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Sinais e Sistemas
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Sinais e Sistemas – Fundamentos
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Conjuntos de Números e Equações Números Inteiros Positivos:
Números Inteiros Negativos:
Números Fracionários:
Números Complexos:
1 0 1x x− = ⇒ =
1 0 1x x+ = ⇒ = −
2 1 0 1 2x x− = ⇒ =2 1 0 1x x+ = ⇒ = ± −
VOCÊS JÁ OUVIRAM FALAR DE NÚMEROS PERPENDICULARES?
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Números Perpendiculares??? 0 1e =
cos( ) sin( )je jθ θ θ= +
2j
e jπ
=
1je π = −
Gauss disse que, caso a nomenclatura número perpendicular tivesse sido utilizada no lugar de número complexo/imaginário, os
entraves encontrados para a aceitação dos números complexos teriam sido evitados...
RELAÇÃO DE EULER?
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Relação de Euler
cos( ) sin( )je jθ θ θ= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 4 5 6
2 3 4 5 6
2 4 6 8
3 5 7
12! 3! 4! 5! 6!
12! 3! 4! 5! 6!
12! 4! 6! 8!
3! 5! 7!
θ θ θ θ θ θθ
θ θ θ θ θθ
θ θ θ θθ
θ θ θθ θ
= + + + + + + +
= + − − + + − − = − + − + − = − + − +
j j j j j je j
j j j
cos
sen
S É R I E D E M A C L A U R I N
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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
Casos a serem considerados:
( ) , α α= tx t e e são números complC C exos
1: Caso e são números reais EXPONENCIAL ALC REα →
2 :
Caso é puramente imaginário EXPONENCIALCOMPLEXA PERIÓDICA
α →
3 : 1 2Caso e são complexos misto dos ca sC so eα →
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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
1: ( ) , α α= tCaso x t e e são númeroC sC reais
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8
t
x(t)
Exponencial Crescente - Alfa = 1 e C = 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8
t
x(t)
Exponencial Decrescente - Alfa = -1 e C = 1
Script em Matlab: M_4_SinaisFundamentosProg1.m
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002 : ( ) , 1 ω α ω= = =j tCaso x t Ce e j
O SINAL É PERIÓDICO? 0 0 0 0( )Tj t j t j t j Te e e eω ω ω ω+= =
0 1Tje ω = CONDIÇÃO DE PERIODICIDADE
00
02 , 0T ωωπ
= ≠PERÍODO FUNDAMENTAL:
0
0
é a frequência fundamentalHá periodicidade para qualquer valor de
ωω
∴∴
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
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00 2 : : ( ) , 1 ( ) j ttCaso imaginário puro x t e x tCe jC e ωαα α ω= = = → =
RELAÇÃO DE EULER? 00 0cos( ) sin( )j te t j tω ω ω= +
0( )0cos( ) Re{ }j tC t C e ω φφω ++ =
0( )0sin( ) Im{ }j tC t C e ω φφω ++ =
A PARTE REAL É UMA COSSENOIDE, E A PARTE IMAGINÁRIA É UMA SENOIDE...
00 0cos( ) sin( )j tCe C t jC tω ω ω= +
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
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00 2 : ( ) , 1 ( ) j ttCaso x t e e j xC C t eα ωα ω= = = → =
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1
t
Parte
Rea
l
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1
t
Parte
Imag
inár
ia
Script: M_4_SinaisFundamentosProg2.m
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Parte Imaginária
Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde
Tempo (s)
Parte
Rea
l
Script: M_4_SinaisFundamentosProg2.m
00 2 : ( ) , 1 ( ) j ttCaso x t e e j xC C t eα ωα ω= = = → =
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
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FASOR
0( )( ) j tx t Ce ω φ+=
Real Im
agin
ário
0tω φ+
C
O que acontece com o fasor com o passar do tempo, considerando frequência positiva?
Vejamos uma animação em Java...
00 0
( ) cos( ) sin( )j te tC C Cj tφω ω φ φω+ = + + +Forma Polar
Forma Retangular
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
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0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Um sinal senoidal com frequência constante é ob-tido com a projeção no eixo vertical do vetor que descreve um movimento circular uniforme.
É importante entender e visualizar a função senoidal como sendo um sinal, e não apenas como uma relação proporcional entre os
lados de um triângulo!
