Simulación Unidad 2fgdfgdf

SIMULACIN: con enfoque de competencias

47

Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial

CAPTULO 2

GENERACIN DE NMEROS ALEATORIOS

Generacin de nmeros aleatorios

48

M. C. Sergio Humberto Romo Picazo

Captulo 2

Generacin de Nmeros Aleatorios

Competencias de la Unidad

Conocer la diferencia entre nmeros aleatorios y pseudoaleatorios.

Generar, a travs de varias tcnicas matemticas, nmeros pseudoaleatorios.

Realizar las pruebas estadsticas de aleatoriedad y establecer las

conclusiones correspondientes para los nmeros pseudoaleatorios generados.

Explicar, con base en las pruebas estadsticas, por qu algunos mtodos o

parmetros para la generacin de nmeros pseudoaleatorios no son

confiables.

SUMARIO

Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas

Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios.

Generacin de nmeros pseudoaleatorios

Pruebas estadsticas de aleatoriedad para los nmeros pseudoaleatorios: de

medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste.

Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales.

Mtodo de Monte Carlo


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2. Generacin de nmeros aleatorios

2.1. Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas

Este captulo trata de un elemento de suma importancia para la realizacin de una

simulacin, la generacin de nmeros aleatorios. En captulo 1 qued asentado de

que la simulacin es una herramienta poderosa es porque imita el comportamiento

aleatorio de los sistemas estocsticos, que son los que vamos a simular en un

momento dado.

Para lograr esta imitacin del comportamiento aleatorio se requiere de una fuente de

nmeros aleatorios as como rutinas para generar variables aleatorias basadas en

alguna distribucin de probabilidad. Se preguntar por qu es necesario esto. En un

banco, por ejemplo, se tienen varias cajas para atender a sus clientes ya sean

habituales o espordicos. La llegada de cualquier cliente no se puede prever ya que

sta ocurrir de manera aleatoria. A la llegada de este cliente puede haber o no

clientes esperando el servicio. Las siguientes llegadas de clientes son tambin

aleatorias. En el caso de los tiempos de servicio, es decir, el tiempo que los clientes

permanecern realizando sus transacciones con el cajero, tambin tiene un

comportamiento aleatorio ya que depender del nmero y caractersticas de las

transacciones que tiene que realizar. En consecuencia, el tipo de llegadas de los

clientes y las caractersticas de los tiempos de servicio harn que se formen o no

colas para la espera del servicio.

Un nmero aleatorio es un nmero generado por un proceso, cuyo resultado es

impredecible, y que no puede ser reproducido subsecuentemente de manera

confiable. Un nmero aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada

por una funcin de distribucin. En el ejemplo anterior, una variable aleatoria es el

tiempo entre llegadas de los clientes al banco.

Si deseamos imitar este comportamiento necesitamos de generadores de nmeros

aleatorios y de las rutinas para la generacin de variables aleatorias. Este captulo

muestra cmo generar nmeros aleatorios y cmo asegurarnos de que son aptos

para su uso en la simulacin, en tanto en el captulo 3 se trata de cmo generar


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variables aleatorias y las pruebas a que deben someterse para comprobar su

idoneidad.

Un nmero aleatorio ya que se obtiene al azar, tiene la misma probabilidad de ser

elegido y su eleccin no depende de la eleccin de algn otro. Por ejemplo, al lanzar

un dado el nmero que aparece en la cara superior no depende del nmero que haya

salido en el lanzamiento previo ni el resultado del prximo depende del resultado

actual. El lanzamiento de dados es un ejemplo de generador fsico de nmeros

aleatorios.

Un generador de nmeros aleatorios es un dispositivo que produce secuencias de

nmeros que estadsticamente cumplan con las condiciones de aleatoriedad. Existen

dos clases principales de generadores: generadores de fsicos y de software.

Dispositivos fsicos. Dutang, Christophe and Wuertz, Diethelm (2009) sostienen que

las nicas cosas que son realmente aleatorias, son la medicin de los fenmenos

fsicos, tales como ruidos trmicos de chips semiconductores o fuentes radiactivas.

En el caso de los generadores fsicos LEcuyer (1998), menciona que los nmeros

aleatorios se pueden generar a travs de mecanismos fsicos tales como el tiempo

entre eventos sucesivos en la desintegracin atmica, el ruido trmico en los

semiconductores, y otros similares. De forma que si el dispositivo genera una

corriente de bits, 0 o 1, stos tienen la misma probabilidad de aparecer y ser

independientes de los dems bits.

Desde el punto de la estadstica computacional, los dispositivos fsicos tienen ciertas

desventajas sobre los generados por un generador de nmeros aleatorios. Estas

desventajas las resume LEcuyer (1998) como sigue:

a) Son ms complicados de instalar y ejecutar.

b) Son ms costosos

c) Son ms lentos

d) No se pueden reproducir exactamente en la misma secuencia dos veces.


51


Las aplicaciones de este tipo de dispositivos fsicos se encuentran principalmente

para generar semillas de generadores algortmicos, criptografa y mquinas de juego.

Un mtodo para generar estos nmeros consiste en utilizar un dispositivo fsico,

como se mencion anteriormente, pero tambin puede hacerse usando un

aleatorizador electrnico. De esta manera se han generado varias tablas de nmeros

aleatorios, entre las que se encuentra una que contiene un milln de dgitos

aleatorios, publicada por Rand Corporation.

2.2. Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios.

El uso de las computadoras posibilit el desarrollo de mtodos de generacin de

nmeros aleatorios. La nica manera de simular algo de aleatoriedad en las

computadoras se lleva a cabo por medio de algoritmos determinsticos. (Dutang,

Christophe and Wuertz, Diethelm, 2009).

Los nmeros aleatorios son un elemento bsico en la simulacin de casi todos los

sistemas discretos. La mayora de los lenguajes y simuladores incorporan una

subrutina o funcin que generar una secuencia de nmeros aleatorios que se usan

para generar las variables aleatorias necesarias para la simulacin.

En realidad la secuencia de nmeros aleatorios que se producen a travs de un

generador de nmeros aleatorios no son estrictamente aleatorios porque al ser

generados por un algoritmo, pueden ser reproducidos tantas veces como se desee.

Por esta razn se conocen como nmeros pseudoaleatorios, (pseudo proviene del

griego y significa falso). Esto quiere decir que para realizar una simulacin vamos

a utilizar nmeros aleatoriamente falsos? En trminos prcticos, se puede decir que

estos nmeros se generan en grandes secuencias que, si pasan las pruebas

estadsticas de aleatoriedad de uniformidad y de independencia, se pueden utilizar

con seguridad. Adems, el hecho de que sean reproducibles nos posibilita hacer las

depuraciones necesarias en los modelos de simulacin y podemos hacer

comparaciones entre distintos modelos de simulacin utilizando la misma secuencia

de nmeros pseudoaleatorios.


52


Toda simulacin requiere de un generador de nmeros aleatorios, Harrell, et al

(2003), lo comparan como el corazn del modelo de simulacin bombeando un

conjunto de nmeros aleatorios, segn se vayan requiriendo. Ese conjunto de

nmeros aleatorios deben estar en el intervalo (0,1). Aqu se denotan por .ir Un

conjunto ni rrrr ,,, 21 debe seguir una distribucin uniforme continua. La figura 2.1

muestra la funcin de densidad de probabilidad de esta distribucin.

Los generadores de nmeros aleatorios proporcionan una secuencia de nmeros

321 ,, rrr que deben satisfacer dos condiciones:

1. Uniformidad. Estar uniformemente distribuidos entre cero y uno 10 x , los

cuales se ajustan a la funcin de densidad de probabilidad uniforme continua.

2. Independencia. Los nmeros deben ser independientes entre s. Esta

propiedad es muy importante ya que los nmeros no deben estar

correlacionados.

Figura 2.1 Distribucin uniforme continua (0,1) de un generador de nmeros

aleatorios.

Media de los nmeros aleatorios uniformes entre 0 y 1. La funcin de densidad de

probabilidad de la figura 2.1 indica que los nmeros ir deben tener la misma

probabilidad de ocurrencia. La media o valor esperado de los nmeros aleatorios

entre cero y uno est dada por

)(xf

x

1

1 0

ootrode

xsixf

mod0

101)(


53


2

1

2

21

0

1

0

xdxxrE

y la varianza est dada por

12

1

4

1

3

1

2

1

3)()(

21

0

321

0

2

xrEdxxrV

2.3. Generacin de nmeros pseudoaleatorios

Aunque en la seccin 2.5 se abordar el tema sobre la obtencin de nmeros

pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales, y con el propsito de darle

cohesin a la exposicin del tema, es conveniente que en este punto discutamos

cmo generar secuencias de nmeros pseudoaleatorios para posteriormente

proceder a la discusin de las distintas pruebas que se pueden utilizar para

comprobar la idoneidad de las secuencias para su uso en un modelo de simulacin.

Generador de nmeros pseudoaleatorios. Un generador de nmeros

pseudoaleatorios tiene como propsito producir una secuencia de nmero en el

intervalo [0,1] que imite las propiedades ideales de la distribucin uniforme e

independencia tanto como sea posible.

Se mencion anteriormente que le generacin de nmeros pseudoaleatorios acta

como el corazn de la simulacin que debe bombear una gran secuencia de estos

nmeros. Existen muchos mtodos para generar nmeros pseudoaleatorios, sin

embargo, no todas ellas son eficientes, por lo que se deben considerar aspectos

importantes como los siguientes:

1. Rapidez. La rutina o programa de computadora debe ser rpida, es decir, que

debe generar un nmero en el menor tiempo posible.

2. Portabilidad. La rutina debe poderse exportar a cualquier computadora y a

cualquier lenguaje de programacin. Esto asegura que se obtendrn los

mismos resultados independientemente en dnde se ejecute.


