SIMULASI NUMERIK KONFIGURASI VORTEKS …staff.uny.ac.id/sites/default/files/penelitian/Supardi,...
Transcript of SIMULASI NUMERIK KONFIGURASI VORTEKS …staff.uny.ac.id/sites/default/files/penelitian/Supardi,...
LAPORAN PENELITIAN
HIBAH PENELITIAN KERJASAMA ANTAR PERGURUAN TINGGI
(HIBAH PEKERTI)
TAHUN ANGGARAN 2005
Ketua Peneliti:
Supardi, M.Si
Penelitian ini dibiayai oleh Proyek Peningkatan Penelitian Pendidikan Tinggi (P4T), Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Departemen Pendidikan Nasional, sesuai
dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penelitian Kerjasama Antar Perguruan Tinggi Nomor: 035/SPPP/PP/DP3M/IV/2005
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2005
1
SIMULASI NUMERIK KONFIGURASI VORTEKS SUPERKONDUKTOR MESOSCOPIC BERLANDASKAN
MODEL GINZBURG-LANDAU
LEMBAR IDENTITAS DAN PENGESAHANARTIKEL ILMIAH HASIL PENELITIAN HIBAH PEKERTI
A. Judul Penelitian : Simulasi Numerik Konfigurasi Voteks Superkonduktor Mesoscopic Berlandaskan Model Ginzburg-Landau
B. Ketua Peneliti a. Nama Lengkap dan Gelar : Supardi, M.Si b. Jenis Kelamin : Laki-laki c. Pangkat /Golongan / NIP : Asisten Ahli / III a / 132 206 562 d. Bidang Keahlian : Fisika Komputasi e. Fakultas / Jurusan : MIPA / Fisika f. Perguruan Tinggi : Universitas Negeri Yogyakarta
C. Tim Peneliti Pengusul (TPP)Nama Bidang Keahlian Fakultas /
JurusanPerguruan
TinggiSupardi, M.Si. Fisika Komputasi MIPA Fisika UNYFuad Anwar, M.Si. Fisika Komputasi MIPA Fisika UNS
D. Tim Peneliti Mitra (TPM)
Nama Bidang Keahlian Fakultas / Jurusan
Perguruan Tinggi
Dr. Pekik Nurwantoro, M.S. Fisika Komputasi MIPA Fisika UGMDr. Agung B.S.U., S.U. Fisika Komputasi MIPA Fisika UGM
E. Pendanaan dan Jangka Waktu Penelitian Jangka Waktu Penelitian yang diusulkan : 2 Tahun Biaya total yang diusulkan : Rp. 132.000.000,- Biaya yang disetujui tahun II : Rp. 60.000.000,-
Yogyakarta, 4 Nopember 2005Ketua TPM Ketua TPP
Dr. Pekik Nurwantoro, M.S. Supardi, M.Si.NIP. 131 787 930 NIP. 132 206 562
Mengetahui: Menyetujui:Dekan Fakultas MIPA UNY Ketua Lembaga Penelitian UNY
Drs. H. Sukirman, M.Pd Prof. Dr. SukardiNIP. 130 340 113 NIP. 130 693 813
2
SIMULASI NUMERIK KONFIGURASI VORTEKS PADA SUPERKONDUKTOR BERLANDASKAN MODEL GINZBURG-LANDAU
Intisari
Telah dilakukan penelitian mengenai munculnya distribusi parameter benahan (ordered parameter) bahan superkonduktor bentuk lempengan dan silinder. Distribusi parameter benahan dalam bahan tersebut diperoleh dari pengenaan medan magnet luar H yang sejajar terhadap permukaan bahan. Ketika medan magnet luar diturunkan secara perlahan-lahan, maka distribusi parameter benahan akan muncul SAAT melewati harga tertentu yang disebut 3cH .
Metode yang digunakan untuk mempeoleh distribusi parameter benahan dalam bahan superkonduktor ini adalah metode elemen hingga. Untuk memudahkan langkah komputasi dengan metode tersebut, maka digunakan perangkat lunak FEMLAB yang bekerja di bawah MATLAB karena prinsip-prinsip metode elemen hingga telah diwadahi dalam perangkat lunak tersebut.
Hasil yang diperoleh melalui simulasi ini menunjukkan adanya kesesuain antara dugaan awal oleh peneliti dengan hasil perhitungan. Jika dibandingkan dengan hasil yang diperoleh oleh peneliti lain sebelumnya, hasilnya tidak menyimpang jauh
Kata kunci : parameter benahan, FEMLAB, metode elemen hingga
NUMERICAL SIMULATION OF VORTEX CONFIGURATION ON SUPERCONDUCTOR MATTER BASED ON
GINZBURG-LANDAU MODEL
ABSTRACT
Investigation of creation of ordered parameter distribution on superconductor material, specially slab and silinder form have been conducted. Distribution of ordered parameter inside the material is obtained by applying external magnetic field parallel to the surface of the material. When the external magnetic field is reduced carefully, ordered parameter distribution will create at a certain value called 3cH .
