Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.
description
Transcript of Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.
![Page 1: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/1.jpg)
Metoda simpleks opracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w
zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000.
Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania
![Page 2: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/2.jpg)
Wyznaczenie
startowego rozwiązania
Czy to jest
rozwiązanie Koniec
optymalne
Czy można
wyznaczyć lepsze
rozwiązanie
Wyznaczenie nowego
rozwiązania
Tak
Nie
Tak
Nie
![Page 3: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/3.jpg)
Zmienne swobodne Przekształcamy model tak, aby można było zastosować
algorytm simpleks. Przekształcamy warunki ograniczające w równania dopisując do nich nieujemne zmienne, tzw. zmienne swobodne w następujący sposób:– do każdego warunku postaci “” dodaje się zmienną swobodną
z parametrem równym jeden
– do każdego warunku postaci “” dodaje się zmienną swobodną ze współczynnikiem -1
Zmienne swobodne posiadają interpretację ekonomiczną wynikającą z informacji zawartej w warunkach ograniczających, do których zostały wprowadzone.
Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero
![Page 4: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/4.jpg)
Model matematyczny I Zmienne decyzyjne :
x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2 2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2 1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2 4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe: x1 0, x2 0, x1C, x2 C.
![Page 5: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/5.jpg)
Sprowadzamy warunki ograniczające do równości
Zmienne decyzyjne : x1 ;x2 s1,s2,s3,s4 funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 + 0s1 +0s2 +0s3 +0s4minwarunki ograniczające:2x1 + x2 + s1 = 6
x1 + x2 - s2 = 2x2 - s3 =1x2 + s4 = 4
warunki brzegowe: x10, x20, s10, s20, s30, s40, x1,x2,s1,s2,s3,s4C
.
![Page 6: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/6.jpg)
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 0 0
x1 x2 s1 s2 s3 s4
2 1 1 0 0 01 1 0 -1 0 00 1 0 0 -1 0
0 1 0 0 0 1
![Page 7: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/7.jpg)
Zmienne sztuczne
Jeżeli z macierzy współczynników tak powstałych równań nie da się wyodrębnić macierzy jednostkowej, to do warunków, które od początku były warunkami postaci równania oraz do warunków, które pierwotnie były postaci “” dopisuje się tzw. zmienne sztuczne .
![Page 8: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/8.jpg)
Zmienne sztuczne c.d.
Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero, natomiast parametry przy zmiennych sztucznych zależą od optimum funkcji celu: w zadaniach z funkcją celu dążącą do maximum jest to -M, w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum jest to +M,
gdzie M jest dowolnie dużą liczbą rzeczywistą dodatnią (M+).
![Page 9: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/9.jpg)
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 0 0 M M xB x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 s1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t2 1 1 0 -1 0 0 1 0 2M t3 0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 s4 0 1 0 0 0 1 0 0 4
![Page 10: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/10.jpg)
Po powyższych przekształceniach otrzymujemy model postaci:
f(x)=3x1 + 6x2 + 0s1 +0s2 +0s3 +0s4 + Mt1 + Mt2 min
2x1 + x2 + s1 = 6
x1 + x2 - s2 + t2= 2
x2 - s3 + t3 =1
x2 + s4 = 4
x1 0, x2 0, s1 0, s2 0, s3 0, s4 0, t2 = 0, t3 = 0.
x1, x2, s1, s2, s3, s4, t2, t3C
![Page 11: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/11.jpg)
Optymalność rozwiązaniaW celu sprawdzenia optymalności otrzymanego
rozwiązania obliczamy współczynniki zj i j wg wzoru:
Wartość współczynnika optymalności j określa jednostkową zmianę wartości funkcji kryterium, jeżeli do bazy wprowadzimy daną zmienną (dla wszystkich zmiennych bazowych j=0).
zj = jBycT j = cj- zj
![Page 12: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/12.jpg)
Jeżeli wartość j jest ujemna, to oznacza, że wprowadzenie danej zmiennej do bazy spowoduje spadek wartości funkcji celu. Zatem wartość funkcji kryterium można uzależnić od jej wartości w poprzedniej iteracji:
Bnj
nn xff xx 1
![Page 13: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/13.jpg)
Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli nie
występują zmienne niebazowe, których wprowadzenie do bazy byłoby pożądane:– w zadaniu z funkcją celu dążącą do minimum
takie zmienne, które powodowałyby spadek wartości tej funkcji (j<0),
– a w przypadku zadań, w których funkcja celu dąży do maksimum takie zmienne, które powodowałyby jej wzrost (j>0).
![Page 14: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/14.jpg)
Rozwiązanie optymalne
warunek optymalnościŹródłoj
MIN MAXLiteratura
jj cz 0 jj
0 jj
QSB, WinQSBjj zc 0 j
j0 j
j
![Page 15: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/15.jpg)
Tablica simpleksowa (min)
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j<0
![Page 16: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/16.jpg)
Kryterium wejścia do bazy
W następnym kroku algorytmu wprowadzamy do bazy tę zmienną, która spowoduje najbardziej korzystne efekty:– ma największe dodatnie wartości j
w zadaniach na max
– najmniejsze ujemne wartości j w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum.