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3. Longitud. La rutina debe tener un largo periodo, esto se conoce como longitud

de ciclo o periodo, y representa la longitud de la secuencia de nmeros

pseudoaleatorios (en adelante los denominaremos aleatorios o

pseudoaletorios de manera indistinta). Schmidt y Taylor (1979) definen la

longitud de ciclo como una medida de la cantidad de nmeros que se

generan antes que reaparezca la misma secuencia de nmeros.

4. Reproducibilidad. Ya que se desea ensayar el experimento varias veces, el

generador debe ser apto para reproducir las mismas series de nmero que se

desee. Cuando se est depurando un modelo de simulacin es deseable

hacerlo con la misma secuencia de nmeros aleatorios con el fin de facilitar

las comparaciones entre distintos sistemas o modelos.

5. No degeneracin. El generador no debe ser degenerativo, es decir, que no

produzca continuamente el mismo nmero.

Un generador debe ser de naturaleza algortmica, es decir, que se debe utilizar el

trmino i de la secuencia para calcular el i+1; el i+1 se utiliza para calcular el i+2, y

as sucesivamente. La mayora de los generadores utilizan un algoritmo, lo que les

permite funcionar de manera independiente de todas las dems partes del programa

de simulacin (Schmidt y Taylor, 1979).

Para entender la naturaleza del problema de generacin de nmeros aleatorios,

incluimos aqu varios algoritmos en el entendido que los paquetes de lenguajes de

simulacin y los simuladores llevan incorporado alguno de ellos.

En este texto se discuten algunos algoritmos no congruenciales como el de

cuadrados medios, el de productos medios y el de multiplicador constante slo para

que el lector reflexione sobre los problemas que pueden presentar este tipo de

problemas. Despus se presentan tres algoritmos congruenciales: el mixto, el

multiplicativo y el aditivo. Finalmente se muestra el congruencial cuadrtico que es

no lineal.

2.3.1. Algoritmos no congruenciales


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Cuadrados medios. Propuesto por Van Neuman y Metropolis en 1946. Este mtodo

es ineficiente porque tiende degenerar con rapidez y, dependiendo de su valor inicial,

pierde rapidez.

Procedimiento

Paso 1. Seleccin de la semilla, a la que se denomina 0X , con d dgitos mayores a 3.

Paso 2.

a) Determinar 200 XY

b) Definir 1X los d dgitos del centro1

c) Defina 1.0 Xri

Paso 3

a) Determine 2ii XY

b) Defina 1iX los d dgitos del centro.

c) Defina 1.0 ii Xr para toda i = 1, 2,, n

Paso 4. Repita el paso 3 hasta obtener los n nmeros aleatorios deseados.

Ejemplo 2.1

Usando el algoritmo de cuadrados medios genere los primeros cinco nmeros

aleatorios si se tiene la semilla .92300 X

Solucin

La tabla 2.1 muestra los resultados de cada uno de los pasos del procedimiento

antes descrito. Los nmeros que se subrayan son los dgitos que se suprimen para

obtener los D dgitos del centro. Para Y0 se suprimen el 85 de lado izquierdo y el 00

de lado derecho.

1 En ocasiones no es posible obtener los d dgitos del centro de iYdeoY0 en esos casos agregue ceros al

lado izquierdo de estos valores.


56


i Yi-1 Xi ri Comentarios

1 001929859230 2 1929 1929.0

2 417210031929 2 7210 7210.0 Se agrega un cero a la izquierda

de Yi-1

3 009841517210 2 9841 9841.0

4 818452969841 2 8452 8452.0

5 044363718452 2 4363 4363.0

Tabla 2.1 Procedimiento del algoritmo de cuadrados medios para el ejemplo 2.1

Productos medios. El procedimiento de este algoritmo se similar al anterior, slo

que aqu se utilizan dos semillas: 10 XyX las cuales se multiplican para obtener el

valor de 0Y . Para obtener 2X se extraen los d dgitos del centro del valor de 0Y el cual

servir para obtener 21 .0 Xr . Enseguida se determina el valor de ,1 iii XXY y se

extraen los d dgitos del centro para obtener el valor de 2iX y de ah ir . Se repite el

procedimiento hasta obtener los n nmeros deseados.

Procedimiento

Paso 1. Seleccin de las semillas, a las que se les denomina 10 XyX , con d dgitos

mayores a 3.

Paso 2.

a) Determinar 100 XXY


c) Defina 2.0 Xri

Paso 3




57


a) Determine 1 iii XXY




Ejemplo 2.2

Usando el algoritmo de productos medios genere los primeros cinco nmeros

aleatorios si se tienen las semillas .244992300 yX

Solucin


antes descrito.

I Yi-1 Xi ri Comentarios

1 7060422224499230 6042 6042.0

2 5879681460422449 7968 7968.0

3 5614264879686042 1426 1426.0

4 6836231114267968 3623 3623.0

5 9816630536231426 1663 1663.0 Se agrega un cero a la izquierda

de Yi-1

Tabla 2.2 Procedimiento del algoritmo de productos medios para el ejemplo 2.2

Multiplicador constante. El procedimiento de este algoritmo se similar al anterior,

slo que aqu se una semilla y un multiplicador constante: ,0 ayX respectivamente,

los cuales se multiplican para obtener el valor de 0Y . Para obtener 1X se extraen los d

dgitos del centro del valor de 0Y el cual servir para obtener 11 .0 Xr . Enseguida se

determina el valor de ,ii XaY y se extraen los d dgitos del centro para obtener el


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valor de 1iX y de ah ir . Se repite el procedimiento hasta obtener los n nmeros

deseados.

Procedimiento

Paso 1. Seleccin de la semilla, ,0X y el valor del multiplicador constante a , con d

dgitos mayores a 3.

Paso 2.

a) Determinar 00 XaY


c) Defina 1.0 Xri

Paso 3

a) Determine ii XaY




Ejemplo 2.3

Usando el algoritmo del multiplicador constante genere los primeros cinco nmeros

aleatorios si se tiene la semilla 92300 X y el multiplicador constante a = 2449.

Solucin


antes descrito.




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i Yi-1 Xi ri Comentarios

1 7060422292302449 6042 6042.0

2 5879681460422449 7968 7968.0

3 3849891979682449 4989 4989.0

4 6121801249892449 2180 2180.0

5 2033880521802449 3388 3388.0 Se agrega un cero a la izquierda

de Yi-1

Tabla 2.3 Procedimiento del algoritmo del multiplicador constante para el ejemplo

2.3.

2.3.2. Algoritmos congruenciales lineales

En la subseccin 2.3.1 se estableci que los mtodos presentados ah son

ineficientes por dos razones principales, primero porque degeneran rpidamente y no

aseguran obtener ciclos muy grandes y, en segundo lugar, porque tienden a ser

lentos en su procesamiento.

La mayora del software de simulacin est basado en los generadores

congruenciales lineales (LCG, por su sigla en ingls). Este generador es eficiente ya

que produce rpidamente una secuencia de nmeros aleatorios sin requerir muchos

recursos computacionales, (Harrell, et al, 2003). A continuacin se presentan tres de

los ms representativos: el mixto, el multiplicativo y el aditivo.

Algoritmo congruencial lineal mixto. Produce una secuencia de enteros x1, x2,

entre cero y m-1 por medio de la ecuacin recursiva siguiente

,2,1mod1 imcaxx ii (2.1)

Donde:

x0 = valor inicial llamado semilla

a = constante multiplicativa


60


c = constante aditiva

m = mdulo

x0, a, c, m 0, enteros y m > a, m > c, m > x0

En la ecuacin recursiva 2.1, mod m representa la operacin aritmtica mdulo la

cual arroja como resultado el residuo entero de la divisin de (axi + c) entre m.

La ecuacin recursiva 2.1 produce nmeros aleatorios enteros discretos por lo que

es necesario convertirlos a nmeros aleatorios uniformes en el intervalo [0,1], lo cual

se logra haciendo

,2,1 im

xr ii (2.2)

Banks, Carson II, Nelson y Nicol (2005), hacen notar que con la aplicacin de la

ecuacin recursiva 2.1 se tienen los siguientes resultados:

Los nmeros generados slo pueden asumir valores del conjunto

,/)1(,,/2,/1,0 mmmmI por lo tanto, cada ix es un entero del conjunto

,1,,2,1,0 m y concluyen que si bien ri es discreta en I y no continua en el

intervalo [0, 1], no tiene importancia siempre y cuando el mdulo sea un

entero muy grande.

En cuanto al periodo del generador mencionan que para ayudar a alcanzar la

densidad mxima (que los valores asumidos por ri, i = 1, 2,, no tienen

grandes huecos en [0, 1]) y prevenir el reciclamiento en aplicaciones prcticas,

el generador debe tener el mayor periodo posible.

Debe tenerse mucho cuidado en la seleccin de los valores x0, a, c, m ya que esta

decisin influye de manera notable en las propiedades estadsticas y la longitud del

ciclo que se genere a partir de la ecuacin recursiva. Esto lo observaremos a travs

de los distintos ejemplos ilustrativos.


61


El ejemplo 2.4 muestra los clculos del algoritmo congruencial mixto. Los parmetros

que se eligieron lo hacen ideal para mostrar que se alcanza el periodo completo, P =

m = 8, aunque este periodo no nos servira en una simulacin ya que su longitud es

muy pequea. Se obtiene un periodo completo cuando la longitud de la secuencia de

nmeros es igual a m, la longitud del ciclo nunca exceder este valor.

Ejemplo 2.4

Use el mtodo congruencial lineal mixto para generar una secuencia de nmeros

aleatorios, tantos como sea posible, con los siguientes parmetros:

.8,7,5,40 mcax

Solucin

Sustituyendo los valores de los parmetros en la ecuacin 2.1 se tiene:

375.08

338mod74*5 11 rx

Ahora se sustituye el valor de 1x en la ecuacin 2.1, los dems valores permanecen

igual, dando como resultado

750.08

668mod73*5 22 rx

La tabla 2.4 muestra los clculos para el resto de los valores. Observe que cuando

se genera 9x se repite el mismo valor obtenido para 1x , lo cual muestra que se ha

obtenido el mximo periodo, en este caso, de ocho nmeros aleatorios.

