Tesi di laurea in ELETTRONICA NELLA STRUMENTAZIONE I SENSORI AD ONDE ELASTICHE NELLA
Sismica Applicata La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra...
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Sismica Applicata
La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra sforzi e deformazioni.
La nozione elementare di sforzo è legata al bilancio delle azioni interne, fra le differenti parti di un corpo, in un determinato punto interno ad esso. Sia ΔS una porzione di superficie, di normale n, attorno al punto P. Si può definire:
stress in P sulla superficieS
SS
Flim
0
p p p
p p p
p p p
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
Principi fisici: sforzi
Lo stress su ΔS ha 2 componenti, una normale ed una tangenziale
Si può dimostrare che gli sforzi su qualunque ΔS passante per P sono noti se sono note le componenti di sforzo su tre piani (ortogonali), ovvero sulle facce di un cubo elementare:
tensore di sforzo:
ove per l’equilibrio: pyx=pxy, etc
cioè vi sono solo 6 componenti indipendenti
x
z
y
Pyz
PyxPyy
FFn
n S
Ft
Pt
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: deformazioni
Considerando due punti P (x, y, z) e Q (x+dx, y+dy, z+dz) di un solido non deformato, per uno spostamento s (ui, vj, wk) di P in P’ (x+u, y+v, z+w), Q si sposta di s+ds finendo in Q’ (x+dx+u+du, ...), ove ds (du, dv, dw) si può esprimere come:
Le nove derivate costituiscono un tensore che può essere scomposto in due componenti, una simmetrica ed una antisimmetrica; solo quella simmetrica corrisponde a deformazione del materiale:
dzz
wdy
y
wdx
x
wdw
dzz
vdy
y
vdx
x
vdv
dzz
udy
y
udx
x
udu
)(2
1
k
i
i
k
ik
x
u
x
ue
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
eee
eee
eeetensore di deformazione:
(simmetrico exy = eyx)
P’P s
Q’Q
s+ds
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: deformazioni
Le tre componenti sulla diagonale principale del tensore di deformazione corrispondono a deformazioni longitudinali, cui corrispondono anche variazioni di volume:
u1
x1
022
1
111
e
x
ue
Infatti la dilatazione cubica, ovvero la variazione relativa di volume, si esprime come:
332211 eeeuz
w
y
v
x
u
V
V
Le tre componenti fuori dalla diagonale corrispondono invece a deformazioni di taglio puro, cui corrisponde una variazione di volume nullo:
x1
2
112 x
ue
u1
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineareUn solido elastico è caratterizzato dalla proprietà che la deformazione in qualsiasi punto è nota conoscendo lo sforzo nello stesso punto. Il caso particolare nel quale le componenti della deformazione sono funzioni lineari omogenee delle componenti dello sforzo è chiamato elasticità perfetta, regolata dalla legge di Hooke. Molte delle proprietà delle onde sismiche sono descritte in maniera soddisfacente dalla legge di Hooke.
Per uno stato di tensione monoassiale:
pxx exx E E : modulo di Young (pyy = pzz = 0)
E eyy E ezz ν pxx ν : rapporto di Poisson = e zz / e xx
ν exx ESe lo stato di tensione è pluriassiale, vale la seguente equazione (pyy, pzz 0)
E eii = (1+ ) pii (pxx + pyy + pzz)
ma essendo )21( Eppp zzyyxx
si ha:kkkk ep 2
ove)21)(1(
E
)1(2
E
sono note come costanti di Lamè
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare
È quindi possibile scrivere la legge di Hooke, in un sistema di riferimento qualsiasi, in forma tensoriale, nel seguente modo:
ikikik ep 2
ove ik : delta di Kronecker, ik = 0 (i k); ik = 1 (i = k).
Costanti elastiche
(1) Modulo di Young [Pa]: se tutte le componenti di stress sono nulle salvo quella agente lungo l’asse 1
E= e11 /P11 P22 = 0
(2) Rapporto di Poisson [-]: nelle stesse condizioni di carico:
ν= -e22/ e11
-1 ν <0.5 (in pratica 0 ν <0.5)
P11
P11
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare
(3) Modulo di taglio (o seconda costante di Lamè) [Pa]:
= p12 /(2 e12)
(4) Modulo di deformazione uniassiale [Pa]: in condizioni di deformazione laterale impedita:
e22 =0;
(5) Modulo bulk [Pa]: lega la dilatazione cubica con l’invariante di sforzo P = p11+p22+p33:
(6) Prima costante di Lamè [Pa]: λ definita in precedenza.
