Simulazione del palleggio di una pallina da ping pong Giulio Lapini.
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Simulazione del palleggio di una pallina
da ping pong
Giulio Lapini
Si vuole implementare un modello SIMULINK di una pallina da ping
pong che viene palleggiata tramite una racchetta per farle così compiere
una traiettoria desiderata
Analisi del problema
Fv
mg
v
La pallina presenta le seguenti caratteristiche:
• massa m=2,7 g
• raggio r=20 mm
• momento di inerzia baricentrico IG=2mr2/3 = 72*10-8 kgm2
La pallina è soggetta alle seguenti forze:
• forza peso mg diretta verso il basso
• forza di resistenza dell’aria (attrito viscoso) Fv=-6πηrv,
sempre opposta al moto della pallina, dove η è il
coefficiente di viscosità, che per l’aria è pari a 17,1*10-6 Pa s
Modellazione dell’urto
βvyky
L’impatto con la racchetta è stato implementato mediante
un modello molla-smorzatore, elementi caratterizzati dalle
seguenti costanti (ipotizzate molto elevate per rendere l’urto
praticamente istantaneo):
• costante elastica della molla k=20000 N/m
• costante dello smorzatore β=20 Ns/m
Dinamica lungo l’asse delle x
Lungo l’asse delle x la pallina è soggetta
solamente alla resistenza dell’aria, che si
oppone al moto della stessa, e alla
propria forza di inerzia.Quindi lungo tale direzione la
pallina ha dinamica regolata dalla
seguente equazione:
6 xx
rva
m
vFv
max
Dinamica lungo l’asse delle y
6 yy
rva g
m
may
v
mg
Fv
Lungo l’asse delle y la pallina è soggetta
alla resistenza dell’aria, che si oppone al
moto della stessa, alla forza peso,
diretta verso il basso, e alla propria
forza di inerzia.Quindi lungo tale direzione la
pallina ha dinamica regolata dalla
seguente equazione:
Dinamica della rotazione
Fv
GI La palla è inoltre caratterizzata da un
moto rotatorio attorno al proprio centro,
definito dalla velocità angolare ω, cui si
oppone anche in questo caso la resistenza dell’aria.
La dinamica della rotazione è stata
modellata con la seguente relazione:
in cui k è una costante positiva
k
Dinamica dell’urto
βvy ky
ma
mg
F
GI
L’urto con la racchetta andrà a modificare, pressoché
istantaneamente, le tre velocità caratterizzanti il
moto della pallina, in particolare:
• la forza di attrito F andrà a diminuire
sia la componente orizzontale della
velocità della pallina, sia la sua velocità
angolare• la forza dovuta all’azione
congiunta della molla e dello smorzatore agiranno in modo da invertire
(al netto di qualche perdita) la
componente verticale della velocità della
pallina
Il “controllore” racchetta
x1 x2
h
Si suppone di usare la racchetta per far
rimbalzare la pallina fra i due punti x1 e x2
ad un’altezza massima h dal piano della
racchetta (supposta muoversi lungo l’asse
delle x ad un’altezza costanze pari a 0).
Per soddisfare tali richieste si dovrà
imporre dopo ogni urto che la velocità
della pallina sia in componenti pari a:
( )
2 2
2
ix
y
g x xv
gh
v gh
Simulazione in SIMULINK
Dinamica lungo l’asse delle x
urto con la
racchetta
velocità imposta
dalla racchetta
resistenza dell’aria
Dinamica lungo l’asse delle y
urto con la
racchetta
resistenza dell’aria
velocità imposta
dalla racchetta
Dinamica della rotazioneurto con
la racchetta
resistenza dell’aria
Il “controllore” racchetta
rete sequenziale che sceglie il prossimo punto di rimbalzo
componenti della velocitàimposta dalla racchetta
SimulazioneSi vuole che la pallina rimbalzi tra i punti -1 e 4 ad un’altezza massima di 1.3 m