Simmetrie in natura

8/13/2019 Simmetrie in natura

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Simmetria di un al#ero Simmetria del corpo umano

ncora, nella natura troviamo #ellissimi cristalli di minerali, e anch%essi presentano evidenti simmetrie

pensate ad esempio ad un fiocco di neve o ad un cristallo di pirite&

La neve formata da vari cristalli, tutti simmetrici ed a forma esagonale, ma tutti diversi. uesto dovutoal fatto che, per quanto a livello strutturale tutti i cristalli neve hanno la tipica forma esagonale (a #racci), maogni singolo cristallo 'su#isce' una variazione strutturale dovuta all'am#iente esterno (temperatura, umidit*, ...)in cui esso viene a formarsi, per cui non esistono 2 cristalli di neve uguali.

+' lecito chiedersi come sia possi#ile che, tutti i cristalli di neve, a##iamo questa forma esagonale Larisposta risiede, in questo caso, nella chimica, ovvero nel modo in cui l'acqua si cristallizza, diventandoghiaccio. -on entrando troppo nei dettagli tecnici, la forma esagonale a #raccia e dovuta al modo in cui lemolecole di ossigeno e di idrogeno interagiscono tra di loro quando la temperatura tende allo (e l'acqua sisolidifica).

Altri esempi di questa straordinaria caratteristica che madre natura ha creato intorno a noi.

1. Eclissi lunare

/ome possi#ile che la luna con un diametro di 'soltanto' 0121 3m sia in grado di'oscurare' il sole che, che invece, ha un diametro di 4,1 milioni di 3m (oltre 1volte pi$ grande) +ppure la luna ci regala 5 eclissi di sole ogni 2 anni...La spiegazione 'geometrica' sta nel considerare che il sole, non solo 400 voltepi grande della luna, ma sta pure 400 volte pi lontano rispetto al nostro

pianeta. uesto vuol dire che,guardando dalla terra, il sole e la luna hanno,circa, la stessa dimensione. 5razie a questa simmetria, quando la luna ed il sole sono allineati, avviene un


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eclissi solare. 6enuto conto che le or#ite della terra e della luna non sono perfettamente circolari, le distanze trala terra e la luna e la terra ed il sole cam#iano leggermente, per cui a volte, le eclissi sono parziali (la luna nonriesce a coprire completamente il sole), lasciando un 'anello' circolare di luce visi#ile. 7gni 8 anni, per, ilperfetto allineamento e le distanze coincidono, per cui a##iamo una eclissi totale di sole. 5li scienziati hannoverificato che questo tipo di simmetria, non riscontrato tra il sole e gli altri pianeti9lune del sistemasolare. lcuni di loro si sono spinti ad ipotizzare che, la simmetria tra 6erra9Luna9Sole, potre##e aver resopossi#ile lo sviluppo della vita sul nostro pianeta.

2. roccolo romanesco

vederlo, al primo impatto, sem#ra un ci#o geneticamente modificato. !l#roccolo romanesco sem#ra quasi 'alieno' per la sua strana conformazionifisica. !nvece , semplicemente, uno straordinario esempio di simmetriafrattalenaturale.!n geometria un 'frattale' un complesso modello, in cui ogni parte ha lo stessa'forma' della parte pi$ grande, questo ripetuto all'infinito. "raticamenteingrandendo una sezione dell'oggetto la forma9modello geometrico sempre la

stessa, all'infinito. !n altre parole un frattale si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse.-el #roccolo romanesco ogni singolo fiore ha lo stesso 'disegno' dell'intero #roccolo, solo in formato

pi$ piccolo. L'intero #roccolo una grande spirale, composta a sua volta, da tante mini spirali (4 per ogni fiore)della stessa forma della spirale principale.

!. "lveare

Le api, noto, sono grandi produttrici di miele. :a questa non l'unica lorocaratteristica hanno una 'passione' per la geometria. mmirare un alveare, conquelle perfette forme esagonali, incastrate come in un fantastico mosaico, unaaccanto all'altra, un esempio di simmetria in cui, uno stesso modello geometrico(l'esagono) viene ripetuto pi$ volte per coprire vaste aree. /asualmente (), poi,l'esagono tra le forme geometriche pi$ efficienti per utilizzare al meglio (e non

sprecare) lo spazio. "ensate, per esempio, a tanti cerchi messi vicini uno all'altro, e tutto lo spazio vuoto chesare##e inutilizzato...

!n ogni caso vedere cosa dei piccoli insetti riescano a fare semplicemente e naturalmente, meraviglioso.

