Simbolika Brojeva u Antickoj Grckoj

_________________________________________________Simbolika broja u antičkoj Grčkoj

Sadržaj

Uvod...................................................................................2

Simbolika broja..................................................................3

Pojam i ideja broja – koncept antičkih Grka...........................5

Pitagorin život i učenje......................................................6

Pitagorejska mistika čistih brojeva.....................................6

Dekada..............................................................................................8

Harmonija brojeva i kosmosa..............................................................8

Muzika i broj......................................................................9

Povezanost proporcijskih sistema u grčkoj arhitekturi i umetnosti11

Teorija proporcija.............................................................12

Uloga zlatnog preseka......................................................14

Estetika i brojevi..............................................................15

Literatura.............................................................................................18

Metodika nastave geometrije___________________________________________________1


UvodGrčka je mesto stvaranja one klasike po kojoj se Zapad tokom vekova

razlikuje i suprotstavlja svim drugim civilizacijama. Svest o vrednosti čoveka, njegovo podizanje na stepen mere svih stvari, uravnotežena vladavina razuma - ove osnovne vrednosti klasike, ostaće kao jedna od najvećih ljudskih tekovina.

Nijedna civilizacija i nijedna zemlja nisu pojmu klasike dale značajniji i bitniji doprinos od Grčke. Grčka klasika prvi put otkriva umetničke manifestacije koje se afirmišu i šire isključivo zahvaljujući dejstvu svog unutrašnjeg kvaliteta, odnosno efikasnosti i očiglednosti svojih formalnih i izražajnih vrednosti. Na živoj pozadini raznooblične i razvijene grčke civilizacije, zasnovane više na inteligenciji nego na moći, klasični period helenske umetnosti predstavlja osvajanje novih i nepoznatih vrednosti, koje su kasnije postale osnovne i trajne tekovine istorije čovečanstva.

To je umetnost koja veliča značaj čoveka kao takvog, jer ga smatra merom svih stvari. Ona se zasniva na jasnom i sigurnom ljudskom razumu, na rešenosti čoveka da objasni spoljašnji svet, oslobođena straha i natprirodnih preokupacija. Usmerena je ka veličanju lepote i topline života, a ne zagrobnog sveta. Ovo je umetnost koja ima javnu i versku namenu, umetnost koja se više od dotadašnjih oslanja na stvarnost i nastoji da u njoj nađe obrasce prirodnosti i kretanja. Izgledima stvarnog ona nameće zakone



reda i ravnoteže. Tako se rađa ideal lepote koji prvi put stiže do zrelosti i na taj način postaje pokretač umetničkog stvaranja.

Površna idealistička slika kao konačno dostugnuće čovečanstva pojavljuje se kada se predstavlja grčko društvo, umetnost ili razmišljanje. Grci se smatraju racionalistima par excellence, kao idealni ljudi, a njihova umetnost, filozofija i društvene institucije kao konačne istine. Takođe je otkriveno da su Grci imali iste složene karakteristike kao i svi ljudi svih vremena i svih zemalja. Grci su bogovima davali ljudski oblik i razvili svesnost idealnog čoveka, ali ova činjenica nimalo ne umanjuje važnost iracionalnog, demonskog i orgijastičnog, emocionalnog i strastvenog, koji su uvek bili prisutni u njihovom karakteru. Očigledno je da je ovo složeno duševno uređenje, nasleđen konglomerat, imalo dubok uticaj na njihov stav prema okruženju. Prolazili su kroz uzastopne etape razvoja, od primitivnih i magičnih verskih pokreta, do nesputane potrage za istinom i intelektualnom čistotom. Ulog najranijih elemenata uvek je ostao stvarnost. Nisu bili zamenjeni novim, već su upijeni u promene koje su se javljale ili su istrajali jedni uz druge.

Simbolika brojaSimboli privlače posebnu pažnju. Nalaze se u središtu stvaralačkog života,

tačnije oni su njegovo jezgro. Oni otkrivaju tajne nesvesnog, otvaraju duh prema nepoznatom i beskonačnom. Dok govorimo ili dok se izražavamo kretnjama, služimo se simbolima, primećujući to ili ne. Sve duhovne nauke, sve umetnosti i sve umetničke tehnike susreću na svom putu simbole. Premalo je reći da živimo u svetu simbola – svet simbola živi u nama.

Simbol se ne može definisati. Njemu je u prirodi da razbije čvrste okvire i spaja krajnosti u jedinstvenu viziju. U suštini, može se reći da simboli otkrivaju skrivajući i da skrivaju otkrivajući. Mogu se shvatiti kao materijalni ili apstraktni znaci koji ili označavaju neki pojam ili na njega podsećaju. Oni su nešto što predstavlja nešto drugo asocijacijom, sličnošću ili konvencijom. Takođe se mogu shvatiti i kao materijalni objekti koji se koriste kako bi se prikazalo nešto nevidljivo. Reč potiče od latinskog symbolum u značenju znak ili simbol, što je izvedeno iz grčkog sumballein (svesti, upoređivati). Može se reći da se simbol razlikuje od običnog znaka - on oživljava velike celine imaginarnog, arhetipove, mitove i strukture.

Istorija simbola potvrđuje da svaki predmet može dobiti simboličku vrednost, bilo da je prirodan (kamenje, stabla, životinje, planete, vatra, munja itd.) ili apstraktan (geometrijski oblik, broj, ritam, ideja itd.).

Upotreba brojeva kao simbola stara je koliko i sam jezik, ali onaj koji prethodi pisanom, gde brojevi simbolizuju (to jest, gde se stvarnost krije iza spoljašnjeg znaka). Ne postoji način da se dokaže ova neobična izjava, osim možda pozvati se na mišljenja starijih i mudrijih. U simbolici brojevi nisu samo izraz kvantiteta, već i ideja - svaki sa svojom specifičnom osobinom. Sami brojevi koje koristimo za računanje više su od onoga za šta ih smatramo. U isto vreme, oni su mitološki elementi (za pitagorejce, oni su bili



čak i božanski), ali smo sigurno nesvesni ove činjenice kada praktično koristimo brojeve.

