Sintonización de controladores PIPID con los criterios IAE e ITAE, para plantas de polo doble

Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Eléctrica

IE – 0502 Proyecto Eléctrico

Sintonización de controladores PI/PID con los criterios IAE e ITAE, para plantas de polo doble

Por:

Eugenia Solera Saborío

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio Julio del 2005

Sintonización de controladores PI/PID con los criterios IAE e ITAE, para plantas de polo doble

Por: Eugenia Solera Saborío

Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería

de la Universidad de Costa Rica como requisito parcial para optar por el grado de:

BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

Aprobado por el Tribunal:

_________________________________ Ing. Víctor Alfaro

Profesor Guía

_________________________________ _________________________________ Ing. Orlando Arrieta Ing. Rodolfo Espinoza Profesor lector Profesor lector

i

DEDICATORIA

A Ernesto, mi mamá y mi abuela.

Por ser un apoyo, en todo,

a lo largo de mi vida

Gracias.

ii

RECONOCIMIENTOS

Un agradecimiento muy especial, al profesor Víctor Alfaro, por ser verdaderamente

un profesor guía. Gracias por su disciplina, orden y disposición para ayudar y aclarar dudas

a lo largo del desarrollo de todo el proyecto.

A los profesores Orlando Arrieta y Rodolfo Espinoza, por tomarse el tiempo para

leer y corregir los informes. En especial al profesor Orlando por su preocupación y su

accesibilidad para consultas.

A mis compañeros, por ser los mejores amigos y un apoyo constante desde el día

que nos conocimos.

iii

ÍNDICE GENERAL

RESUMEN.................................................................................................... xiii CAPÍTULO 1: Introducción ...........................................................................1

1.1 Objetivos..........................................................................................................................5 1.1.1 Objetivo general.....................................................................................................5 1.1.2 Objetivos específicos .............................................................................................5

1.2 Metodología.....................................................................................................................6 CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico ..................................................................8

2.1 Métodos de sintonización basados en modelos de primer orden................................8 2.1.1 Método de López, Miller, Murrill y Smith ............................................................9 2.1.2 Método de Rovira, Smith y Murrill .....................................................................10 2.1.3 Método de Kaya y Sheib......................................................................................11 2.1.4 Método de Arrieta................................................................................................13 2.1.5 Método IAE de Alfaro .........................................................................................15

2.2 Métodos de sintonización basados en modelos de segundo orden............................16 2.2.1 Método de Wills...................................................................................................16 2.2.2 Método de Sung, O, Lee, Lee y Yy .....................................................................16

2.3 Análisis de los métodos de sintonización.....................................................................18 CAPÍTULO 3: Desarrollo del procedimiento de sintonización................20

3.1 Parámetros óptimos del controlador PI......................................................................20 3.1.1 Funcionamiento como regulador .........................................................................22 3.1.2 Funcionamiento como servomecanismo..............................................................23 3.1.3 Análisis de los parámetros óptimos .....................................................................25

3.2 Parámetros óptimos del controlador PID...................................................................26 3.2.1 Funcionamiento como regulador .........................................................................28 3.2.2 Funcionamiento como servomecanismo..............................................................30 3.2.3 Análisis de los parámetros óptimos .....................................................................33

3.3 Ecuaciones de sintonización.........................................................................................35 CAPÍTULO 4: Pruebas .................................................................................38

4.1 Pruebas para diferentes valores de tiempo muerto...................................................38 4.1.1 Controlador PI......................................................................................................38 4.1.2 Controlador PID ideal..........................................................................................40 4.1.3 Controlador PID serie ..........................................................................................41

4.2 Pruebas comparativas con otros métodos de sintonización ....................................43 4.2.1 Controlador PI......................................................................................................45 4.2.2 Controlador PID ideal..........................................................................................47 4.2.3 Robustez de los lazos de control..........................................................................51

iv

CAPÍTULO 5: Conclusiones y recomendaciones .......................................53

BIBLIOGRAFÍA............................................................................................58

APÉNDICES...................................................................................................60

Apéndice A: Resultados de las simulaciones....................................................................60 Apéndice B: Ajuste de las ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos........69 Apéndice C: Diagramas de Bode – Márgenes de ganancia y fase..................................78 ANEXOS .........................................................................................................83

Anexo 1: Método de identificación “¼ - ¾” de Alfaro.....................................................83

v

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Lazo de control realimentado ............................................................................1

Figura 1.2 Respuesta a un cambio escalón en la perturbación ...........................................2

Figura 1.3 Respuesta a un cambio escalón en el valor deseado..........................................3

Figura 3.1 Programa de simulación para la optimización del controlador PI...................21

Figura 3.2 Ganancia vs tm/τ, controlador PI funcionando como regulador ......................22

Figura 3.3 Tiempo integral vs tm/τ, controlador PI funcionando como regulador............23

Figura 3.4 Ganancia vs tm/τ, controlador PI funcionando como servomecanismo...........24

Figura 3.5 Tiempo integral vs tm/τ, controlador PI funcionando como servomecanismo 24

Figura 3.6 Índices de error vs tm/τ controlador PI ............................................................25

Figura 3.7 Programa de simulación para la optimización dl controlador PID .................27

Figura 3.8 Ganancia vs tm/τ, controlador PID funcionando como regulador ...................28

Figura 3.9 Tiempo integral vs tm/τ, controlador PID funcionando como regulador.........29

Figura 3.10 Tiempo derivativo vs tm/τ, para controlador PID funcionando como regulador ...........................................................................................................................29

Figura 3.11 Ganancia vs tm/τ, controlador PID funcionando como servomecanismo......30

Figura 3.12 Tiempo integral vs tm/τ, para controlador PID funcionando como servomecanismo................................................................................................................31

Figura 3.13 Tiempo derivativo vs tm/τ para controlador PID funcionando como servomecanismo................................................................................................................31

Figura 3.14 Índices de error vs tm/τ controladores PID ideal y PID serie ........................32

Figura 3.15 Ganancia, controlador PI, criterio IAE funcionamiento como regulador. ....37

Figura 4.1 Controlador PI funcionamiento como regulador.............................................39

Figura 4.2 Controlador PI funcionamiento como servomecanismo .................................39

Figura 4.3 Controlador PID ideal funcionamiento como regulador .................................40

Figura 4.4 Controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo......................41

Figura 4.5 Controlador PID serie funcionamiento como regulador .................................42

Figura 4.6 Controlador PID serie funcionamiento como servomecanismo......................42

Figura 4.7 Controlador PI funcionamiento como regulador.............................................45

vi

Figura 4.8 Controlador PI funcionamiento como servomecanismo .................................46

Figura 4.9 Controlador PID ideal funcionamiento como regulador .................................48

Figura 4.10 Controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo....................49

Figura B1 Captura de la selección del tipo de ecuación ...................................................69

Figura B2 Curva ecuación de la ganancia, controlador PI, criterio IAE funcionamiento como regulador. ................................................................................................................70

Figura B4 Curva ecuación de la ganancia, controlador PI, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo......................................................................................................70

Figura B3 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PI, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................70

Figura B5 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PI, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................70

Figura B6 Curva ecuación de la ganancia, controlador PI, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ................................................................................................................71

Figura B8 Curva ecuación de la ganancia, controlador PI, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo......................................................................................................71

Figura B7 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PI, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................71

Figura B9 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PI, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................71

Figura B10 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID ideal, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................72

Figura B12 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID ideal, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................72

Figura B11 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID ideal, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................72

Figura B13 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID ideal, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................72

Figura B14 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID ideal, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................73

Figura B15 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID ideal, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................73

Figura B16 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID ideal, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................73

vii

Figura B17 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID ideal, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................73

Figura B18 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID ideal, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................74

Figura B20 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID ideal, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................74

Figura B19 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID ideal, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................74

Figura B21 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID ideal, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................74

Figura B22 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID serie, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................75

Figura B24 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID serie, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................75

Figura B23 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID serie, criterio IAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................75

Figura B25 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID serie, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................75

Figura B26 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID serie, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................76

Figura B27 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID serie, criterio IAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................76

Figura B28 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID serie, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................76

Figura B29 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID serie, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................76

Figura B30 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID serie, criterio ITAE funcionamiento como regulador. ......................................................................................77

Figura B32 Curva ecuación del tiempo integral, controlador PID serie, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................77

Figura B31 Curva ecuación de la ganancia, controlador PID serie, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................77

Figura B33 Curva ecuación del tiempo derivativo, controlador PID serie, criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo............................................................................77

viii

Figura C1 Diagrama de Bode controlador PI criterio IAE funcionamiento como regulador ...........................................................................................................................78

Figura C2 Diagrama de Bode controlador PI criterio ITAE funcionamiento como regulador ...........................................................................................................................79

Figura C3 Diagrama de Bode controlador PI criterio IAE funcionamiento como servomecanismo................................................................................................................79

Figura C4 Diagrama de Bode controlador PI criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo................................................................................................................80

Figura C5 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio IAE funcionamiento como regulador ...........................................................................................................................80

Figura C6 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio ITAE funcionamiento como regulador ...........................................................................................................................81

Figura C7 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio IAE funcionamiento como servomecanismo................................................................................................................81

Figura C8 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo................................................................................................................82

Figura A1 Método “1/4 – 3/4" de Alfaro.........................................................................83

ix

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Constantes – Método de López.........................................................................10

Tabla 2.2 Constantes – Método de Rovira........................................................................11

Tabla 2.3 Constantes – Método de Kaya y Sheib .............................................................13

Tabla 2.4 Constantes – Método de Arrieta .......................................................................14

Tabla 2.5 Constantes – Método IAE de Alfaro ................................................................15

Tabla 3.1 Índices de error utilizando un controlador PI para una planta con diferentes valores de τ0 ......................................................................................................................26

Tabla 3.2 Índices de error utilizando un controlador PID para una planta con diferentes valores de τ0 ......................................................................................................................34

Tabla 3.3 Valor de las constantes de las ecuaciones de sintonización..............................36

Tabla 4.1 : Parámetros de los controladores sintonizados por diferentes métodos ..........44

Tabla 4.2: Comparación controlador PI funcionamiento como regulador .......................46

Tabla 4.3: Comparación controlador PI funcionamiento como servomecanismo............47

Tabla 4.4: Comparación controlador PID ideal funcionamiento como regulador............48

Tabla 4.5: Comparación controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo 50

Tabla 4.6: Comparación controladores PI y PID ideal para igual criterio integral...........50

Tabla 4.7: Márgenes de fase y ganancia - sintonización mediante el método propuesto .52

Tabla A.1: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como regulador, criterio IAE....................................................................................................................................60

Tabla A.2: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como regulador, criterio ITAE .................................................................................................................................61

Tabla A.3: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como servomecanismo, criterio IAE .......................................................................................................................62

Tabla A.4: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como servomecanismo, criterio ITAE.....................................................................................................................63