4. #irasoli

Lo so vi sem#rer* strano...ma do##iamo spiegare cosa sia una se$uen%a di &i'onacci. ;i#onacci :asiamo a un corso universitario di matematica -o non lo siamo, ma per spiegare la simmetria geometrica chetroviamo dentro ad ogni girasole, occorre avere chiaro il concetto di sequenza di ;i#onacci. La sequenza di;i#onacci e una sequenza di numeri, dove ogni numero calcolato come la somma dei 8 precedenti. +sempio


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, 4, 4, 8, 0, oma

cura di /iro "etrosillo +sempi nell%arte


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-arcisio( 4"7 !-DB+ ">6! S"+/BL>:+-6+B5BL!. !n 5eometria si parla di S!::+6>! SS!L+

!n altri organismi, L+ >+66+ /C+ !-D!!DB-7 DB+ ">6! S"+/BL>:+-+ B5BL! S7-7 "!E D!B-


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il corpo sem#ra suddivisi#ile in FspicchiG uguali mediante rette incidentiHdisegnato dalla ripetizione di un modulo che ruota intorno ad unpunto centrale, il centro di simmetria. !n questocaso si parla di simmetria di >76I!7-+!n altri casi esistono :7L6! "!-! -+LL7 S"I!7 /C+ C--7 B-"B-67 !- /7:B-+, il centro disimmetria nello spazio, /C+D!!D7-7 !L /7>"7 !- DB+ ">6! S"+/BL>!. 7r#itali elettronici .

Si parla, in questo caso, di S!::+6>! S;+>!/

E possibile trovare UNO O PI ASSI DI SIE!"IA# OPPU"E NESSUNA SIE!"IA

)a simmetria assiale

$a %eometria de&inisce la simmetria assiale come la tras&orma'ione di una &i%ura in cui i punti corrispondentisono equidistanti da una retta# detta asse di simmetria.

Simmetria assiale di un volto Simmetria assiale di un frutto


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)a simmetria centrale

/osJ come la simmetria assiale ,anche la simmetria centrale largamente diffusa in natura, sia nel mondo animale evegetale sia in quello minerale.

La sua particolare eleganza formale ha sempre attratto l%attenzione dell%uomo, che se ne spesso avvalso nelle suemanifestazioni artistiche e tecniche.

)a simmetria centrale nel pensiero scientifico

La geometria definisce la simmetria centrale come la trasformazione di una figura in cui i punti corrispondenti sonoequidistanti da un punto, detto centro di simmetria.


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*l mistero della simmetria

:a cos% una simmetria!n essenza, possiamo dire che l%espressione di unaFuguaglianza tra coseG cose che possono esseredifferenti oggetti oppure uno stesso oggetto che spresenta sempre nello stesso modo, prima e dopo unaqualche operazione che a##iamo compiuto su di esso.Se si considera un FoggettoG (un vaso, una molecola,una particella elementare, un pianeta o l%interouniverso) come unsistema fisico, diciamo che questopossiede una certa simmetriaquando le sue propriet*dopo la trasformazione che a##iamo operato su di essosono indistingui#ili da quelle che aveva prima"ensiamo, ad esempio, a un vaso se lo ruotiamo il suoaspetto ci appare sempre lo stesso. !n questo casodiciamo che il vaso invariante sotto una qualunque

rotazione attorno all%asse di simmetria, la linea immaginaria perpendicolare al tavolo che attraversa il centro devaso (vd. fig. a). Se, malauguratamente, il vaso scheggiato in un qualche punto, questa simmetria si perde, FrottaG, e una rotazione del vaso non passer* inosservata alla guardia del museo in cui, ad esempio, il vaso esposto (vd. fig. #). !n sostanza, quindi, la simmetria un% invarianzadi un sistema fisico sottoposto a uncam#iamento, chiamato trasformazione di simmetria./i sono diversi tipi di trasformazioni di simmetria. "er esempio, se il vaso ha una #ase circolare ( un vaso,cio, di tipo cilindrico) allora invariante per rotazioni attorno al suo asse, di un qualunque angolo in questocaso la simmetria continua (vd. fig. c). Se invece il vaso , per esempio, esagonale, l%invarianza sare##epresente solo per rotazioni a scatti di gradi (o multipli di gradi)H in questo caso una simmetria discreta(vd. fig. d). Se poi immaginiamo di moltiplicare all%infinito i vasi, e di metterne uno in ogni punto dello spazio,le possi#ili simmetrie si ampliano. "ossiamo ruotare tutti i vasi di uno stesso angolo, nel qual caso avremmofatto una trasformazione globale (vd. fig. e), oppure possiamo decidere di ruotare ogni vaso di un angolodifferente, realizzando cosJ una trasformazione locale, o digauge(vd. fig. f).