The method applied to obtain the ordered parameter distribution is finite element method. To make easy in computation work, be applied FEMLAB software. The software works under MATLAB running . Principles of finite element method have been covered in FEMLAB.
The result of the numerical simulation show in line between the beginning hipotesa of researcher and computaion result. Compared with previous result, the result does not deviate significantly.
Keyword : order parameter, FEMLAB, finite element method
3
PRAKATA
Dengan mengucapkan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan
rahmatNya, penulis telah dapat menyelesaikan penelitian Hibah Pekerti dengan judul
Simulasi Numerik Konfigurasi Vorteks Pada Superkonduktor Berlandaskan Model
Ginzburg-Landau.
Penelitian ini dilakukan bersama-sama dengan bimbingan tim peneliti dari Lab.
Fisika Komputasi Universitas Gadjah Mada. Penulis menyadari sepenuhnya atas
terselenggaranya dan keberhasilan penelitian ini berkat dukungan semua pihak baik di
Institusi asal dan Institusi host. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1. Direktur Penelitian dan Pengabdian Pada Masyarakat Departemen Pendidikan
Nasional Republik Indonesia yang telah mendanai penelitian ini.
2. Rektor Universitas Negeri Yogyakarta, Bapak Prof. Dr. Suyanto.
3. Ketua Lembaga Penelitian Universtas Universitas Negeri Yogyakarta
4. Ketua Lembaga Penelitian Universitas Gadjah Mada
5. Dekan Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada
6. Bapak Dr. Pekik Nurwantoro, M.S. dan Bapak Dr. Agung BSU, S.U. sebagai
Pembimbing.
7. Ketua Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
8. Ketua Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada
9. Semua pihak yang tak dapat kami sebutkan satu persatu
Penulis menyadari bahwa hasil penelitian ini belum sempurna dari harapan, oleh
karena itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan.
4
Yogyakarta, 4 Nopember 2005
Peneliti
DAFTAR ISI
LEMBAR IDENTITAS DAN PENGESAHAN ii
RINGKASAN DAN SUMMARY iii
PRAKATA iv
DAFTAR ISI v
BAB I PENDAHULUAN 1
Tujuan Penelitian 2
Manfaat Penelitian 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4
BAB III METODE PENELITIAN 8
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 16
BAB V KESIMPULAN 23
DAFTAR PUSTAKA 24
LAMPIRAN
Kode sumber untuk Superkonduktor slab 25
5
Kode sumber untuk Superkonduktor silinder 59
6
BAB I
PENDAHULUAN
Simulasi numerik munculnya parameter benahan di daerah dekat medan kritis
3cH pada bahan superkonduktor menggunakan landasan model Ginzburg-Landau telah
dilakukan. Parameter benahan (ordered parameter) didefinisikan sebagai parameter fisis
yang kehadirannya bertanggung jawab terhadap fase dari suatu bahan superkonduktor.
Bahan superkonduktor yang berada dalam keadaan superkonduktif memiliki harga
parameter benahan diantara 10 << ψ . Di bawah medan kritis 1cH bahan berada dalam
keadaan superkonduktif murni sehingga harga parameter benahan bernilai 1. Bahan
superkonduktor yang hanya memiliki satu macam medan kritis saja disebut sebagai
superkonduktor jenis-I. Sedangkan superkonduktor yang memilki dua buah medan kritis
yaitu 1cH dan 2cH disebut sebagai superkonduktor jenis-II. Hal yang menarik tentang
superkonduktor jenis-II adalah adanya keadaan campuran (mixed state) antara keadaan
superkonduktif dan keadaan normal pada ranah 2c1 HHH <<c . Dalam daerah ini
muncul apa yang dinamakan sebagi vortex. Vortex merupakan filamen-filamen berukuran
kecil yang terbentuk akibat pengenaan medan magnet luar H pada sampel
superkonduktor jenis ke-II dalam ranah 2c1 HHH <<c sehingga terjadi terobosan
parsial fluks magnet pada bahan tersebut (Cyrot dan Pavuna, 1992; Tinkham, 1996).
Secara teori, munculnya vorteks pada superkonduktor jenis ke-II telah diramalkan oleh
Abrikosov. Menurut Abrikosov, pola kisi dengan bentuk bujursangkar merupakan pola
kisi stabil vorteks. Dalam kenyataannya, pola kissi stabil pada vorteks adalah kisi dengan
bentuk segitiga. Bentuk kisi ini selanjutnya disebut dengan kisi Abrikosov.
7
Simulasi ini didasarkan pada model Ginzbug-Landau yaitu sebuah teori yang
mengungkapkan gejala fisis yang terjadi pada bahan superkonduktor berdasar pada intuisi
fisis yang ada. Salah satu pencetus model ini yaitu Vitally L. Ginzburg, pada tahun 2003
ini telah memenangkan hadiah Nobel di bidang fisika.