Brojevi tokom vekova imaju različita značenja i tumačenja. Njihova simbolika provlači se kroz Bibliju, Toru, Kabalu itd. Oduvek su privlačili čovekovu pažnju i uglavnom su bili vezivani za mistiku ili okultizam. Uloga broja u istoriji ljudskog mišljenja i civilizacije uopšte veoma je složena i prevazilazi opseg same matematike. Putevi kojima se broj pronosio kroz istoriju, kojima je zalazio u umetnost, nauku, magiju, u svakodnevnicu ponekad su jasni, a često skriveni. Nestajali su i pomaljali se na neočekivanim mestima, ponekad zaogrnuti složenim i nerazumljivim formulama, oblicima, obredima ili verovanjima. Nezaobilazan je i put kroz istoriju matematike i njenih disciplina: geometrije, aritmetike, teorije brojeva itd.

Sami brojevi, odnosno njihova simbolika u antičkoj Grčkoj blisko je povezana i sa filozofijom i sa matematikom (tačnije aritmetikom). Oni sažimaju njihovo poimanje sveta i svega oko njih.

Pitagora je apstraktan pojam broja izdvojio iz njegove praktične upotrebe. Platon se u svojim teorijama ideja veoma oslanja na Pitagorino učenje.

Grci se mogu shvatiti kao narod koji je višu duhovnu stvarnost sagledavao kroz materijalni svet. Tačnije, sve su pretakali u matematički sistem, odnosno sistem proporcija. Bavili su se posmatranjem vidljivog kosmosa i pronalaženjem harmonijskih odnosa i zakonitosti. Sami brojevi su za njih predstavljali božanstva koja uređuju svet.



Pojam i ideja broja – koncept antičkih Grka“I tada su sve tako sazdane vrste dobile od Tvorca likove, delanjem Ideja i Brojeva”

(Timej)

Rečenica iz Timeja sažima Platonove zaključke o svemiru, kao i one njegovog inspiratora Pitagoru: teoriju arhetipova i zakon broja. Pre svega trebalo bi ispitati poreklo pojmova broja i brojeva. Ideje koje se odnose na broj predočavaju udružene pojmove iz filozofije i magije. Broj jedan istovremeno je jedinica u računu (ponekad jedina, kada brojevi obuhvataju samo dva koncepta - jedan i više ili mnogo) i simbol jedinstvenosti uopšte. Takođe je i simbol identičnosti Ja sa samim sobom, suprotstavljenog ostatku svemira, što već pored ostalog implicira dvojstvo.

Do sledećeg stepena dospeva se putem eksplicitnog koncepta broja dva i Dvojstva, korena pojma koji su Grci zvali isto i drugo, gde je drugo neodređen skup brojeva većih od jedan.

Slova grčkog, a zatim i rimskog alfabeta pozajmljena su iz feničanskog. Feničani i Hebreji, a potom i Grci, upotrebljavali su slova alfabeta kao cifre, sa specijalnim znacima za deset, sto i hiljadu.

Pitagorejci su u Grčkoj, tačnije Velikoj Grčkoj, zamenjujući brojeve geometrijski uređenim grupama tačaka, razvili disciplinu figurativnih brojeva koja im je omogućila da neposredno proniknu u veze između brojeva i geometrijskih likova u ravni i prostoru. Zatim su preneli broj u centar jedne pročišćene metafizike, koja je sa Pitagorom od broja učinila arhetip ili savršenu paradigmu doktrine, sažeto iskazane sa “Sve je uređeno na osnovu broja” i u kojoj je ime kosmos (skladno uređen svet) dato univerzumu. Same reči kosmos i filozofija se, prema neospornom predanju, pripisuju Pitagori.

Ali pre Grka koji su temeljno proučavali cele i razlomljene brojeve, pa zatim preko dijagonale kvadrata ( za kvadrat stranice 1) i teoreme o hipotenuzi (Pitagorine teoreme) otkrili iracionalne brojeve, trebalo bi spomenuti Haldejce i Egipćane. Mada nisu nastojali da, kao kasnije pitagorejci, apstraktnu ideju broja izdvoje iz njegove praktične upotrebe, unapredili su aritmetiku i primenjenu geometriju, od čega su koristi imali Grci. Međutim, brojevi, pre svega oni koje su pitagorejci nazivali čistim i božanskim, nisu u egipatskom religioznom, odnosno magijskom ritualu dosegli značaj reči.

Pitagorejci, tačnije članovi bratstva koje je u Velikoj Grčkoj osnovao Pitagora, dali su tri definicije broja koje polaze sa tri tačke gledišta. Brojevi se prvo dele na čiste i božanske, one kojima se bavi mistika broja (aritmologija), zatim na naučne i konkretne brojeve koji su predmet računa u užem smislu, za poslovne ljude. Pravili su razliku između poslednje dve kategorije i onoga što su nazivali čistim, odnosno božanskim brojevima.

Pitagorejska disciplina figurativnih brojeva (predstavljenih skupovima tačaka koje odgovaraju i homotetičnom, gnomonskom rastu geometrijskih figura) omogućila je Grcima da zapaze kako svaki broj, uprkos jednoobraznom načinu formiranja, sadrži karakteristike koje ga u opštem slučaju razlikuju od svih ostalih. Zaista je značajno, a to se pokazuje već kod



prvih celih brojeva 2, 3, 4, 5, da dodavanje broja 1 svaki put u potpunosti promeni osobine broja, ističući novu individuu u društvu brojeva. Ovo se odnosi jednako na čiste, kao i na naučne brojeve.

Pitagorin život i učenjePitagora je među svim zapadnim filozofima najviše isticao pojam broja.