Tabla A.5: Parámetros óptimos controlador PID ideal funcionamiento como regulador, criterio IAE .......................................................................................................................64

Tabla A.6: Parámetros óptimos controlador PID ideal funcionamiento como regulador, criterio ITAE.....................................................................................................................64

x

Tabla A.7: Parámetros óptimos controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo, criterio IAE ..........................................................................................65

Tabla A.8: Parámetros óptimos controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo, criterio ITAE........................................................................................66

Tabla A.9: Parámetros óptimos controlador PID serie funcionamiento como regulador, criterio IAE .......................................................................................................................67

Tabla A.10: Parámetros óptimos controlador PID serie funcionamiento como regulador, criterio ITAE.....................................................................................................................67

Tabla A.11: Parámetros óptimos controlador PID serie funcionamiento como servomecanismo, criterio IAE ..........................................................................................68

Tabla A.12: Parámetros óptimos controlador PID serie funcionamiento como servomecanismo, criterio ITAE........................................................................................68

xi

NOMENCLATURA

e(s) señal de error

Gc (s) función de transferencia del controlador

Gp (s) función de transferencia de la planta

IAE integral del error absoluto

ISE integral del error cuadrático

ITAE integral del tiempo por el error absoluto

ITSE integral del tiempo por el error cuadrático

Kc ganancia del controlador

kp ganancia de la planta

L(s) función de transferencia de lazo abierto

MG margen de ganancia

MF margen de fase

Mp sobrepaso máximo

P controlador proporcional

PI controlador proporcional integral

PID controlador proporcional integral derivativo

r(s) valor deseado del sistema

ta2 tiempo de asentamiento al 2%

Td tiempo derivativo del controlador

Ti tiempo integral del controlador

tm tiempo muerto de la planta

tp tiempo al primer pico

τ constante de tiempo de la planta

τ0 tiempo muerto normalizado

u(s) salida del controlador

y(s) variable controlada

z(s) perturbación

xii

RESUMEN

El objetivo principal del presente proyecto fue desarrollar un procedimiento de

sintonización de controladores PI y PID, que optimizara los criterios integrales IAE e

ITAE, para plantas de segundo orden más tiempo muerto de polo doble.

Primero se realizó una investigación bibliográfica sobre los diferentes métodos de

sintonización existentes, basados en criterios integrales. Luego empleando el programa de

simulación VisSim 3.0 se obtuvieron los parámetros óptimos de los controladores PI, PID

ideal y PID serie funcionando como regulador y como servomecanismo, para los criterios

integrales IAE e ITAE. Se empleó el programa MatLab 6.5 para, mediante un

procedimiento de ajuste de curvas, obtener las ecuaciones para el cálculo de los parámetros

de los controladores en función de los parámetros de la planta.

Finalmente, se realizaron varias pruebas para verificar el desempeño del método de

sintonización desarrollado, para diferentes valores de tm/τ y este se comparó con el obtenido

con otros métodos de sintonización existentes.

Se concluyó que el método de sintonización obtenido tiene un desempeño

satisfactorio, ya que presenta índices menores para los criterios integrales optimizados en

comparación a los obtenidos para el método de López, el método de Rovira y el método de

Sung. Además, las curvas de respuesta obtenidas con el nuevo método presentaron tiempos

de asentamiento y sobrepasos máximos menores.

xiii

CAPÍTULO 1: Introducción

Un sistema de control realimentado(1) es aquel que ante la presencia de

perturbaciones, opera para reducir la diferencia entre la variable controlada y su valor de

referencia en forma continua. El diagrama de bloques de un sistema de control

realimentado se muestra en la figura 1.1,

Figura 1.1 Lazo de control realimentado

en donde: Gp(s) es la función de transferencia de la planta y Gc(s) la del controlador, r(s) es

el valor deseado, y(s) es la variable controlada ó señal realimentada, e(s) es el error y z(s)

es la perturbación entrando al sistema.

Debido a la existencia de dos entradas (r(s) y z(s)), el sistema de control realimentado

tiene dos posibles formas de funcionamiento, esto es como regulador o como

servomecanismo.

1

2

La función de transferencia del sistema de lazo cerrado es:

)()()(1

)()(

)()(1)()(

)( szsGsG

sGsr

sGsGsGsG

sypc

p

pc

pc ⋅⋅+

+⋅⋅+

⋅= (1-1)

En el caso del regulador (respuesta a una perturbación) se desea que la variable

controlada regrese a un valor deseado. Se tiene que el valor deseado es constante (r(s) = 0)

para este caso y la función de transferencia del sistema se reduce a:

)()()(1

)()( sz

sGsGsG

sypc

p ⋅⋅+

= (1-2)

En la Figura 1.2 se muestra la respuesta típica de un sistema de control a un cambio

escalón en z(s).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Figura 1.2 Respuesta a un cambio escalón en la perturbación

3

En el caso del servomecanismo (respuesta a un cambio en el valor deseado) se desea

que la variable controlada siga al valor deseado de la mejor manera posible. En este caso se

tiene que z(s) = 0 y la función de transferencia del sistema sería:

)()()(1

)()()( sr

sGsGsGsG

sypc

pc ⋅⋅+

⋅= (1-3)

En la Figura 1.3 se muestra una posible respuesta del sistema de control a un cambio

escalón en el valor deseado:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 1.3 Respuesta a un cambio escalón en el valor deseado

4

Se dispone de diferentes tipos de controladores, los cuales pueden ser proporcionales

(P), proporcionales integrales (PI), proporcionales derivativos (PD) ó proporcionales

integrales derivativos (PID).

Para el control de un determinado proceso, es de gran importancia la selección del

tipo de controlador que se utilizará, así como la escogencia del método mediante el cual se

sintonizará, para poder asegurar que los resultados obtenidos, serán similares a los

establecidos como deseados durante la etapa de diseño del sistema de control.

Para sintonizar el controlador es necesario contar con un modelo del sistema. A

partir de esta información se calculan los parámetros del controlador.

Para la obtención del modelo del sistema controlado, se puede hacer uso de diferentes

métodos de identificación según el tipo de modelo requerido. En la mayoría de los casos,

este debe ser de primer orden más tiempo muerto ó de segundo orden más tiempo muerto.

Un procedimiento usual de sintonización de los controladores es mediante la

optimización de un criterio integral. Este evalúa una función de costo basada en la integral

del error como una medida del desempeño del lazo de control.

Los criterios integrales más usados son:

• Integral del error absoluto

∫∞

=0

)( dtteIAE (1-4)

5

• Integral del error cuadrático

(1-5) ∫∞

=0

2 )( dtteISE

• Integral del tiempo por el error absoluto

∫∞

⋅=0

)( dttetITAE (1-6)

• Integral del tiempo por el error cuadrático

(1-7) ∫∞

⋅=0

2 )( dttetITSE

1.1 Objetivos

A continuación se describen los objetivos planteados para este proyecto.

1.1.1 Objetivo general

Desarrollar un procedimiento de sintonización de controladores PI y PID que

optimice los criterios integrales IAE e ITAE, para plantas con un modelo de segundo orden

más tiempo muerto de polo doble.

1.1.2 Objetivos específicos

Los objetivos específicos que se establecieron para el proyecto fueron:

- Realizar una investigación bibliográfica de los métodos de sintonización de los

controladores PI y PID basados en los criterios integrales para modelos de primer y

segundo orden.

6

- Determinar los parámetros óptimos bajo los criterios IAE e ITAE para

controladores PI y PID-ideal funcionando como reguladores y como

servomecanismos, con plantas de segundo orden más tiempo muerto de polo doble

para valores de 0.05 ≤ tm/τ ≤ 2.0.

- Obtener ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos determinados, en

función de los parámetros del modelo del proceso para cada función de costo,

controlador y funcionamiento del lazo.

- Simular los lazos de control con los controladores PI y PID óptimos para casos

particulares de los parámetros del modelo y comparar las respuestas con base en

criterios adicionales tales como error máximo, tiempo de asentamiento y robustez.

- Comparar el desempeño de los controladores con los parámetros óptimos

encontrados, con el de los sintonizados con algunos de los otros procedimientos de

sintonización equivalentes existentes.

1.2 Metodología

Inicialmente se llevo a cabo una investigación bibliográfica sobre los métodos de

sintonización de los controladores basados en los criterios integrales para modelos de

planta de primer y segundo orden, con el fin de realizar el desarrollo teórico del proyecto.

Posteriormente se determinaron los parámetros óptimos para los diferentes

controladores, PI, PID ideal y PID serie, bajo los distintos criterios integrales y

funcionando como regulador o servomecanismo. Para lograrlo se requirió al uso del

7

programa de simulación VisSim 3.0(9). Posteriormente se obtuvieron las ecuaciones de los

parámetros óptimos de los controladores PI y PID en función de los parámetros del modelo

del proceso para los criterios de optimización (IAE e ITAE), utilizando el programa

MatLab 6.5.

Se realizaron también simulaciones de los lazos de control con los controladores PI y

PID óptimos para casos particulares de los parámetros del modelo y se compararon las

respuestas sobre la base de criterios adicionales tales como error máximo, tiempo de

asentamiento y robustez. Esto se realizó utilizando también los programas de simulación.

Finalmente se concluyó sobre el desempeño de los controladores sintonizados con

los parámetros óptimos encontrados y el de los sintonizados con algunos de los

procedimientos de sintonización equivalentes existentes, con base en los resultados

obtenidos de las diferentes simulaciones realizadas.

CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico

Existen diferentes métodos para el diseño de sistemas de control o la sintonización

de los controladores tales como: el diseño basado en el lugar geométrico de las raíces, la

sintonización mediante la cancelación de polos y ceros, la sintonización mediante la

ubicación de los polos de lazo cerrado y la síntesis de controladores de Martin, Corripio y

Smith(2). Además, se cuenta con reglas de sintonización de controladores basadas en

información crítica del sistema, en las curvas de reacción, en pruebas de lazo cerrado ó en

los criterios integrales.

Como el objetivo principal del presente proyecto era desarrollar un método de

sintonización para plantas con modelo de segundo orden (polo doble) más tiempo muerto,

que optimizara los criterios integrales IAE e ITAE, el estudio previo se restringió a los

procedimientos de sintonización que utilizan estos criterios.

A continuación se presentan varios métodos de sintonización de controladores PI y

PID basados en criterios integrales para modelos de primer y segundo orden.

2.1 Métodos de sintonización basados en modelos de primer orden

Los métodos que se presentan a continuación requieren la utilización de modelos de

primer orden más tiempo muerto los cuales son de la forma:

1)(

+⋅

⋅=

⋅−

sek

sGst

pp

m

τ (2.1-1)

8

9

2.1.1 Método de López, Miller, Murrill y Smith

López et al (6) emplean un modelo de primer orden más tiempo muerto, donde debe

utilizarse el método que de la mejor aproximación para la obtención del modelo. Sus reglas

pueden ser aplicadas en un ámbito de 0.1 ≤ tm/τ ≤ 1.0. Está definido para un funcionamiento

del controlador como regulador y es aplicable a controladores P, PI y PID-ideal. Optimiza

los criterios integrales IAE, ISE e ITAE.