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/onsiderazioni di questo tipo sare##ero rimaste delizie per matematici se non fosse intervenuta +mmK -oetherpro#a#ilmente la pi$ grande matematica mai vissuta, di cui si parler* in +mmK -oether, simmetrie e leggi diconservazione.uesta grandissima ma misconosciuta donna, nata nel 4==8, era una matematica tedesca, che in giovent$ lavorcol grande matematico David Cil#ert sulla teoria della relativit* generale di +instein. "urtroppo, per l%epocaaveva due tremende pecche era donna ed era e#rea. + questo la port a lavorare per lunghi anni gratis, primacome matematica e poi come docente, tra l%altro non a nome proprio ma a nome di Cil#ert. /ome se non#astasse, fu costretta dai nazisti ad emigrare negli Stati Bniti, dove morJ solo due anni dopo, nel 4@0u##ia nel 4@=1.

Sem#ra che siamo finiti nel tipico vicolo cieco convinti dal successo dell%elettromagnetismo, vogliamoche esista una simmetria di gauge per descrivere la radioattivit*, ma al tempo stesso non vogliamo che lapresenza di questa simmetria ci conduca a particelle M e Idi massa nulla, che sare##e in contrasto con leevidenze sperimentali che troviamo nei nostri acceleratori. + allora +siste una via d%uscita e si chiama rotturaspontaneadi simmetria. Bn esempio per capirci prendete una matita e ponetela in equili#rio sulla sua puntaperpendicolarmente alla superficie del tavolo. uesto sistema possiede una simmetria di rotazione attornoall%asse verticale lungo la matita. "er sappiamo che la situazione altamente insta#ile in pochi attimi unaqualunque piccola pertur#azione (anche il #attito d%ali di una farfalla in ustraliaN) far* inevita#ilmente caderela matita. Lungo quale direzione uesto non si pu dire, ma certo che, una volta caduta, vi sar* una direzioneFprivilegiataG e si sar* perduta l%invarianza per rotazioni attorno all%asse verticale. !n questo caso a##iamo unesempio di un sistema fisico che possiede una certa simmetria in linea di principio, ma che, in pratica, nello

stato in cui si viene a trovare alla fine e che minimizza l%energia del sistema, non possiede pi$ quella simmetria.Bn altro esempio ancora pi$ interessante quello della calamita. Se supponiamo di guardarla con uno specialemicroscopio, vedremmo i piccoli FmagnetiniG che la compongono tutti allineati lungo una stessa direzionequella che determina l%esistenza di un polo nord e un polo sud della calamita. Se la calamita viene portata a unatemperatura a##astanza alta, perde le sue propriet*, cio non pi$ magnetizzata e non attira pi$ gli oggettiferrosi, perchO i suoi magnetini sono disposti in modo del tutto casuale. uindi non c%O pi$ una direzionespeciale rispetto alle altre e questo sistema del tutto invariante per rotazioni spaziali. Se ora si fa scenderenuovamente la temperatura, si arriva a una soglia critica a cui, improvvisamente, tutti i magnetini di cui composta la calamita si allineano lungo una stessa direzione. /ome per la caduta della matita, anche in questocaso ogni direzione del tutto equivalente all%altra, ma una volta che una qualunque di queste direzioni statascelta dai magnetini, non c% pi$ l%invarianza per rotazioni che era presente a temperature maggiore di quella


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critica. !l sistema fisico non cam#iato, ma al di sotto della temperatura critica la disposizione del sistema (lostato del sistema, come si dice in fisica) non possiede la simmetria di partenza la simmetria per rotazionespaziale stata rotta spontaneamente.

6utte le interazioni de#oli possono essere descritte in termini di una simmetria (di gauge) rotta spontaneamente/he cosa provoca questa rottura +cco che entra in scena il deus ex-machinadella situazione, il famoso bosonedi Higgsdi cui si parlato in simmetrie n. = (F!l #osone di CiggsG, settem#re 8@, ndr). /ome la matita

dell%esempio precedente, questo si trova in uno stato in cui la simmetria collegata alle interazioni de#oli vienerotta spontaneamente. uello che succede ha dell%incredi#ile, eppure la fantastica macchina che ha precedutoLhc al /ern di 5inevra, l%acceleratore di elettroni e antielettroni (positroni) Lep, ci ha detto a chiare lettere che proprio vero alcune delle componenti del #osone di Ciggs, nel momento della rottura spontanea di simmetriavengono FingoiateG dal M e dallo Iper fornire loro la massa, mentre rimane un%unica componente fisicaquella che noi comunemente chiamiamo il #osone di Ciggs e che contiamo di produrre e identificare in Lhcuesto noto come meccanismo di Higgs. 6ale FsintoniaG, tra una delle pi$ audaci speculazioni della menteumana imperniata sul concetto di simmetria e ci che esiste realmente in natura, ha qualcosa di affascinante emisterioso lo stupore che accomuna gli uomini di scienza (e non solo loro, naturalmente) da quando 5alileoparl del grande li#ro della natura scritto a caratteri matematici (creati dalla nostra mente), a quando Diracammise che F!l matematico impegnato in un gioco di cui si scrive da solo le regole, mentre il fisico gioca con