Periodo completo o ciclo completo. En 1966 Hull y Dobell presentaron un teorema

para obtener el periodo completo:

El LCG ,2,1mod1 imcaxx ii tiene un periodo completo si y slo si se

cumplen las tres condiciones siguientes:

1. c y m son relativamente primos (por ejemplo, el nico entero positivo que

divide a c y a m es 1).


62


2. Si q es cualquier nmero primo que divide a m, entonces q tambin divide a

a - 1.

3. Si 4 divide a m, entonces 4 divide a a - 1

Seleccin adecuada de los parmetros. Otros autores mencionan que para m una

potencia de 2, m = 2b donde b es un entero y c 0. El periodo ms grande posible P

= m = 2b, se logra si c es relativamente primo a m y a = 1 + 4k donde k es un entero.

En ejemplo 4 se cumplen las condiciones marcadas por el teorema de Hull y Dobell

ya que se observa que:

c y m son relativamente primos

m = 8 puede dividirse entre 2, tambin (a -1) = (5 1)/2

m/4 = 8/4 = 2 y (a 1)/4 = (5 1)/ 4 = 1

b = 3, es decir m = 23 = 8.

a = 1 + 4k = 1 + (4*1) = 5

Tabla 2.4 Aplicacin del algoritmo congruencial lineal mixto para el ejemplo 2.4

X0 4

a 5

c 7

m 8

i X(i+1) ri

1 3 0.375

2 6 0.750 ---

3 5 0.625 ---

4 0 0.000 ---

5 7 0.875 ---

6 2 0.250 ---

7 1 0.125 ---

8 4 0.500 ---

9 3 0.375 ciclo

CONGRUENCIAL LINEAL MIXTO

Se repite la secuencia


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Algoritmo congruencial multiplicativo. Este algoritmo es un caso especial del

algoritmo congruencial lineal mixto, en la ecuacin 2.1 el valor de c = 0, entonces la

ecuacin recursiva es:

,2,1mod1 imaxx ii (2.3)

Este algoritmo tiene como ventaja ser ms rpido, ya que requiere menos

operaciones. La sucesin de nmeros aleatorios generados tienen buen

comportamiento estadstico, es decir, estn uniformemente distribuidos y son

independientes. Sin embargo, las condiciones para obtener el periodo completo que

vimos en el mixto no aplican. Si usamos la ecuacin 2.3 para los parmetros x0 = 4,

a = 5 y m = 8, el resultado que obtenemos es una condicin degenerada, es decir, se

repite o recicla el mismo resultado.

500.08

448mod4*5 11 rx

Para la siguiente iteracin se observa que x1 = x2 = 4, por lo que vamos a obtener el

mismo resultado. Banks, et al, (2005), aconsejan que para obtener el periodo ms

grande posible, 224/ bmP , se deben cumplir las condiciones siguientes:

m = 2b, b debe ser un entero

a = 3 + 8k o a = 5 + 8k, k = 0, 1, 2, 3,

x0 debe ser impar

Ejemplo 2.5

Utilice el algoritmo congruencial lineal multiplicativo para generar tantos nmeros

aleatorios como sea posible si se utilizan los siguientes parmetros: b = 6, k = 5 y

una semilla x0 = 145.

Solucin

Aplicando la ecuacin 2.3 se obtienen los siguientes resultados para x1 y x2, como

sigue. La tabla 2.5 muestra que no se tiene un periodo completo, slo se generaron


64


16 nmeros, esto corresponde a m/4 = 64/4 = 16, que confirma que respetando las

condiciones aconsejadas, se obtiene el mximo periodo P.

m = 2b = 26 = 64

a = 5 + 8k = 5 + 8*5 = 45

9531.064

616164mod145*45 11 rx

8906.064

575764mod61*45 22 rx

Tabla 2.5 Nmeros aleatorios generados a travs del algoritmo congruencial lineal

multiplicativo para el ejemplo 2.5

X0 145

a 45

m 64

i X(i+1) ri

1 61 0.9531

2 57 0.8906

3 5 0.0781

4 33 0.5156

5 13 0.2031

6 9 0.1406

7 21 0.3281

8 49 0.7656

9 29 0.4531

10 25 0.3906

11 37 0.5781

12 1 0.0156

13 45 0.7031

14 41 0.6406

15 53 0.8281

16 17 0.2656

17 61 0.9531 Alcanz mximo peridodo

CONGRUENCIAL LINEAL MULTIPLICATIVO

Observaciones


65


Algoritmo congruencial aditivo. A diferencia de los anteriores, el mtodo requiere

que se genere previamente una secuencia de nmeros enteros aleatorios nxxx 21,

que tienen el propsito de obtener una nueva secuencia de enteros 321 ,, nnn xxx ,

estos dos conjuntos se utilizan en la ecuacin recursiva 2.4 para obtener los nmeros

enteros aleatorios que servirn para obtener los nmeros aleatorios entre 0 y 1,

mediante la ecuacin 2.2.

Nnnimxxx niii ,2,1mod1 (2.4)

Ejemplo 2.6

Mediante el algoritmo congruencial lineal aditivo, genere 5 nmeros aleatorios entre 0

y 1, si tiene la siguiente secuencia de enteros aleatorios: 4, 51, 39, 93, 69. Utilice un

mdulo m = 32.

Solucin

Conservando el orden en que fueron generados se tiene:

69,93,39,51,24 54321 xxxxx

Aplicando la ecuacin recursiva 2.4, se obtienen los siguientes resultados:

78125.032/25,2532mod692032mod

62500.032/20,2032mod932332mod

71875.032/23,2332mod391632mod

50000.032/16,1632mod512932mod

90625.032/29,2932mod246932mod

15910

1489

3378

2267

1156

rxxx

rxxx

rxxx

rxxx

rxxx

2.3.3. Algoritmos congruenciales no lineales

En esta subseccin slo se ilustrar un ejemplo del algoritmo congruencial

cuadrtico. Este algoritmo es una forma de remover la estructura lineal de los

algoritmos vistos en la subseccin anterior y utiliza la siguiente ecuacin recursiva:

Nimcbxaxx iii ,,3,2,1,0mod21 (2.5)


66


LEcuyer (1998), menciona que si m es una potencia de 2, este tiene periodo

completo (P = m) si y slo si a es par, (b-a) mod 4 = 1 y c es impar.

Ejemplo 2.7

Genere 5 nmeros aleatorios utilizando el algoritmo congruencial cuadrtico si se

tienen los siguientes parmetros: a = 2, b = 19, c = 13 y m = 32.

Solucin

A continuacin se muestran los clculos de x1 y x2 y, en la tabla 2.6, los resultados

para los cinco nmeros generados por este algoritmo.

46875.032/15,1532mod13570180032mod1330*1930*2

9375.032/30,3032mod13955032mod135*195*2

2

2

2

1

2

1

rx

rx

Tabla 2.6 Cinco nmeros pseudoaleatorios generados mediante el algoritmo

congruencial cuadrtico para el ejemplo 2.7

Existe un gran desarrollo en el mbito de la generacin de nmeros

pseudoaleatorios, por ejemplo, Dutang y Wuertz (2009) hacen una revisin de los

distintos tipos de reas y las clasifican en: generadores congruenciales lineales,

generadores recursivos mltiples en los que destaca Knuth-TAOCP-2002, Mersenne-

Twister, generadores congruenciales bien equidistribuidos de largo periodo, SMID-

Oriented fast Mersenne-Twister Algorithms y la generacin de nmeros cuasi

x0 5

a 2

b 19

c 13

m 32

i x(i+1) ri

1 30 0.9375

2 15 0.46875

3 12 0.375

4 17 0.53125

5 18 0.5625

CONGRUENCIAL CUADRTICO


67


aleatorios. En la seccin 2.5 retomaremos el tema pero ahora con el enfoque de qu

generadores de nmeros pseudoaleatorios utiliza el software comercial.

2.4. Pruebas estadsticas de aleatoriedad

Banks, Carson II, Nelson y Nicol (2005) previenen sobre los problemas que se deben

evitar al momento de generar una secuencia de nmeros aleatorios:

Los nmeros generados pueden no estar distribuidos uniformemente.

Los nmeros generados pueden ser valores discretos en lugar de valores

continuos.

La media de los nmeros generados puede ser muy alta o muy baja.

La varianza de los nmeros generados puede ser muy alta o muy baja.

Puede haber variaciones cclicas. Por ejemplo:

o Auto correlacin entre los nmeros.

o Nmeros sucesivamente ms altos o ms bajos que los nmeros

adyacentes.

o Varios nmeros arriba de la media seguidos de varios nmeros debajo

de la media.

Estas son las razones principales que tienen que ver con las dos propiedades

estadsticas de inters que ya se han mencionado: la uniformidad y la independencia.

Al generar nmeros pseudoaleatorios es conveniente asegurarnos que los nmeros

tienen comportamiento aleatorio, para ello tomamos una muestra y con ella le

realizamos una serie de pruebas estadsticas generalmente usando algn paquete

estadstico. Sin embargo, en esta seccin revisaremos las pruebas sin el auxilio del

software para entender mejor qu hacen, cmo lo hacen y la manera de interpretar

sus resultados.

Las pruebas que se muestran son pruebas de hiptesis, por lo tanto, siguen un

procedimiento estndar como el que sugieren Walpole y Myers (1984) que se

describe a continuacin:

1. 00 : H


68


2. 0001 ,son asalternativ las : H

3. Escoja un nivel de significancia igual a .

4. Seleccione la estadstica de prueba apropiada y establezca una regin crtica

n.

5. Calcule el valor de la estadstica partiendo de una muestra aleatoria de

tamao n.

