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SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE
VIBRAÇÃO POR AMORTECIMENTO
VISCOSO: TRAÇANDO PASSOS DO
PROJETO DE NANOMÁQUINAS
Luiz Justino da Silva Junior (UESC)
FLAVIO PIETROBON COSTA (UESC)
A vibração é um movimento oscilatório que ocorre em um intervalo de
tempo, podendo prejudicar o bom funcionamento de máquinas bem
como alterar as características de determinadas estruturas, levando à
perda de eficiência, desgastes e falhas.. O presente trabalho é
caracterizado pelo desenvolvimento de um modelo acoplado de
interação fluido - estrutura, para o estudo do amortecimento de
vibrações em vigas utilizando a teoria de Timoshenko, desenvolvendo
sensibilidade ao problema de vibrações em sistemas mecânicos de
forma a solucionar e analisar os resultados referentes a este problema.
Manipulam-se os diferentes valores de viscosidade de um fluido
buscando a minimização do movimento oscilatório da viga. As
simulações foram realizadas utilizando o software Fortran,
considerando o método de diferenças finitas a técnica de discretização
para obtenção dos dados numéricos. A simulação tem aplicação ao
desenvolvimento de nanoequipamentos.
Palavras-chaves: Controle de vibrações, teoria de vigas de
Timoshenko, amortecimento viscoso
XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no
Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.
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1. Introdução
Qualquer movimento que se repete após um determinado intervalo de tempo é chamado de
vibração ou oscilação (RAO, 2008). A vibração corresponde ao estudo do movimento de um
corpo em torno de sua posição de equilíbrio, bem como às forças nele associadas. Máquinas e
estruturas estão sujeitas a sofrer esse tipo de comportamento seja em pequenas ou grandes
proporções.
O estudo de vibração possui como um de seus importantes propósitos a redução de níveis
vibratórios através de projeto e montagem adequada de máquinas, estruturas, equipamentos
ou componentes eletrônicos, a fim de obter controle eficaz do movimento oscilatório.
O amortecimento de vibrações será estudado pela imersão de modelos de vigas em fluido,
com análise de resultados referentes à oscilação da viga excitada por carga de impacto, para
valores diversos de viscosidade do fluido, tal que o amortecimento de vibrações da viga seja
alcançado pela absorção de energia pela difusão no fluido de amortecimento. A excitação do
fluido pela viga em vibração é responsável pelo efeito convectivo no fluido, também parcela
componente do sistema de amortecimento por dispersão de energia. O problema encontra
aplicação em controle de vibrações industriais e na construção de mecanismos de
amortecimento e/ou controle de vibrações, em macro e mesoescala.
Recentemente, a pesquisa de nanomáquinas tem exigido o desenvolvimento de aplicações de
controle de vibrações, no qual se insere o presente trabalho, no sentido de evitar a ruina dessas
máquinas por excesso de vibração, buscando dissipar a energia concentrada em pequenas
dimensões dos nanoequipamentos e das nanoestruturas. Tal consideração é fundamental no
projeto de produtos que sejam elaborados com o emprego de nanoestruturas ou
nanoequipamentos em seu processo de integração.
O presente trabalho é caracterizado pelo desenvolvimento de um modelo acoplado de
interação fluido – estrutura, com a utilização do método de diferenças finitas para
discretização do meio contínuo (viga), visando o estudo da aplicação da teoria de Timoshenko
a vigas sujeitas a amortecimento de vibrações, desenvolvendo sensibilidade ao problema de
vibrações em sistemas mecânicos de forma a solucionar e analisar os resultados referentes a
este problema.
2. A teoria de vigas de Timoshenko
A teoria de vigas de Timoshenko buscou corrigir a teoria clássica de Euler-Bernoulli, que
desconsidera o efeito devido ao cortante, obtendo valores subestimados de deslocamento e
deflexão da viga à solicitação externa. De acordo com Pietrobon (1998), a introdução de um
fator corretivo adimensional denominado de coeficiente de cisalhamento, k, buscou obter
valores de tensões e distorções compatíveis com as reais. A teoria de Timoshenko se baseia
nas seguintes hipóteses (FAGUNDES, 2002):
1) A seção transversal da viga tem um plano longitudinal de simetria;
2) O carregamento aplicado atua sobre o plano longitudinal de simetria;
3) Uma seção plana perpendicular ao eixo da viga permanece plana e perpendicular ao eixo
da viga após uma deformação;
4) Não ocorre deformação no plano da seção transversal;
5) Um elemento de linha dx da viga sofre deslocamento axial u(x) na direção x,
deslocamento transversal w(x) na direção z, e sofre uma rotação no plano xz, que é a taxa
de variação de w em relação a x.