Las ecuaciones de sintonización son:

bm

cpt

aKk

⋅=⋅τ

(2.1.1-1)

dmi t

cT

⋅=ττ

(2.1.1-2)

fmd t

eT

⋅=ττ

(2.1.1-3)

En la Tabla 2.1 se muestran los valores de las constantes a utilizar en las

ecuaciones (2.1.1-1) a (2.1.1-3) según el controlador PI ó PID y el criterio integral IAE ó

ITAE.

10

Tabla 2.1 Constantes – Método de López

Controlador Criterio a b c d e f

IAE 0.984 -0.986 1.645 0.707 - - PI

ITAE 0.859 -0.977 1.484 0.680 - -

IAE 1.435 -0.921 1.139 0.749 0.482 1.137 PID-ideal

ITAE 1.357 -0.947 1.188 0.738 0.381 0.995

2.1.2 Método de Rovira, Smith y Murrill

Rovira et al (7) emplean un modelo de primer orden más tiempo muerto, donde debe



del controlador como servomecanismo y es aplicable a controladores PI y PID-ideal.

Optimiza los criterios integrales IAE e ITAE.


bm

cpt

aKk

⋅=⋅τ

(2.1.2-1)

11

⋅+

=

ττ m

i

tdc

T 1 (2.1.2-2)

fmd t

eT

⋅=ττ

(2.1.2-3)

En la Tabla 2.2 se presentan los valores de las constantes a utilizar en las ecuaciones

(2.1.2-1) a (2.1.2-3) según el controlador PI ó PID y el criterio integral IAE ó ITAE.

Tabla 2.2 Constantes – Método de Rovira

Controlador Criterio a b c d e f

IAE 0.758 -0.861 1.020 -0.323 - - PI

ITAE 0.586 -0.916 1.030 -0.165 - -

IAE 1.086 -0.896 0.740 -0.130 0.348 0.914 PID-ideal

ITAE 0.965 -0.850 0.796 -0.1465 0.308 0.929

2.1.3 Método de Kaya y Sheib

Kaya y Sheib (5) emplean un modelo de primer orden más tiempo muerto, donde

debe utilizarse el método que de la mejor aproximación para la obtención del modelo. Está

definido para un funcionamiento del controlador como regulador y como servomecanismo

12

y es aplicable a controladores PID serie, paralelo ó industrial. Optimiza los criterios

integrales IAE, ISE e ITAE.

Las ecuaciones de sintonización para el funcionamiento como regulador son:

bm

cpt

aKk

⋅=⋅τ

(2.1.3-1)

dmi t

cT −

⋅=ττ

1 (2.1.3-2)

fmd t

eT

⋅=ττ

(2.1.3-3)

Las ecuaciones de sintonización para el funcionamiento como servomecanismo son:

bm

cpt

aKk

⋅=⋅τ

(2.1.3-4)

⋅+

=

ττ m

i

tdc

T 1 (2.1.3-5)

fmd t

eT

⋅=ττ

(2.1.3-6)


(2.1.3-1) a (2.1.3-6) según el controlador y el criterio integral.

13

Tabla 2.3 Constantes – Método de Kaya y Sheib

Controlador Funcionamiento Criterio a b c d e f

IAE 0.9809 -0.7617 0.9103 -1.0521 0.5997 0.8982Regulador

ITAE 0.7790 -1.0640 1.1431 -0.7095 0.5714 1.0383

IAE 0.6500 -1.0443 0.9895 0.0954 0.5081 1.0843

PID

Serie

Servomecanismo

ITAE 1.1276 -0.8037 0.9978 0.0286 0.4284 1.0081

IAE 1.3151 -0.8826 1.2587 -1.3756 0.5655 0.4576Regulador

ITAE 1.3176 -0.7937 1.1250 -1.4260 0.4955 0.4193

IAE 1.1303 -0.8131 5.7527 -5.7241 0.3218 0.1771

PID

Paralelo

Servomecanismo

ITAE 0.9838 -0.4985 2.7135 -2.2978 0.2144 0.1677

IAE 0.9100 -0.7938 1.0150 -1.0040 0.5414 0.7848Regulador

ITAE 0.7058 -0.8872 1.0333 -0.9914 0.6001 0.9710

IAE 0.8170 -1.0040 1.0911 -0.2239 0.4428 0.9719

PID

Industrial

Servomecanismo

ITAE 0.8326 -0.7607 1.0027 0.0085 0.4424 1.1150

2.1.4 Método de Arrieta

Arrieta (4) emplea un modelo de primer orden más tiempo muerto, donde debe



14

del controlador como servomecanismo ó como regulador y es aplicable a controladores PI

y PID-ideal. Optimiza los criterios integrales IAE e ITAE.


cm

pct

bakK

+=τ

(2.1.4 -1)

fmi t

edT

+=

ττ (2.1.4 - 2)

imd t

hgT

+=

ττ (2.1.4 - 3)


(2.1.4-1) a (2.1.4-3) según el funcionamiento deseado y el criterio integral.

Tabla 2.4 Constantes – Método de Arrieta

Func Con Crit. a b c d e f g h i

IAE 0.45 0.6494 -1.1251 -0.2551 1.8205 0.4749 - - - PI

ITAE 0.2607 0.6470 -1.1055 -1.5926 2.9191 0.1789 - - -

IAE 0.1050 1.2432 -0.9946 -0.2512 1.3581 0.4796 -0.0003 0.3838 0.9479

Reg.

PID

ideal ITAE 0.1230 1.1891 -1.0191 -0.3173 1.4489 0.4440 -0.0053 0.3695 0.9286

IAE 0.2438 0.5305 -1.0299 0.9377 0.4337 0.8714 - - - PI

ITAE 0.1140 0.5131 -1.0382 0.9953 0.2073 1.5246 - - -

IAE 0.2268 0.8051 -0.9597 1.0068 0.3658 1.0092 -0.0146 0.3500 0.8100

Serv.

PID

ideal ITAE 0.1749 0.8355 -0.9462 0.9581 0.3987 0.6884 -0.0169 0.3126 0.7417

15

2.1.5 Método IAE de Alfaro

Alfaro (2) emplea un modelo de primer orden más tiempo muerto, donde debe


pueden ser aplicadas en un ámbito de 0.05 ≤ tm/τ ≤ 2.0. Está definido para un

funcionamiento del controlador como servomecanismo ó regulador y es aplicable a

controladores PID-ideales. Optimiza el criterio integral IAE.

Las ecuaciones de Sintonización son las siguientes:

( )p

c

c kba

K 0τ+= (2.1.5 - 1)

( )[ ]ττ fi edT 0+= (2.1.5 - 2)

( ) ττ hd gT 0= (2.1.5 - 3)

En la Tabla 2.5 se presentan los valores de las constantes a utilizar en las

ecuaciones (2.1.5-1) a (2.1.5-3) según el funcionamiento del controlador.

Tabla 2.5 Constantes – Método IAE de Alfaro

Func. a b c d e f g h Serv. 0.3295 0.7182 -0.9971 0.9781 0.3723 0.8456 0.3416 0.9414 Reg. 0.2068 1.1597 -1.0158 -0.2228 1.3009 0.5022 0.3953 0.8469

16

2.2 Métodos de sintonización basados en modelos de segundo orden

Los métodos que se presentan a continuación están basados en modelos de segundo

orden más tiempo muerto de la forma:

12)( 22 +⋅⋅⋅+⋅

⋅=

⋅−

ssek

sGst

pp

m

ζττ (2.2-1)

2.2.1 Método de Wills

Wills (2) propone un procedimiento gráfico cuyo valor radica en la presentación del

efecto que tiene la variación de los parámetros del controlador sobre el valor de las

funciones de costo IAE y ITAE en una planta de segundo orden más tiempo muerto.

El funcionamiento del controlador puede ser como regulador ó servomecanismo.

Wills determinó que el mínimo de IAE para cambios en el valor deseado se encuentra en la

región de:

TuTi ≈ Td Tu⋅≈ 2.0 (2.2.1 - 1)

y para cambios en la perturbación se encuentra en la región de:

TuTi ⋅≈ 0.3 Td Tu⋅≈ 25.0 (2.2.1 - 2)

2.2.2 Método de Sung, O, Lee, Lee y Yy

Sung et al (8) proponen obtener un modelo de segundo orden más tiempo muerto

para el proceso realizando una prueba de retroalimentación por relé seguida por una prueba

con control P. El modelo sería de la forma de la ecuación (2.2 – 1).

17

Sus reglas pueden ser aplicadas en un ámbito de 0.05 ≤ tm/τ ≤ 2.0. Está definido

para un funcionamiento del controlador como servomecanismo ó regulador y es aplicable a

controladores PID-ideales. Optimiza el criterio integral ITAE.

PID ideal – Servomecanismo

ζτ

++−=

− 983.0

949.0333.004.0 mpc

tkK para 9.0≤ζ (2.2.2 - 1)

ζττ

832.0

408.1308.0544.0−

+

+−= mm

pctt

kK para ζ > 1 (2.2.2 - 2)

ζττ

+= mi tT

072.0055.2 para tm/τ ≤ 1 (2.2.2 - 3)

ζττ

+= mi tT

329.0768.1 para tm/τ > 1 (2.2.2 - 4)

+

−−=− 090.1

060.1

683.155.0870.0

exp1τ

ζττ m

m

d

tt

T (2.2.2 - 5)

PID ideal – Regulador

ζττ

766.0001.2

189..2297.067.0−−

+

+−= mm

pctt

kK para tm/τ < 0.9 (2.2.2 - 6)

ζττ

766.02

189..24.1260.0365.0−

+

−+−= mm

pctt

kK para tm/τ ≥ 0.9 (2.2.2 - 7)

18

3.0212.2520.0

−

=

ττmi tT

para tm/τ < 0.4 (2.2.2 - 8)

−−

+−

−+

−+−=

22

8.288.025.5)/(33.015.0

exp1845.1910.0975.0ττ

ζττ

m

m

mi tt

tT

para tm/τ ≥ 0.4 (2.2.2 - 9)

+

+−−

−+

+−=

−

−

− 171.1

121.1

530.0

969.045.1)/(939.015.0

exp1576.19.1ττ

ζτ

τ m

m

m

d

tt

tT

(2.2.2 - 10)

2.3 Análisis de los métodos de sintonización

Como se puede apreciar, la gran mayoría de los métodos de sintonización existentes

utilizan modelos de primer orden más tiempo muerto siendo, sin embargo, más conveniente

la utilización de modelos de segundo orden, ya que estos por lo general brindan una mejor

aproximación del comportamiento dinámico del sistema controlado.

El único método de sintonización basado en un criterio integral que utiliza un

modelo de segundo orden es el desarrollado por Sung et al, el cual optimiza el criterio

ITAE.