6. Conclusin: rechace H0 si la estadstica tiene un valor en la regin crtica; si no

es as, acepte H0.

Todas las pruebas que se consideran aqu se realizarn con la misma muestra de

nmeros pseudoaleatorios generados mediante un algoritmo congruencial lineal. Las

pruebas incluidas son las siguientes:

Pruebas para la uniformidad

o Prueba de promedios

o Prueba de varianza

o Prueba Chi-cuadrada de bondad de ajuste

o Prueba Kolgomorov-Smirnov

Pruebas de independencia

o Prueba de corridas ascendentes y descendentes

o Pruebas de corridas arriba y debajo de la media

o Prueba de series

2.4.1. Pruebas de uniformidad

2.4.1.1. Prueba de medias

En la seccin 2.2 se estableci que una de las propiedades de los nmeros

pseudoaleatorios uniformes es que para un conjunto ri el valor esperado (la media)

es 0.5. El ejemplo 2.8 muestra el procedimiento para realizar la prueba de medias.

Ejemplo 2.8

Los datos de la tabla 2.7 son una muestra de los primeros 36 nmeros aleatorios

obtenida a partir de un generador de nmeros aleatorios congruencial lineal mixto


69


que tiene como parmetros x0 = 27, a = 17, c = 43 y m = 64. Determine si el valor

esperado de la muestra es 0.5 para un nivel de significancia .05.0

Tabla 2.7. Muestra de nmeros pseudoaleatorios que se usa en las pruebas de

aleatoriedad.

Solucin

1. 5.0:0 irH

2. 5.0 :ir1H

3. Nivel de significancia 05.0

4. Para este caso, la regin crtica se establece a partir de los siguientes lmites

de aceptacin:

n

zLI

r122

1 2/ 2.6 (a)

n

zLS

r122

1 2/ 2.6 (b)

Los lmites de aceptacin indican que si la media de la muestra cae dentro de

ellos, entonces no se puede rechazar la hiptesis nula de que el valor esperado

del conjunto ri es , en caso contrario se rechaza la hiptesis nula.

Sustituyendo los valores en las ecuaciones 2.6 (a) y 2.6 (b), se obtienen los

lmites de aceptacin para un nivel de significancia de 0.05.

96.12/ z

0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203

0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984

0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766

0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547

0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328

0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109

TABLA CON MUESTRA DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS


70


406.036*12

96.15.0

122

1 2/ n

zLI

r

594.036*12

96.15.0

122

1 2/ n

zLI

r

5. Se calcula la media de la muestra de nmeros pseudoaleatorios de la tabla

2.7 mediante la ecuacin 2.7.

n

r

r

n

i 11 2.7

Sustituyendo los valores ri se tiene que

490.036

109.0938.0016.0844.011

n

r

r

n

i

6. Conclusin. No se puede rechazar que el valor esperado del conjunto de

nmeros ri sea 0.5 ya que la media de estos cae dentro de los lmites de

aceptacin, ,594.0406.0 r para un nivel de confianza de 0.95.

2.4.1.2. Prueba de la varianza

Ejemplo 2.9

Con los datos de la tabla 2.7 determine si el conjunto de nmeros ri tiene una

varianza de 1/12, para un nivel de confianza de 95%.

Solucin

1. 12/1: 20 irH

2. 12/1: 21 irH


4. Para este caso, la regin crtica se establece a partir de los siguientes lmites

de aceptacin:


71


112

2

1,2/12

nLI

n

r

2.8 (a)

112

2

1,2/2

nLS

n

r

2.8 (b)

Primero obtenemos los valores de la chi-cuadrada para un nivel de significancia

de 0.05 y (36-1) grados de libertad.

5694.202 1,2/1 n y 2033.532

1,2/ n

Sustituyendo los valores en las ecuaciones 2.8 (a) y 2.8 (b) se tiene

0490.0

)136(12

5694.20

112

2

1,2/12

nLI

n

r

1267.0

)136(12

2033.53

112

2

1,2/2

nLS

n

r

5. Para calcular el valor de la varianza de la muestra de los nmeros ri se utiliza

la ecuacin 2.9.

1

2 1

2

n

rr

ir

n

i

i

2.9

Sustituyendo los valores en la ecuacin 2.9 se obtiene el siguiente resultado

0916.0

136

490.02

35

1

2

i

ir

ir

Conclusin. Como el valor de la varianza es 0.0916 queda dentro de los lmites

inferior y superior, no se puede rechazar la hiptesis de que los nmeros tienen

una varianza de 1/12, para un nivel de confianza de 95%.


72


2.4.1.3. Prueba de Kolgomorov-Smirnov

Esta prueba se puede usar para determinar si un conjunto de nmeros

pseudoaleatorios ri se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1]. La prueba

compara la funcin de distribucin acumulada, F(x), de la distribucin uniforme, con

la funcin de distribucin acumulada emprica, Sn(x), de la muestra.

La prueba K-S est basada en la mayor desviacin absoluta entre F(x) y Sn(x) en el

intervalo de la variable aleatoria. El ejemplo 2.10 muestra el procedimiento para

realizar la prueba.

Ejemplo 2.10

Tome los 10 primeros nmeros pseudoaleatorios de la tabla 2.7 y realcese la prueba

de Kolgomorov-Smirnov para verificar si se distribuyen uniformemente en el intervalo

[0, 1], para un nivel de significancia de 0.10.

Los primeros diez nmeros de la tabla (tomndolos fila por fila de izquierda a

derecha) son los siguientes: 0.844, 0.016, 0.938, 0.609, 0.031, 0.203, 0.125, 0.797,

0.219, 0.391.

1. :0 irH se distribuyen uniformemente en [0, 1]

2. :1 irH no se distribuyen uniformemente en [0, 1]


4. Determinar el valor crtico, nD , de la tabla 2.x para el nivel de significancia

especificada y el tamao de muestra n. En este caso para 05.0 y n = 10,

410.010,05.0, DD n

5. Para realizar la prueba se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Ordenar los datos desde el menor hasta el mayor. Sea r(i) la isima

observacin menor, tal que

nrrrr 321

Ordenando los nmeros de menor a mayor se tiene el siguiente conjunto:


73


0.016, 0.031, 0.125, 0.203, 0.219, 0.391, 0.609, 0.797, 0.844, 0.938

Paso 2. Calcule

ini

rn

imxD1

2.10 (a)

n

irmxD i

ni

1

1

2.10 (b)

Paso 3. Calcule

DDmxD , 2.11

La tabla 2.8 muestra los pasos 1 a 3 del procedimiento, una vez obtenida el valor

de D, procedemos a su comparacin con el valor en tablas para definir si se

acepta o no la hiptesis de uniformidad.

Tabla 2.8 Clculo de los valores DyDD , para el ejemplo 2.10

6. Conclusin. Como el valor de 410.0281.0 10,5.0 DD no se puede rechazar

la hiptesis de uniformidad para la muestra de los 10 nmeros del ejemplo 2.

2.4.1.4. Prueba de la Chi-cuadrada de bondad de ajuste

Al igual que la prueba de Kolgomorov-Smirnov, la prueba de la chi-cuadrada tiene

como propsito comprobar la hiptesis de que no existe diferencia entre la

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

r (i) 0.016 0.031 0.125 0.203 0.219 0.391 0.609 0.797 0.844 0.938

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.084 0.169 0.175 0.197 0.281 0.209 0.091 0.003 0.056 0.063

0.016 -0.069 -0.075 -0.097 -0.181 -0.109 0.009 0.097 0.044 0.038

0.281 0.097 0.281

PRUEBA DE KOLGOMOROV-SMIRNOV

n

i

n

i 1

irn

i

n

ir i

1

DD DDmxD ,


74


distribucin de frecuencias de la muestra y la distribucin uniforme terica. El

ejemplo 2.11 ilustra el procedimiento para realizar la prueba.

Ejemplo 2.11

Utilice los datos de la tabla 2.7 para probar la uniformidad de los nmeros ri de la

muestra, mediante la prueba de la chi-cuadrada con un nivel de significancia de 0.05.

1. :0 irH se distribuyen uniformemente en [0, 1]

2. :1 irH no se distribuyen uniformemente en [0, 1]


4. La estadstica de prueba es la ecuacin 2.12. La prueba usa la distribucin

chi-cuadrada para probar la bondad de ajuste de la distribucin uniforme, en

este caso particular, al comparar el estadstico de prueba 20 el cual representa

una medida de la desviacin de las frecuencias observadas, Oi, con respecto

a las frecuencias esperadas por el modelo terico de la distribucin uniforme,

Ei, con el valor en tablas con m -1 grados de libertad y un nivel de significancia

.

m

i i

ii

E

OE

1

2

2

0 2.12

Donde:

Ei = frecuencia esperada en el subintervalo m

Oi = frecuencia observada en el subintervalo m

muestra la de tamao, nnm

5. El procedimiento de la prueba es el siguiente:

Generar la muestra, n, de nmeros pseudoaleatorios ri.

Recuerde que tabla 2.7 muestra los 36 nmeros que estn siendo sometidos a la

prueba.


75


Subdividir el intervalo [0, 1] en m subintervalos.

En el ejemplo n = 36 por lo tanto, ,636 m esto quiere decir que dividiremos el

intervalo [0, 1] en seis subintervalos, lo que equivale a 0.166.

Contar la frecuencia observada y calcular la frecuencia esperada para

cada subintervalo.

Calcular el estadstico de prueba.

La tabla 2.9 muestra el clculo del estadstico de prueba.