Penelitian tentang munculnya parameter benahan dari bahan dalam keadaan
superkonduktif hingga berada pada keadaan normal sulit dilakukan dengan pengamatan
secara langsung. Oleh sebab itu, diperlukan cara lain untuk memperolehnya, yaitu dengan
simulasi numerik. Simulasi numerik mengenai munculnya parameter benahan pada bahan
superkonduktor dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Ginzburg-Landau
terkopelnya. Untuk mengkaji keadaan superkonduktif di daerah dekat medan kritis 3cH
dapat dilakukan dengan mengabaikan suku non liniernya, sehingga bentuk persamaan
diferensialnya menjadi bentuk linier.
Dugaan peneliti bahwa munculnya parameter benahan mulai nampak pada
permukaan bahan yang sejajar dengan medan magnet luar. Selanjutnya, parameter
benahan secara berangsur-angsur akan menghilang di daerah yang semakin menjauhi
permukaan. Metode yang digunakan oleh peneliti untuk memperoleh distribusi parameter
benahan di dalam bahan adalah metode elemen hingga. Pemilihan metode ini mengingat
metode ini dibangun untuk menyelesaiakan persamaan diferensial disamping metode
beda hingga. Dibandingkan dengan metode beda hingga, metode elemen hingga memiliki
banyak kelebihan terutama keluwesannya dalam memecahkan masalah geometri bahan
yang lebih rumit.
8
TUJUAN PENELITIAN
Tujuan umum dari penelitian ini adalah mencari hubungan antara perbandingan
medan magnet kritis 2cH dengan medan kritis 3cH terhadap besarnya sudut antara
medan magnet luar dengan permukaan bahan, tujuan yang lain adalah menentukan
distribusi parameter benahan ( )ψ r untuk dua bentuk geometri bahan, antara lain bentuk
slab semi tak berhingga, silinder pejal dan silinder berongga di daerah medan kritis 3cH .
MANFAAT PENELITIAN
Manfaat yang dapat disumbangkan dari hasil penelitian ini meliputi dua hal.
Pertama, setelah hasil penelitian diperoleh maka selanjutnya akan dapat ditentukan
karakteristik superkonduktor jenis ke-II di bawah pengaruh medan magnet luar H. Kedua,
melalui hasil penelitian ini, eksperimen tentang masalah terkait dapat dipandu sehingga
dapat ditekan sekecil mungkin kesalahan yang terjadi.
9
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Perkembangan di bidang teknologi mikrofabrikasi, akhir-akhir ini telah membuat
superkonduktor mesoscopic menjadi sangat populer untuk bahan kajian. Superkonduktor
mesoscopic merupakan superkonduktor yang memiliki ukuran ketebalan bahan sebanding
dengan panjang koherensiya ( )Tξ dan kedalaman penetrasi medan magnet ( )Tλ .
Banyak eksperimen dan kajian teoritis dilakukan untuk mengkaji tanggap magnetik dari
berbagsai bentuk bahan mesoscopik tersebut. Contoh aplikasi superkonduktor suhu tinggi
antara lain sebagai piranti pelindung magnetik, sistem pencitraan medis, piranti
interferensi kuantum superkonduktif (SQUIDS), sebagai pembangkit medan magnet
super tinggi dalam MRI (magnetic resonance imaging) dan lain sebaginya.
Mengingat begitu besar prospek yang dijanjikan bahan ini di waktu mendatang,
maka tidak mengherankan jika hadiah Nobel di bidang fisika tahun 2003 ini diberikan
kepada dua dari tiga fisikawan yang telah memberikan sumbangan penting dalam
menjelaskan fenomena fisika tentang superkonduktivitas. Mereka adalah Vitally L.
Ginzburg dan Abrikosov yang telah memberikan kontribusi penting dalam menjelaskan
fenomena superkonduktivitas pada bahan superkonduktor jenis ke-II melalui dua
persamaan Ginzburg-Landau terkopel.
Oleh karena begitu pentingnya peranan dua persamaan Ginzburg-Landau ini dalam
mengungkap gejala superkonduktivitas bahan superkonduktor, maka pengusulan riset ini
didasarkan pada model Ginzburg-Landau. Dengan dilandasi model inilah, selanjutnya
4
akan dapat digambarkan konfigurasi vortex pada bahan superkonduktor di bawah
pengaruh medan magnet luar H dalam ranah 1 2c cH H≤ ≤H .
Menurut teori Ginburg-Landau, keadaan superkonduktif bahan diwakili oleh dua
besaran yaitu parameter benahan (order parameter) ( )ψ r dan potensial vektor ( )A r .