le regole fornite dalla natura. :a con il passare del tempo appare sempre pi$ evidente che le regole che unmatematico trova interessanti sono proprio le stesse scelte dalla naturaG. proposito di curiosit* matematiche, ci si potre##e chiedere, Fqual la simmetria pi$ grande possi#ile che siacompati#ile con le teorie delle interazioni fondamentali di cui a##iamo parlatoG. Dando un%occhiata alla fig. lviene spontaneo chiedersi, se esista una simmetria che agisca sia nello spazioAtempo che negli spazi interni+##ene, il matematico ci dir* che questa simmetria FsuperG esiste, e naturalmente stata chiamatasupersimmetria. prima vista sem#ra che questo rimanga solo un divertissementda matematici, dato che unadelle predizioni della supersimmetria che sotto la sua azione ogni particella nota si trasformi in una nuovaparticellasuperpartner. !l pro#lema che non a##iamo mai visto neppure uno di tali superpartner.


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:a ecco che interviene il fisico, che dall%inizio degli anni %= capisce che la supersimmetria rappresentail modo pi$ elegante (e forse pi$ convincente) di affrontare alcune questioni cruciali poste dalla teoria dellafisica delle particelle, il modello standard delle interazioni fondamentali, ed escogita il rimedio alla mancataosservazione dei superpartner rompere la supersimmetria. +cco che i superpartner diventano tanto pesanti danon essere pi$ visi#ili alle macchine acceleratrici del passato, ma (ed una predizione del fisico) sonoa##astanza leggeri da poter essere visti in Lhc, l%acceleratore di particelle attivo dal 8= a 5inevra, inSvizzeraN edremo nei prossimi anni, se queste predizioni verranno confermate in Lhc.6ornando all%esempio della calamita che riscaldiamo, a##iamo visto che la simmetria presente in un certo

sistema fisico dipende dalla temperatura e quindi dall%energia a cui si trova. + se il sistema fisico fosse l%interouniverso e la temperatura a cui si trova segnasse il raffreddamento progressivo dal caldissimo ?ig ?ang inizialeal FfreddoG (un paio di gradi Velvin) del nostro attuale universo -el caso della calamita, quando la temperaturasale al di sopra di un certo valore critico, il sistema acquista una simmetria (quella per rotazione spaziale deimagnetini che lo compongono), che viene invece FrottaG quando la temperatura scende al di sotto di tale sogliacritica il sistemaAcalamita sperimenta due fasi diverse, a seconda della sua temperatura. /osJ, se noi seguiamoil sistema fisico universo, man mano che si raffredda a partire dal ?ig ?ang, constatiamo che esso passaattraverso fasi diverse in corrispondenza alle quali simmetrie di gauge delle sue interazioni fondamentali sonoesatte (a temperature pi$ alte) o spontaneamente rotte (a temperature pi$ #asse). "i$ ci avviciniamo al momentoiniziale del ?ig ?ang, pi$ il grado di simmetria dell%universo aumenta. "otremmo speculare che l%universo partaal momento del ?ig ?ang con un%unica grande simmetria di gauge (o addirittura una supersimmetria), che

descrive in modo unificato tutte le interazioni fondamentali, e che poi nel suo raffreddamento FpartiG di questagrande simmetria iniziale siano rotte spontaneamente dando luogo alla differenziazione tra le varie interazioni(elettromagnetiche, de#oli, forti, gravitazionali) che oggi noi vediamo. La simmetria diverre##e qui la tramaultima pi$ profonda che caratterizza l%universo e la sua intera evoluzione. +instein spese gli ultimi anni dellasua vita alla ricerca di una teoria FfinaleG che potesse descrivere in modo unificato e simmetrico (unit*) le varieinterazioni (molteplicit*) dell%universo che ci circonda.;orse, la simmetria uno di quei FpensieriG fondamentali di cui +instein ci parla nella sua famosaprovocazione F-on sono interessato a capire questo o quel dettaglio, ma a capire quelli che erano i pensieri diDio quando cre il mondoG .

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