El valor crtico para la prueba se obtiene con

21, m

2.13

Sustituyendo los valores de libertad. de grados 5161y 05.0 m

070.1125,05.0

21,

m

Tabla 2.9 Clculos de la estadstica de prueba de la Chi-cuadrada para el ejemplo

2.11

PRUEBA CHI-CUADRADA DE BONDAD DE AJUSTE

Subintervalo Ei Oi

0 - 0.167 6 7 0.167

0.168 - 0.334 6 6 0.000

0.335 - 0.501 6 6 0.000

0.502 - 0.668 6 5 0.167

0.669 -0.885 6 7 0.167

0.886 - 1.000 6 5 0.167

36 36 0.667

11.070

i

ii

E

OE2

25,05.0


76


6. Conclusin. No se puede rechazar la hiptesis de uniformidad para el

conjunto de nmeros ri de la muestra ya que el valor de la estadstica de

prueba es menor al valor crtico de la prueba, es decir:

70.11667.0 2 5,05.0

1

2

2

0

m

i i

ii

E

OE

2.4.2. Pruebas de independencia

Las pruebas precedentes se usaron para comprobar la uniformidad, ahora se

discutirn algunas para probar la independencia de los nmeros. Antes es de utilidad

definir el concepto de corrida.

Corrida. Sea B una sucesin binaria compuesta por los bits 0 y 1. Una subsucesin

de nj unos, enmarcada por unos en cada extremo, recibe el nombre de unos de

longitud nj; de manera anloga se definen las corridas de ceros. (Garca, Sierra y

Guzmn, 2005).

La tabla 2.10 muestra un conjunto binario, compuesto por unos y ceros. Si se leen

los nmeros por filas, empezando por la posicin (1,1) se encuentra un uno seguido

de un cero, por lo que se dice que esta es una corrida de unos de longitud 1. Si

vemos la posicin (2,3) vemos una corrida de 6 ceros, que van desde (2,3) hasta

(3,2) ya que a su derecha se encuentra un uno. En la posicin (5,5) inicia una corrida

de dos unos que termina en (5,6).

Este concepto de corrida es muy importante en algunas de las pruebas que se van a

presentar para comprobar la independencia de los nmeros pseudoaleatorios

generados por algn algoritmo.

Ejemplo 2.12

Una vez ms tome los datos de la tabla 2.7 para comprobar la independencia de los

nmeros mediante la prueba de corridas ascendentes y descendentes. Considere un

nivel de confianza del 95%.


77


Tabla 2.10 Sucesin binaria compuesta por ceros y unos

2.4.2.1. Corridas ascendentes y descendentes

1. ntesindependieson conjunto del nmeros los :0 irH

2. ntesindependieson no conjunto del nmeros los :0 irH


4. Para esta prueba se tiene que construir una secuencia de nmeros, S, que

slo contenga unos y ceros de acuerdo al siguiente criterio:

a. , Si 1 ii rr entonces asignar a ir el smbolo 0.

b. , Si 1 ii rr entonces asignar a ir el smbolo 1.

Para realizar la prueba se requiere calcular los valores del nmero de corridas, el

valor esperado de las corridas y la varianza del nmero de corridas usando las

ecuaciones 2.14 y 2.15, respectivamente, despus se calcula la estadstica de

prueba mediante la ecuacin 2.16. El valor de la estadstica de prueba se

contrasta con el valor crtico de la prueba 2/z para un determinado nivel de

significancia.

Sea c el nmero de corridas y n el tamao de la muestra, entonces la media y la

varianza de las corridas estn dadas por:

3

12

nc 2.14

90

29162 n

c 2.15

1 2 3 4 5 6

1 1 0 1 1 1 0

2 0 1 0 0 0 0

3 0 0 1 0 1 1

4 0 0 0 1 0 0

5 0 1 1 0 1 1


78


La estadstica de prueba es

c

ccz

0 2.16

5. Clculo de la estadstica de prueba.

Se presenta nuevamente la tabla 2.7 para facilitar la lectura del tema. Primero se

convierten los nmeros pseudoaleatorios en ceros y unos segn el criterio

expuesto. La tabla 2.11 muestra dicha conversin.

Tabla 2.11 Prueba de corridas ascendentes y descendentes para el ejemplo 2.12

0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203

0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984

0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766

0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547

0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328

0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109


ri 0 1 Corridas c Comentarios

0.844 No tiene precedente, no se indica 0 1

0.016 0 1 Esta es una corrida de un cero

0.938 1 1 Como es menor a su precedente se anota 0

0.609 0 1

0.031 0

0.203 1 1

0.125 0 1

0.797 1 1

0.219 0 1

0.391 1 1

0.313 0 1

0.984 1 1

0.406 0 1

0.578 1 1

0.500 0 1

0.172 0

0.594 1 1

0.766 1

0.688 0 1

0.359 0

0.781 1 1

0.953 1

0.875 0 1

0.547 0

0.969 1 1

0.141 0 1

0.063 0

0.734 1 1

0.156 0 1

0.328 1 1

0.250 0 1

0.922 1 1

0.344 0 1

0.516 1 1

0.438 0 1

0.109 0

c = 27 Nmero total de corridas

Aqu se tiene una corrida de dos ceros

Corridas ascendentes y descendentes


79


En este ejemplo, el nmero esperado de corridas es

667.243

136*2

3

12

nc

Y la varianza de las corridas

077.690

2936*16

90

29162

n

c

Como ya se conoce el nmero de corridas, c = 27, ahora se puede calcular el

estadstico de prueba, z0.

946.0077.6

667.24270

c

ccz

El valor crtico de la prueba se determina mediante .96.1025.02/ zz (En la tabla

de distribucin normal estndar).

6. Conclusin. Como 96.1946.0 025.00 zz no se rechaza la hiptesis de que

los nmeros ri son independientes.

2.4.2.2. Corridas arriba y por abajo de la media

Esta prueba es similar a la anterior, slo que ahora se formarn las corridas

atendiendo si los nmeros pseudoleatorios estn por arriba o por debajo de la media

de la distribucin uniforme (0.5).

Ejemplo 2.13

Nuevamente se hace referencia a los datos de la tabla 2.7 para comprobar la

independencia de los nmeros mediante la prueba de corridas arriba y por debajo de

la media. Considere un nivel de confianza del 95%.



80




4. Para esta prueba se tiene que construir una secuencia de nmeros, S, que

slo contenga unos y ceros de acuerdo al siguiente criterio:

a. Si ri 0.5 asignar un smbolo 0.

b. Si ri > 0.5 asignar un smbolo 1.

Una vez que se determina el conjunto S formado por ceros y unos, se determina el

nmero de ceros, n0, y el nmero de unos, n1, de forma que n = n0 + n1 y se

identifican las corridas y su nmero, c. Despus se calcula el valor esperado de las

corridas, la varianza del nmero de corridas y la estadstica de prueba z0.

Valor esperado del nmero de corridas:

2

12 10 n

nnc 2.17

Varianza del nmero de corridas

122

2

10102

nn

nnnnnc 2.18

Estadstica de prueba

20

c

ccz

2.19

5. Clculo de la estadstica de prueba. Se presenta nuevamente la tabla 2.7 para

facilitar la lectura del tema. Primero se convierten los nmeros

pseudoaleatorios en ceros y unos segn el criterio expuesto. La tabla 2.12

muestra dicha conversin.

0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203

0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984

0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766

0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547

0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328

0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109



81


Tabla 2.12 Corridas arriba y debajo de la media para el ejemplo 2.13

Ahora ya se pueden calcular los valores necesarios para la estadstica de prueba. De

la tabla 2.13 se tiene que n0 = 19 y n1 = 17, de forma que su suma es n = 36. El

nmero de corridas, c = 20. La tabla 2.13 muestra un resumen de los resultados de

esta prueba.

Valor esperado del nmero de corridas:

444.185.036

17*19*2

2

12 10 n

nnc

Varianza del nmero de corridas

ri 0 1 Corridas c Comentarios

0.844 1 1

0.016 0 1

0.938 1 1

0.609 1

0.031 0 1

0.203 0

0.125 0

0.797 1 1

0.219 0 1

0.391 0

0.313 0

0.984 1 1

0.406 0 1

0.578 1 1

0.500 0 1

0.172 0

0.594 1 1

0.766 1

0.688 1

0.359 0 1

0.781 1 1

0.953 1

0.875 1

0.547 1

0.969 1

0.141 0 1

0.063 0

0.734 1 1

0.156 0 1

0.328 0

0.250 0

0.922 1 1

0.344 0 1

0.516 1 1

0.438 0 1

0.109 0

c = 20 Nmero total de corridas

Esta es una corrida de tres ceros

Esta es una corrida de dos unos

Corridas arriba y debajo de la media


82


6874.8)136(36

)3617*19*2)(17*19*2(

1

2222

10102

nn

nnnnnc

Estadstica de prueba

5278.06874.8

444.18*2020

c

ccz

Tabla 2.13 Resultados de la prueba de corridas arriba y debajo de la media para el

ejemplo 2.13

6. Conclusin: No se puede rechazar la hiptesis de independencia de los

nmeros ya que 96.15278.0 025.00 zz

2.4.2.3. Prueba de series

Esta prueba se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entre nmeros

sucesivos. (Coss, 1986). Se trata de formar parejas de nmeros que sern

consideradas como coordenadas en un cuadrado unitario dividido en n2 celdas.

Ejemplo 2.14

Utilizamos una vez ms la muestra de 36 nmeros pseudoaleatorios de la tabla 2.7

para probar la independencia de stos, con un nivel de significancia de 0.05,

mediante la prueba de series.




4. El procedimiento para desarrollar la prueba consiste en generar n nmeros

pseudoaleatorios con los que se forman parejas aleatorias entre 1y ii rr , de

n0 19

n1 17

n 36

c 20 18.444 8.6874 0.5278

Valor crtico 1.96 CONCLUSIN Aceptar

2

12 10 n

nnc

122

2

10102

nn

nnnnnc

20

c

ccz


83


forma que .,,,,,, 121111 nnii rrrrrr Con estas duplas se crea una grfica de

dispersin dividida en m casillas, siendo m el valor ms cercano n .