Dua besaran ini diperoleh dari penyelesaian terhadap dua persamaan tak-linier terkopel
[ ] 22 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 02
T T i em
α ψ β ψ ψ ψ+ + − ∇ − =r r r A r rh (1-2)
0
1( ) ( )µ
= ∇ ×j r B r
24( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e
im mψ ψ ψ ψ ψ ψ∗ ∗ ∗ = ∇ − ∇ − r r r r r r A rh (2-2)
dengan syarat batas yang sesuai adalah
[ ]2 ( ) ( ) 0i e ψ⋅ − ∇ − =n A r rh (2-3)
pada permukaan bahan yang memiliki vektor normal n dan yang memisahkan antara
superonduktor dengan insulator. Dalam persamaan tersebut ( )ψ r adalah parameter
benahan superkonduktif yang berupa besaran skalar dan secara umum merupakan fungsi
kompleks, ( )A r adalah potensial vektor magnet yang berupa fungsi real, sedangkan
( )Tα dan ( )Tβ adalah koefisien ekspansi dalam beda rapat tenaga Gibbs yang secara
berurutan memiliki harga negatip untuk cT T< dan bernilai tetapan untuk cT T≈ , e dan
m masing-masing adalah muatan dan massa electron, 0µ adalah permeabilitas ruang
hampa dan akhirnya h adalah tetapan Planck dibagi 2π .
5
Penyelesaian terhadap persamaan (1-2) dan (2-2) atau yang lebih umum dikenal
dengan persamaan Ginzburg-Landau pertama kali dirintis oleh Abrikosov. Hasil
penyelesaian terhadap persamaan tersebut memunculkan jenis baru yaitu superkonduktor
jenis ke-II (Tinkham, 1996). Superkonduktor jenis ke-II ini memiliki dua buah medan
kritis yaitu 1cH yang dikenal dengan medan kritis bawah dan 2cH atau medan kritis atas.
Prospek yang menjanjikan dari superonduktor jenis-II ini didasarkan pada tanggap bahan
tersebut terhadap medan magnet luar H. Jika superkonduktor jenis ke-I hanya mampu
mempertahankan sifat superkonduktifnya hingga sampai dengan medan magnet luar 1cH ,
maka superkonduktor jenis ke-II ini mampu mempertahankan sifat superkonduktifnya
hingga medan magnet luar 2cH bahkan dapat mempertahankan sifat superkonduktifnya
hingga medan magnet luar lebih tinggi dari 2cH yang disebut medan nukleasi 3cH . Hal
inilah yang menjadi dasar mengapa superkonduktor jenis ke-II ini memberikan prospek
teknologi yang luas. Pada medan magnet di atas 1cH , arus super tidak sepenuhnya
mampu menahan terobosan fluks magnet sehingga di dalam bahan terbentuk filamen-
filamen berukuran kecil yang berupa keadaan normal dikelilingi keadaan superkonduktif
yang disebut dengan vortex (Cyrot dan Pavuna, 1992). Untuk mensimulasikan secara
numerik konfigurasi vortex pada pengenaan medan magnet luar H, maka diperlukan
suatu teknik penyelesaian untuk memecahkan pasangan persamaan Ginzburg-Landau
terkopel tersebut. Tetapi, oleh karena sifat bawaan yang dimiliki persamaan ini adalah
terkopel, maka penyelesaiannya akan menjadi sangat rumit. Mengingat tingkat kerumitan
penyelesaian persamaan inilah, maka tujuan umum dari penelitian ini adalah menentukan
konfigurasi vortex pada superkonduktor jenis ke-II dibawah pengaruh medan magnet luar
6
H pada ranah 21 cc HHH ≤≤ dengan cara menyelesaikan persamaan Ginzburg-Landau
yang utuh.
Tahun ini peneliti dari perguruan tinggi mitra sedang melakukan riset tentang
implemetasi model Ginzburg-Landau untuk pengkajian dinamika vortex pada
superkonduktor mesoscopic. Pengkajian tersebut diarahkan pada penjelasan masalah
dinamika terbentuknya vortex dalam bahan superkonduktor yang dibangkitkan dari
minimisasi terhadap fungsional Ginzburg-Landau. Hubungannya dengan penelitian yang
diusulkan sangat erat, karena model yang digunakan untuk memerikan fenomena
superkonduktivitas sama yaitu dengan menggunakan model Ginzburg-Landau. Perbedaan
usulan riset ini dengan yang telah dilakukan oleh TPM terletak pada proses pembentukan
vortex. Penelitian yang diusulkan oleh TPP akan mengkaji secara numerik fenomena
statis konfigurasi vortex pada bahan superkonduktor bergeometri silinder. Berhubungan
dengan usulan riset yang diajukan TPP ini, Yampolskii et.al (2002) telah memberikan
penjelasan tentang vortex giant dalam cakram mesoscopic. Morelle et. al. (2002) juga
telah menyumbangkan pemikirannya dalam penelitiannya tentang nukleasi
superkonduktovitas dalam bahan segitiga mesoscopic. Simulasi numerik masalah
superkonduktor ini juga telah menarik perhatian banyak peneliti pada beberapa tahun
terakhir ini (Alvarez et.al, 1998; Chibotaru et.al, 2000; Crabtree, 2000).
Mengingat keterbatasan waktu yang dimiliki oleh peneliti TPP yang disebabkan
oleh keterlambatan pencairan dana tahap kedua ini, maka yang dapat diperoleh dari
simulasi numerik ini hanyalah gejala munculnya distribusi parameter benahan di sekitar
medan kritis 3cH . Distribusi parameter benahan yang berhasil dismulasikan meliputi
7
superkonduktor bentuk lempengan semi tak berhingga, siliner pejal, dan silinder
berongga.