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Fonte: Oñate (1992)
Figura 1 – Viga de Timoshenko
A medida que a relação altura (h) pelo comprimento (L) aumenta, a tensões de cisalhamento
na direção da altura tornam-se importantes e não podem ser mais desprezadas.
Da figura 1 tem-se que a rotação da seção normal pode ser expressa por:
(2.1)
na qual dw/dx é o declive de deformação do eixo da viga e ϕ é o giro adicional devido à
deformação por cortante.
O campo de deslocamento se expressa da seguinte forma:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
sendo u,v,w os deslocamentos nas direções x,y,z respectivamente.
As equações 2.1 e 2.2 mostram que as deformações não nulas são as seguintes:
(2.5)
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(2.6)
na qual é a deformação normal e é a distorção.
As duas tensões não nulas e se relacionam com as correspondentes deformações
(2.7)
(2.8)
onde é a tensão normal, E é o módulo de elasticidade longitudinal, é a tensão de
cisalhamento e é a curvatura do eixo da viga.
Segundo Pietrobon (1998), considerando que a distorção resulta constante ao longo da
seção, sendo na realidade as tensões cisalhantes e consequentemente as distorções reais
variáveis ao longo da seção, tal simplificação exige uma correção. Esta fica validada pela
adoção de um fator corretivo adimensional (coeficiente de cisalhamento, k) incluído nas
relações tensão-deformação:
(2.9)
onde o índice “f” indica que as tensões cisalhantes e distorções, supostas constantes na seção,
são grandezas fictícias.
3. O método de diferenças finitas
O método de diferenças finitas é usado como uma técnica de discretização, onde o domínio
(região) de interesse é representado por um conjunto de pontos ou nós e a informação entre
esses pontos é comumente obtido usando expansão em séries de Taylor (LAPIDUS E
PINDER, 1999). Inicialmente é necessário considerar os conceitos fundamentais encontrados
no modelo de teoria de aproximações. O domínio de solução das equações diferenciais
estudadas em determinado problema é subdivididos por uma rede com um número finitos de
pontos. A derivada de cada ponto é então representada por uma aproximação de diferenças
finitas. Alternativamente, pode visualizar este processo de discretização como a substituição
da solução de equações diferenciais com uma interpolação polinomial e a diferenciação desse
polinômio.
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Fonte: Lapidus e Pinder (1999)
Figura 2 – Discretização em diferenças finitas
Inicialmente se considera u(x), na qual u é uma função contínua de variável independente x.
Discretiza-se o domínio x (Figura 2) dentro de um conjunto de pontos tal que:
(3.1)
Por substituição da posição xr por rh, as coordenadas nodais são especificadas como o produto
do número inteiro r e o espaçamento h (aqui h é assumido constante e normalizado como
menos do que unidade) (LAPIDUS E PINDER, 1999). O número inteiro r simboliza a
posição do nó ao longo da coordenada relativa x para um ponto de partida especificado,
geralmente r = 0 quando x = 0. Quando h é uma constante, u(rh) pode ser representado como
ur.
Ainda segundo Lapidus e Pinder (1999), as duas possíveis aproximações para a primeira
derivada de u em xr, em diferenças finitas, são representados por:
(3.2)
(3.3)
4. O amortecimento
Segundo Thomson (1973), o amortecimento está presente em todos os sistemas oscilatórios.
Seu efeito é retirar energia do sistema. A energia em um sistema em vibração ou é dissipada
sob a forma de calor ou irradiada. Faz-se uma experiência simples da dissipação de energia
em calor, ao se dobrar certo número de vezes uma tira de metal, de um lado para o outro.
Quando se faz uma bóia balançar para baixo e para cima na água, ela irradia ondas e daí
resulta a sua perda de energia.