La razón, por la que normalmente se utilizan métodos de sintonización basados en

modelos de primer orden, es que presentan ecuaciones para el cálculo de los parámetros del

19

controlador más sencillas y de fácil aplicación que los métodos que utilizan un modelo de

segundo orden, como es el caso del método de Sung que presenta ecuaciones más

complejas.

Lo anterior motivó el interés en desarrollar un método de sintonización basado en

un modelo de polo doble más tiempo muerto, ya que este presenta el mismo número de

variables que un modelo de primer orden, para obtener de esta manera ecuaciones sencillas.

La escasez de métodos de sintonización que empleen un modelo de segundo orden para la

planta, fue otra razón para el planteamiento del desarrollo del proyecto.

CAPÍTULO 3: Desarrollo del procedimiento de sintonización.

Los métodos existentes de sintonización de controladores basados en criterios

integrales, utilizan en su mayoría modelos de primer orden más tiempo muerto. Sin

embargo, los modelos de segundo orden brindan normalmente una mejor aproximación a la

curva de reacción de la planta. Por esto, el objetivo principal de este proyecto fue el

desarrollar un método de sintonización que optimizara los criterios integrales IAE e ITAE

para plantas representadas por un modelo de segundo orden más tiempo muerto de polo

doble, de la forma:

( )21)(

+⋅

⋅=

⋅−

s

eksG

stp

p

m

τ (3.1-1)

El proceso de optimización de los parámetros del controlador se realizó utilizando

el programa de simulación VisSim 3.0, para controladores PI y PID funcionando como

reguladores y como servomecanismos.

El modelo (3.1-1) se normalizó como:

2)1()(

0

+=′ −

sesG

s

p

τ

(3.1-2)

donde τ0 = tm / τ es el tiempo muerto normalizado.

3.1 Parámetros óptimos del controlador PI

El lazo de control simulado en VisSim para la optimización de los parámetros del

controlador PI se muestra en la figura 3.1.

20

21

Figura 3.1 Programa de simulación para la optimización del controlador PI

La optimización se realizó para tiempos muertos relativos del modelo en un ámbito

de 0.05 ≤ τ0 ≤ 2.0, utilizando el método de integración de Runge Kutta de 4º orden con un

paso de integración igual a 0.01 y un ámbito de solución de 0 a 50. El método de

optimización empleado fue el de Powell con un límite de 300 iteraciones y un criterio de

error tolerable de 0.001.

En cada corrida de la optimización se emplearon como parámetros iniciales del

controlador, los parámetros óptimos obtenidos para el valor previo de tiempo muerto

normalizado, excepto en el caso de τ0 = 0.05 en cuyo caso el valor inicial para los

parámetros fue unitario.

22

3.1.1 Funcionamiento como regulador

Para cumplir con el funcionamiento como regulador, se produjo un cambio escalón

unitario en la perturbación z(t) y se verificó tener un valor de cero en la magnitud del valor

deseado en el lazo de control simulado.

Las curvas trazadas a partir de los datos obtenidos (ver apéndice A) durante las

simulaciones, para la ganancia y el tiempo integral, se presentan en las figuras 3.2 y 3.3.

0

5

10

15

20

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm / T

Gan

anci

a

Kc_IAEKc_ITAE

Figura 3.2 Ganancia vs tm/τ, controlador PI funcionando como regulador

23

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm / T

Tiem

po in

tegr

alTi_IAETi_ ITAE

Figura 3.3 Tiempo integral vs tm/τ, controlador PI funcionando como regulador

3.1.2 Funcionamiento como servomecanismo

Para cumplir con el funcionamiento como servomecanismo, se produjo un cambio

escalón unitario en el valor deseado r(t) y se verifico tener un valor de cero en la magnitud

de la perturbación en el lazo de control simulado.


simulaciones para la ganancia y el tiempo integral se presentan en las figuras 3.4 y 3.5.

24

0

1

2

3

4

5

6

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Kc_IAEKc_ITAE

Figura 3.4 Ganancia vs tm/τ, controlador PI funcionando como servomecanismo

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm / T

tiem

po in

tegr

al

Ti_IAETi_ITAE

Figura 3.5 Tiempo integral vs tm/τ, controlador PI funcionando como servomecanismo

25

0

5

10

15

20

25

30

35

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

Valo

r de

la in

tegr

al d

e co

sto

IAE regulador IAE servomecanismo ITAE regulador ITAE servomecanismo

Figura 3.6 Índices de error vs tm/τ controlador PI

3.1.3 Análisis de los parámetros óptimos Para el controlador PI, tanto como regulador como servomecanismo, se obtuvo que

los valores de ganancia y tiempo integral óptimos para el criterio integral IAE son mayores

a los requeridos para optimizar el criterio integral ITAE.

Esto indica que para optimizar el criterio IAE se requiere más acción proporcional y

menos acción integral que para optimizar el criterio ITAE.

De los valores óptimos de los diferentes criterios utilizados y mostrados en la figura

3.6 es evidente que estos aumentan de valor a medida que el tiempo muerto normalizado τ0

crece.

Se puede concluir que el tiempo muerto de la planta tiene un efecto adverso sobre el

desempeño del sistema de control. Por ejemplo, si se comparan los índices para una planta

26

con un tiempo muerto normalizado de τ0=0.5 con los obtenidos para una planta con τ0=1.5

(ver tabla 3.1), se tiene que para un funcionamiento como regulador IAE 0.5 / IAE 1.5 = 2.5 y

que ITAE 0.5 / ITAE 1.5 = 3.78, de donde se puede concluir que el aumento del tiempo

muerto afecta de mayor manera los índices de error para el criterio ITAE. Iguales

resultados se obtienen para un funcionamiento como servomecanismo, donde las relaciones

obtenidas fueron IAE 0.5 / IAE 1.5 = 1.7 e ITAE 0.5 / ITAE 1.5 = 2.93.

Tabla 3.1 Índices de error utilizando un controlador PI para una planta con

diferentes valores de τ0

Funcionamiento Criterio Índice para τ0=0.5

Índice para τ0=1.5

Relación entre los índices

Regulador IAE 1.30 3.26 2.50 ITAE 5.00 18.91 3.78 Servomecanismo IAE 2.17 3.69 1.70 ITAE 3.26 9.56 2.93 3.2 Parámetros óptimos del controlador PID

De forma similar a como se hizo con el controlador PI, utilizando el programa de

simulación VisSim 3.0 se calcularon los parámetros óptimos del controlador PID ideal.

Como se verá más adelante, la relación entre el tiempo integral y el derivativo

óptimos obtenidos para el controlador PID Ideal era menor a cuatro (Ti/Td < 4), por lo que

no sería posible calcular los parámetros de un controlador PID serie equivalente al PID

ideal óptimo. Esto originó la necesidad de realizar la optimización de los parámetros del

controlador PID serie en forma independiente.

El lazo de control simulado se muestra en la figura 3.7.

27

Figura 3.7 Programa de simulación para la optimización dl controlador PID

La optimización se realizó para tiempos muertos relativos del modelo en un ámbito

de 0.05 ≤ τ0 ≤ 2.0, utilizando el método de integración de Runge Kutta de 4º orden con un

paso de integración igual a 0.001 para un rango de solución de 0 a 50. Para la optimización

se empleó el método de Powell con un máximo de 300 iteraciones y un error máximo

tolerable de 0.001.

En cada corrida de la optimización se emplearon como parámetros iniciales del

controlador, los parámetros óptimos obtenidos para el valor previo de tiempo muerto, con

excepción del caso de τ0 = 0.05 en que el valor inicial para los parámetros fue unitario.

28

3.2.1 Funcionamiento como regulador Para cumplir con el funcionamiento como regulador se produjo un cambio escalón

unitario en la perturbación z(t) y se verifico tener un valor de cero en la magnitud del valor

deseado en el lazo de control simulado.


simulaciones para la ganancia, el tiempo integral y el tiempo derivativo, se presentan en las

figuras 3.8, 3.9 y 3.10.

0

10

20

30

40

50

60

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

tm/T

Gan

anci

a IAE PIDideal

ITAE PIDideal

IAE PIDserie

ITAE PIDserie

Figura 3.8 Ganancia vs tm/τ, controlador PID funcionando como regulador

29

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

Tiem

po in

tegr

al

IAE PIDidea

ITAE PIDideal

IAE PIDserie

ITAE PIDserie

Figura 3.9 Tiempo integral vs tm/τ, controlador PID funcionando como regulador

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

Tiem

po d

eriv

ativ

o

IAE PIDideal

ITAE PIDideal

IAE PIDserie

ITAE PIDserie

Figura 3.10 Tiempo derivativo vs tm/τ, para controlador PID funcionando como

regulador

30

3.2.2 Funcionamiento como servomecanismo Para cumplir con el funcionamiento como servomecanismo se produjo un cambio

escalón unitario en el valor deseado r(t) y se verifico tener un valor de cero en la magnitud

de la perturbación en el lazo de control simulado.


simulaciones para la ganancia, el tiempo integral y el tiempo derivativo, se presentan en las

figuras 3.11, 3.12 y 3.13.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

Gan

anci

a IAE PIDideal

ITAE PIDideal

IAE PIDserie

ITAE PIDserie

Figura 3.11 Ganancia vs tm/τ, controlador PID funcionando como servomecanismo

31

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

Tiem

po in

tegr

alIAE PIDideal

ITAE PIDideal

IAE PIDserie

ITAE PIDserie

Figura 3.12 Tiempo integral vs tm/τ, para controlador PID funcionando como

servomecanismo

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

tiem

po d

eriv

ativ

o

IAE PIDideal

ITAE PIDideal

IAE PIDserie

ITAE PIDserie

Figura 3.13 Tiempo derivativo vs tm/τ para controlador PID funcionando como

servomecanismo

32

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

tm/T

Valo

r de

la in

tegr

al d

e co

sto

IAE PIDideal regulador IAE PID ideal servomecanismoITAE PID ideal regulador ITAE PID ideal servomecanismoIAE PID serie regulador IAE PID serie servomecanismoITAE PID serie regulador ITAE PID serie servomecanismo

Figura 3.14 Índices de error vs tm/τ controladores PID ideal y PID serie

33

3.2.3 Análisis de los parámetros óptimos En general para ambos controladores, PID ideal y PID serie, operando como

regulador, se obtuvieron valores mayores en los tres parámetros del controlador al

optimizar el criterio IAE que el ITAE.

Esto indica que optimizar el criterio IAE requiere de más acción proporcional,

menos acción integral y más acción derivativa que el optimizar el criterio ITAE.

Para el controlador PID serie operando como servomecanismo se obtuvieron

mayores valores de los diferentes parámetros para optimizar el criterio IAE, que para el

ITAE. Mientras que para el controlador PID ideal en el caso del criterio ITAE se

obtuvieron valores mayores de ganancia y tiempo integral pero menor tiempo derivativo,

que para el IAE.