BAB III
METODE PENELITIAN
Sifat superkonduktivitas suatu bahan superkonduktor dapat ditentukan oleh
bentuk fungsional sistem. Bentuk fungsional yang berpadanan dengan persamaan
Ginzburg-Landau adalah apa yang disebut beda rapat tenaga bebas Gibbs antara keadaan
superkonduktif dan keadaan normal. Ungkapan beda rapat tenaga Gibbs tersebut
diberikan oleh (Tinkham,1996; Cyrot dan Pavuna, 1992)
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
−+−∇−+
+=−≡∆ ∫ ∫
Ω Ω
20
0
2
42
212
21
21,
HrBrrA
rrA
µµ
ψ
ψβψαψ
eim
TTfgG ns
(3-1)
Distribusi parameter benahan dan arus di dalam bahan superkonduktor dapat
diperoleh dengan melakukan minimisasi terhadap ungkapan fungsional rapat beda tenaga
Gibbs tersebut. Minimisasi fungsional dilakukan terhadap ( )rψ atau ( )r*ψ dan ( )rA .
Dengan menggunakan kalkulus variasi minimisasi fungsional tersebut menghasilkan
persamaan Euler-Lagrange (Nurwantoro, 1998)
( ) ( )( ) 0/**
3
1=
∂∂∂
∂∂
∂−∂
∂ ∑= j
s
j j
s
xG
xG
rr ψψ(3-2)
dan
( ) ( )( ) 0/
3
1=
∂∂∂
∂∂
∂−∂
∂ ∑= ji
s
j ji
s
xAG
xAG
rr, dengan 3,2,1=i . (3-3)
Variabel jx dengan 3,2,1=j menyatakan sumbu-sumbu koordinat yaitu yx, dan
z, sedangkan ( )riA dengan i = 1, 2, 3 menyatakan sebagai komponen-komponen
kartesan dari potensial vektor A(r).
Jika persamaan Euler-Lagrange (3-2) dan (3-3) diekspansikan, maka akan
diperoleh ungkapan-ungkapan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
+
∂∂++=
∂∂ 3
1
22
2 2* j
jj
js A
me
xA
meiT
Grrrrr
rψψψψβψα
ψ
(3-4)
( )( )( ) ( )∑∑
∂
∂−∂
∂=
∂∂∂
∂∂
∂= j
jjj
s
j j xA
mei
xmxG
xrr
rψψ
ψ
2
223
1 2/* (3-5)
9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiii
s Ame
xxmei
AG
rrrrrrr
ψψψψψψ ∂+
∂
∂−∂
∂−=∂
∂*4** 2
(3-7)
Apabila ungkapan (3-4), (3-5) dan (3-6) disubstitusikan ke persamaan (3-2), maka
diperoleh persamaan Ginzburg-Landau pertama yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 02212 =−∇−++ rrArrr ψψψβψα eim
T (3-8)
Apabila digunakan ungkapan persamaan Maxwell jB 0µ=×∇ dengan j adalah rapat
super arus dan disubtitusi ungkapan (3-5) dan (3-6) ke persamaan (3-3), maka diperoleh
persamaan Ginzburg-Landau kedua yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) iAme
ime rrrrrrrBrj ψψψψψψ
µ∂−∇−∇=×∇= *4**1 2
0
(3-9)
Syarat batas yang diberikan untuk kedua persamaan Ginzburg-Landau terkopel tersebut
di daerah antarmuka antara insulator dan permukaan superkonduktor adalah
( )[ ] ( ) 02 =−∇−⋅ rrAn ψei (3-10)
Ketika efek permukaan bahan diperhitungkan, yang berarti bahwa superkonduktor
bukan lagi berbentuk bongkahan, maka sifat superkonduktivitas bahan tidak lagi musnah
pada ( )THH c2> . Efek permukaan ini akan memodifikasi transisi fase antara keadaan
superkonduktif dengan keadaan normalnya. Medan kritis bahan superkonduktor biasanya
akan berharga lebih besar dibandingkan dengan harga medan kritis 2cH . Ketika medan
magnet luar yang dikenakan pada bahan mula-mula berharga besar, kemudian secara
berangsur-angsur diturunkan, maka keadaan superkonduktif bahan akan sedikit demi
sedikit muncul ketika melewati suatu harga tertentu yang disebut dengan 3cH . Analisa
10
teoritis dari medan nukleasi permukaan ini pertama kali dikenalkan oleh Saint dan de
Gennes padatahun 1963.
Di daerah dekat dengan fase transisi antara keadaan normal dengan keadaan
superkonduktif, harga parameter benahan sangat kecil. Oleh sebab itu, dapat diabaikan
suku non-linier dari persamaan Ginzburg-Landau yaitu suku ( ) 2rψ dan ( ) ( )rr ψψ 2 .