Rodio se na Samosu oko 580. godine pre n.e. Jedno verodostojno predanje prikazuje ga kao dugokosog mladića na 48. Olimpijadi, kako u pesničenju protiv mladića “teške kategorije” osvaja dragocenu maslinovu grančicu. Potom odlazi na tridesetogodišnje putovanje da bi se u najznačajnijim kulturnim centrima tog doba uputio u nauku i filozofiju. “Od svih ljudi”, kaže Heraklit, “Pitagora je bio najistrajniji istraživač”. U Egiptu je, studirajući sa sveštenicima, očigledno bio upućen u misterije i egipatsku geometriju.

Uspeh Pitagorinog filozofskog i matematičkog učenja u Kalabriji, a zatim i na Siciliji, bio je takav da mu se broj sledbenika neprekidno povećavao. Nikomah i Jamblih pominju čuvenu Majstorovu besedu koja je za posledicu imala osnivanje pitagorejskog društva (bratstva). Pitagorejstvo se od drugih etika zasnovanih na harmoniji razlikuje po tome što je jedini put ka neminovnoj spoznaji (gnosi) njena matematička podloga, ljubomorno čuvane tajne kojima su samo posvećeni mogli težiti. Trogodišnje iskušeništvo (akuzmatički staž) prethodilo je prijemu u prvi stepen (nomoteti). Drugi stepen (matematičari) bio je jedini kome se dopuštalo da vidi Majstora – prvom stepenu bilo je dopušteno samo da ga čuje. Ritual tajne i ćutanja obuhvatao je i samo ime Majstora – bilo je zabranjeno da se ono izgovara, pa su ga nazivali “onaj, besmrtni, genije božanski”.

Od geometrije Pitagora je prešao na aritmetiku – ne kao praktičnu veštinu računanja, već kao apstraktnu teoriju brojeva. Izgleda da je škola napravila prvu klasifikaciju brojeva na parne i neparne, proste i složene brojeve. Ona je formulisala teoriju proporcije i kroz primenu površina stvorila geometrijsku algebru.

Najvažnije matematičke discipline sa kojima su se posvećeni upoznali bile su, pored teorije proporcija (koja je odgovarala teoriji muzičkih intervala), proučavanje pet elemenata (kasnije nazvanih Platonovim) i srodnih geometrijskih konstrukcija, teorija figurativnih brojeva, kao i tajna iracionalnog, postojanja iracionalnih brojeva i njihove upotrebe. Pitagorejci su, uočivši vezu između nekih iracionalnih brojeva i geometrijskih simbola koji su činili samo srce njihove tajne simbolike (pentagram i dodekaedar, čija se precizna konstrukcija zasniva na upotrebi zlatnog preseka), strogo čuvali tajnu odgovarajućih konstrukcija. I baš zato što su obelodanili ove konstrukcije, Hipokrat sa Hiosa i Hipija iz Metaponta bili su ekskomunicirani iz bratstva.



Pitagorejska mistika čistih brojevaIzlišno je baviti se karakteristikama Monade, broja jedan, koji nije samo

aditivni element čijim se učešćem u iteraciji proizvodi čitav niz celih brojeva, već je isto tako u čistoj logici i savremenoj logistici odraz principa identičnosti. On se pored toga sasvim prirodno javlja u principu totalne indukcije. “Monada je početak svih stvari”, rekao je Pitagora.

Dijada, ili broj dva, prvi paran i prvi ženski broj1, javlja se kao koren ideje dvojstva, principa neprotivrečnosti, suprotstavljenosti Ja i ne-Ja (spoljašnjeg univerzuma).

Trijada, prvi neparan i prvi muški broj2 pokazuje svoj značaj, svoju genetsku moć u teoriji figurativnih brojeva. Trougaoni brojevi, tačnije njihovi geometrijski likovi u obliku skupa od tri tačke, donose geometrijski princip obrazovanja i rasta pravilnih figura u ravni i prostoru sa tri ili sa proizvoljnim brojem dimenzija. Kao brojevi u užem smislu, ti isti trougaoni brojevi ističu se u kombinatorici.

Tetrada ili broj četiri učestvuje u karakteru Dijade, čiji je ona kvadrat. Sa druge strane, učestvuje i u posvećenom karakteru Tetraktisa, četvrtog trougaonog broja, koji je međutim i figurativni simbol veoma važne Dekade (broja deset).

°° °

° ° °° ° ° °

Tačkasti dijagram Tetraktisa3 bio je za članove pitagorejskog bratstva ezoterični simbol važan koliko i pentagram, njihova tajna lozinka. Prizivajući Tetraktis, članovi sekte polagali su svečanu zakletvu da nikada neće odavati tajne, između ostalih ni matematičke. Jamblih je sačuvao formulu zakletve: “Ne, zaklinjem se onim koji je našoj duši otkrio Tetraktis, u kome su izvor i koren večne prirode.” Pitagorejci Tetraktisu pridaju veliki značaj, jer razboritom umu on otkriva tajnu univerzalne prirode.

Tertraktis nije učestvovao samo u prirodi Dekade i trougaonih brojeva, već i u muzičkoj harmoniji koja je imala prvorazrednu ulogu u pitagorejskoj ideologiji i kao simbol harmonije kosmosa i kao sugestivna tehnika korišćena za stvaranje povoljne atmosfere u ritualu sekte. Veza između Tetraktisa i pitagorejske dijatonske lestvice proističe iz činjenice da je tetrakordna lira sa žicama, čije su dužine proporcionalne brojevima 1, 2, 3 i 4, dopušatala i oktavu i intervale kvinte, kao i kvarte, o čemu će kasnije biti reči. Tako je

1 Korelacija između parnih brojeva i ženskog načela, koju su odlučno zastupali pitagorejci i kineski filozofi, pre svega zbog deljivosti tih brojeva deobom, potvrđena je u biologiji, gde je zaista muško načelo pridruženo neparnim brojevima, a žensko parnim.2 Jedinica je više princip nego broj3 Piramida sastavljena od tačaka, umesto slova