![Page 17: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/17.jpg)
Tablica simpleksowa (min)
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
Najmniejsza ujemna
Do bazy wejdzie x2
![Page 18: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/18.jpg)
Kryterium wyjścia z bazy Z uwagi na to, że liczba zmiennych w bazie musi być stała (i
równa liczbie warunków ograniczających), należy wyznaczyć zmienną, która bazę opuści. Obliczamy w tym celu wskaźniki Q , wg wzoru:
Współczynniki wyznacza się wyłącznie dla >0 w celu uzyskania w kolejnej iteracji rozwiązania dopuszczalnego (spełniającego warunki brzegowe).
Zmienną, która opuszcza bazę jest ta, dla której ma najmniejszą wartość.
= Bik
Bi
y
x
![Page 19: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/19.jpg)
Tablica simpleksowa (min)
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6
M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2
M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
Najmniejsza wartość
W kolejnej iteracji zamiast
zmiennej t3 pojawi się x2
![Page 20: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/20.jpg)
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 0 M t 2 0
6 x 2 1
0 s 4 0 z j
jjj zc
![Page 21: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/21.jpg)
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6
M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 0M t 2 0
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 -
z j
jjj zc
Przepisany
z poprzedniej
iteracji
![Page 22: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/22.jpg)
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 0
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 z j
jjj zc
Od elementów wiersza pierwszego odejmujemy elementy
wyróżnionego wiersza trzeciego
![Page 23: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/23.jpg)
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 z j
jjj zc
Od elementów wiersza drugiegoodejmujemy elementy
wyróżnionego wiersza trzeciego
![Page 24: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/24.jpg)
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j
jjj zc
Od elementów wiersza czwartego odejmujemy elementy
wyróżnionego wiersza trzeciego
![Page 25: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/25.jpg)
Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6
jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6
Najmniejsza wartość
Sprawdzamy optymalność
Najmniejsza ujemna wartość
x1 będzie nową zmienną bazową
![Page 26: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/26.jpg)
Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 5 / 2 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1 6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6
jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6
Sprawdzamy kryterium wyjścia
Najmniejsza wartość
Bazę opuści t2
![Page 27: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/27.jpg)
Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 5 / 2 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6
jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 0 0 1 2 - 1 0 - 2 1 3 M x 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j
jjj zc
Drugi wiersz przepisujemy
Od elementów pierwszego odejmujemy
elementy drugiego pomnożone przez dwa
Trzeci i czwarty wiersz przepisujemy
![Page 28: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/28.jpg)
Tablica simpleksowa III iteracja (min)cB B 3 6 0 0 0 0 M M xB x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 s1 0 0 1 2 -1 0 -2 1 3 3 x1 1 0 0 -1 1 0 1 -1 1 6 x2 0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 s4 0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj 3 6 0 -3 -3 0 3 3 9
j 0 0 0 3 3 0 M-3 M-3
Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości
współczynników optymalności j są większe lub równe zero
Jeżeli w rozwiązaniu wszystkie wartości j dla zmiennych niebazowych są różne od zera to,
otrzymane rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne.
Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero
, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych,
które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych,
dla których j =0).
![Page 29: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/29.jpg)
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.
x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.
![Page 30: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/30.jpg)
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1= 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0;. t2 =0
![Page 31: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/31.jpg)
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M xB x1 x2 s1 s2 t2
0 s1 2 1 1 0 0 8-M t2 1 1 0 -1 1 10
![Page 32: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/32.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
![Page 33: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/33.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x2 na miejsce s1
![Page 34: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/34.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j
jjj zc
![Page 35: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/35.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
6 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j M + 1 2 6 M + 6 M - M - 2 M + 4 8
jjj zc - 9 - M 0 - M - 6 - M 0
Optymalne, bo wszystkie wskaźniki
optymalności mniejsze od zera
Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności
w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera
(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.
![Page 36: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/36.jpg)
Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :
x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.
x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.
![Page 37: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/37.jpg)
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t1 t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t1 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1+ - t1 = 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0; t1 =0; t2 =0
![Page 38: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/38.jpg)
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M -M xB x1 x2 s1 s2 t1 t2
-M t1 2 1 -1 0 1 0 8-M t2 1 1 0 -1 0 1 10
![Page 39: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/39.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
![Page 40: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/40.jpg)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Tablica simpleksowa (max)
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x1 na miejsce t1
![Page 41: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/41.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
![Page 42: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/42.jpg)
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4 8- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2 4
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 6 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
Tablica simpleksowa (max)
![Page 43: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/43.jpg)
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
Tablica simpleksowa (max)
![Page 44: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/44.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
![Page 45: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/45.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
![Page 46: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/46.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 2 -6 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8 -
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy
Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego
ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj
są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.