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos (0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( )t j tC Caso x t e e j x t eCα α += = = + → =
Script: M_4_SinaisFundamentosProg3.m
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-5
0
5
t
Parte
Rea
l
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-4
-2
0
2
4
6
t
Parte
Imag
inár
ia
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -4
-2
0
2
4
6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Parte Imaginária
Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde
Tempo (s)
Parte
Rea
l
Script: M_4_SinaisFundamentosProg3.m
(0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( )t j tCaso x C Ct e e j x t eα α += = = + → =
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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
Script: M_4_SinaisFundamentosProg4.m
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
Parte
Rea
l
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
t
Parte
Imag
inár
ia
( 0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( ) t j tCaso x t e e j x t eC Cα α − += = = − + → =
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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -2
-1
0
1
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Parte Imaginária
Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde
Tempo (s)
Parte
Rea
l
Script: M_4_SinaisFundamentosProg4.m
( 0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( )t j tCaso x t e e j x t eC Cα α − += = = − + → =
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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos
“The Complex Exponential" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/TheComplexExponential/
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
Casos a serem considerados:
1: Caso e são números reais EXPONENCIAL ALC REα →
[ ] ( ) , β βα αα= = =n nx n e C e são números complexos eC eC
2 : : 1
Caso é puramente imaginário EXPONENCIAL
COMPLEXA PERIÓDICA
αβ = →
OS CASOS 2 E 3 SÃO PERFEITAMENTE ANÁLOGOS AOS EQUIVALENTES CONTÍNUOS!
3 : Caso e são compl sC exoα
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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
1:
1:
crescente
decrescente
α
α
>
<
. , Se é negativo há alternância de sinalα
1: [ ] ( ) , n nCaso x n eC CC e são números reaisβ α α= =
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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
[ ] ( ) , β α α= =n nx n e e são números rC C C eais
Script: M_4_SinaisFundamentosProg5.m
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
n
x[n]
Exponencial Descrescente - C = 1 e Alfa = 0.85
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
n
x[n]
Exponencial Crescente - C = 1 e Alfa = 1.2
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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
Script: M_4_SinaisFundamentosProg5.m
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-6
-4
-2
0
2
4
6
8
n
x[n]
Exponencial Crescente Alternada - C = 1 e Alfa = -1.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-6
-4
-2
0
2
4
6
n
x[n]
Exponencial Decrescente Alternada - C = 1 e Alfa = -0.85
[ ] ( ) , β α α= =n nx n e e são números rC C C eais
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00 2 : [ ] , 1 [ ] j nnCaso x n e e j xC C n eα ωα ω= = = → =
Script: M_4_SinaisFundamentosProg6.m
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1
n
Parte
Rea
l
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1
n
Parte
Imag
inár
ia
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
22/02/2016 22/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Script: M_4_SinaisFundamentosProg6.m
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Parte Imaginária
Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde
n
Parte
Rea
l
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos 0
0 2 : [ ] , 1 [ ] j nnCaso x n e e j xC C n eα ωα ω= = = → =
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
Script: M_4_SinaisFundamentosProg7.m
(0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ]n j nC Caso x n e e j x n eCα α += = = + → =
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-6
-4
-2
0
2
4
n
Parte
Rea
l
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-4
-2
0
2
4
6
n
Parte
Imag
inár
ia
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
Script: M_4_SinaisFundamentosProg7.m
(0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ]n j nCaso x C Cn e e j x n eα α += = = + → =
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -4
-2
0
2
4
6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Parte Imaginária
Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde
n
Parte
Rea
l
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
Script: M_4_SinaisFundamentosProg8.m
( 0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ] n j nCaso x n e e j x n eC Cα α − += = = − + → =
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n
Parte
Rea
l
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n
Parte
Imag
inár
ia
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
Script: M_4_SinaisFundamentosProg8.m
( 0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ] n j nCaso x n e e j x n eC Cα α − += = = − + → =
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -2
-1
0
1
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Parte Imaginária
Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde
n
Parte
Rea
l
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
0 0 0( 2 ) 2j n j n j nj ne e e eω ωπ ωπ+ = =
Exponenciais nas frequências e são iguais... 0ω 0 2ω π+
0 0 0( 2 ) 2 , 0, 1, 2,...j k n j n j nj k ne e e e kπ πω ω ω+ = = = ± ±
SÓ É NECESSÁRIO SER CONSIDERADO NA FREQUÊNCIA UM INTERVALO DE TAMANHO , USUALMENTE: 2π
0 00 2 , π πω πω≤ < − ≤ <
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
00[ ] , 1 j n Cx n e e jω β ω= = =
O SINAL É PERIÓDICO? 0 0 0 0( )Nj n j n j n j Ne e e eω ω ω ω+= =
0 1Nje ω = CONDIÇÃO DE PERIODICIDADE
00 2
2N mm
Nωπωπ
= =
0
2ωπ
DEVE SER RACIONAL PARA O SINAL SER PERIÓDICO
Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos
22/02/2016 29/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Harmônicas – Caso Contínuo Condição de periodicidade: 0 1ω =j Te
001, 2 , 0, 1, 2,...ω πω= = = ± ±j Te k kT
00
2ω π=
TFREQUÊNCIA
FUNDAMENTAL:
O conjunto de exponenciais complexas com fre-quências que são múltiplas da frequência funda-mental é chamado de conjunto de harmônicas:
0( ) , 0, 1, 2,...jk tk t e kωφ = = ± ±
Cada harmônica tem frequência fundamental e período fundamental
0ωk0T k
HÁ INFINITAS HARMÔNICAS DISTINTAS!!!