Tetraktis dospeo dotle da u katehizmu pitagorejaca bude izjednačen sa harmonijom sfera: “Tetraktis, čista harmonija, harmonija Sirena.”4

Pentada, ili broj pet, značila je pitagorejcima skoro koliko i Dekada, čija je polovina i sažeti odraz bila. Obrazovana pomoću prvog (posle Monade) u pravom smislu neparnog, muškog, asimetričnog broja – tri i prvog parnog ženskog broja – dva, ona je za Grke predstavljala broj ljubavi (), broj Afrodite kao boginje oplođujućeg sjedinjavanja, broj rodne ljubavi, apstraktni arhetip rađanja. Pentada je i broj harmonije u zdravlju i lepote oličene u ljudskom telu, projekcija kosmičkog duha, Dekade-makrokosmosa na materijalnom planu, koji kao i ona odražava snažni ritam sveopšteg života. Geometrijski amblem Pentade je pentagram, pravilna petokraka zvezda, koja je prema Lukijanu bila tajna lozinka i geometrijski simbol pitagorejskog bratstva5.

Heksada, ili broj šest, sasvim logično, izražava stabilnost i ravnotežu. Vitruvije ukazuje na njega kao na savršen broj6, a za čarobnjake i alhemičare, naslednike pitagorejskih tradicija u Gnozi i Kabali, predstavljao je neorganizovanu prirodu (natura naturata).

Sedam je za pitagorejce bio znamen nevinosti. Trebalo bi naglasiti da se krug ne može podeliti na sedam jednakih delova euklidovskom konstrukcijom, dok je za tri i pet to moguće. Može se reći da je sedam “praprvi” broj i njegova čistoća je neosporna. Ceo sistem u antičkoj Grčkoj bio je zasnovan na ovom broju – znali su za sedam planeta, uključujući Sunce i Mesec.

DekadaSuvišno je naglašavati ulogu broja deset u sistemu numeracije koji je

usvojila većina civilizovanih naroda. Ali taj vid nije zanimao pitagorejce, niti ih je on naveo da Dekadi dodele čast svetskog broja. Ona je za njih imala trostruki kvalitet:

1. da bude dvostruka Pentada7;2. da predstavlja skup tačaka sadržanih u već predstavljenom Tetraktisu;3. najzad, da kao i Pentada, bude simbol kosmosa.Osnovna proporcija u desetouglu, geometrijskoj slici dekade – odnos

sklada – upravo proporcija zlatnog preseka koja dominira i u pentagramu, tajnom simbolu pitagorejstva. Vitruvije koristi iste izraze da bi definisao sklad nekog arhitektonskog zdanja, pa tako i on ističe značaj broja deset u igri proporcija nekog hrama. Grčka arhitektura, Vitruvijeva inspiracija, bila je ezoterična, a njena ezoteričnost pozajmljena je baš iz pitagorejske mistike brojeva.

Speusip, Platonov nećak, govori o nekoliko osobina koje su pitagorejci otkrili kod Dekade. To je, na primer, prvi broj koji ima jednako i proste i

4 Jamblih, navodeći Aristotela5 “Pentagram, koji su posvećeni usvojili kao svoj simbol, bio je za njih amblem zdravlja...”6 On je to i u aritmetici, jer je jednak zbiru svojih delitelja: 6 = 1 x 2 x 3 = 1 + 2 + 37 U geometriji ona ponavlja petougaonu simetriju i odražava zlatan presek



složene brojeve. Ovo upućuje na zaključak da je to shodno prirodi da Heleni broje do deset, a potom počinju iznova.

Očigledno je da se Tetraktis identično može izraziti kroz zbir niza uzastopnih celih brojeva u grafičkom obliku – ovi nizovi nazivaju se trougaoni brojevi. Iz sličnih razloga sume niza uzastopnih neparnih brojeva nazivaju se kvadratni brojevi, a parnih pravougaoni brojevi. Ako se prosti brojevi dodaju u obliku gnomona, rezultat je uvek kvadrat, dok, ukoliko se dodaju parni dobijamo niz pravougaonika.

Harmonija brojeva i kosmosa Pojam broja koji upravlja svemirom što ga je uveo Pitagora, preuzeo je

Platon koji je zajedno sa svojim inicijatorom Arhitom iz Tarenta bio najznačajniji među učenicima i sledbenicima Majstora sa Samosa. Primećuje se da je arhetipskim brojevima Platon dodao i ideje-oblike, budući da se brojevi odslikavaju u geometrijskim figurama. Broj i lepota bili su glavni arhetipovi (apsolutna lepota iz Gozbe), ali su i sama lepota i kosmička harmonija bile podređene broju koji vlada i neorganskim i organskim svetom. Treći Platonu drag arhetip, koji je on sam izveo iz broja, bila je proporcija.

Sama reč kosmos, koju je uveo Pitagora i koja već obuhvata ideju o (brojevima) dobro uređenom svemiru, i pojam harmonije sa njim u antičkom smislu reči simetrično povezan, dominirali su ne samo Platonovom estetikom i kosmologijom, već i grčkom arhitekturom, čije ideje vodilje kriptički nagoveštava Vitruvije8. Izgleda da je taj pojam kosmičke harmonije koja se ogleda u skladu između univerzuma, hrama9 i čoveka, Pitagora pozajmio od Egipćana prilikom boravka među sveštenicima.

Prema Aristotelu, pitagorejci su duboko poštovali broj kao prvo načelo svih stvari, verovatno zahvaljujući njihovom otkriću da se principi muzičke harmonije mogu objasniti pomoću matematike. U istom odeljku Aristotel nas obaveštava da su neki pitagorejci verovali da generacije brojeva, kao i samog kosmosa, mogu biti objašnjeni Tabelom suprotnosti, koja se sastoji od sledećih parova: (1) ograničeno i neograničeno; (2) neparno i parno; (3) jedinstvo i pluralitet; (4) desno i levo; (5) muško i žensko; (6) mirovanje i kretanje; (7) pravo i krivo; (8) svetlost i tama; (9) dobro i zlo i (10) kvadratno i pravougaono.