Nota: M = +2
NB!: per definire un mezzo elastico lineare bastano DUE delle sei costanti, le altre si ricavano con formule algebriche.
p12
p12
1122 1pp
11
11
e
pM
P11
P220
PK
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: onde P
Sostituendo la Legge di Hooke per mezzi isotropi nell’equazione del moto (F= m a) otteniamo:
(*)
prendendo la divergenza di entrambi i membri dell’equazione (*) si ottiene:
che è l’equazione delle onde per la propagazione della dilatazione cubica , con velocità:
Questa è la dimostrazione che le onde di compressione esistono e si muovono con la velocità in qualsiasi solido isotropo ed elastico.
Le onde di compressione sono note come onde P, onde longitudinali o dilatazionali.
ut
u
22
2
)(
22
2
)2(
t
2
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: onde S Prendendo il rotore di entrambi i membri dell’equazione (*) e ricordando che si ha:
che è l’equazione d’onda della propagazione di una perturbazione rotazionale, con velocità
Questa è la dimostrazione della possibilità della propagazione di onde trasversali o rotazionali in un corpo elastico ed isotropo, che si muovono con velocità . Esse sono note come onde S, onde rotazionali o trasversali o di taglio. Considerando la propagazione dei fronti d’onda a grande distanza dalla sorgente, le onde possono essere considerati polarizzate su di un piano ortogonale alla direzione di propagazione. Le componenti orizzontali del moto delle particelle di tali onde, che costituiscono onde polarizzate su di un piano orizzontale, sono chiamate SH, mentre, nel caso verticale, prendono il nome di SV.
Nota:
(1) α>β, ( 2 ) cioè le onde di compressione sono più veloci delle onde di taglio
(2) In fluido le onde S non si trasmettono, essendo questo caratterizzato dall’avere
il modulo di taglio nullo (μ=0)
0)(
uut
2
2
2
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: onde P ed onde S
Onde P
Onde S
principi fisici
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Principi fisici: energia delle onde sismiche
L’energia delle onde sismiche diminuisce con la distanza percorsa a causa di tre fenomeni:
(1) Divergenza sferica(2) Attenuazione intrinseca (frizione)(3) scattering
(1) Divergenza sferica: si consideri un onda sferica sinusoidale:
L’energia cinetica per unità di volume è:
L’energia cinetica si trasforma in elastica e viceversa: l’energia totale è:
e l’intensità di energia che attraversa la superficie unitaria è:
Data la simmetria sferica e la conservazione dell’energia:
)(cos),( krtAtru
)(sin2
1
2
1),( 222
2
krtAt
utrEc
22
2
1AEtot
22
2
1AI
222
21 3
4
3
41 rIrI
21
1
rI ovvero:
principi fisici
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Principi fisici: energia delle onde sismiche
(2) assorbimento intrinseco
un’onda piana in un mezzo dissipativo e dispersivo avrà un’equazione del tipo:
Si definisce Fattore di Qualità il rapporto (f=frequenza, λ=lunghezza d’onda, v=velocità)
La definizione de Fattore di qualità si basa sul fatto che sperimentalmente γ è proporzionale alla frequenza, per cui il prodotto γλ è una costante (adimensionale).
Q risulta un parametro proprio del mezzo, e Q-1 è l’attenuazione per lunghezza d’onda.
Tipicamente γ= 0.02÷0.16 dB/lunghezza d’onda, da cui:
Q=20 ÷ 150
);cos(),( tkxetx xo );( )(kk
v
fQ
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Principi fisici: energia delle onde sismiche
1. ka<<1, mezzo quasi omogeneo, le eterogeneità sono troppo piccole per essere viste, ma producono un’attenuazione apparente
2. ka0.1, la lunghezza d’onda è ancora grande rispetto alle eterogeneità, ma queste producono diffusione dell’energia (scattering di Rayleigh), è il caso più comune
3. ka=0.1÷10, le eterogeneità sono di grandi dimensioni (p.es. in discariche) e lo scattering si manifesta come un sovrapporsi di segnali confusi (scattering di Mie)
(3) scattering
L’energia delle onde si riduce anche per effetto di riflessioni e diffrazioni causate da eterogeneità lungo il percorso. Lo scattering si classifica in base al rapporto fra la lunghezza d’onda λ e la dimensione media delle eterogeneità a, ovvero al prodotto ka, dove k è il numero d’onda:
sorgente
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Principi fisici: Principio di Huygens
Il fronte d’onda è ogni superficie nei cui punti l’onda che si propaga sia in fase.