Como se puede observar de la figura 3.14, al igual que en el caso del controlador

PI, el aumento del tiempo muerto de la planta tiene un efecto adverso en el desempeño del

sistema de control.

En este caso, si comparamos los valores para una planta con τ0=0.5 y τ0=1.5 (ver

tabla 3.2), se tiene que para un funcionamiento como regulador, para el controlador PID

ideal, se obtuvo que IAE0.5 / IAE1.5 = 4.54 y que ITAE0.5 / ITAE1.5 = 10.47 y para el

controlador PID serie, se obtuvo que IAE0.5 / IAE1.5 = 4.04 y que ITAE0.5 / ITAE1.5 = 8.68.

A partir de estos datos se puede concluir que el aumento del tiempo muerto afecta

de mayor manera los índices de error para el criterio ITAE, para ambos controladores.

Además, el aumento del tiempo muerto deteriora más los índices del controlador PID ideal

que los del controlador PID serie.

34

En el caso del funcionamiento como servomecanismo, se obtuvo que al igual que

en el caso del regulador, el aumento del tiempo muerto afecta de mayor manera los índices

de error para el criterio ITAE. Sin embargo, en este caso se obtuvo que el tiempo muerto

deteriora los índices para el controlador PID serie de manera más rápida en comparación

con el controlador PID ideal.

Además, se obtuvo que para los diferentes criterios integrales y los diferentes

funcionamientos, en todos los casos los índices obtenidos fueron más altos para el

controlador PID serie en comparación con los del PID ideal.

Esto concuerda con el hecho de que no es posible encontrar un controlador PID

serie equivalente al PID ideal óptimo. El mejor desempeño del lazo de control requiere que

los ceros del controlador sean un par complejo conjugado , condición imposible de lograr

con un controlador PID serie.

Tabla 3.2 Índices de error utilizando un controlador PID para una planta con

diferentes valores de τ0

Controlador Funcionamiento Criterio Índice para τ0=0.5

Índice para τ0=1.5

Relación entre los índices

IAE 0.44 2.00 4.54 Regulador ITAE 0.88 9.22 10.47 IAE 1.05 2.55 2.43

PID ideal

ServomecanismoITAE 0.75 4.1 5.47 IAE 0.55 2.22 4.04 Regulador ITAE 1.33 11.55 8.68 IAE 1.12 2.80 2.48

PID serie

ServomecanismoITAE 0.9 5.12 5.69

35

3.3 Ecuaciones de sintonización

Una vez obtenidos los parámetros óptimos para los diferentes controladores

mediante un procedimiento de ajuste de curvas, se determinaron ecuaciones para su cálculo

en función de los parámetros de la planta. Para algunos casos fue necesario partir los datos

en dos ámbitos para obtener un mejor ajuste de las curvas. En la tabla 3.3 se específica en

que ámbito de valores de tm/τ son aplicables cada una de las ecuaciones, de no

especificarse, el ámbito corresponde a 0.05 ≤ tm/τ ≤ 2.0.

Para esto se utilizo la herramienta de MatLab curve fitting tool (Ver apéndice B).

Las ecuaciones determinadas para el cálculo de los parámetros son de la forma:

Controlador PI

cm

pct

bakK

+=τ

; f

mi ted

T

+=

ττ (3.3-1)

Controlador PID (ideal o serie) c

mpc

tbakK

+=τ

; f

mi ted

T

+=

ττ;

imd t

hgT

+=

ττ (3.3-2)

en donde las constantes a, b, c, d, e, f, g, h, i, dependen del tipo de controlador, del

funcionamiento del lazo de control y del criterio a optimizar. El valor de dichas constantes

se presenta en la tabla 3.3.

36

Tabla 3.3 Valor de las constantes de las ecuaciones de sintonización

Controlador PI Criterio IAE Fun Ámbito a b c d e f g h i Reg - 0.1234 1.0640 -0.9487 2.4800 0.0607 2.0550 - - -

tm/τ ≤ 0.65 0 0.8629 -0.5814 0 2.1360 -0.0861 - - - Ser tm/τ > 0.65 0 0.8629 -0.5817 2.2440 0.0555 3.1930 - - -

Controlador PI Criterio ITAE

Reg - 0 0.9239 -0.8616 2.0230 0.1336 1.3590 - - - tm/τ ≤ 0.35 0 0.6477 -0.4927 0 1.7270 -0.0429 - - - Ser tm/τ > 0.35 0 0.6477 -0.4927 1.7910 0.1012 1.772 - - -

Controlador PID ideal Criterio IAE

Reg - 0.6199 1.1080 -1.4810 -1.1940 2.8340 0.2686 -0.2729 1.0640 0.3251 tm/τ ≤ 0.45 0 1.2460 -0.8050 2.1420 -0.1356 -0.2790 0.4523 0.2477 0.9587 Ser tm/τ > 0.45 0 1.2460 -0.8050 1.9630 0.0805 2.2110 0.4523 0.2477 0.9587

Controlador PID ideal Criterio ITAE

Reg - 0.5361 1.1210 -1.4470 -2.9570 4.7350 0.1556 -0.2507 0.9522 0.3039 tm/τ ≤ 0.65 0.3004 0.8471 -0.9218 1.6980 0.3713 0.2957 0.4629 0.1414 1.275 Ser tm/τ > 0.65 0.3004 0.8471 -0.9218 1.9390 0.1486 1.593 0.4629 0.1414 1.275

Controlador PID serie Criterio IAE

tm/τ ≤ 0.65 0 1.0700 -1.2700 0 1.7880 0.6295 -0.5854 1.5870 0.2590 Reg tm/τ > 0.65 0 1.0700 -1.2700 0 1.4160 0.2451 -0.5854 1.5870 0.2590 tm/τ ≤ 0.45 0 0.7202 -0.9103 0 1.1940 -0.0834 0 1.0770 0.2215 Ser tm/τ > 0.45 0 0.7202 -0.9103 1.208 0.1729 1.1230 0 1.0770 0.2215

Controlador PID serie Criterio ITAE

Reg - 0.4358 0.4530 -1.6710 0 1.2490 0.3241 -1.0090 2.0090 0.1842 tm/τ ≤ 0.15 0 0.5936 -0.8046 0 1.0560 -0.0276 0.7419 0.3203 0.5336 Ser tm/τ > 0.15 0 0.5936 -0.8046 1.065 0.1370 1.2240 0.7419 0.3203 0.5336

En el apéndice B se muestran en su totalidad las curvas de las ecuaciones de

sintonización obtenidas al aproximar las curvas de los parámetros óptimos, estas figuras

corresponden a las capturas de la sesión de MatLab utilizando la herramienta curve fitting

tool.

37

En la figura 3.15 se muestra un ejemplo de las curvas obtenidas, donde los puntos

corresponden a los parámetros óptimos obtenidos de la simulación y la línea continua a la

ecuación.

Figura 3.15 Ganancia, controlador PI, criterio IAE funcionamiento como regulador.

CAPÍTULO 4: Pruebas

Con la finalidad de estudiar el desempeño del nuevo método de sintonización

desarrollado, se realizaron diferentes pruebas.

Dichas pruebas se pueden dividir en: pruebas para determinar el desempeño con

diferentes valores de tiempo muerto, y pruebas comparativas con métodos de sintonización

existentes.

4.1 Pruebas para diferentes valores de tiempo muerto

Se determinó el desempeño del método de sintonización con diferentes valores de

tiempo muerto. Se utilizaron los valores extremos tm=0.05 y tm=2 y el valor intermedio de

tm=1, para el modelo normalizado de la planta (ecuación (3.1-2)).

En las figuras 4.1 a 4.6 se muestran los resultados obtenidos.

4.1.1 Controlador PI Para el controlador PI, con el criterio IAE y funcionando como regulador (Figura

4.1) se obtuvo que el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento aumentan al tener

tiempos muertos mayores.

Para el funcionamiento como servomecanismo (Figura 4.2) se obtuvo que el

sobrepaso máximo disminuyó y el tiempo de asentamiento aumentó al tener tiempos

muertos mayores.

En el caso del controlador PI con criterio ITAE (Figura 4.1 y 4.2) se obtuvieron

resultados muy semejantes a los obtenidos con el criterio IAE para ambos funcionamientos,

como regulador y como servomecanismo.

38

39

Figura 4.1 Controlador PI funcionamiento como regulador

Figura 4.2 Controlador PI funcionamiento como servomecanismo

40

4.1.2 Controlador PID ideal Para el controlador PID ideal con el criterio IAE y funcionando como regulador

(Figura 4.3), el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento crecieron conforme

aumentó el valor del tiempo muerto.

Para el funcionamiento como servomecanismo (Figura 4.4), el sobrepaso máximo

disminuyó y el tiempo de asentamiento fue mayor conforme aumentó el valor del tiempo

muerto.

En el caso del Controlador PID ideal con criterio ITAE (Figuras 4.3 y 4.4), los

resultados fueron semejantes a los obtenidos para el criterio IAE, sin embargo el valor de

sobrepaso máximo para funcionamiento como servomecanismo y τ0 = 0.05 fue mayor para

el criterio IAE.

Figura 4.3 Controlador PID ideal funcionamiento como regulador

41

Figura 4.4 Controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo

4.1.3 Controlador PID serie Para el controlador PID serie con criterio IAE y funcionando como regulador

(Figura 4.5), el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento crecieron conforme

aumentó el valor del tiempo muerto.

Para el funcionamiento como servomecanismo (Figura 4.6), el sobrepaso máximo

disminuyó y el tiempo de asentamiento fue mayor conforme aumentó el valor del tiempo

muerto.

En el caso del Controlador PID serie con criterio ITAE (Figuras 4.5 y 4.6), los

resultados fueron semejantes a los obtenidos para el criterio IAE. Sin embargo los valores

de sobrepaso máximo correspondientes al tiempo muerto de 0.05 fueron mayores para el

criterio ITAE, para ambos funcionamientos (regulador y servomecanismo).

42

Figura 4.5 Controlador PID serie funcionamiento como regulador

Figura 4.6 Controlador PID serie funcionamiento como servomecanismo

43

4.2 Pruebas comparativas con otros métodos de sintonización

La comparación del desempeño del método de sintonización obtenido, se realizó

con respecto al método de López, al de Rovira (ambos utilizan un modelo de primer orden)

y al de Sung (utiliza un modelo de segundo orden).

Se utilizó una planta con función de transferencia de la forma:

3)14()12(0.4)(

+⋅⋅+⋅=

sssGp (4.2-1)

y se determinaron, a partir de la curva de reacción, los modelos de primer orden más tiempo

muerto y segundo orden (polo doble) más tiempo muerto.

Se utilizó el método de “1/4 y 3/4" de Alfaro (8) y se obtuvieron los siguientes

modelos:

• Modelo de primer orden más tiempo muerto

140.8

4)()43.6(

+⋅⋅

=⋅−

sesG

s

p ; 765.0=τmt (4.2-2)

• Modelo de segundo orden polo doble más tiempo muerto

( )2

)72.3(

133.54)(

+⋅⋅

=⋅−

sesG

s

p ; 698.0=τmt (4.2-3)

Se sintonizaron los diferentes controladores de acuerdo a los métodos a comparar.