8 Kao i ostali antički arhitekti, Vitruvije se zavetovao da neposvećenima ne otkriva tajne svog zanata; usvojio je dovoljno pitagorejske mistike brojeva, kako bi slavio vrline broja deset, čiste Dekade – “Stari su smatrali savršenim broj deset... koji je potekao od Monade...” Pored toga, utvrdio je skoro savršeni paralelizam između proporcija idelanog hrama i proporcija ljudskog tela. 9 “Taj hram je kao nebo u svojim proporcijama.” (Natpis na jednom reljefu hrama Ramzesa III, Kairski muzej)



Muzika i brojMožda je studija proporcija navela Pitagoru da muziku svede na broj.

Jednog dana, dok je prolazio pored kovačnice, bio je privučen redovnim muzičkim intervalima zvukova koji su dolazili od nakovnja. Otkrivši da su čekići različite težine, zaključio je da tonovi zavise od numeričkih odnosa. U jednom od malog broja eksperimenata uzeo je dve strune jednake debljine i jednake tenzije i otkrio da su, ako je jedna dva puta duža od druge, kada bi ih trzao, davale oktavu. Ako je jedna bila jedan i po puta duža od druge, davale su kvintu (do, sol); ako je jedna bila za trećinu duža od druge, davale su kvartu (do, fa). Iz ovoga se može zaključiti da je Pitagora pronašao i dijatonsku lestvicu.

Pitagorejska matematika, a naročito teorija proporcija koju je zatim razvio Platon, rezultat su proučavanja muzičkih intervala. Grci nisu upoređivali frekvencije treperećih žica, već njihove dužine. Teorija muzičkih intervala i njihovih proporcija mogla je tako neposredno biti preneta na proučavanje proporcija između bilo kojih linearnih veličina. Ovde se ponovo susreće i Tetraktis, kao i jedan od razloga njegovog značaja – činjenica da progresija 1, 2, 3, 4 obezbeđuje glavne razmere intervala dijatonske lestvice, onu od 4 prema 2 ili 2 prema 1 oktavi (), od 3 prema 2 kvinte ()10, kao i onu od 4 prema 3 kvarte ().

“Tetraktis je skup četiri broja čije razmere predstavljaju osnovne muzičke akorde.” Tetraktis se tako poistovećuje sa samom harmonijom11. Na taj način svaki muzički interval mogao se matematički izračunati i izraziti. Pošto sva tela koja se kreću po prostoru proizvode zvuk čija visina zavisi od veličine i brzine tela, znači da svaka planeta u svojoj orbiti oko Zemlje proizvodi zvuk u srazmeri sa svojom brzinom kretanja, koja se sa svoje strane povećava sa njenom razdaljinom od Zemlje. Dakle, muzika je igrala važnu ulogu u bratstvu, kao praksa i kao nauka pridružena matematici proporcija.

10 pri čemu prisustvo 5=3+2 ili Pentade povećava značaj kvinte iz koje je izvedena pitagorejska dijatonska letsvica.



Povezanost proporcijskih sistema u grčkoj arhitekturi i umetnostiOsnovni pojam proporcije u antičkoj tradiciji počiva na odnosu tri broja

koji obrazuju iskaz a:b=b:c=c:d, tj. neprekidnu proporciju u kojoj je odnos svakog člana prema sledećem stalan. Platon je ovu proporciju, sledeći pitagorejsku misao, postavio u osnovu ustrojstva kosmosa, što svakako ukazuje na njenu primarnost u odnosu na ostale proporcijske sisteme koji su u antici uspostavljeni. Euklid osnovni pojam proporcije određuje kao odnos koji “je kvanititativno poređenje između dveju veličina iste vrste”. Po Nikomahu postoji razlika između odnosa i proporcije, pa je odnos veza između dva izraza, a proporcija je kombinacija od najmanje dva odnosa, tako da je potrebno imati bar tri izraza da bi uspostavili proporciju. Vitruvije proporciju poima kao “podudaranje određenog dela sa pojedinim delovima građevine i sa celinom”, a iz nje nastaje simetrija kao pojam koji se odnosi na celu kompoziciju. Ovakvo raščlanjivanje pojmova nagoveštava i Plotin kada ističe da “čulne harmonije treba da se mere brojevima i to ne u svakom odnosu, već u onom koji bi poslužio za stvaranje oblika tako da ovaj vlada”.

Ovakav način poimanja pojma proporcija oslanja se na stavove Vitruvija i Plotina i donekle odstupa od strogih matematičkih definicija koje daju Platon, Euklid i Nikomah. Po svojoj suštini, on je blizak shvatanju koje je važilo u likovnim umetnostima još od vremena Polikleta, a koje se vezivalo za pojam proporcionisanja ljudske figure, tj. za postupak sameravanja delova tela kako bi u sklopu obrazovali harmoničnu celinu. Kao što je poznato, odnosi između ovih delova utvrđivani su u okvirima čvrstih sistema koji se, međutim, ne mogu podvući pod matematičku definiciju pojma proporcija.

11 on je zbog 1+2+3+4=10 i jedan aspekt božanske Dekade



Teorija proporcijaUkoliko se prihvati da se pod pojmom proporcija podrazumevalo pravilno

sameravanje delova jedne celine, u daljim analizama bi trebalo pratiti sve eventualne numeričke sklopove koji u datim slučajevima čine čvrst okvir, a koji, smatralo se, svojim unutrašnjim odnosima dovode do uspostavljanja harmonije, bez obzira na to da li su ovi sklopovi zasnovani na strogoj matematičkoj definiciji, na antičkim teorijama o muzičkim harmonijama ili drugim pravilima, i u nizu primera konstantnim, numeričkim odnosima.