Il principio di Huygens afferma che ogni punto su una superficie d’onda può essere considerato una sorgente secondaria di onde sferiche. Il nuovo fronte d’onda è dato dall’inviluppo delle onde sferiche.
Usando il principio di Huygens è facile comprendere i meccanismi di riflessione, rifrazione e diffrazione.
Tuttavia invece di considerare la propagazione seguendo i fronti d’onda è spesso più facile tracciare raggi ortogonali ai fronti d’onda, per cui la propagazione delle onde viene spesso rappresentata tramite percorsi di raggi.
sorgenti secondarie
nuovo fronte d’onda
fronte d’ondaoriginario
principi fisici
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Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati
L’analisi viene usualmente condotta tramite onde piane.
In ogni strato omogeneo valgono le equazioni d’onda (P ed S).
Ad ogni interfaccia devono essere soddisfatte due condizioni:
(1) equilibrio degli sforzi, normali e tangenziali
(2) congruenza degli spostamenti, normali e tangenziali
In modo empirico, la riflessione e la rifrazione ad ogni interfaccia può essere studiata usando il Principio di Huygens.
1
2
n
1
2
principi fisici
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Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati
La rifrazione delle onde sismiche all’interfaccia è governata dalle velocità delle onde nei due mezzi. La legge di Snell descrive la relazione geometrica fra raggio incidente e raggio rifratto:
La legge di Snell si può dimostrare p.es. usando il Principio di Huygens.
1
2
1
2
sin
sin
v
v
La legge di Snell descrive anche la riflessione all’interfaccia. Se l’onda riflessa è dello stesso tipo di quella incidente (p.es. P e P, o S ed S), allora l’angolo di riflessione è uguale a quello incidente.
pvi
i sinLa legge di Snell si può anche esprimere in termini di una
costante detta parametro del raggio p, costante lungo lo stesso raggio.
1
2
n
1
2
principi fisici
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Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati
Passando da un mezzo più lento ad uno più veloce, il raggio si allontana dalla normale.
Per la legge di Snell:
2
1arcsinv
vc
Se v2>v1, esiste un angolo di incidenza tale per cui l’angolo di rifrazione è pari a 90°. Questo angolo di incidenza è detto angolo critico .Per angoli di incidenza superiori, tutta l’energia (relativa a quel tipo di onde) viene riflessa.
12 sinsin
12 sinsin
12
12
(1) se v2>v1
(2) se v2<v1
1
2902
1
22
C
1
22
1
1
C
principi fisici
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Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati
La ripartizione dell’energia all’interfaccia dipende dal contrasto di velocità e dell’angolo di incidenza. P.es. per un’onda P ad incidenza normale:
Coefficiente di riflessione
Coefficiente di trasmissione12
12
ZZ
Z
A
AT
incid
trasm
12
12
ZZ
ZZ
A
AR
incid
rifl
Aincid
Arifl
Atrasm
1
2
Zi=ρivi è detta impedenza acustica del mezzo i-esimo;
contatto Rarenaria/calcare 0.20tipica interfaccia superficiale 0.045tipica interfaccia profonda 0.023fondo oceanico soffice 0.33fondo oceanico duro 0.67oceano/atmosfera (da sotto) -0.9994base dell’areato 0.68
nota che se R<0, questo indica un’inversione di fase dell’onda riflessa è detta
principi fisici
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Principi fisici: diffrazione
principi fisici
tempo
distanza
Sismica Applicata
tv/2
t0v/2
x
222
022
44x
vtvt
2
220
2 4
v
xtt
2
220
2
v
xtt
x
z=t0v/2
NMO
DIFFRAZIONEOFFSET = 0
RIFLESSIONE OFFSET ≠ ZERO
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Principi fisici: onde di superficie
Un caso particolarmente interessante è considerare come mezzo superiore il vuoto. Si consideri ancora una perturbazione contenente componenti di P e di SV.