Posteriormente se realiza la prueba de la chi-cuadrada considerando que la

frecuencia observada, Oi, es el nmero de puntos que se observ en cada

casilla. La frecuencia esperada, Ei, se determina con ,/1 mn donde 1n es el

nmero total de los puntos de la grfica de dispersin.

Despus se calcula el estadstico de la prueba con

m

i i

ii

E

OE

1

2

2

0

Y se establece el valor de 2 1, m , para compararse con la estadstica de

prueba.

5. La tabla 2.14 muestra los pares de puntos ordenados segn el criterio

expuesto en el punto 4. De acuerdo a esto se formaron los pares de puntos

ordenados (0.844,0.016), (0.016,0.938), (0.938,0.609)...(0.516,0.438),

(0.516,0.109).

La figura 2.2 muestra la grfica de dispersin para estos pares ordenados de

nmeros aleatorios. Se dividi en m = 9 casillas en las que se contabiliz el

nmero de puntos que cayeron dentro de cada una de ellas. Esto nos da el

valor de la frecuencia observada, Oi, en este caso, O1 = 3, O2 = 5, O3 = 7, O4 =

2, O5 = 5, O6 = 6, O7 = 1, O8 = 3 y O1 = 3.

La tabla 2.14 muestra la prueba chi-cuadrada. Observe que el valor de la

frecuencia esperada es Ei = 35/9 = 3.9. El valor crtico se determin con el

valor en tablas para 507.152 8,05.0 el cual servir para comparar con el del

estadstico de prueba que es 943.720 .


84


Tabla 2.14. Pares de puntos para el ejemplo 2.14

0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203

0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984

0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766

0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547

0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328

0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109


ri

1 0.844 0.844 0.016

2 0.016 0.016 0.938

3 0.938 0.938 0.609

4 0.609 0.609 0.031

5 0.031 0.031 0.203

6 0.203 0.203 0.125

7 0.125 0.125 0.797

8 0.797 0.797 0.219

9 0.219 0.219 0.391

10 0.391 0.391 0.313

11 0.313 0.313 0.984

12 0.984 0.984 0.406

13 0.406 0.406 0.578

14 0.578 0.578 0.500

15 0.500 0.500 0.172

16 0.172 0.172 0.594

17 0.594 0.594 0.766

18 0.766 0.766 0.688

19 0.688 0.688 0.359

20 0.359 0.359 0.781

21 0.781 0.781 0.953

22 0.953 0.953 0.875

23 0.875 0.875 0.547

24 0.547 0.547 0.969

25 0.969 0.969 0.141

26 0.141 0.141 0.063

27 0.063 0.063 0.734

28 0.734 0.734 0.156

29 0.156 0.156 0.328

30 0.328 0.328 0.250

31 0.250 0.250 0.922

32 0.922 0.922 0.344

33 0.344 0.344 0.516

34 0.516 0.516 0.438

35 0.438 0.438 0.109

Formacin de las coordenadas

ir 1ir


85


Figura 2.2 Grfica de dispersin

Tabla 2.15 Prueba chi-cuadrada para el ejemplo 2.14

6. Conclusin. Como el valor del estadstico de prueba es menor al valor crtico

de la prueba, no se puede rechazar la hiptesis de independencia de los

nmeros de la tabla 2.7.

2.5. Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes

computacionales

Despus de la lectura de la seccin precedente debi haberle quedado claro que

existen muchos algoritmos para generar nmeros aleatorios y la importancia que las

Intervalo Ei Oi

1 3.9 3 0.203

2 3.9 5 0.317

3 3.9 7 2.489

4 3.9 2 0.917

5 3.9 5 0.317

6 3.9 6 1.146

7 3.9 1 2.146

8 3.9 3 0.203

9 3.9 3 0.203

7.943

15.507

i

ii

E

OE2

20

2 8,05.0


86


secuencias generadas pasen las pruebas estadsticas de uniformidad e

independencia. LEcuyer (1997, 2001) advierte sobre el cuidado que debe tenerse al

utilizar un generador de nmeros pseudoaleatorios. Dice Cuando aplicamos

conjuntos de pruebas a los generadores de nmeros aleatorios que actualmente se

encuentran en el software comercial (software estadstico y simulacin, hojas de

clculo, etc.), nos encontramos con que muchos de ellos fallan las pruebas

espectacularmente. Algunos de los que se tiene que desconfiar son los que a

continuacin se listan, Ros, David; Ros, Sixto; Martn y Jacinto, (2009)

La biblioteca de Unix utiliza el generador congruencial

4848

1 2,2mod1172521490391 nnnn

xuxx

Java utiliza el mismo generador pero usa

53211222227 2/2/12/2 nnn xxu

En el caso de Visual Basic se emplea el generador congruencial siguiente

24

24

1

2

,2mod128201631140671485

nn

nn

xu

xx

Excel 2003 y 2007 emplean el generador de Wichman y Hill

1mod30323/30307/30269/30323mod170

30307mod172

30269mod171

1

1

1

nnn

nn

nn

nn

zyxu

xz

yy

xx

LEcuyer tiene razn al afirmar que actualmente existen varios generadores que son

rpidos, porttiles y pasan el conjunto de pruebas estadsticas exitosamente, por lo

que se puede confiar en ellos.

Ros, et al, (2009), hacen una revisin del software comercial en el que destacan lo

siguiente:


87


Los principales generadores utilizan los lineales congruenciales mixtos y

multiplicativos, as como sus combinaciones.

Los de mayor calidad son MT19937 y MRG32k3a.

IMSL implementa generadores multiplicativos de mdulo m = 231 1 y

multiplicadores a = 16807, 397204094, 950706376. SIMSCRIPT II.5 lo usa

pero con un multiplicador a = 630360016.

El entorno estadstico S-PLUS implementa el algoritmo Super-Druper de

Marsaglia, basado en un generador multiplicativo y un generador de

Taustworth.

Los principales lenguajes de simulacin incluyen generadores que son estado

del arte.

Arena, Automod y Witness utilizan el algoritmo MRG32k3a.

En el caso de ProModel, usa un generador congruencial lineal multiplicativo con

mdulo primo (PMMLCG, por sus siglas en ingls) con a = 630,360,016, c = 0 y

m=231-1. El cual ha sido probado profusamente y se le reconoce como un generador

de nmeros aleatorios confiable para la simulacin, Harrell et al, (2003). El generador

es el siguiente:

12mod016,360,630 311 ii zz

Al obtener una secuencia de nmeros pseudoaleatorios que no sea del todo

confiable habr que hacer un conjunto de prueba, como las vistas en el apartado

anterior antes de usarla.

En los ejercicios de final de captulo se le pedir que realice un conjunto de pruebas

a nmeros pseudoaleatorios obtenidos a partir de diferentes paquetes

computacionales y usted juzgar cules son confiables y cules no.

2.6. Mtodo Montecarlo

En la primera unidad se discuti acerca de los tipos de simulacin y se estableci

que se puede clasificar como esttica o dinmica, estocstica o determinstica y de

eventos discretos o continua. En esta seccin se abordar la simulacin Monte Carlo


88


que es una simulacin estocstica esttica, es decir, que no est basada en el

tiempo y basada en sucesos aleatorios.

El origen de la simulacin proviene de esta tcnica que fue utilizada por J. von

Neumann y otros investigadores a mediados de la dcada de 1940. Es un proceso

que utiliza en forma aleatoria para elegir valores de la muestra a partir de una

distribucin probabilstica, luego estos valores muestrales se utilizan como entradas

para el modelo de simulacin. Por esta razn la simulacin no es estrictamente una

simulacin sino un procedimiento o mtodo que se utiliza con modelos probabilsticos

de simulacin. (Davis y McKeown, 1986).

La tcnica puede emplearse en dos tipos generales de problemas:

Procesos estocsticos. Como los tiempos de trabajo variables, la demanda

desconocida, las fallas de equipo, la prioridad en la produccin, la inversin

total necesaria para la expansin de plantas industriales en condiciones de

incertidumbre, etc.

Problemas matemticos determinsticos. Son para problemas que no son

fciles de resolver, si es que tienen solucin, mediante mtodos

determinsticos, tal como la evaluacin de ciertas integrales.

El procedimiento del mtodo Monte Carlo es el siguiente:

1. Identificacin del sistema o rea problemtica.

2. Establecer una distribucin de probabilidad para las variables aleatorias

importantes.

3. Construir una distribucin acumulada de probabilidad para cada variable

aleatoria.

4. Establecer un intervalo de nmeros aleatorios para cada variable. Esto se

hace mediante la construccin de una tabla de transformacin inversa de la

funcin acumulada de probabilidad. Ya que la funcin acumulada est definida

en el intervalo [0, 1], se puede generar un nmero pseudoaleatorio uniforme

en el intervalo [0, 1] y determinar el valor de la variable aleatoria para la cual

su distribucin acumulada es igual al valor del nmero aleatorio ri.


89


5. Generar suficientes nmeros aleatorios.

6. Simular una serie de ensayos.

Ejemplo 2.15

La compaa Tran, S. A., est desarrollando planes para la introduccin de un nuevo

producto. Esto generar nuevas necesidades de manejo de materiales y de espacio

de almacn. La demanda de ese producto es incierta, sin embargo, se estima que

tendr un comportamiento similar a otro producto que ya est en el mercado. Se

tom la decisin de utilizar los datos histricos del producto existente para realizar el

estudio. Se ha juzgado conveniente utilizar el mtodo Monte Carlo para determinar

sobre qu nivel de demanda realizar los planes.

La tabla 2.16 muestra la demanda histrica del producto existente, la cual abarca un

periodo de 180 das.

a. Cul es la demanda promedio en la que se basarn los planes?

b. Utilizando un mtodo analtico y no de simulacin Monte Carlo Cul es la

demanda esperada para el nuevo producto? Cmo se compara con la

respuesta en (a)?