Snažan uticaj aritmetike na teoriju o hramoniji doveo je do posebnog načina iskazivanja proporcijskih sistema brojčanim nizovima, tj. progresijom. Ovaj način iskazivanja proporcija može da se zasniva i na složenijim sistemima, s tim da je već sračunati niz mogao biti primenjen i bez poznavanja matematičke formule koja mu je prethodila. Međutim, ono što ovakav način iskazivanja proporcija stavlja pod sumnju je primena složenih geometrijskih shema u eventualnom procesu proporcionisanja u graditeljstvu i likovnim umetnostima.

Među kratkim i tajnim formulama na koje Platon podseća u svom Sedmom pismu, objavljenim nekoliko vekova posle Pitagorine smrti, najvažnija posle “Sve je uređeno na osnovu Broja” odnosi se na princip analogije - “Spoznaćeš, koliko je to moguće smrtniku, da je Priroda u svemu slična sebi samoj.” Taj princip odražava se u razvoju filozofije, magije (koja je značajna u prenošenju antičkih simbola i principa) i zapadne umetnosti, uključujući grčku arhitekturu, pa čak i literaturu i muziku.

Sama proporcija je, u skladu sa Euklidovom definicijom “ekvivalencija dveju razmera”, analoška relacija između dva poređenja. Kada je ta

ekvivalencija jednakost dve algebarske razmere, imamo odnosno

ako su a, b, c i d brojevi koji mere veličine A, B, C i D istom jedinicom. Ovaj izraz odmah ukazuje na relaciju između te jednakosti i principa analogije12. Ukoliko su dva (srednja) člana jednaka, dobijamo neprekidnu geometrijsku

proporciju, , gde je b geometrijska sredina (medijetet) između dva

krajnja člana. Ideja medijeteta ili harmonijske veze između dva elementa formule ili misli ima posebnu ulogu kod Platona13.

Geometrijska proporcija može imati proizvoljan broj članova:

prekidna proporcija . . . itd.

neprekidna proporcija . . . itd.

Grcima se više dopadalo da neprekidnu proporciju iskažu u formi geometrijske progresije a, b, c, d, e, itd. (kao na primer 1, 2, 4, 8, 16, itd).

Pitagorejci sa Sicilije imali su izgrađena tri najvažnija tipa proporcije, koji se algebarski mogu simbolizovati sa

12 kako je Vitruvije primetio, geometrijska proporcija se na grčkom zove .13 njegova definicija proporcije u Timeju: “Nemoguće je dobro kombinovati dve stvari bez treće - potrebna je između njih veza koja ih spaja.”



(1, 2, 3) aritmetička proporcija

(1, 2, 4) geometrijska proporcija

(2, 3, 6) harmonijska proporcija.

Harmonijska proporcija javlja se u muzici, dok geometrijska - Vitruvijeva analogia, osnova geometrijskih sličnosti - dominira u vizuelnim umetnostima, posebno u arhitekturi. Ova tri glavna tipa proporcija poznavali su još pitagorejci iz krotonijanskog perioda i verovatno ih je Platon saznao od Arhite iz Tarenta u vreme svoje prve posete Velikoj Grčkoj. Novopitagorejci Mionid i Eufranor u I veku pre n.e. zaokružili su ukupan broj na deset, broj Dekade blizak Bratstvu.

Platon je neobično bio sklon konceptu medijeteta koji je bez razlike primenjivao na proporcije iz domena matematike, muzike, kosmogonije, pa čak i metafizike. Za njega je opšti harmonijski problem bio u tome da umetne potreban medijetet kako bi povezao dve veličine, dva muzička intervala, dva logička entiteta, dva temperamenta i tako izgradi sklad ().

Dve vrste proporcija su pitagorejcima bile posebno drage. Jedna je univerzalna proporcija – grupa od četiri broja kao sažetak tri glavna tipa i muzički odraz Tetraktisa, a druga je zlatni presek ili Božanska proporcija.

Univerzalna proporcija bila je složena progresija 6, 8, 9 i 12. Ona ima veoma važnu dodatnu osobinu da putem razmera među svojim članovima obezbedi intervale pitagorejske lestvice, u stvari iste one koju daje Tetraktis. Privlačila je Pitagorine učenike, jer ona ima i geometrijski vid: 6 predočava broj strana kocke, 8 broj temena kocke, 12 broj ivica kocke. Za 9 je dovoljno to što je kvadrat prvog muškog broja.

Konstrukcija božanske proporcije (zlatnog preseka) bila je najstrože čuvana matematička tajna pitagorejskog bratstva. To je u stvari najlogičniji način da se neka merljiva veličina asimetrično podeli na dva nejednaka dela, tako da odnos većeg i manjeg dela bude jednak odnosu između njihovog zbira (celine) i većeg. Ako je B tačka koja tako deli duž AC i ako je AB=a,

BC=b, onda je po definiciji , što je u stvari geometrijska proporcija.

Ugrađivanjem proporcija u građevine (tačnije hramove), Grci su im neposredno davali simbolički karakter. Na taj način postavljali su definiciju kosmosa i ovozemaljskog.



Uloga zlatnog preseka“Neka niko ovde ne ulazi ako ne zna geometriju”, pisalo je na glavnim

vratima Platonove Akademije. Potrebno je malo elementarne geometrije osim pametne glave kako bi se u potpunosti razumeo sav smisao učenja velikih grčkih filozofa, Pitagore i Platona, istovremeno i matematičara. Helensko značenje geometrije nije ništa drugo do merenje zemlje, a to su praktični radovi: omeđavanje, merenje, deljenje itd. I astronomija je takođe deljenje i to vremena, ona određuje mesto u vremenu i prostoru.

Pitagora i njegovi sledbenici ispituju odnose među brojevima, geometrijske slike i tela od kojih je lopta najsavršeniji oblik, pa su zbog toga takva sva nebeska tela. Oni neguju muziku i utvrđuju odnose muzičkih intervala, odnose između dužine žice i visine odgovarajućih tonova. Na ovoj geometriji, na ovim brojevima, na teoriji muzičkih intervala, zasnivaće svoje proporcije ne samo umetnici grčke epohe, već će se na njih vraćati i uvek iznova tumačiti mnogi teoretičari sve do današnjeg dana.

