RESUMEN:

En este trabajo se presenta un interpolador a base de dispositivos lógicos programables que emplea un sistema de promedio móvil como filtro. Este sistema es un filtro digital de respuesta a impulso finita (FIR) con coeficientes unitarios. El sistema primeramente se simuló en Matlab y luego se programó en un FPGA (arreglo de compuertas programables por campo) empleando las herramientas ofertadas por el fabricante del mismo.El sistema diseñado permite interpolar señales cuyo ancho de banda es una fracción pequeña de la frecuencia de muestreo, logrando razones de interpolación tanto enteras como racionales. El bajo consumo de recursos del interpolador en un FPGA permite implementar otras funciones en el mismo dispositivo.

Palabras clave: interpolador, promedio móvil, FPGA, filtro digital.

A. Sóñora Aspirante a Investigador. Ing. en Telecomunicaciones y Electrónica.

Centro de Biofísica Médica. Ave. Patricio Lumumba s/n, Santiago de Cuba. Email: alexander@cbm.uo.edu.cu.

ABSTRACT:

In this paper there is an interpolator for programmable logic devices using a moving average filter. This filter has a finite impulse response with unity coefficients. The interpolator was simulated using Matlab and designed, implemented and downloaded in a field programmable gate array (FPGA) using Xilinx Foundation Series 1.5.This system allows to interpolate narrow band signals with integer and non-integer interpolation rates. Also it makes possible to implement other functions in the same FPGA due to its high efficient implementation.

K e y w o r d s : i n t e r p o l a t i o n , m o v i n g average, FPGA, digital filter.

ISSN-1606-05634Bioingeniería y Física Médica Cubana

Sistema discretode promedio móvil como filtro interpolador

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1. INTRODUCCION

En los equipos de resonancia magnética de imágenes Giroimag construidos en el Centro de Biofísica Médica se emplea una señal portadora de hasta 4 MHz generada a una razón de 20 MHz. La moduladora se genera digitalmente en una computadora personal con una frecuencia de muestreo que se encuentra en 512 kHz y 5.12 Mhz.El modulador debe mezclar portadora y moduladora para obtener la señal de excitación. Este proceso requiere que ambas secuencias tengan igual razón de muestreo. La frecuencia de muestreo de la portadora no se puede bajar hasta la de la moduladora, porque estaría entonces incumpliendo con el Criterio de Nyquist. Sin embargo realizando una interpolación se “remuestrear” la moduladora hasta 20 MHz sin ninguna implicación de este

1tipo. ( )En este trabajo se presenta la implementación de un sistema eficiente para interpolar una señal digital de banda estrecha empleando un sistema de promedio móvil como filtro. El interpolador se diseña para su empleo en un modulador digital basado en dispositivos lógicos programables fundamentalmente, aunque puede ser empleado en otros sistemas digitales.Para llevar a cabo el diseño primeramente se escogió un esquema, que fue simulado empleando Matlab. Posteriormente se realizó el diseño con dispositivos lógicos programables y se descargó en una tarjeta que contiene un dispositivo FPGA (Field Programmable Gate Array), un conversor digital analógico y un filtro de reconstrucción.

2. OBJETIVO

Diseñar un sistema eficiente para interpolar una señal digital de banda estrecha empleando un sistema de promedio móvil como filtro. El interpolador se diseña para su empleo en un modulador digital basado en dispositivos lógicos programables fundamentalmente, aunque puede ser empleado en otros sistemas digitales.

3. MATERIALES Y MéTODOS

3.1 Fundamentos teóricos

La idea de la interpolación es producir nuevas muestras entre las existentes en una secuencia. Este procedimiento es similar a la

2conversión digital-analógica. ( )La Figura 1 muestra un sistema para realizar la interpolación.