Proses linierisasi dari persamaan Ginzburg-Landau terkopel ini akan mereduksi
persamaan tersebut menjadi bentuk yang linier
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0221 =−∇−+ rrAr ψψα eim
T (3-11)
atau
( )[ ] ( ) ( ) ( )rrrA ψαψ Teim
−=−∇− 221
(3-12)
Formulasi Fungsional Ginzburg-Landau untuk Bahan Berbentuk Slab Semi Tak
Hingga
Ditinjau sebuah bahan superkonduktor berbentuk lempengan (slab) semi tak
berhingga yang dikenai oleh medan magnet luar H dengan sudut θ (lihat gambar 1).
Dalam kasus ini, potensial vektor pada persamaan (12) bersifat linier sehingga koreksi
terhadap medan magnet yang masuk ke dalam bahan tidak ada. Oleh sebab itu dipilih
bentuk potensial vektor ( ) ( )0,sincos,0 00 θµθµ HzHx −=rA . Dengan pemilihan
bentuk potensial tersebut, maka bentuk persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasinya
adalah
11
SuperkonduktorInsulator
H
Gambar 1. Superkonduktor jenis-II berbentuk slab semi tak berhingga yang dikenai medan magnet luar H
( ) ( )ψαψψθθµψ Tzm
zxHey
iHmxm
=∂∂−
−−
∂∂−+
∂∂− 2
222
02
22
2sincos2
21
2 (3-13)
dengan syarat batas yang diberikan adalah
00
=∂
∂
=xxψ
(3-14)
Dengan memilih ungkapan parameter benahan berbentuk
( ) ( )zxfezyx yik y ,,, cosθψ = akan diperoleh bentuk baru persamaan (3-13) berbentuk
( )[ ] ( ) fTfzxHekmz
fx
fm y αθθµθ =−−+
∂∂+
∂∂− 2
02
2
2
22
sincos2cos21
2
(3-15)
dengan syarat batas yang sesuai adalah
00
=∂∂
=xxf
(3-16)
Salah satu langkah penting untuk perhitungan secara numerik adalah membuat
variabel-variabel dalam ungkapan (3-15) menjadi variabel tak berdimensi. Oleh sebab itu
diplih variabel-variabel sebagai berikut
12
HekXHezZHexX y
00
00 cos,sin4
,cos4
µθ
θµθµ
≡≡≡
( )H
TH c
22∈ ≡ (3-17)
Apabila ungkapan (3-17) disubstitusikan ke persamaan (3-15) maka akan diperoleh
ffXfZX
fXXfXZfXX
fZZ
= ∈++
−−
−
∂∂−
−
∂∂−
42sin
2cos
2sincos
4cos
4sin
200
02
2
2
2
θ
θθθθθ(3-18)
dengan syarat batas yang sesuai adalah
00
=∂∂
=XXf
pada 0=X (3-19)
Sedangkan di daerah yang jauh dari permukaan bahan sifat superkonduktivitas bahan
semakin menghilang, sehingga syarat batas yang cocok untuk keadaan ini adalah
( ) 0, →ZXf pada ∞→X (3-20)
Bentuk diskritisasi dalam bentuk elemen hingga dapat dilihat pada gambar 3.
Formulasi Fungsional Ginzburg-Landau untuk Bahan Berbentuk Silinder
13
Gambar 2. Diskritisasi bahan dengan metode elemen hingga
Ditinjau sebuah bahan superkonduktor berbentuk silinder dengan panjang jari-jari
a dengan panjang tak berhingga dikenai oleh medan magnet luar H yang arahnya sejajar
dengan sumbu z (lihat gambar 2).