Segundo Rao (2008), embora a quantidade de energia convertida em calor ou som seja muito
pequena, é importante considerar o amortecimento para uma previsão precisa da resposta de
vibração de um sistema. Admite-se que um amortecedor não tem nem massa nem
elasticidade, e que a força de amortecimento só existe se houver velocidade relativa entre as
suas duas extremidades. É difícil determinar as causas do amortecimento em sistemas
práticos.
4.1 Amortecimento viscoso
Amortecimento viscoso é mecanismo de amortecimento mais comumente usado em análises
de vibrações. Quando sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como ar, gás, água e
óleo, a resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz que a energia seja
dissipada (RAO, 2008). Nesse caso, a quantidade de energia dissipada depende de muitos
fatores como o tamanho e a forma do corpo em vibração, a viscosidade do fluido, a freqüência
de vibração e a velocidade do corpo em vibração. No amortecimento viscoso, a força de
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amortecimento é proporcional à velocidade do corpo vibratório. Exemplos típicos de
amortecimentos viscosos são:
1) Película de fluido entre superfícies deslizantes;
2) Fluxo de fluido ao redor de um pistão dentro de um cilindro;
3) Fluxo de fluido através de um orifício;
4) Película de fluido ao redor de um mancal de apoio.
5. Materiais e métodos
A abordagem do problema neste projeto envolveu Pesquisa Quantitativa, considerando que há
uma relação dinâmica entre os componentes, sólido e fluido, do sistema vibratório. Foi
estabelecida a significação física das variáveis, parâmetros e operadores do modelo
matemático que rege o problema. A interpretação dos fenômenos e a atribuição de
significados são básicas no processo de pesquisa quantitativa. A partir da compreensão da
física do problema, em um vínculo linear entre a viga e o fluido viscoso, é válida a
superposição de efeitos. Com base nesta consideração foi estabelecido o modelo matemático
que permite o estudo numérico do acoplamento fluido – estrutura – controle de vibrações.
Do ponto de vista dos objetivos do trabalho foi feita uma Pesquisa Exploratória, visando
proporcionar compreensão da física envolvida no problema, com vistas a propor, pela
construção de hipóteses adequadas, aplicações futuras deste modelo.
Foram analisados modelo de viga do tipo apoiada engastada. Nesse modelo de viga adota-se a
condição de que a razão entre a altura e o comprimento da viga é muito menor que a unidade
(HARIK, 2001). Para análises iniciais considerou-se a viga com seção retangular discretizada
em 98 seções (número de nós igual a 99) com uma carga de impacto sendo aplicada em uma
região da viga situada no nó crítico, na posição definida pelo nó 53. Para obtenção dos dados
de deslocamento foi-se utilizado o aplicativo Fortran junto com o código implementado de
Modelagem Computacional de Barras Pela Teoria de Viga de Timoshenko, do qual foi obtido
a oscilação do deslocamento translacional em relação ao intervalo de tempo que varia de 0 a
1000. O código em Fortran foi executado para a viga com e sem amortecimento, verificando a
influência da viscosidade no amortecimento de determinada viga. Para visualização dos
dados, seu comportamento e possíveis comparações se utilizou do Excel para geração de
gráficos, que viriam a ser inseridos a partir dos dados gerados no Fortran. Por meio dos dados,
foi analisado o comportamento das vigas de acordo com alteração do valor da viscosidade,
procurando-se amortecer as vibrações contidas na estrutura em estudo da melhor maneira
possível.
Para a análise de vigas foram utilizados alguns dados gerais referentes às propriedades do
material da estrutura e parâmetros.
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Figura 3 – Dados do problema
6. Resultados
A partir do valor inicial da viscosidade de 12 MPa.s começou-se a analisar o amortecimento
de vibrações no modelo de viga. Para essa viscosidade não foi possível identificar quaisquer
alterações no deslocamento da viga ao longo do tempo, pois o valor da viscosidade é muito
pequeno e pode ser para essa situação considerada como desprezível.
Com o modelo de viga (apoiada engastada) e utilizando um valor de 240 MPa.s para a
viscosidade verificou-se pequenas alterações do deslocamento da viga quando amortecida por
fluido viscoso comparada com aquela sem amortecimento. Pelas irregularidades (ainda que
muito pequenas) contidas nas linhas nota-se o efeito do amortecimento (Figura 4).