Figura 1. Diagrama en bloques de un interpolador de razón L

El expansor aumenta la frecuencia de muestreo insertando L-1 ceros entre dos muestras adyacentes de la señal de entrada. Su salida está dada por:

[ ] [ ] [ ] [ ]

=−= ∑+∞

−∞= 0

/ LnxkLnkxnx

ke δ

K

K

,2,,0;

,2,,0;

LLn

LLn

±±±≠±±±=

(1)

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La TF de la salida del expansor es una versión del espectro de x[n] escalada en frecuencia. La frecuencia es sustituida por L tal que es normalizada según = T, donde T es el período de muestreo y es la frecuencia analógica (Figura 2). El insertar L-1 ceros en x[n], provoca que el espectro de la nueva secuencia xe[n] tenga repeticiones no deseadas en múltiplos enteros de 2 /L rad.

Un filtro cuya implementación es ventajosa, ya que sus coeficientes son iguales a la unidad, es el filtro peine (comb filter). Por ello no es necesario el uso de multiplicadores, consumiendo pocos recursos lógicos y tiempo de procesamiento. Este filtro es un sistema de promedio móvil, su respuesta a impulso es de duración finita (FIR) y tiene forma de ventana

4rectangular unitaria. (1, )Un sistema de promedio móvil se caracteriza por tener una banda de paso relativamente plana en un rango limitado, una pendiente suave en la banda de transición y excelente atenuación en frecuencias múltiplos enteros de f /L. La principal desventaja es que la señal 2

debe ser sobremuestreada, en más de 8 veces. 5

( )La TF de su respuesta a impulso es una función de tipo sen(x)/x. Este espectro tiene L-1 mínimos separados en 2 /L rad donde L es la duración de su respuesta a impulso. (2)Las correspondencias entre las características

j de amplitud vs frecuencia de X (e ) y de un e

sistema de promedio móvil permiten realizar la interpolación de señales de banda estrecha empleando pocos recursos del sistema.La salida del filtro de promedio móvil puede ser descrita por:

La operación del expansor puede ser fácilmente entendida en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier (TF) de xe[n] puede ser expresada como:

( ) [ ] ( )Lj

k

Lkjje eXekxeX ωωω =∑=

∞

−∞=

−(2)

Figura 2. Interpolación en el dominio de la frecuencia (L=2).

El filtro pasabajos es un sistema de tiempo discreto con una ganancia de L veces y frecuencia de corte de /L radianes, que elimina las repeticiones no deseadas en el espectro de xe[n].Aunque existen muchas formas de implementar el filtro interpolador, todas deben realizar

3operaciones de multiplicación-acumulación. ( )

[ ] [ ]knxnxL

keLi −∑=

−

=

1

0

1' (3)

Como la ganancia del filtro debe ser L, la ecuación anterior queda de la siguiente forma:

(4)[ ] [ ] [ ]knxnLxnxL

keii −∑==

−

=

1

0

'

En esta expresión se observa que la salida interpolada se puede obtener de forma sencilla realizando sumas y retardos en tiempo solamente.

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La función del expansor se puede realizar con un registro en el que se escribe una muestra de x[n] y L-1 ceros con un reloj de frecuencia f 2

igual a la de salida del sistema.Cada muestra x [n], es la suma de L muestras de i

x [n] (ver ecuación 4) de las cuales solo una es e

distinta de cero. Teniendo en cuenta esto, basta con repetir L veces cada muestra de x[n] a la frecuencia f de salida para obtener la señal 2

interpolada.Las operaciones anteriores se pueden realizar empleando un sistema similar al de la Figura 3. Este sistema está formado por dos registros. En el primero se almacena cada muestra de la señal a ritmo f y en el segundo a ritmo f . Si f > f 1 2 2 1

entonces la salida del segundo registro es la señal interpolada con una frecuencia de muestreo f .2

El diseño ocupa aproximadamente un 4% de la lógica disponible en el FPGA empleado (para señales de 8bit) y en las mediciones realizadas se obtuvieron espectros similares a los de las simulaciones.

Figura 3. Circuito para la interpolación con un sistema de promedio móvil.