Los valores de los parámetros de los controladores se muestran en la tabla 4.1.

44

Tabla 4.1 : Parámetros de los controladores sintonizados por diferentes métodos

Método de López (Regulador)

Controlador Criterio Ganancia Tiempo integral Tiempo derivativoIAE 0.320 11.44 - PI

ITAE 0.279 10.39 - IAE 0.459 7.832 2.988 PID ideal

ITAE 0.437 8.193 2.453

Método de Rovira (Servomecanismo) Controlador Criterio Ganancia Tiempo integral Tiempo derivativo

IAE 0.238 10.870 - PI ITAE 0.187 9.295 - IAE 0.345 13.115 2.290 PID ideal

ITAE 0.303 12.790 2.018

Método de Sung (regulador – Servomecanismo) Controlador Criterio Ganancia Tiempo integral Tiempo derivativoPID ideal reg. ITAE 0.706 7.919 3.302 PID ideal ser. ITAE 0.393 11.22 3.225

Método propuesto (Regulador)

Controlador Criterio Ganancia Tiempo integral Tiempo derivativoIAE 0.405 13.373 - PI

ITAE 0.315 11.475 - IAE 0.627 7.350 3.590 PID ideal

ITAE 0.605 8.103 3.214

Método propuesto (Servomecanismo) Controlador Criterio Ganancia Tiempo integral Tiempo derivativo

IAE 0.266 13.360 - PI ITAE 0.193 9.831 - IAE 0.416 10.660 3.346 PID ideal

ITAE 0.370 10.749 2.944

45

4.2.1 Controlador PI

Los resultados obtenidos de la comparación para el controlador PI funcionando

como regulador se muestran en la tabla 4.2. Como se aprecia, los errores máximos fueron

menores al utilizar el método propuesto y los tiempos de asentamiento con criterio del 2%

fueron iguales ó menores a los obtenidos utilizando el método de López. En todos los

casos el valor de los índices integrales fueron menores al utilizar el nuevo método.

Figura 4.7 Controlador PI funcionamiento como regulador

46

Tabla 4.2: Comparación controlador PI funcionamiento como regulador

Método López Método Propuesto

Criterio emax ta (2%) Índice emax ta (2%) Índice

IAE 20.8 90 35.421 19.4 93 33.019

ITAE 21.6 90 702.583 20.8 90 670.620

Figura 4.8 Controlador PI funcionamiento como servomecanismo

Los resultados obtenidos de la comparación para el controlador PI funcionando

como servomecanismo se muestran en la tabla 4.3 . En este caso se aprecia que los

sobrepasos máximos fueron menores al utilizar el método propuesto y los tiempos de

47

asentamiento con criterio del 2% fueron iguales para ambos métodos. Los índices de los

criterios integrales fueron menores al utilizar el método propuesto.

Tabla 4.3: Comparación controlador PI funcionamiento como servomecanismo

Método Rovira Método Propuesto

Criterio Mp ta (2%) índice Mp ta (2%) índice

IAE 11% 52 13.042 6% 52 12.911

ITAE 6% 56 124.456 4% 56 122.319

4.2.2 Controlador PID ideal

Los resultados obtenidos de la comparación para el controlador PID ideal

funcionando como regulador se muestran en la tabla 4.4. Se puede apreciar que los errores

máximos fueron menores al utilizar el método propuesto, al igual que los tiempos de

asentamiento con criterio del 2%. Los valores de los índices integrales fueron menores al

utilizar el nuevo método.

48

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

López IAEMétodo propuesto IAELópez ITAEMétodo propuesto ITAESung ITAE

Figura 4.9 Controlador PID ideal funcionamiento como regulador

Tabla 4.4: Comparación controlador PID ideal funcionamiento como regulador

Método López Método Sung Método Propuesto

Criterio emax ta (2%) índice emax ta (2%) índice emax ta (2%) índice

IAE 14.8 56 3.651 - - - 11.9 40 3.498

ITAE 15.6 56 28.607 12.6 37 27.280 11.4 34 26.631

49

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Rovira IAEMétodo propuesto IAERovira ITAEMétodo propuesto ITAESung ITAE

Figura 4.10 Controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo

Los resultados obtenidos de la comparación para el controlador PID ideal

funcionando como servomecanismo se muestran en la tabla 4.5 y se aprecia que los

sobrepasos máximos fueron menores al utilizar el nuevo método, al igual que los tiempos

de asentamiento con criterio del 2%. Los índices de los criterios integrales fueron menores

al utilizar el método propuesto.

50

Tabla 4.5: Comparación controlador PID ideal funcionamiento como servomecanismo

Método Rovira Método Sung Método Propuesto

Criterio Mp ta (2%) índice Mp ta (2%) índice Mp ta (2%) índice

IAE 1% 40 7.574 - - - 6% 21 6.651

ITAE 0% 42 34.384 5% 23 28.537 3% 19 26.742

Para el método propuesto, se realizó la comparación del desempeño del lazo de

control, para el controlador PI y PID ideal, para igual criterio integral. Dichos datos se

presentan en la tabla 4.6.

Tabla 4.6: Comparación controladores PI y PID ideal para igual criterio integral

Funcionamiento Criterio Índice PID / Índice PI

IAE 0.106 Regulador

ITAE 0.040

IAE 0.515 Servomecanismo

ITAE 0.219

Como se aprecia en la tabla 4.6, se determinó que empleando el controlador PID

ideal se obtiene una mejora significativa en los índices de error respecto a los obtenidos

con el controlador PI. Para el funcionamiento como regulador, se tiene que el índice de

error IAE es diez veces menor en el caso del controlador PID. Para el criterio ITAE de

51

igual manera se obtuvo que el índice de error fue veinticinco veces menor para el

controlador PID.

En el caso del funcionamiento como servomecanismo se obtuvo que el criterio IAE

fue dos veces menor para el controlador PID. Para el criterio ITAE, en este caso, el índice

fue de cinco veces menor para el controlador PID.

Se tiene un efecto mucho mayor en el caso del funcionamiento como regulador,

donde la relación Índice PID / Índice PI fueron menores.

4.2.3 Robustez de los lazos de control

Se calcularon los márgenes de fase y ganancia para los casos en que se aplicó el

método de sintonización desarrollado en este proyecto, para lo cual se utilizó el programa

de simulación MatLab 6.5. Los resultados de los valores de dichos márgenes se presentan

en la tabla 4.7 y los gráficos de los diagramas de bode se presentan en el apéndice C. La

función de transferencia utilizada fue de la forma:

)()()( sGsGsL pc ⋅= (4.2-4)

52

Tabla 4.7: Márgenes de fase y ganancia - sintonización mediante el método propuesto

Controlador Funcionamiento Criterio Margen de Fase (grados)

Margen de ganancia (dB)

IAE 38.2 5.73 regulador

ITAE 64.2 9.38

IAE 47.7 7.36

PI

servomecanismo

ITAE 63.6 10.90

IAE 42.3 11.20 regulador

ITAE 42.0 11.30

IAE 63.0 14.70

PID ideal

servomecanismo

ITAE 63.1 15.4

Si se considera que la especificación usual de robustez mínima, deseada para un

lazo de control, es MG ≥ 6 dB y MF ≥ 45º, el sistema de control con el PI optimizado no es

lo suficiente robusto como es deseable.

Todos los demás sistemas de control exceden con creces el criterio de robustez

mínima.

CAPÍTULO 5: Conclusiones y recomendaciones

Como parte inicial del proyecto se llevó a cabo una investigación bibliográfica

sobre los métodos de sintonización basados en criterios integrales, expresamente en los

criterios IAE e ITAE, y se determinó que en su mayoría dichos métodos utilizan un modelo

de primer orden más tiempo muerto para la planta.

Debido a que un modelo de segundo orden usualmente se ajusta de mejor manera a

la característica dinámica de la planta, se empleo un modelo de polo doble más tiempo

muerto para desarrollar un nuevo método de sintonización que optimizara los criterios IAE

e ITAE, para un controlador PI ó PID ideal funcionando como regulador ó como

servomecanismo.

Se utilizó el programa de simulación VisSim 3.0 para encontrar los parámetros

óptimos del controlador y a partir de estos, utilizando el programa MatLab 6.5, se

determinaron las ecuaciones para su cálculo.

Como en el caso del controlador PID ideal se obtuvo que la relación entre tiempo

integral y tiempo derivativo óptimos no cumplía con la condición necesaria para calcular

los parámetros de un controlador serie equivalente al ideal, fue necesario realizar también

las simulaciones para determinar los parámetros óptimos de un controlador PID serie.

Se obtuvo que los índices de desempeño fueron mayores para el controlador PID

serie en todos los casos (criterio IAE ó ITAE y funcionamiento como servomecanismo ó

regulador), lo que significa que a pesar de que el controlador PID serie es óptimo, existe un

controlador PID ideal que brinda un mejor desempeño. Esto confirma los resultados, ya que

53

54

de haber sido mayores los índices del controlador PID ideal, significaría que se podría

obtener un controlador ideal equivalente a partir del serie (utilizando las ecuaciones de

conversión de parámetros), que funcionaría mejor que el controlador ideal de parámetros

óptimos.

Para probar el método de sintonización desarrollado se comparó su funcionamiento

para diferentes valores de τ0 utilizando el modelo normalizado de la planta (ecuación

(3.1-2)). Como el intervalo de valores propuesto para la optimización fue 0.05 ≤ τ 0≤ 2.0 se

utilizaron los valores extremos de τ 0 = 0.05 y τ 0 = 2.0 y el valor intermedio de τ 0 = 1.

Se determinó que al utilizar el controlador PI para un funcionamiento como

regulador los valores de error máximo y tiempo de asentamiento, crecían al aumentar el

valor del tiempo muerto. En el caso del funcionamiento como servomecanismo, al

aumentar el valor del tiempo muerto, disminuyó el valor del sobrepaso máximo, pero

aumentó el valor del tiempo de asentamiento.

Al utilizar un controlador PID ideal ó uno serie, se obtuvo también que los valores

de tiempo de asentamiento y error máximo crecieron al aumentar el valor de tiempo muerto

para un funcionamiento como regulador. En el caso del servomecanismo disminuyó el

valor del sobrepaso máximo, pero aumentó el valor del tiempo de asentamiento al crecer el

valor del tiempo muerto.

Además se encontró que, los sobrepasos máximos fueron mayores para el criterio

ITAE con el controlador funcionando como servomecanismo para un PID ideal.

55

Para un PID serie, al optimizar el criterio ITAE, se obtuvieron sobrepasos máximos

mayores, en comparación a los demás controladores, para un tiempo muerto de 0.05

funcionando como regulador y como servomecanismo.