Demanda (x)

(Toneladas/da)

Frecuencia

(nmero de das)

4 10

5 35

6 40

7 25

8 30

9 25

10 15

Tabla 2.16 Demanda histrica de un producto existente para el ejemplo 2.15.


90


Solucin

a. Mtodo Montecarlo

Identificacin de la variable aleatoria. La variable aleatoria es la demanda, X = 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10.

Construccin de la distribucin acumulativa de probabilidad para la variable aleatoria.

La tabla 2.17 muestra la demanda, la frecuencia, la probabilidad de la demanda p(X)

y la probabilidad acumulativa, P(X).

Demanda (x)

(Toneladas/da)

Frecuencia

(nmero de das)

Probabilidad

p(X)*

Probabilidad

acumulativa

P(X)

4 10 0.06 0.06

5 35 0.19 0.25

6 40 0.22 0.47

7 25 0.14 0.61

8 30 0.17 0.78

9 25 0.14 0.92

10 15 0.08 1.00

Tabla 2.17. Probabilidades p(X) y P(X) para la demanda del ejemplo 2.15. *Valores

redondeados a centsimos.

Dado que para cualquier distribucin de probabilidad acumulada las probabilidades

caen en el intervalos [0, 1], es posible generar una ocurrencia aleatoria

correspondiente a una distribucin probabilstica especfica, seleccionando un

nmero aleatorio en el intervalo [0, 1], encontrando el intervalo de la distribucin

acumulativa dentro del cual cae el nmero aleatorio e identificando el valor asociado

de la demanda. La tabla 2.18 muestra los intervalos en los que puede caer el nmero

aleatorio y su demanda asociada.


91


Intervalo Demanda (X)

Ton/da

0 ri 0.06 4

0.06 < ri 0.25 5

0.25 < ri 0.47 6

0.47 < ri 0.61 7

0.61 < ri 0.78 8

0.78 < ri 0.92 9

92 < ri 1.00 10

Tabla 2.18. Definicin de los intervalos asociados a la demanda diaria.

Generacin de los nmeros aleatorios. Los nmeros aleatorios se pueden obtener a

partir de una tabla de nmeros aleatorios o por medio de una calculadora. Estos

nmeros sirven para determinar la demanda simulada. En este ejemplo, utilizaremos

slo 20 nmeros, aunque no quizs no sean suficientes para ser una muestra

representativa, si servirn para ilustrar el procedimiento de la simulacin. La tabla

2.19 muestra los resultados de la ocurrencia de los nmeros aleatorios y su

correspondiente demanda. Por ejemplo, el primer nmero aleatorios es 0.45,

entonces buscamos en la tabla 2.18 en que intervalo cae. En este caso cae en el

intervalo 0.25 0.25 < ri 0.47 y la demanda asociada a ste es 6 toneladas/da. El

segundo nmero es 0.79 que cae en el intervalo 0.78 < ri 0.92 y as sucesivamente.

ri Xi ri Xi ri Xi ri Xi

0.45 6 0.82 9 0.91 9 0.26 6

0.79 9 0.22 5 0.17 5 0.03 4

0.59 7 0.40 6 0.77 8 0.52 7

0.53 7 0.27 6 0.84 9 0.19 5

0.72 8 0.55 7 0.31 6 0.44 6

Tabla 2.18. Simulacin Monte Carlo para el ejemplo 2.15


92


La figura 2.3 muestra estos dos valores en la grfica de distribucin acumulativa. Se

observa que, proyectando el valor de r1 = 0.45 intersecta con el valor de 6 toneladas

y para r2 = 0.79 se intersecta con 9 toneladas.

Figura 2.3. Muestreo Monte Carlo para los dos primeros nmeros aleatorios del

ejemplo 2.15.

De acuerdo con los resultados del muestreo Monte Carlo, la demanda promedio es la

siguiente:

Ton/da 75.620

135

20

20

1 i

iX

X

Y la desviacin estndar es

Ton/da 517.1X

b. Mtodo analtico

En realidad la solucin de este problema es mucho ms sencilla que mediante la

simulacin Monte Carlo. Esto se puede determinar a travs del concepto de valor

esperado de la variable aleatoria, como sigue:

r2 =0.79

r1 =0.45

Demanda, X


93


Ton/da 91.6)10)(08.0()9)(14.0()8)(14.0(

)8)(17.0()7)(14.0()6)(22.0()5)(19.0()4)(06.0()(20

1

i

ii XXPXE

c. Conclusin. El mtodo Monte Carlo dio una buena aproximacin de la

demanda esperada calculada mediante el mtodo analtico. Entre mayor sea

el tamao de la muestra para el mtodo Monte Carlo ms nos aproximaremos

al resultado del mtodo analtico.

Ejemplo 2.16

Utilice los datos del ejemplo 2.15 para aplicar el mtodo Monte Carlo mediante una

hoja de clculo (Excel), pero ahora con un tamao de muestra de 50 das.

Solucin

En la hoja de clculo defina los intervalos inferior y superior y ascielos con sus

respectivas demandas como se muestra en la tabla de la figura 2.4.

Figura 2.4 Intervalos superior e inferior asociados a sus respectivas demandas.

La tabla de la figura 2.4 servir para realizar la simulacin Monte Carlo junto con la

funcin =BUSCARV(ALEATORIO(),$B$4:$D$10,3), en la que estamos generando un


94


nmero aleatorio que comparamos con los intervalos inferior y superior de la tabla de

la figura 2.4 y nos devuelve el valor de la demanda.

Figura 2.5. Tabla donde se muestran los resultados de la simulacin Monte Carlo

para el ejemplo 2.16

Los resultados presentados en la figura 2.5 muestran que ahora el promedio es 6.94

Ton/da que se aproxima ms al valor esperado calculado mediante el mtodo

analtico, sin embargo, este resultado fue producto del azar ya que cada vez que

efectuamos alguna otra operacin el resultado cambiar. Esto tambin sera posible

hacerlo una secuencia fija de nmeros aleatorios como lo hicimos en el ejemplo 2.15

2.7. Proyecto Final. Segundo avance

Obtencin de datos. Este segundo avance estar enfocado a la obtencin de datos.

Para ello se tienen que considerar los siguientes aspectos:

a. Elegir un procedimiento para la obtencin de datos.

b. Los tipos de datos que deben obtenerse.

c. Fuentes que deben usarse cuando se obtienen los datos.

d. Tipo de anlisis que deben realizarse a los datos.


95


e. Seleccin de la distribucin de probabilidad correcta que represente

a los datos.

Los aspectos anteriores debern ser los adecuados para el modelo que est bajo

estudio, sin embargo, para este segundo avance slo se considerarn los primeros

tres incisos, dejando los otros dos para el tercer avance. Esta gua est basada en lo

que recomiendan Harrell et al (2003).

1. Gua para la obtencin de los datos

a. Identificar los eventos desencadenantes. Es importante identificar las

causas o condiciones que desencadenan las actividades. Para validar un

modelo se necesita capturar los eventos desencadenantes correctos que

inician las actividades dentro del sistema.

b. Enfocarse solamente en los factores clave de impacto. Debe usarse la

discriminacin cuando se obtienen datos para prevenir el desperdicio de

tiempo buscando informacin poco importante.

c. Aislar los tiempos de actividad reales. Al determinar los tiempos de

actividad, es importante aislar solamente el tiempo que toma hacer la

actividad misma, excluyendo cualquier tiempo extrao por espera de

material y recursos de forma que la actividad pueda ejecutarse. Los tiempos

de espera no deben incluirse, esto lo arrojar la simulacin una vez que sea

corrida.

d. Buscar agrupamientos comunes. Cuando existe gran cantidad de tipos de

partes o perfiles de clientes es mejor reducir los datos a comportamientos y

patrones comunes. Una manera de agrupar datos comunes es primero

identificar las categoras principales en las cuales todos los datos pueden

ser asignados. Luego se calcula el porcentaje de casos que caen dentro de

cada categora.

e. Enfocarse en la esencia ms que en la sustancia. Un sistema debe ser

abstrado al ms alto nivel posible mientras se preserve la esencia de la

operacin del sistema.


96


f. Separar las variables de entrada de las variables de respuesta. Las

variables de entrada definen cmo funciona el sistema (tales como los

tiempos de actividad, secuencia de rutas, etc.) y deben enfocar la obtencin

de datos. En cambio, las variables de respuesta describen cmo responde

el sistema a un conjunto dado de variables de entrada (por ejemplo, la

cantidad de trabajo en proceso, la utilizacin de los recursos, etc.)

2. Determinar las necesidades de datos. Se debe determinar qu datos son

necesarios para construir el modelo. Para esto se debe tomar en consideracin el

alcance del modelo y el nivel de detalle requerido para lograr los objetivos del

estudio. Incluye:

a. Datos estructurales. Incluyen todos los objetos en el sistema que se est

modelando. Incluye las entidades (productos, clientes, etc.), recursos

(operadores, mquinas) y localizaciones (reas de espera, estaciones de

trabajo). Describe el layout o configuracin del sistema.

b. Datos operacionales. Explican cmo funciona el sistema. Incluyen toda la

informacin de comportamiento o lgica, como las rutas, programas,

comportamiento de paros y asignacin de recursos.

c. Datos numricos. Proporcionan informacin cuantitativa acerca del sistema.

Incluye: capacidades, tasas de llegadas, tiempos de actividad y tiempos

entre fallas.

d. Uso de un cuestionario. Es til usar un cuestionario como el siguiente:

i. Qu tipo de entidades se procesan en el sistema?

ii. Cul es la secuencia de ruta para cada tipo de entidad?

iii. Dnde, cundo y en qu cantidades entran las entidades al

sistema?

iv. Cules son los requerimientos de tiempo y recursos para cada

operacin y movimiento?

v. En qu cantidades las entidades son procesadas y movidas? (Para

cada localizacin).


