Sistem Persamaan LinierSistem Persamaan Linier

D0104 Riset Operasi I

Kuliah III - IV

Materi KuliahMateri Kuliah

Sistem Persamaan Linier. Matriks.

Sistem Persamaan LinierSistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier adalah

Suatu kumpulan dari dua, tiga atau lebih persamaan dengan dua atau lebih variabel pada persamaan.

Sistem Persamaan Linier mempunyai bentuk sbb :

a11X1 + a12X2 + + a1nXn = y1

a21X1 + a22X2 + + a2nXn = y2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1X1 + am2X2 + + amnXn = ym

SPL Dalam Bentuk MatrixSPL Dalam Bentuk Matrix

X1

X2

Xn

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n . . . . . . . . . . . .

am1 am2 am3 . . . amn

b1

b2

bm

=

Contoh :Contoh :

Contoh : Untuk 2 variabel

x + 5 = y or ax + by = e

2x – 2y = 3 cx + dx = f

Dimana tidak semua a, b, c, dan d sama 0,

Grafik dari setiap persamaan pada sistem adalah garis lurus.

Contoh :Contoh :

X1

X2

X3

X4

0 2 7 7

1 1 1 5

7 3 5 2

1

2

3

=

Grafik Dari Sistem LinierGrafik Dari Sistem Linier

Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam bentuk garis lurus, dapat diperlihatkan dalam 3 kemungkinan, seperti gambar berikut :

y y y x x x

(a) (b) (c)

Grafik Dari Sistem LinierGrafik Dari Sistem Linier

Untuk kasus (a) dua garis berimpit. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem bergantung (dependent).

Untuk kasus (b) garis paralel dan tidak berpotongan. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem tidak konsisten (inconsistent.)

Untuk kasus (c) garis berpotongan hanya pada satu titik. Dikatakan bahwa sistem persamaan konsisten (consistent.)

Menyelesaikan Persamaan Linier Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda SubtitusiDengan Metoda Subtitusi

Contoh: (untuk 2 variabel) 2x + 3y = 13x – y = 7

Menyelesaikan persamaan kedua y = 3x – 7. Mensubtitusikan ekspresi y pada persamaan pertama menghasilkan 2x + 3(3x – 7) = 1

2x + 9x – 21 = 1 11x – 21 = 1

11x = 22

x = 2

Menyelesaikan Persamaan Linier Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda SubtitusiDengan Metoda Subtitusi

Mensubtitusikan x = 2 kepada salah satu persamaan awalnya untuk mendapatkan nilai y.

2x + 3y = 1 3x - y = 7

2(2) + 3y = 1 3(2) - y = 7 3y = 1 – 4 6 - y = 7

y = - 3/3 - y = 7 - 6

y = - 1 y = - 1

Solusi untu sistem linier adalah (2, –1).

Menyelesaikan Persamaan Linier Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda EliminasiDengan Metoda Eliminasi

Contoh : x – y = – 2 (1)

2x – 3y = – 7 (2)

Step 1 Kalikan Persamaan (1) dengan –3 –3x + 3y = 6 (1´)

Step 2 Tambahkan persamaan (1´) ke persamaan (2) –3x + 3y = 6 (1´)

2x + (–3y) = –7 (2)

– x = –1 atau ekuivalen, x = 1

Menyelesaikan Persamaan Linier Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda EliminasiDengan Metoda Eliminasi

Step 3 Subtitusikan nilai x = 1 kepada salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai y.

x – y = –2 2x - 3y = -7

1 – y = –2 2(1) - 3y = -7

–y = –3 2 - 3y = -7

y = 3 -3y = -9

y = 3 Solusi dari persamaan linier adalah (1, 3).

Sistem Persamaan LinierSistem Persamaan LinierTeorema : Sistem Persamaan Linier

dalam suatu bentuk tertentu (finite) dari operasi baris elementer dapat dijadikan sebagai bentuk echelon (kecuali semua baris yang dibawah mempunyai koefisien yang nilainya nol)

Sistem Persamaan Linier ada pada bentuk echelon (echelon form) bila urutannya membentuk matrik atas.

Sistem Persamaan LinierSistem Persamaan Linier

Bentuk Echelon.Suatu matriks dikatakan berada dalam bentuk eselon, jika : setiap baris dalam matriks, mempunyai leading entry pada elemen ke(i,j) dimana i = j.

Leading Entry.Elemen pertama yang bukan nol dalam suatu vektor dinamakan leading entry.Suatu vektor dengan semua elemen sama dengan nol, dikatakan tidak mempunyai leading entry.

ContohContoh

ContohContoh

Contoh Bentuk EselonContoh Bentuk Eselon

-1 1 2 2

0 2 7 12

0 0 -5 -10

Dalam bentuk matrik eselon

-1 1 2 2

1 0 7 12

0 0 -5 -10

0 1 2 2

1 0 7 12

0 0 -5 -10

Bukan matrik eselonKembaliKembali

Contoh Leading entriContoh Leading entri

-1 1 2 2

0 2 7 12

0 0 0 0

Baris pertama mempunyai leading entri = -1.

Baris kedua mempunyai leading entri = 2

Baris ketiga tidak memunyai leading entri

BerikutBerikut

Sistem Persamaan LinierSistem Persamaan Linier

Operasi Baris Elementer: (untuk n persamaan dan m

variabel)Ada 3 (tiga) macam operasi elementer :

– Menukar dua persamaan– Mengalikan persamaan dengan suatu konstanta

bukan nol (non-zero).– Penambahan suatu persamaan yang telah dikalikan

dengan suatu konstanta ke persamaan yang lain.

Jika ketiga operasi tersebut diterapkan pada sistem linear, maka akan didapatkan sistem baru tapi sistem baru ini tidak mengalami perubahan solusi dari sistem yang lama.

Contoh: Operasi Baris ElementerContoh: Operasi Baris Elementer

- X1 + X2 + 2 X3 = 2

3 X1 – X2 + X3 = 6

- X1 + 3X2 + 4 X3 = 4

-1 1 2 2

3 -1 1 6

-1 3 4 4

A =

Jika OBE dilakukan dengan mengganti baris-2 dengan :

baris-2 + 3 * baris-1, maka matrix akan disederhanakan menjadi :

-1 1 2 2

0 2 7 12

-1 3 4 4 Baris-3 – baris-1

-1 1 2 2

0 2 7 12

0 2 2 2

Contoh: Operasi Baris ElementerContoh: Operasi Baris Elementer

-1 1 2 2

0 2 7 12

0 2 2 2 baris-3 – baris-2

-1 1 2 2

0 2 7 12

0 0 -5 -10

-1 1 2 2

0 2 7 12

0 0 -5 -10

X3 = 2

2 * X2 + 7(2) = 12 X2 = -1

-1 * X1 + 1(-1) + 2(2) = 2 X1 = 1