Posteriormente se comparó el desempeño del método de sintonización con respecto

a algunos métodos de sintonización existentes. Se empleó el método de López y el método

de Rovira que utilizan modelos de primer orden más tiempo muerto y el método de Sung

que utiliza un modelo de segundo orden más tiempo muerto.

Para el controlador PI funcionando como regulador se obtuvieron errores máximos

menores al utilizar el método propuesto, el tiempo de asentamiento con criterio del 2% fue

igual al obtenido al usar el método de López o levemente mayor a este. Para ambos

criterios integrales los índices obtenidos fueron menores para el método desarrollado.

El controlador PI funcionando como servomecanismo dio como resultado

sobrepasos máximos menores, tiempos de asentamiento con criterio del 2% iguales para

ambos métodos de sintonización e índices de los criterios integrales menores al usar el

nuevo método.

Para el controlador PID ideal funcionando como regulador se obtuvieron errores

máximos menores, tiempos de asentamiento con criterio del 2% menores e índices de los

criterios integrales menores al utilizar el método de sintonización propuesto.

Para el controlador PID ideal funcionando como servomecanismo se obtuvieron

sobrepasos máximos mayores con respecto a los obtenidos al utilizar el método de López

pero menores con respecto a los obtenidos al utilizar el método de Sung. El tiempo de

asentamiento con criterio del 2% fue menor en todos los casos para el método desarrollado,

56

en comparación con el método de López los tiempos de asentamiento obtenidos fueron la

mitad de los obtenidos para este. Los índices de los criterios integrales fueron menores en

todos los casos para el nuevo método de sintonización.

Se calcularon además los márgenes de fase y ganancia, para los casos en que los

controladores fueron sintonizados con el método propuesto, para lo cual se utilizó el

programa MatLab 6.5.

El valor menor de los márgenes se obtuvo para el controlador PI, optimizando el

criterio IAE y funcionando como regulador y correspondió a un margen de fase de 38.2º y

un margen de fase de 5.73 dB.

Considerando que la especificación usual de robustez mínima deseada para un lazo

de control, es MG ≥ 6 dB y MF ≥ 45º, el sistema de control con el PI optimizado no es lo

suficiente robusto como es deseable. Sin embargo, todos los demás sistemas de control

exceden con creces el criterio de robustez mínima.

Los resultados obtenidos para los diferentes controladores sintonizados por el

método propuesto, muestran valores menores de tiempo de asentamiento con criterio del

2%, al igual que sobrepasos máximos menores. En todos los casos los índices de

optimización de ambos criterios integrales fueron menores para el método desarrollado. Por

lo que como conclusión, es recomendable la utilización del nuevo método para la

sintonización de los diferentes controladores..

Si se toma como base los resultados obtenidos con la planta de prueba,

considerando tanto el desempeño como la robustez del lazo de control, se recomendaría

usar el controlador PID ideal sintonizado mediante el método propuesto con el criterio IAE,

57

si el funcionamiento principal del lazo es como regulador y se recomienda un controlador

PID ideal sintonizado mediante el método desarrollado con el criterio IAE, si el

funcionamiento principal del lazo es como servomecanismo.

Los resultados de las pruebas, muestran que al utilizar un modelo de segundo orden

de polo doble, se obtienen índices de error menores y un desempeño satisfactorio del

sistema de control (sobrepasos máximos y tiempos de asentamiento menores), y que los

sistemas resultantes cumplen en su mayoría con los requerimientos mínimos deseados

sobre robustez, se recomienda continuar con el estudio y desarrollo de métodos de

sintonización que utilicen en un modelo de segundo orden más tiempo muerto.

BIBLIOGRAFÍA

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Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica, 2004

2. Alfaro, V. “Apuntes del curso IE – 0432 Laboratorio de Control ”. Escuela de

Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica, 2005.

3. Alfaro, V. “Identificación Experimental ”. Escuela de Ingeniería Eléctrica,

Universidad de Costa Rica, 2005.

4. Arrieta, O. “Comparación del desempeño de los métodos de sintonización de

controladores PI y PID basados en criterios integrales”, Proyecto Eléctrico

Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica, 2003.

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Error-Integral Criteria”, Instrumentation Technology, Vol 14 Nº 11, Noviembre

1967.

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Changes”, Instruments & Control Systems, Vol 42 Nº 12, Diciembre 1969.

8. Sung, S. W., O, J., Lee, I. B., Lee, J., y Yy, S. “Automatic Tuning of PID Controller

using Second-Order plus Time delay Model”, Journal of Chemical Engineering of

Japan, Japón, Vol 29 Nº 6, 1996.

58

59

9. Visual solutions. “VisSim user’s guide – Version 3.0” . Westford, MA, EUA,

Visual Solutions, 1999.

60

APÉNDICES

Apéndice A: Resultados de las simulaciones

Para el controlador PI funcionando como regulador se obtuvo:

Tabla A.1: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como regulador,

criterio IAE

Criterio IAE τ0 Kc Ti Índice

0,05 18,342100 2,483390 0,152803 0,10 9,648760 2,479230 0,288570 0,15 6,605610 2,492280 0,421455 0,25 4,062140 2,486650 0,679192 0,35 2,967960 2,488750 0,927100 0,45 2,355610 2,493950 1,166220 0,55 1,958690 2,495330 1,397450 0,65 1,686620 2,502200 1,621580 0,75 1,485960 2,502720 1,839330 0,85 1,335770 2,518600 2,051280 0,95 1,215150 2,529080 2,258010 1,00 1,164630 2,536460 2,359560 1,05 1,119150 2,543110 2,459990 1,15 1,041450 2,562220 2,657660 1,25 1,058420 2,573210 2,865650 1,35 1,003420 2,594560 3,057690 1,45 0,870828 2,617200 3,228360 1,55 0,829411 2,636710 3,412190 1,65 0,793105 2,658610 3,593210 1,75 0,762284 2,684010 3,771690 1,85 0,733629 2,707260 3,947810 1,95 0,708077 2,706050 4,122790 2,00 0,697056 2,719360 4,209140

61

Tabla A.2: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como regulador,

criterio ITAE

Criterio ITAE τ0 Kc Ti Índice

0,05 12,571500 2,008000 0,402905 0,10 6,784990 2,020810 0,800796 0,15 4,704120 2,025370 1,226110 0,25 2,991670 2,051500 2,151010 0,35 2,220460 2,061730 3,165490 0,45 1,786370 2,075830 4,260890 0,55 1,508600 2,091280 5,430880 0,65 1,311660 2,103360 6,670550 0,75 1,165080 2,114110 7,976120 0,85 1,054470 2,131020 9,344510 0,95 0,965941 2,144250 10,773300 1,00 0,928931 2,154500 11,509700 1,05 0,895420 2,163840 12,260500 1,15 0,835980 2,180720 13,804600 1,25 0,786727 2,200150 15,404100 1,35 0,744534 2,219370 17,058000 1,45 0,707705 2,239260 18,765200 1,55 0,676670 2,262220 20,525300 1,65 0,649212 2,284360 22,337200 1,75 0,624549 2,311300 24,201500 1,85 0,603285 2,331350 26,115300 1,95 0,584342 2,357660 28,080100 2,00 0,575721 2,370410 29,081300

62

Para el controlador PI funcionando como servomecanismo se obtuvo:

Tabla A.3: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como

servomecanismo, criterio IAE

Criterio IAE τ0 Kc Ti Índice

0,05 4,919700 2,800700 1,045240 0,15 2,653880 2,493110 1,322230 0,25 1,958430 2,370840 1,553080 0,35 1,593790 2,310390 1,765440 0,45 1,366010 2,282720 1,966970 0,55 1,207440 2,267600 2,161060 0,65 1,091260 2,265480 2,349540 0,75 1,000380 2,267600 2,533530 0,85 0,927719 2,274660 2,713790 0,95 0,870228 2,289310 2,890830 1,00 0,844890 2,298720 2,978270 1,05 0,869444 2,419930 3,070420 1,15 0,779160 2,324620 3,236910 1,25 0,743334 2,345200 3,406550 1,35 0,712832 2,368610 3,574180 1,45 0,686138 2,392530 3,740000 1,55 0,662253 2,416690 3,904140 1,65 0,687718 2,595650 4,077270

0,668930 2,631490 4,239410 1,85 0,646185 2,665330 4,397830 1,95 0,631003 2,702200 4,557340 2,00 0,624188 2,720830 4,636720

1,75

63

Tabla A.4: Parámetros óptimos controlador PI funcionamiento como

servomecanismo, criterio ITAE

Criterio ITAE τ0 Kc Ti Índice

0,05 2,466090 1,971210 1,384430 0,15 1,591940 1,859760 1,812480 0,25 1,275370 1,829470 2,241000 0,35 1,090300 1,818830 2,691100 0,45 0,964574 1,819070 3,167720 0,55 0,874459 1,826310 3,672240 0,65 0,804040 1,837380 4,204870 0,75 0,746211 1,850320 4,765430 0,85 0,700664 1,863560 5,353100 0,95 0,661818 1,880890 5,967710 1,00 0,645209 1,890860 6,284910 1,05 0,628780 1,898840 6,608700 1,15 0,601801 1,920740 7,275620 1,25 0,577875 1,942880 7,968000 1,35 0,556208 1,964500 8,685360 1,45 0,537299 1,987310 9,427340 1,55 0,520661 2,012460 10,193600 1,65 0,505648 2,037540 10,983900 1,75 0,491935 2,061740 11,797800 1,85 0,484863 2,114880 12,644100 1,95 0,468977 2,115330 13,495900 2,00 0,463360 2,137260 13,941900

64

Para el controlador PID ideal funcionando como regulador se obtuvo:

Tabla A.5: Parámetros óptimos controlador PID ideal funcionamiento como

regulador, criterio IAE

Criterio IAE τ0 Kc Ti Td Índice

0,05 28,261800 0,073630 0,614468 0,008807 0,10 35,946700 0,361970 0,228444 0,014491 0,15 19,049300 0,505122 0,301175 0,037369 0,25 9,151060 0,737167 0,407358 0,112140 0,45 4,259890 1,088010 0,553700 0,341575 0,65 2,770970 1,338930 0,653352 0,627922 0,85 2,103110 1,556920 0,734680 0,940051 1,00 1,755590 1,646720 0,789116 1,176160 1,05 1,672950 1,681070 0,807263 1,255820 1,25 1,419910 1,808580 0,870337 1,573590 1,45 1,242980 1,946190 0,915701 1,887730 1,65 1,116780 2,043920 0,977080 2,196120 1,85 1,020150 2,138000 1,030800 2,498590 2,00 0,965045 2,225370 1,063470 2,721700


regulador, criterio ITAE

Criterio ITAE τ0 Kc Ti Td Índice

0,05 43.458612 0.332568 0.185745 0.004562 0,10 33,581700 0,413743 0,218851 0,009572 0,15 17,995900 0,576726 0,283744 0,034369 0,25 8,697240 0,838494 0,378425 0,153280 0,45 4,056510 1,219520 0,501772 0,715457 0,65 2,641680 1,477410 0,586642 1,694170 0,85 1,978520 1,667820 0,653980 3,029600 1,00 1,678830 1,784450 0,697807 4,231050 1,05 1,599670 1,816210 0,713624 4,665770 1,25 1,352990 1,939720 0,764892 6,560920 1,45 1,191430 2,055900 0,811732 8,681260 1,65 1,070980 2,155660 0,857756 11,007900 1,85 0,977787 2,253370 0,899236 13,523500 2,00 0,923070 2,321390 0,930633 15,527100