97


vi. Qu dispara el movimiento de la entidad de localizacin a

localizacin (terminacin de la operacin, acumulacin de un lote,

etc.)?

vii. Cmo las localizaciones y los recursos determinan cul trabajo

sigue (el ms antiguo esperando, la ms alta prioridad, etc.)?

viii. Cmo se toman las decisiones de rutas y operaciones alternativas

(porcentaje, condicin, etc.)?

ix. Qu tan a menudo ocurren las interrupciones (preparaciones,

paros, etc.) y qu recursos y tiempos son necesarios cuando

suceden?

x. Cul es el programa de disponibilidad para las localizaciones y

recursos (turnos, tiempos de paro, intervalos de mantenimiento

programado, etc.)?

3. Identificar las fuentes de datos. Los datos se pueden obtener de las siguientes

fuentes:

a. Registros histricos

b. Documentacin del sistema

c. Observacin personal

d. Entrevistas personales

e. Comparacin con sistemas similares

f. Demandas del cliente

g. Estimaciones de diseo

h. Literatura de investigacin

4. Recolectar los datos. Se aconseja ir de lo general a lo especfico siguiendo la

siguiente secuencia:

a. Definir el flujo general de la entidad. El flujo de la entidad se define

siguiendo el movimiento de la entidad a travs del sistema. Use un

diagrama de flujo o sobreponiendo el flujo de la entidad en el layout del

sistema.


98


b. Desarrollar una descripcin de la operacin. La descripcin de la operacin

puede hacerse paso a paso, en forma de una breve narracin o

representarse en forma tabular.

i. Los requerimientos de tiempo y recursos de la actividad u operacin

ii. Dnde, cundo y en qu cantidades las entidades toman la siguiente

ruta.

iii. Los requerimientos de tiempo y recursos para mover la entidad a la

siguiente localizacin.

c. Definir detalles incidentales y refinar los valores de los datos. Una vez que

el modelo bsico se ha construido y probado, pueden aadirse algunos

detalles adicionales como paros, preparaciones y prioridades del trabajo.

Esta informacin no es esencial para obtener un modelo que corra, pero es

necesario para un modelo completo y exacto. Tambin es necesario

considerar el tamao de la muestra, que sea lo suficientemente grande para

proporcionar una imagen exacta y no tan grande que la haga costosa sin

aadir informacin adicional.

Como qued asentado arriba, el tipo de anlisis que deben realizarse a los datos

y la seleccin de la distribucin de probabilidad correcta que represente a los

datos, se deja para el tercer avance, una vez que se revise el aspecto de la

generacin de variables aleatorias y sus pruebas estadsticas.

2.8. Cuestionario de revisin

1. Explique la diferencia entre un nmero aleatorio y un nmero

pseudoaleatorio.

2. Qu dispositivos se pueden utilizar para generar nmeros aleatorios?

3. Cules son las caractersticas estadsticas de los nmeros

pseudoaleatorios?

4. Cul es el valor esperado de los nmeros aleatorios uniformes? Su

varianza?

5. Qu aspectos importantes se deben considerar al momento de elegir un

generador de nmeros pseudoaleatorios?


99


2.9. Problemas

1. Genere cinco nmeros pseudoaleatorios mediante el mtodo de cuadrados

medios si el valor de la semilla es .42330 X

2. Si se generan cinco nmeros pseudoaletorios mediante el mtodo de

productos medios, con semillas 2707y 4233 10 XX Cul es el valor de

Y3? Cul es el valor de X4? Cul es el valor de r5?

3. Genere cinco nmeros pseudoaleatorios mediante el mtodo del

multiplicador constante si 2707y 42330 aX

4. Genere los nmeros pseudoaleatorios utilizando el algoritmo congruencial

lineal mixto hasta alcanzar el periodo completo si se tienen los siguientes

parmetros:

Generador a c X0 m

a. 5 7 16 8

b. 41 31 75 16

c. 41 7 145 32


lineal multiplicativo hasta alcanzar el periodo mximo si se tienen los

siguientes parmetros:

Generador a c X0 m

a. 5 0 16 8

b. 43 0 75 16

c. 43 0 145 32

6. Genere 8 nmeros pseudoaleatorios mediante el algoritmo congruencial

lineal aditivo si se tienen los siguientes nmeros aleatorios enteros

54,93,25,14,96 54321 xxxxx


100



cuadrtico hasta alcanzar el periodo completo si se tienen los siguientes

parmetros:

Generador a b c X0 m

a. 6 15 13 195 32

b. 16 33 23 1233 16

c. 6 15 9 87 8

8. Prepare una hoja de clculo en Excel para generar nmeros

pseudoaleatorios usando el algoritmo congruencial lineal mixto en el que

se obtenga un ciclo completo P = m = 128 con los siguientes parmetros:

.12817,65,3760 mycaX

9. Prepare una hoja de clculo en Excel para generar nmeros

pseudoaleatorios usando el algoritmo congruencial lineal multiplicativo en

el que se obtenga un ciclo mximo P = m/4 = 32 con los siguientes

parmetros: .128,19,1450 myaX

10. Tome los primeros 36 nmeros generados en la hoja de clculo del

ejercicio 8 y realice las siguientes pruebas (todas para un nivel de

confianza del 95%)

a. Prueba de la media

b. Prueba de la varianza

c. Prueba de bondad de ajuste para la distribucin uniforme mediante

la chi-cuadrada.

d. Prueba de corridas ascendentes y descendentes.

e. Despus de realizadas las cuatro pruebas, se puede afirmar que

estos nmeros son confiables para usarse en una simulacin?

11. Tome 10 nmeros (del 40 al 49) del ejercicio 8 y realice la prueba de

Kolgomorov-Smirnov para un nivel de confianza del 90%. Se puede

rechazar la hiptesis de uniformidad? Explique.


101


12. Tome los 32 nmeros generados en el ejercicio 9 y realice las siguientes

pruebas para un nivel de confianza de 95%.

a. Prueba de la media

b. Prueba de la varianza

c. Prueba de bondad de ajuste para la distribucin uniforme mediante

la chi-cuadrada.

d. Prueba de corridas por arriba y por debajo de la media.

e. La prueba de series.

f. Despus de realizadas las cinco pruebas, se puede afirmar que

estos nmeros son confiables para usarse en una simulacin?

13. El taller de mantenimiento de la compaa Tran, S. A., recopil los

siguientes datos acerca del nmero de solicitudes de servicios de

mantenimiento, por da de trabajo, durante un periodo de 60 das.

Nmero de solicitudes Frecuencia

0 3

1 4

2 7

3 11

4 12

5 10

6 5

7 5

8 3

Utilice el mtodo Monte Carlo para simular 20 das de trabajo de ese taller.

Para la simulacin use los primeros 20 nmeros pseudoaleatorios que gener

en el ejercicio 9.

a. En promedio, cuntas solicitudes de servicio se recibirn en un da

dado?


102


b. Cul es el valor esperado de solicitudes en un determinado da si

se usa el mtodo analtico?

14. El jefe de mantenimiento del taller de Tran, S. A., recolect datos sobre los

tiempos de servicio que se llevan las reparaciones de las mquinas. Desea

hacer una simulacin para saber el tiempo promedio que lleva la

reparacin de las mquinas.

Tiempo de servicio

(min) Frecuencia

30 18

40 16

50 15

60 13

70 11

80 10

90 10

100 9

110 6

120 3

a. Utilice el mtodo Monte Carlo para determinar el tiempo promedio

de las reparaciones. Use los ltimos 30 nmeros del ejercicio 8.

b. Cul es el valor esperado de los tiempos de servicio si se usa el

mtodo analtico?

15. Prepare una hoja de clculo para simular el lanzamiento de un dado legal,

mediante el mtodo Monte Carlo, utilice todos los nmeros generados en

el ejercicio 8.

2.10. Competencias especficas de la unidad 2.

Esta seccin tiene como propsito que usted desarrolle las actividades que se

sugieren para que adquiera las competencias especficas que se incluyen en el


103


programa de estudios. Es importante que las realice todas ya que cada una de ellas

tiene una cierta ponderacin en la evaluacin de la unidad. En esta unidad se

incluyen cuatro competencias especficas que son:

Conocer la diferencia entre nmeros aleatorios y pseudo-aleatorios.

Generar, a travs de varias tcnicas matemticas, nmeros pseudoaleatorios.

Realizar las pruebas estadsticas de aleatoriedad y establecer las

conclusiones correspondientes para los nmeros pseudo-aleatorios

generados.

Explicar, con base en las pruebas estadsticas, por qu algunos mtodos o

parmetros para la generacin de nmeros pseudoaleatorios no son

confiables.

Al igual que en la unidad 1, en esta unidad se proponen una serie de actividades

tendientes a que usted adquiera las competencias deseables en lo concerniente a la

problemtica de los nmeros aleatorios y pseudoaleatorios, su generacin y pruebas

de aleatoriedad. Las tablas 2.19 a 2.22 corresponden a las cuatro competencias

marcadas en este captulo y la tabla 2.23 se refiere al segundo avance del proyecto

final: Obtencin de la informacin. Se le reitera la importancia de realizar todas las

actividades marcadas en cada tabla y elaborar el reporte que se pide.

Competencia a

desarrollar

1. Conocer la diferencia entre nmeros aleatorios y

pseudoaleatorios.

Actividades

1.1. Visite el sitio http://www.random.org/. Qu argumentos

dan sobre la diferencia entre los verdaderos nmeros

aleatorios y los nmeros pseudoaleatorios?

1.2. Acceda al apartado Numbers. Qu se utiliza para

generar los nmeros aleatorios verdaderos?

1.3. Genere 100 nmeros aleatorios verdaderos por medio

de este generador, entre 0 y 100 en cuatro columnas.

Imprima la tabla.

1.4. Aceda al generador de fracciones decimales aleatorias


104


e imprima un conjunto de 100 nmeros de cuatro

decimale

Simulación Unidad 2fgdfgdf

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