22/02/2016 30/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Harmônicas – Caso Discreto Analogamente ao caso contínuo:
(2 )[ ] , 0, 1, 2,...jk nk
Nn e kπφ = = ± ±
( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n nk kN
jn e e e nπ π πφ φ++ = = =
HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!!
22/02/2016 31/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
A Harmonia da Natureza O conceito de Sinal Harmônico está relacionado
com o Movimento Circular Uniforme em que a ve-locidade de rotação é constante.
A natureza é harmônica:
Muitos processos naturais exibem movimentos harmôni-cos simples!
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A Harmonia da Natureza
Os pitagorianos pregavam que sons harmoniosos são
produzidos na proporção
Pitágoras (580-500 A.C.)
, 1, 2,31
n nn
=+
Ilustração medieval de experimentos atribuídos a Pitágoras na busca por
notas musicais harmoniosas. Nota-se a produção de dois sons espaçados por
uma Oitava - proporção 1:2.
22/02/2016 33/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
A Harmonia da Natureza Harmonia:
Combinação simultânea de notas em uma corda. Combinação agradável de sons.
Somente frequências múltiplas da frequência fundamental existem, pois as cordas estão amarradas nas extremidades.
22/02/2016 34/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
A Harmonia da Natureza Os sinais senoidais e harmônicos são utilizados
para descrever a essência da matéria e energia no modelo de um átomo!
Comprimento de Onda
Frequência
Linhas espectrais do átomo de Hidrogênio.
hfE =
22/02/2016 35/46
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Exponencial Complexa Contínua x Discreta
Sinais diferentes para cada valor de .
Sinais idênticos para valores de separados por múltiplos
de . Periódico para todo . Periódico se é racional.
Freqüência fundamental . Frequência fundamental , M e N sem fatores em comum.
Período fundamental in-definido para e igual a
caso contrário.
Período fundamental indefinido para e igual a caso contrário (M e N
sem fatores em comum).
0j te ω 0j ne ω
0ω 0ω2π
0ω 0 2ω π
0ω 0 mω
0 0ω =02π ω
0 0ω =0(2 )m π ω
Vejamos uma animação em Java sobre frequência discreta...
22/02/2016 36/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Boa Notícia!
VOCÊS JÁ PODEM FAZER A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS...
22/02/2016 37/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Novidade
O ENUNCIADO DO PRIMEIRO TRABALHO JÁ ESTÁ DISPONÍVEL NA PÁGINA DA
DISCIPLINA!
22/02/2016 38/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Leituras OPPENHEIM, A. V., WILLSKY, A. S., NAWAB, S.
H. Signals & Systems. 2. ed. New Jersey: Prentice Hall, c1997. 957p.:
Capítulo 1: Signals and Systems.
Arquivo LeiturasIniciais.zip, disponível na página da disciplina.
LEMBRETE: AS NOTAS DE AULA NÃO SUBSTITUEM AS LEITURAS!
22/02/2016 39/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos
“Complex Number" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/ComplexNumber/
22/02/2016 40/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos
“Complex Addition" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/
22/02/2016 41/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos
“Complex Multiplication" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/ComplexMultiplication/
22/02/2016 42/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos
“Multiplying Complex Numbers" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/MultiplyingComplexNumbers/
22/02/2016 43/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos
“Complex Number Game" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/ComplexNumberGame/
22/02/2016 44/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos
“Complex Numbers in Rectangular and Polar Form” from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/ComplexNumbersInRectangularAndPolarForm/
22/02/2016 45/46
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Brincando com Números Complexos http://demonstrations.wolfram.com/
Busca: complex numbers.
SinDrill e ZDrill.
http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html
(Acesso em 24/07/2010)
22/02/2016 46/46