Baveći se matematikom, govoreći o pitagorejcima, Aristotel nas podučava: “Oni su elemente brojeva stavili ispred elemenata stvari”, a ceo kosmos su objasnili kao broj i harmoniju. Taj idealistički pogled na svet zapostavio je činjenicu da je broj samo kvantitet. Pitagorejsko učenje o brojevima kao suštini stvari poslužiće Platonu da izgradi idealističku filozofiju koja je primarno kosmološka, mistička i teološka, a zapostavlja izučavanje prirode. Međutim, pojmovi broja i geometrijskog lika uzeti su iz stvarnog sveta, a ne sa neke druge strane.

O pitanjima proporcija i proporcionalnosti govori Euklid u petoj knjizi svojih “Elemenata”, na čisto geometrijskoj osnovi. Nastavljajući učenje Platona i Eudoksa, čiji je i sam bio đak, on prenosi matematička znanja u Aleksandriju, pod čijim će se neposrednim uticajem razvijati istaknuti matematičari Arhimed i Apolonije. Euklid je primarne odnose pretočio u geometrijsku sliku:

AC:HK= GM:FD = LG:HE = 4:3AC:GM = HK:FD = BF:LG = 3:2AC:FD = GM:LG = BF:HE = 2:1GM:HE = 8:3AC:LG = 3:1AC:EH = 4:1HK:GM = 8:9

Poznato je da su Grci prvi postavili temelje muzičke harmonije, da su njihovi matematičari otkrili zakone aritmetičkih, geometrijskih i harmonijskih proporcija, da su znali za zlatni presek i primenjivali modularne proporcije. Opšte je prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najskladnije oblike arhitekture koji su sačuvani do današnjeg dana. Dugo vremena je u istoriji arhitekture vladalo mišljenje da su klasični grčki graditelji u svom radu koristili takozvani modularni sistem,



tj. da su uzimali deo građevine14 za jedinicu i raznim delovima građevine davali razmere koje su se izražavale u prostim celim brojevima u odnosu na osnovni modul. Ispitivanja obavljena u poslednje vreme dokazuju da su klasične grčke građevine zasnovane na iracionalnim brojevima, među kojima naročito veliku ulogu ima odnos zlatnog preseka.

Formulisan je složen estetski sistem zlatnog preseka, zasnovan na svođenju tri osnovna položaja: zlatni presek gospodari u arhitekturi, zlatni presek gospodari u prirodi - zlatni presek gospodari u arhitekturi zato što gospodari u prirodi. Zato se stvaralaštvo arhitekte smatra produžetkom opšteg stvaralaštva prirode i čini lošim sve ono što nije u skladu sa prirodom.

Osobine neprekidnog deljenja ili deljenja po zlatnom preseku jasno se manifestuju u sklopu čovečijeg tela.

Ceo postupak – proporcionisanje čovečije figure – sastoji se u što tačnijoj konstrukciji zlatnog preseka, u neprekidnom odmeravanju minora na majoru i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Neprekidna podela, kao jedino postojeći geometrijski niz, tj. gde je svaki član niza ne samo geometrijska sredina već i aritmetička razmera dva susedna člana, morala je sasvim razumljivo pobuditi sveopštu pažnju. Na najpotpuniji način neprekidnom podelom iskazan je osnovni princip uzajamne usklađenosti među odabranim prirodnim tvorevinama i istaknutim umetničkim delima ljudskog stvaralačkog duha.

Euklid postavlja u 11. stavu II knjige Elemenata sledeći zadatak: “Datu duž podeliti tako da pravougaonik, obuhvaćen celom duži i jednim odsečkom, bude jednak kvadratu na drugom odsečku.” Iz konstrukcije gornjeg zadatka sledi podela date duži po zlatnom preseku, iako Euklid izričito napominje da se manji deo duži (minor) odnosi prema većem (major) kao ovaj prema zbiru manjeg i većeg. Dekompozicijom već prikazanog kvadrata utvrđen je zlatni presek.

Mehanizam neprekidne podele ili zlatnog preseka igra posebnu ulogu u likovnom stvaralaštvu, a ponajviše u oblasti apstraktnih geometrijskih oblika, kombinovanih kroz konstrukciju, funkciju i merilo čoveka u određene prostorne celine.

14 Na primer prečnik stuba ili visinu triglifa



Estetika i brojeviKada su filozofi, posebno Platon i Aristotel, izradili teorije koje se bave

estetikom, uglavnom su ih primenjivali na različite subjekte. U prilog fizičkoj lepoti ljudskog bića – koja je vodila ka privlačnosti (eros) – estetika je dovođena u vezu sa umetnošću, naročito sa skulpturom i slikom. U ovim oblastima kriterijumi za ocenjivanje su istina, dobro i ispravno. Najbolje skulpture su one koje su najistinitije i nose najbližu sličnost (mimesis); najlepša slika je ona koja je najbliža prirodi.

Prvi antički autor koji je napravio studiju o arhitekturi bio je Vitruvije sa svojom De architectura. Značaj ovog rada je u tome što konstantno upućuje na grčke spise. Vitruvije pominje tekstove koji nisu opstali u celosti do danas, ali koji dele jednu zajedničku činjenicu: oni su komentari u kojima arhitekte objašnjavaju svoja dela. Tako ovi spisi ne čine opštu teoriju arhitekture. Pre bi se moglo reći da oni sebe ograničavaju na saopštavanje namera koncerna graditelja.