Si osserva la generazione di onde di superficie dalla interferenza costruttiva di onde di corpo in connessione con la superficie libera.
La condizione al contorno è che le componenti di stress si annullino per z=0.
Le onde che si generano hanno velocità e compresa tra 0 e β (velocità delle onde S nel mezzo); tali onde sono smorzate esponenzialmente all’aumentare di z.
[Onde simili si propagano all’interfaccia fra due mezzi e si chiamano Onde di Stoneley]
Queste onde si chiamano Onde di Rayleigh o Ground Roll.
principi fisici
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Principi fisici: onde di Rayleigh
Il moto delle particelle è ellittico, retrogrado alla superficie, progressivo in profondità. Sia il moto orizzontale che quello verticale decadono esponenzialmente con la profondità.
piano nodale
principi fisici
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Principi fisici: onde di Rayleigh
L’energia di una sorgente superficiale (p.es. un maglio) viene convertita per 2/3 in onde di Rayleigh.
Per convertire un maggior % di energia in onde di volume (P e S) la sorgente (esplosivo) va interrata, spesso in pozzetti profondi anche qualche decina di metri.
La velocità delle onde di Rayleigh è circa uguale al 90% della velocità delle onde S nello stesso mezzo.
Le onde di Rayleigh in un mezzo omogeneo sono non dispersive (ovvero la velocità non dipende dalla frequenza).
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: onde rifratte criticamente
Abbiamo visto che se un mezzo più lento sta sopra un mezzo più veloce, esiste un angolo di incidenza critico. L’energia corrispondente viaggia con incidenza radente nel mezzo più veloce e ogni punto dell’interfaccia può ritrasmettere energia nel mezzo a velocità più bassa.
Sfruttando il principio di Huygens si ricostruisce facilmente l’angolo di emergenza per i piani a fase costante re-irradianti energia, uguale a quello critico. Nota che la teoria delle onde piane non prevede che ci sia energia trasportata secondo queste traiettorie. Il paradosso trova soluzione se si considera che i fronti d’onda sono curvi.
S P
hC C
1
2
principi fisici
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Principi fisici: tipiche velocitàMateriale AriaAcquaPetroliosuolo superficialeNeveGhiaccio in ghiacciai (funzione della temperatura)Sabbia sciolta non saturaSabbia sciolta saturaMorenaSabbia r ghiaia superficialeSabbia r ghiaia a 2 km di profonditàArgillaPermafrostArenariaCalcare sofficeCalcare duroDolomia salgemmaGessoArgillitiGraniti BasaltiGabbroSerpentiniteGneissMarmo
Vp (m/s) 3301450-15301300-1400100-500350-30003000-4000200-20001500-20001500-2700400-23003000-35001000-25001500-49001400-45001700-42002800-70002500-65004000-55002000-35002000-41004600-62005500-65006400-70005500-65003500-76003800-7000
principi fisici
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Principi fisici: tipiche velocità
I fattori preponderanti che controllano la velocità delle onde sismiche sono:
1. porosità (che dipende dalla profondità)
2. Contenuto di fluidi
Dalla porosità deriva la densità “bulk” (complessiva) della roccia ρb, nei cui termini è espressa la relazione di Gardner:
ove a è una costante empirica.Molto nota è l’equazione cosiddetta di media temporale o di Wyllie (1958):
41
)( pb Va
ove è la porosità, V è la velocità della roccia, Vf è la velocità del fluido, Vm è la velocità della matrice solida.Esistono moltissime relazioni semi-empiriche che legano velocità con altre grandezze (porosità, fluidi, saturazione, temperatura, profondità, etc). In ogni caso queste relazioni vanno intese come linee guida di prima approssimazione.
mf VVV
11
principi fisici
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Principi fisici: percorsi del segnale sismico e del rumore
ONDA D’ARIA
C
RIFLESSIONE
V2,2
AREATO VW
SUB-Areato VSW
BASAMENTO
RIFRATTE
GROUND ROLLRIVERBERAZIONI
DIRETTA
RICEVITORI
principi fisici
Sismica Applicata
Principi fisici: percorsi del segnale sismico
riflessioni
Le dromocrone
principi fisici