Dalam koordinat polar silindris ( )z,,ϕρ diasumsikan bahwa medan magnet
luar H berarah paralel dengan sumbu z silinder, sehingga potensial vektor A dapat dipilih
sedemikian hingga
ρHA ×= 021 µ (3-21)
Dengan menggunakan ungkapan div A = 0, maka diperoleh ungkapan persamaan
Ginzburg-Landau terlinierisasi
( ) ( ) +∂
∂−
∂
∂∂∂− 2
222 ,,2
,,12 z
zm
zm
ϕρψρ
ϕρψρρρ
14
H
a
y
x
z
Gambar 3. Bahan superkonduktor jenis-II berbentuk silinder pejal yang dikenai medan magnet luar sejajar dengan sumbu z
( ) ( ) ( )zTzHeim
,,,,21
2
0 ϕρψαϕρψρµϕρ
=
−∂∂− (3-22)
dengan syarat batas yang sesuai adalah
( ) 0,, =∂
∂
= a
z
ρρϕρψ
(23)
Untuk langkah komputasi numerik, maka diperlukan bentuk variabel tak berdimensi yang
sesuai berbentuk
( )( )T
aaTmHah
ar
azZ 2
2
2
2
00
2 2,2,,
ξα
εµπρ ≡≡Φ
≡≡≡
(3-24)
dengan e/0 π≡Φ menyatakan kuantum fluks dan ( ) ( )TmT αξ 2/2≡ adalah
panjang koherensi. Jika ungkapan (3-24) disubstitusikan ke dalam ungkapan (3-22), maka
akan diperoleh persamaan
( ) ( )zrzrhrri
zrrr,,,,
221
2
2
2
2
2
ϕε ψϕψϕ
=
+
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂− (3-25)
dengan syarat batas
( ) 0,,
1
=∂
∂
=rrzr ϕψ
(3-26)
Untuk menyederhanakan persamaan (3-25), maka diperlukan ungkapan untuk
parameter benahan berbentuk ( ) ( ) ϕϕϕψ ikZik eerfzr z=,, . Untuk menjamin harga
( )zr ,,ϕψ adalah tunggal saat ϕ bertambah dengan nπ2 , maka disyaratkan bahwa
nk =ϕ dengan ...,2,1,0 ±±=n
(3-27)
Hasil substitusi ungkapan ( ) ( ) ϕϕϕψ ikZik eerfzr z=,, terhadap persamaan (3-25)
diperoleh
15
( ) ( ) ( ) ( )rfrfrhhkrk
rrf
rrrf εϕ
ϕ =
+−+
∂∂−
∂∂− 22
2
2
2
2
411
(3-28)
dengan syarat batas
( ) 01
=∂
∂
=rrrf
(3-29)
Jika diperhatikan pada ungkapan (3-28) tampak bahwa persamaan Ginzburg-Landau
terlinierisasi untuk bahan bergeometri silinder dengan panjang tak berhingga hanya
bergantung pada satu koordinat saja yaitu r. Hal ini akan memudahkan dalam penaganan
komputasinya.
16
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Melalui penelitian ini telah diperoleh hasil baik secara numerik maupun grafis
distribusi parameter benahan pada superkonduktor jenis ke-II. Dalam penelitian ini,
proses pencarian distribusi parameter benahan dilakukan dengan menggunakan paket
prgram komputer FEMLAB yang berjalan di bawah perangkat lunak MATLAB.
Disamping disajikan distribusi parameter benahan pada berbagai arah sudut antara
medan magnet luar dengan bahan berbentuk slab semi tak berhingga, peneliti juga
melengkapinya dengan distribusi parameter benahan bahan berbentuk silinder. Pada
gambar (4), (5) dan (6) terlihat distribusi parameter benahan pada bahan superkonduktor
berbentuk lempengan yang dikenai medan magnet luar H dengan membentuk sudut
tertentu..
17Gambar 4. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan
magnet luar H dengan membentu sudut 0o
18
Gambar 5. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan
magnet luar H dengan membentu sudut 10o
Gambar 6. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan magnet luar H dengan membentu sudut 15o
Dari hasil analisa terhadap persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasi (18) dengan
mengingat syarat batas yang sesuai untuk kasus ini maka diperoleh hasil yang mendekati
sama dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya. Untuk sudut medan magnet H
dengan dengan bahan sama dengan 0o terlihat bahwa harga eigennya adalah
584763.0=λ , untuk sudut 10=θ 687297.0=λ dan untuk 15=θ , 797795.0=λ .
Dari gambar (4), (5) dan (6) ditunjukkan bahwa munculnya sifat
superkonduktivitas bahan mula-mula di permukaan bahan ketika medan magnet luar
diturunkan secara perlahan-lahan. Sifat tersebut semakin menghilang di daerah yang
semakin menjauhi permukaan bahan. Hasil yang diperoleh ini sesuai dengan dugaan
peneliti.
Gambar (7), (8), (9) dan (10) diperlihatkan fungsi gelombang ( )rf dari
persamaan Ginzburg-Landau pada bahan superkonduktor dengan geometri silinder.
Dipilih harga-harga dari ϕk atau n yang berharga bulat. Di dalam gambar dicontohkan
untuk harga-harga n berturut-turut 0, 1, 2, dan 10.
19Gambar 7. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai
medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 0
f(r)
panjang jejari r
20Gambar 9. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 2
panjang jejari r
f(r)
Gambar 8. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 1
panjang jejari r
f(r)
Untuk memperoleh distribusi parameter benahan pada superkonduktor silinder
diperhatikan beberapa aspek, diantaranya adalah pemilihan terhadap parameter h.
Parameter h menyatakan ukuran dimensi bahan yang dinyatakan sebagai Hah 00
22 µπΦ
≡ .
Dengan mengambil harga h sangat kecil, itu berarti ukuran dimensi superkonduktor
silinder sangat tipis karena jejari silinder sangat kecil. Dengan panjang jejari sangat kecil,
maka seluruh parameter benahan akan terdistribusikan secara merata ke seluruh bagian
dalam bahan seperti terlihat pada gambar (7). Hal ini ditunjukkan dengan pemilihan
harga n = 0 yang bersesuaian dengan harga h sangat kecil.