![Page 47: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/47.jpg)
Sformulowanie zadania
Uzupelnienie o potrzebne zmiennesztuczne i/lub swobodne
Startowerozwiazaniebazowe
Obliczenie
wskaznikow
optymalnosci
Czy wszystkie wskazniki saniemniejsze (niewieksze)
od zera ?
Czy wsrod zmiennychbazowych sa zmiennesztuczne wieksze od
zera ?
k=max| |jj
Czy istniejaskladowe y >0ik
Nie istniejeskonczonerozwiazanieoptymalne
Znajdz wektor wchodzacydo bazy i zastap nim wektor
wychodzacy z bazy
Czy wszystkiewskazniki optymalnosci dla
zmiennych niebazowych sa wieksze(mniejsze) od zera ?
Zadanie
sprzecznejest
Niejednoznacznerozwiazanieoptymalne
Jednoznacznerozwiazanieoptymalne
Tak Nie
TakNie
Nie Tak
Tak
Nie
![Page 48: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/48.jpg)
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.
x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.
![Page 49: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/49.jpg)
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1= 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0;. t2 =0
![Page 50: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/50.jpg)
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M xB x1 x2 s1 s2 t2
0 s1 2 1 1 0 0 8-M t2 1 1 0 -1 1 10
![Page 51: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/51.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
![Page 52: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/52.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x2 na miejsce s1
![Page 53: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/53.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j
jjj zc
![Page 54: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/54.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
6 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j M + 1 2 6 M + 6 M - M - 2 M + 4 8
jjj zc - 9 - M 0 - M - 6 - M 0
Optymalne, bo wszystkie wskaźniki
optymalności mniejsze od zera
Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności
w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera
(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.
![Page 55: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/55.jpg)
Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t1 t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t1 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1+ - t1 = 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0; t1 =0; t2 =0
![Page 56: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/56.jpg)
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M -M xB x1 x2 s1 s2 t1 t2
-M t1 2 1 -1 0 1 0 8-M t2 1 1 0 -1 0 1 10
![Page 57: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/57.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
![Page 58: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/58.jpg)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Tablica simpleksowa (max)
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x1 na miejsce t1
![Page 59: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/59.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
![Page 60: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/60.jpg)
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4 8- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2 4
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 6 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
Tablica simpleksowa (max)
![Page 61: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/61.jpg)
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
Tablica simpleksowa (max)
![Page 62: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/62.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
![Page 63: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/63.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
![Page 64: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/64.jpg)
Tablica simpleksowa (max)
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 2 -6 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8 -
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy
Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego
ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj
są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.
![Page 65: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/65.jpg)
Nowe zadanie Tablica simpleksowa III iteracja
Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości
współczynników optymalności j są większe lub równe zero
Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero
, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych,
które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych,
dla których j =0).
cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 0 1 2 -1 0 -2 1 3
1 0 0 -1 1 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj
j
s1
x1
x2
s4
0
3
3
0
3 3 0 -3 0 0 3 0 6
0 0 0 3 0 0 M-3 M
![Page 66: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/66.jpg)
Tablica simpleksowa IV iteracja cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 0 1 2 -1 0 -2 1 3
1 0 0 -1 1 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj
j
s1
x1
x2
s4
0
3
3
0
3 3 0 -3 0 0 3 0 6
0 0 0 3 0 0 M-3 M
cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0
1
0
0
zj
j
-1
-3
1 0 0 -1 0 1 -1 11 0 1 1 0 -1 0 4
1 1 0 -1 0 1 0 2-1 0 0 1 1 -1 0 2
s1s3
x2s4
0030
![Page 67: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/67.jpg)
Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne
6min 2
0
6min 1
1
opt
opt
x
x
![Page 68: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/68.jpg)
Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne
1;0
2222
0-1
1
1
optx
![Page 69: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/69.jpg)
Tablica simpleksowa IV iteracja
Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości
współczynników optymalności j są większe lub równe zero
cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 0 1 2 -1 0 -2 1 3
1 0 0 -1 1 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj
j
s1
x1
x2
s4
0
3
3
0
3 3 0 -3 0 0 3 0 6
0 0 0 3 0 0 M-3 M
![Page 70: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/70.jpg)
Tablica simpleksowaI I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
6 x 2 2 1 0 8
- M t 2 - 1 - 1 - 1 2z j
jjj zc
Optymalne, bo wszystkie wskaźniki
optymalności mniejsze od zera
Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności
w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera
(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.
1100
12+M 6 6+M M -M 48-2M
-9-M 0 -6-M -M 0
max
![Page 71: Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081520/5681530b550346895dc13108/html5/thumbnails/71.jpg)
Tablica simpleksowa
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
1 0 - 1 1 1 - 1 2 -2 1 - 1 0 1 0 8 -
z j
jjj zc
Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy
Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego
e współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj
są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.
s2
x2
0
6
12 6 -6 0 6 0 48
-9 0 6 0 -M-6 -M