Vitruvije sam uključuje pojam simetrije u sistem proporcija. Odnosi, tačnije proporcije, saopšteni su numeričkim vrednostima. Izraženi su srednjim vrednostima prostih brojeva. Ovo uzajamno unutarnje dejstvo upravlja spomenikom i obrazuje vrstu mreže koja se prilagođava aritmetičkim i geometrijskim pravilima. To su one proporcije koje stvaraju simetriju u značenju grčkih autora. I matematička konstrukcija predstavljena građevinom zasniva se na numeričkim činiocima.

Celokupan značaj ovog sistema zasniva se na vrednostima koje su pitagorejci dali brojevima. Za Pitagoru brojevi su izraz osnovnog jezika i rečnika koji povezuje ljude i bogove. Broj je nečelo svih stvari. On predstavlja večni karakter stvarnosti. To je ono što prožima delo sa njegovom lepotom i perfekcijom.

U antičkoj svesti brojevi predstavljaju numen (snagu, silu, veličanstvenost) božanskog. Za Platona, na koga je veoma uticao Pitagora, “broj je najviši stepen znanja”. Neopitagorejac Nikomah iz Gerase tvrdio je da je “sve određeno brojevima”. Prema tome, brojevi su proučavani kao jedinice koje izražavaju večnu Istinu.

Kao ishod niza izračunatih i kvantifikovanih proporcija i odnosa, primenjenih koliko i na osnove, toliko i na visinu građevine, grčka svetilišta obrazuju model napravljen kako bi se izrazile čiste ideje i zapisali suštinski principi božanskog mišljenja. To je pružilo opipljivu reč (logos) u značenju datog od strane arhitekte u njegovom materijalnom građenju, vodeći se matematičkim pravilima.

Poštujući zakon prirode koji reguliše i muzičku skladnost i arhitekturu univerzuma mnogo pre nego što se došlo do kontrole arhitekture svetilišta, trebalo bi pomenuti nekoliko osobina proporcija koje su primenjivali grčki graditelji. Prema tome, imamo desnougaoni ili takozvani pitagorejski trougao, zasnovan na brojevima 3, 4 i 5 i njihovim odgovarajućim kvadratima (9 i 16 čine 25), od koga se zasniva čitav niz suštinskih odnosa. Isto tako aritmetički i geometrijski niz celih brojeva ušao je u proračunsku transkripciju stvarnosti. Na kraju bi trebalo pomenuti i zlatni presek, poznat i kao



božanska proporcija, formula za koju važi: “Podela linije na srednji i krajnji odnos”. Ova sažeta formula može se jednostavnije prevesti kao “podela date linije tako da je odnos cele linije prema većem delu jednak odnosu većeg prema manjem”.

Za pitagorejce brojevi su zamišljeni kao površine, oblici i tačke. Konstrukcije zasnovane na nizu tačaka na pravilnim rastojanjima, čineći homogene grupe, formulisane su uz pomoć trougla (gnomon). Ovaj instrument, ili tačnije alatka, koja čini mogućim crtanje oblika i figura, otkriva duboku vezu između arhitekata i pitagorejskih matematičara. Tako je trougao simbol majstora-graditelja.

U Bibliji, u Solomonovoj Knjizi mudrosti, može se naći prvo spominjanje broja kao apstrakcije: “Bog je sve uredio s merama, brojevima i utezima”. Kada bi to bila Solomonova rečenica, mogli bismo je smatrati inspiracijom pitagorejske doktrine broja, ali je tumačenje Biblije pokazalo da je Knjigu mudrosti tokom II veka pre n.e. sastavio jedan aleksandrijski Jevrejin, verovatno pod uticajem pitagorejske obnove koja se širila iz Aleksandrije. Dakle, nije Biblija u spomenutom smislu uticala na grčku misao. Upravo je u samoj Grčkoj, pod okriljem Pitagore broj bio najpre smatran za arhetip i baš tu je Majstor sa Samosa formulisao slavnu misao, prenetu u Hieros Logos (“Posvećeni razgovori”) koje je posle njegove smrti sačinilo nekoliko učenika.

Aristoksen iz Tarenta, koga citira Stobej, isto tako piše: “Pitagora (je mislio da) su sve stvari uređene na osnovu brojeva.”

Platon je brojevima pridružio ideje kao glavna oruđa Velikog Tvorca, ili “Boga koji uređuje veštinom”. Poznato je da je čudno srodstvo u grčkoj misli udruživalo ideje, oblike i slike.

"Zvuk muzike neposredno odredjuje samu suštinu trajanja i tako nam ponekad omogućava da duhovno proživimo broj."



Literatura

1. Chevalier, Jean i Alain Gheerbrant, Riječnik simbola, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1989.

2. Djurant, Vil, Istorija civilizacije 2 – Život Grčke, Narodna knjiga, Beograd, 1996.

3. Geđ, Deni, Papagajeva teorema, Geopoetika, Beograd, 2000.4. Gika, Matila, Filozofija i mistika broja, Književna zajednica Novog

Sada, Novi Sad, 1987.5. http://plato.evansville.edu/public/burnet/ch2a.htm6. http://www.aboutscotland.com/harmony7. O'Connor, J. J. i Robertson, E. F., http://www-groups.dcs.st-

and.ac.uk/~history/Mathematicians/ Pythagoras.html8. Mako, Vladimir F, Uticaj proporcija i unutrašnje arhitekture na

živopis u srpskim srednjovekovnim crkvama, doktorska disertacija, Univerzitet u Beogradu, Filozofski fakultet, Beograd, 1993.

9. Petrović, Đorđe, Teoretičari proporcija, Vuk Karadžić, Beograd, 1967.

10. Stierlin, Henri, Greece – from Mycenae to the Partenon, Taschen Verlag, Köln, 1997.

11. Vitruvius Pollio, Marcus, Deset knjiga o arhitekturi, Svjetlost, Sarajevo, 1990.

12. Gardner, Helen, Umetnost kroz vekove, Matica srpska, Novi Sad 1967.


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/

http://www.abboutscotland.com/harmony

Simbolika Brojeva u Antickoj Grckoj

Documents

Transcript of Simbolika Brojeva u Antickoj Grckoj