65

Para el controlador PID ideal funcionando como servomecanismo se obtuvo:




0,05 13,143000 1,830150 0,488824 0,202479 0,10 7,933440 1,881370 0,484609 0,308623 0,15 5,805600 1,916040 0,492219 0,412794 0,25 3,291920 1,941440 0,514852 0,624654 0,45 2,300960 2,043340 0,565587 0,984576 0.50 2.094130 2.017370 0.574292 1.073300 0.60 1.801810 2.004630 0.600063 1.245470 0,65 1,692080 1,999990 0,612356 1,329230 0,85 1,380300 2,016330 0,662879 1,651690 1,00 1,226680 2,037470 0,699892 1,883030 1,05 1,186950 2,053170 0,712397 1,958470 1,25 1,053150 2,089170 0,762679 2,253120 1,45 0,958805 2,149660 0,810123 2,538300 1,65 0,885693 2,211260 0,857317 2,816130 1,85 0,824393 2,274920 0,898610 3,088460 2,00 0,785427 2,331150 0,924165 3,290380

66




0,05 38,006900 1,222520 0,236230 0,047507 0,10 6,982140 1,888130 0,480041 0,065100 0,15 5,167890 1,907890 0,477489 0,113717 0,25 3,407470 1,942020 0,485299 0,248835 0,45 2,087370 1,997130 0,512693 0,635259 0,65 1,559710 2,022230 0,542614 1,141920 0,85 1,278800 2,055690 0,577101 1,741650 1,00 1,140150 2,084170 0,604515 2,244940 1,05 1,104180 2,099440 0,613874 2,422000 1,25 0,984782 2,149670 0,653026 3,175080 1,45 0,900532 2,208880 0,691656 3,995250 1,65 0,835783 2,269200 0,730881 4,878830 1,85 0,784875 2,334440 0,769525 5,823170 2,00 0,758795 2,386560 0,805622 6,573180

67

Para el controlador PID serie funcionando como regulador se obtuvo:

Tabla A.9: Parámetros óptimos controlador PID serie funcionamiento como

regulador, criterio IAE


0,05 21.958621 0.195426 0.225689 0.085471 0,10 14,681140 0,249018 0,367250 0,154842 0,15 11,899600 0,515403 0,401374 0,159980 0,25 6,286740 0,928025 0,496624 0,161735 0,45 2,774930 1,145310 0,697792 0,449224 0,65 1,757140 1,275830 0,835236 0,786672 0,85 1,287010 1,363820 0,937971 1,141360 1,00 1,027190 1,353260 1,057300 1,411100 1,05 1,019370 1,425860 1,033020 1,499020 1,25 0,860229 1,496200 1,103580 1,853180 1,45 0,752212 1,551080 1,156960 2,200940 1,65 0,666730 1,594340 1,223440 2,541160 1,85 0,610832 1,658210 1,265500 2,873870 2,00 0,568721 1,676110 1,313730 3,118320


regulador, criterio ITAE


0,05 72,699500 0,342805 0,169369 0,002585 0,10 21,735400 0,536608 0,290946 0,022633 0,15 11,005800 0,653363 0,389213 0,071908 0,25 5,061440 0,827344 0,539858 0,272015 0,45 2,304450 1,036300 0,729836 1,072860 0,65 1,471320 1,152720 0,857972 2,343090 0,85 1,013130 1,160200 1,000640 4,017830 1,00 0,970924 1,347350 0,962025 5,481600 1,05 0,873545 1,295610 1,027070 5,996830 1,25 0,736448 1,347670 1,090820 8,274710 1,45 0,642912 1,395500 1,144330 10,805600 1,65 0,577914 1,447760 1,180980 13,566700 1,85 0,526900 1,491540 1,226530 16,538300 2,00 0,491935 1,507890 1,282910 18,896300

68

Para el controlador PID serie funcionando como servomecanismo se obtuvo:




0,05 26,503000 1,589470 0,324686 0,230962 0,10 6,911540 1,453160 0,596468 0,372078 0,15 4,076810 1,302710 0,717487 0,492346 0,25 2,290880 1,296550 0,821561 0,708929 0,45 1,345520 1,286610 0,919737 1,102060 0,65 0,989384 1,300060 0,992586 1,467800 0,85 0,809822 1,351940 1,032670 1,816120 1,00 0,718174 1,381190 1,065870 2,069190 1,05 0,693846 1,391080 1,076540 2,152120 1,25 0,622550 1,443080 1,102720 2,477890 1,45 0,555574 1,468170 1,165050 2,794000 1,65 0,513347 1,511750 1,199800 3,102730 1,85 0,477341 1,546430 1,253090 3,404610 2,00 0,458667 1,588340 1,264140 3,627460




0,05 21,227800 0,972975 0,383886 0,058059 0,10 4,008370 1,135540 0,816776 0,121461 0,15 2,769010 1,105780 0,862426 0,189042 0,25 1,702250 1,091680 0,921840 0,363464 0,45 1,062310 1,115730 0,965100 0,828604 0,65 0,806762 1,142330 0,999636 1,433580 0,85 0,668904 1,177140 1,031080 2,159230 1,00 0,593121 1,202050 1,054830 2,777240 1,05 0,573713 1,210940 1,063130 2,996640 1,25 0,510394 1,244450 1,100120 3,936610 1,45 0,465340 1,284090 1,130400 4,970320 1,65 0,427700 1,313330 1,161330 6,091380 1,85 0,403551 1,362440 1,183290 7,295310 2,00 0,384051 1,380710 1,226510 8,248100

69

Apéndice B: Ajuste de las ecuaciones para el cálculo de los parámetros

óptimos

Para ajustar ecuaciones a los parámetros obtenidos del proceso de optimización, se

utilizó la herramienta Curve Fitting Tool de MatLab mostrada en la Figura Nº B1.

Figura B1 Captura de la selección del tipo de ecuación

Para el ajuste se seleccionaron ecuaciones de la forma

o (B-1) cxbay += cxby =

y se empleo el método de ajuste de mínimos cuadrados (“Nonlinear Least Squares”).

En las siguientes figuras se muestran las capturas de las curvas de las ecuaciones

aproximadas y de los parámetros obtenidos durante la simulación.

70

Controlador PI Criterio IAE

Figura B2 Curva ecuación de la

ganancia, controlador PI, criterio IAE

funcionamiento como regulador.


ganancia, controlador PI, criterio IAE

funcionamiento como servomecanismo.

Figura B3 Curva ecuación del tiempo

integral, controlador PI, criterio IAE



integral, controlador PI, criterio IAE


71

Controlador PI criterio ITAE


ganancia, controlador PI, criterio

ITAE funcionamiento como regulador.


ganancia, controlador PI, criterio

ITAE funcionamiento como

servomecanismo.


integral, controlador PI, criterio ITAE



integral, controlador PI, criterio ITAE


72

Controlador PID ideal criterio IAE


ganancia, controlador PID ideal,

criterio IAE funcionamiento como

regulador.


derivativo, controlador PID ideal,


regulador.


integral, controlador PID ideal, criterio

IAE funcionamiento como regulador.




servomecanismo.

73



IAE funcionamiento como

servomecanismo.




servomecanismo.

Controlador PID ideal criterio ITAE



criterio ITAE funcionamiento como

regulador.




74




regulador.




servomecanismo.




servomecanismo.




servomecanismo.

75

Controlador PID serie criterio IAE


ganancia, controlador PID serie,


regulador.


derivativo, controlador PID serie,


regulador.


integral, controlador PID serie, criterio

IAE funcionamiento como regulador.




servomecanismo.

76



IAE funcionamiento como

servomecanismo.




servomecanismo.

Controlador PID serie criterio ITAE




regulador.




77




regulador.




servomecanismo.




servomecanismo.




servomecanismo.

Apéndice C: Diagramas de Bode – Márgenes de ganancia y fase

Se calcularon los márgenes de fase y ganancia, a partir de los diagramas de Bode,

para los casos en que se empleó el método de sintonización propuesto. Se utilizó el

programa de simulación MatLab 6.5, la función de transferencia utilizada fue de la forma:

)()()( sGsGsL pc ⋅= (4.2-4)

En las figuras C1 a C8 se muestran las capturas de los diagramas de Bode y sus

respectivos márgenes para cada uno de los casos.

Figura C1 Diagrama de Bode controlador PI criterio IAE funcionamiento como

regulador

78

79

Figura C2 Diagrama de Bode controlador PI criterio ITAE funcionamiento como regulador

Figura C3 Diagrama de Bode controlador PI criterio IAE funcionamiento como servomecanismo

80

Figura C4 Diagrama de Bode controlador PI criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo

Figura C5 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio IAE funcionamiento como regulador

81

Figura C6 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio ITAE funcionamiento como regulador

Figura C7 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio IAE funcionamiento como servomecanismo

82

Figura C8 Diagrama de Bode controlador PID ideal criterio ITAE funcionamiento como servomecanismo

ANEXOS

Anexo 1: Método de identificación “¼ - ¾” de Alfaro

El Método “ ¼ - ¾ “ de Alfaro(8) es un procedimiento para obtener el modelo de

primer orden más tiempo muerto ó el modelo de segundo orden (polo doble) más tiempo

muerto, a partir de dos puntos sobre la curva de reacción del proceso.

Propone hacer coincidir la respuesta del modelo y la del sistema real en los instantes

correspondientes al 25% (t25) y al 75% (t75) del cambio y la salida para la aproximación.

Figura A1 Método “1/4 – 3/4" de Alfaro

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Igualando la respuesta del sistema y la del modelo en estos dos instantes, Alfaro

planteó un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el cual fue resuelto para tm y τ de

donde obtuvo:

( )25759102.0 tt −=τ (A1-1)

7525 2620.02620.1. tttm −= (A1-2)

La ganancia el modelo se calcula como k p=∆y /∆u .

Utilizando también dos puntos sobre la curva de reacción del proceso, se puede

identificar un modelo de segundo orden de polo doble más tiempo muerto, ya que el

número de sus parámetros es el mismo que el de un modelo de primer orden más tiempo

muerto.

Las ecuaciones de identificación propuestas por Alfaro para el modelo de segundo

orden, polo doble, más tiempo muerto son:

uyk p ∆∆= / (A1-3)

( )25755776.0 tt −=τ (A1-4)

7525 5552.05552.1 tttm −= (A1-5)

Sintonización de controladores PIPID con los criterios IAE e ITAE, para plantas de polo doble

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