentos se aproximam com ângulorelativo de120◦ e se separam com rotação de60◦.
Sistemas de Controle I – p. 6/25
Lugar das Raízes
• LR com relação a um parâmetro do sistema
• Exemplo
G(s) =1
s(s + c)
• Equação característica,K = 1
1+G(s) = 0
s2+cs + 1 = 0
1+cs
s2 + 1= 0
Sistemas de Controle I – p. 7/25
Lugar das Raízes
• LR com dois parâmetros
• Motor DC + controlador PV
G(s) =1
s2 + s
Sistemas de Controle I – p. 8/25
Lugar das Raízes
• Equação característica
s2 + (1 +KV )s +KP = 0
• Reescrevendo paraKP = 4
1 +KVs
s2 + s + 4= 1 +KVG(s) = 0
Sistemas de Controle I – p. 9/25
Lugar das Raízes
• Variação deKP para valores maiores de4
s2 + (1 +KV )s +KP = 0
s2 + (1 +KV )s + 4 +K = 0
• Reescrevendo paraKV = 1
1 +K1
s2 + 2s + 4= 1 +KG′(s) = 0
Sistemas de Controle I – p. 10/25
Compensação em Avanço e Atraso
• Compensador da forma
D(s) =s + z
s + p
• Avanço:z < p
• Atraso:z > p
• Equação característica
1 +KD(s)G(s) = 0
Sistemas de Controle I – p. 11/25
Compensação em Avanço e Atraso
• Considere
G(s) =1
s(s + 1)
• Especificaçõesζ > 0, 5
ωn > 7 rad/s
• Matlab: sisotool
Sistemas de Controle I – p. 12/25
Compensação em Avanço e Atraso
• Compensador em Avanço
• Como escolherz ep
• Ponto na região de interesse:s0
• Condição do LR:∠G(s) = 180◦
• Um possível resultado:s0 = −10 ± 10j,K = 580 e
D(s) =s + 7
s + 39
Sistemas de Controle I – p. 13/25
Compensação em Avanço e Atraso
• Erro de regime
ess = lims→0s[1 − T (s)]R(s)
• Erro de regime para entrada rampa comK = 580 eD(s) = s+7
s+39
ess = lims→0
1
sKD(s)G(s)= 0.009
Sistemas de Controle I – p. 14/25
Compensação em Avanço e Atraso
• Adição do Compensador em Atraso
D2(s) =(s + 0, 9)(s + 7)
(s + 0, 1)(s + 39)
• Erro de regime para entrada rampa
ess = lims→0
1
sKD2(s)G(s)= 0, 001
Sistemas de Controle I – p. 15/25
Matlab
• Controle PV do motor DC
G(s) =1
s2 + s
• Kp = 1
• Kv = 1
• numG = 1
• denG = [1 1 0]
• G = tf(numG,denG)Sistemas de Controle I – p. 16/25
Matlab
• D1 = tf([Kv 0],1)
• G1 = feedback(G,D1)
• T = feedback(Kp*G1,1)
• pzmap(T) ou ([p,z]=pzmap(T))
• step(T)
Sistemas de Controle I – p. 17/25
Matlab
• ConsiderandoKP = 4 e LR paraKV
• numG = [1 0]
• denG = [1 1 4]
• G = tf(numG,denG)
• rlocus(G)
• rlocfind(G) ou ([Kv,p] = rlocfind(G))
• Usar programa anterior com Kp = 4 e Kvcalculado
Sistemas de Controle I – p. 18/25
Matlab
• Exemplo
G(s) =1
s(s + 1)
• Especificações
• Amortecimento:ζ > 0.5
• Freqüência natural:ωn > 7 rad/s• Erro de regime (rampa):ess < 0.01
Sistemas de Controle I – p. 19/25
Matlab
• numG = 1
• denG = [1 1 0]
• G =tf(numG,denG)
• sisotool(G)
Sistemas de Controle I – p. 20/25
Matlab
• Exemplo: Compensador em Avanço
G(s) =1
s(s2 + 51s + 550)
• Especificações p/ pólos dominantes (mais pertoda origem)• p/z = 6
• Parte real:−σ < −7
• Amortecimento:ζ > 0.6
• Erro de regime:Kv > 10Sistemas de Controle I – p. 21/25
Matlab
• numG = 1
• denG = [1 51 550 0]
• G =tf(numG,denG)
• sisotool(G)
Sistemas de Controle I – p. 22/25
Matlab
• Erro de regime:
Kv = lims→0sKD(s)G(s) = K1
6 ∗ 550= 10
K = 33000
Sistemas de Controle I – p. 23/25
Matlab
• Exemplo: Auto-piloto
G(s) =θ(s)
δe(s)=
160(s + 2, 5)(s + 0, 7)
(s2 + 5s + 40)(s2 + 0, 03s + 0, 06)
• Especificações
• Tempo de subida:tr < 1 s (ωn > 1.8 rad/s)• Sobresinal menor que10% (ζ > 0.6)
Sistemas de Controle I – p. 24/25