Figura 4 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 240mPa.s
À medida que a viscosidade cresce a viga vai sendo amortecida pelo fluido e dessa forma
apresentando deslocamento transversal menor ao longo do tempo. Utilizando o mesmo
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modelo de viga comentado anteriormente observa-se um maior amortecimento da viga, sendo
que o valor da viscosidade passou a ser de 24.000 MPa.s (Figura 5).
Figura 5 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 24.000mPa.s
A viga apoiada engastada com valor de viscosidade de 200.000 MPa.s apresentou um
amortecimento de vibrações ainda maior (Figura 6). Mesmo utilizando outro tipo de viga o
comportamento é o mesmo, diferindo no valor da oscilação do deslocamento que alguns
modelos de vigas apresentam maior que outros.
Figura 6 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 200.000mPa.s
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No entanto, quando se utilizou um valor de viscosidade de 300.000 MPa.s (Figura 7) houve
divergência por parte dos dados numéricos da viga imersa em fluido viscoso, passando a
apresentar deslocamentos ao longo do tempo maiores que a viga sem fluido viscoso. Esta
situação passa a não ser mais viável.
Figura 7 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 300.000mPa.s
Para viscosidade de 250.000 MPa.s verificou-se que ainda há divergência (Figura 8) entre o
resultado numérico e aquele correspondente à oscilação livre.
Figura 8 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 250.000mPa.s
Já para viscosidade de 225.000 MPa.s o amortecimento feito pelo fluido é ainda maior,
estando ainda mais próximo do ideal (Figura 9).
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Figura 9 – Viga apoiada engastada amortecida por fluido com viscosidade de 225.000mPa.s
Dessa forma, pode-se afirmar que o valor da viscosidade para que o amortecimento da viga
apoiada engastada feita por um fluido viscoso seja máxima está entre 225.000 MPa.s e
250.000 MPa.s.
No momento em que se estabelece valor de viscosidade ideal se determina que fluido será
utilizado para amortecer tal estrutura, onde se consegue desenvolver modelos acoplados de
fluido-estrutura e construir mecanismos de amortecimento de vibrações que darão maior
eficiência, durabilidade e menores solicitações à uma estrutura específica.
7. Conclusão
A simulação do controle de vibração vem tendo grande importância na elaboração de projetos
de máquinas e estruturas, buscando aumentar a qualidade destes, proporcionando ganhos de
eficiência e estabilidade, pois minimizará problemas como desgastes, trepidação, ruído
excessivo, e fenômeno da ressonância, onde este origina deflexões excessivas e falhas. Com
um sistema de amortecimento adequado, consegue-se dissipar certa quantidade de energia
para cada ciclo de vibração, evitando os inconvenientes ditos anteriormente.
A análise dos resultados obtidos permitiu verificar o quanto a viscosidade influencia no
amortecimento de vibrações para uma estrutura imersa em um fluido, sendo que a viscosidade
crescendo o amortecimento (absorção de energia) cresce, até um valor limite. Manipulando
determinados parâmetros que tem prioridade no amortecimento de vibrações como a
viscosidade, é possível construir mecanismos que venham ter grandes aplicações práticas
futuramente.
Referências
FAGUNDES, F.A. Modelagem de vigas de compósitos laminados usando elementos finitos formulados na
notação strain gradient. Curitiba: Dissertação de mestrado, 2002.
HARIK, V. M. Ranges of applicability for the continuum beam model in the constitutive analysis of carbon
nanotubes: nanotubes or nano-beams ?, NASA – ICASE, Thecnical Report 2001-16. 2001.
LAPIDUS, L. & PINDER, G.F. Numerical solutions of partial differential equations in science and
engineering, New York: John Wiley & Sons Inc, 1999.
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OÑATE, E. Cálculo de estructuras por el método de los elementos finitos. Barcelona: CIMNE, 1992.
PIETROBON, F. Análise numérica da flexão dinâmica de vigas com a consideração da deformabilidade por
cortante e da inércia de rotação, Rio de Janeiro: MSc Thesis COPPE/PEC-UFRJ, 1998.
RAO, S.S. Vibrações Mecânicas, 4 ed., São Paulo: Prentice Hall, 2008.
THOMSON, W.T. Teoria da vibração com aplicações, Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1978.