Como señal de banda estrecha se empleó un pulso gaussiano normal izado, señal moduladora en los tomógrafos de resonancia magnética Giroimag.El funcionamiento del sistema primeramente se simuló empleando el paquete de programas MatLab 5.3. Para ejecutar las pruebas se realizó un diseño esquemático empleando el editor del Xilinx Foundation Series 1.5. Finalmente el diseño de descargó hacia una tarjeta de circuito impreso que contiene un FPGA XC4003E, un conversor analógico digital HI5735 y un filtro elíptico con frecuencia de corte 5MHz.

4. RESULTADOS

El sistema de la Figura 3 permite interpolar señales cuyo ancho de banda es una fracción muy pequeña de la razón de muestreo. Las razones de interpolación pueden ser enteras o racionales.En las figuras 4 y 5 se muestran los resultados de la simulación en MatLab empleando el esquema propuesto, observándose la alta pureza espectral de la señal interpolada.

-20

0 Frecuencia de muestreo: 5.00 MHz

Figura 4. Espectros del pulso original y del interpolado. Duración 0.2048ms L=40

-20

0 Frecuencia de muestreo: 5.12 MHz

Figura 5. Espectros del pulso original y del interpolado. Duración 0.2ms y L=3.9063

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5. DISCUSION DE LOS RESULTADOS

La Figura 4 muestra la interpolación de un pulso gaussiano de 0.2048ms de duración, frecuencia de muestreo f =5MHz y 8bits de 1

precisión. Esta interpolación permite realizar una modulación digital con razón de muestreo f =20MHz. La relación existente entre f y f es 2 2 1

de 40.El sistema también permite razones de interpolación no enteras. En la Figura 5 se muestra la interpolación del mismo pulso, pero de 0.2ms de duración y frecuencia de muestreo de 5.12MHz. En este caso la razón de interpolación es 3.90625.Para el pulso de mínima duración empleado (0.2ms) y por tanto mayor ancho de banda los resultados son similares a los anteriores.Como observa en los espectros obtenidos, el sistema garantiza que el nivel de armónicos se mantenga por debajo de 60dB, para razones de interpolación tanto enteras como racionales. Estas características hacen posible una adaptación a diversos sistemas con frecuencias de muestreo distintas.Estos resultados son posibles debido a que la señal a interpolar es de banda estrecha (ancho de banda mucho menor que f1/8) y el nivel de ruido fuera de su banda es despreciable (ver figuras 4 y 5). Como el sistema solo incluye registros, el ruido de fondo no se afecta por cuantizaciones de los coeficientes del filtro, debido a que son iguales a la unidad. Producto de esto también se excluyen errores por desbordamiento o truncado inherentes a operaciones aritméticas de punto fijo o flotante.Si la señal no cumple con los requerimientos de ancho de banda y ruido expuestos se le puede añadir un bloque de filtrado posterior para mejorar la pureza espectral a expensas de una mayor carga computacional del sistema.Como el interpolador ocupa solo un 4% de la lógica del dispositivo se hace posible su implementación junto con el modulador en un mismo FPGA.

6 . CONCLUSIONES

El empleo de un filtro de promedio móvil permite la interpolación de forma eficiente para señales de banda estrecha.El esquema presentado en la Figura 3 permite realizar interpolaciones para valores de L tanto enteros como racionales.El esquema propuesto carece de los problemas inherentes a la cuantificación de los coeficientes del filtro o desbordamientos de la lógica empleada.La sencillez del esquema permite implementar otras funciones en un mismo dispositivo.

AGRADECIMIENTOS

A todos aquellos que contribuyeron, de una forma u otra, a la ejecución y revisión de este trabajo, especialmente, la ayuda del Lic. Evelio González Dalmau y los Ingenieros Abel Cruz Vadell y Miguel Alberteris Campos por facilitar los datos referentes a la señal de excitación de los tomógrafos Giroimag.

BIBLIOGRAFIA

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