21
Gambar 10. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 10
f(r)
panjang jejari r
Jika dilihat pada gambar (8), (9) dan (10), maka dapat kita peroleh kesimpulan
bahwa semakin besar ukuran dimensi bahan superkonduktor, maka distribusi parameter
benahan semakin tidak merata. Sebagai contoh, perhatikan gambar (10), distribusi
parameter benahan terkonsentrasi di daerah permukaan antara 15.0 << r , sedangkan
untuk daerah 5.00 << r distribusinya praktis sama dengan nol.
Distribusi Parameter Benahan Untuk Silinder Berongga Di Sekitar Medan Kritis
Distribusi parameter benahan untuk superkonduktor berongga di sekitar medan
kritis 3cH disajikan pada gambar (1), (12), (13) dan (14). Hasil yang diperoleh ini
melengkapi karakteristik dari bahan superkonduktor silinder tak berongga. Ditribusi
parameter benahan yang tampak pada mirip dengan superkonduktor tak berongga.
Dalam penelitian ini jari-jari rongga silinder diambil 0.2. Harga ini merupakan
harga perbandingan antara jari-jari r terhadap panjang jejari sebenarnya yaitu a. dengan
kata lain jari-jari silinder sudah ternormalkan, sehingga berharga maksimal sama dengan
22
Gambar 11. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder berongga yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 0
1. Jika diperhatikan pada gambar (1) dimensi silinder sangat kecil yang ditengarahi
dengan harga n = 0. Karena kecilnya kecilnya dimensi bahan, maka praktis seluruh
bahan bersifat superkonduktor seperti halnya pada superkonduktor silinder tak berongga.
Gambar (12) diambil ukuran jejari silinder lebih besar dari (11). Oleh karena ukuran
dimensi lebih besar dari (11), maka sifat superkonduktivitas tidak lagi serba sama di
seluruh bahan.
23
Gambar 12. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder berongga yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 1
Gambar 13. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder berongga yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 2
Gambar (14) dan (15) diambil n = 10 dan n = 19. Terlihat dengan jelas pada
gambar tersebut bahwa sifat superkonduktor menukleasi di daerah permukaan bahan.
Kemudian sifat tersebut berangsur-angsur menghilang di daerah yang agak jauh dengan
permukaan bahan. Sedangkan pada daerah antara r = 0 hingga r = 0.2 tidak tergambar
distribusi parameter benahan. Hal ini dikarenakan pada daerah tersebut berongga atau
lebih tepatnya berisi insulator.
BAB V
24
Gambar 14. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder berongga yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 10
Gambar 15. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 19
BAB V
KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain :
Harga perbandingan antara 2cH dengan 3cH pada superkonduktor jenis-II
berbentuk lempengan bergantung kepada besarnya sudut antara medan magnet
luar H dengan permukaan bahan. Harga perbandigan ini menunjukkankesesuaian
dengan hasil perhitungan dengan metode variasi yang telah dilakukan oleh
peneliti lain sebelumnya.
Distribusi parameter benahan pada superkonduktor berbentuk silinder di dekat
medan kritis 3cH bergantung kepada ukuran dimesi dari bahan. Bahan dengan
dimensi kecil menyebabkan seluruh bahan berada dalam keadaan superkonduktif.
Sedangkan untuk bahan dengan jejari sangat panjang, maka distribusi parameter
benahan hanya terkonsentrasi di daerah permukaan saja.
Distribusi parameter benahan pada silinder berongga mirip dengan distribusi
parameter benahan pada superkonduktor tak berongga.
25
DAFTAR PUSTAKA
Alvarez, J.J.V., Balserio, C. dan Buscaglia, G.C., 1998. Votex Structure in d-wave Superconductor, Phys. Rev. B, 58, 11181.
Chibotaru, L.F., Ceulemans, A., Bruyndoncx, V. dan Moshchalkov, V.V., 2000. Superconductivity: Geometry Spawns Vortices, Nature, 408, 833.
Crabtree, G.w., Gunter, D.O., Kaper, H.G., Koshelev, A.E., Leaf, G.K. dan Vinokur, V.M., 2000. Numerical Simulation of Driven Vortex System, Phys. Rev. B, 61, 1446
Cyrot, M dan Pavuna, M., 1992. Introduction to Superconductivity and High Tc Material, Singapore: World Scientific Publication co. Ptc. Ltd.
Morelle, M., Teniers, G., Chibotaru, L.F., Ceulemans, A. dan Moschalkov, V.V., 2002 , Nucleation of Superconductivity in a Mesoscopic Triangle, Physica C, 369, 351-355.
Nurwantoro, P. 1998. A Theoritical Study of The Surface Nucleation Field at Hc3 and of Superconducting Surface Sheats in Isotropic Type-II Superconductors. Ph.D’s Theisis,University of Birmingham.
Tinkham M., 1996, Introduction to Superconductivity, Singapore: McGraw-Hill Inc.
Yampolskii, S.V. dan Peeters, F.M., 2002, Giant Vortices in Small Mesoscopic Disks: an Approximate Description, Physica C, 369, 347-350.
26
27
LAMPIRAN
28