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SILOS METÁLICOS LUÍS MIGUEL DE OLIVEIRA LEITE Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS Orientador: Professor José António Fonseca da Mota Freitas Co-Orientador: Professora Elsa de Sá Caetano MARÇO DE 2008

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SILOS METÁLICOS

LUÍS MIGUEL DE OLIVEIRA LEITE

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor José António Fonseca da Mota Freitas

Co-Orientador: Professora Elsa de Sá Caetano

MARÇO DE 2008

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MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2007/2008

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Este documento foi produzido a partir de versão electrónica fornecida pelo respectivo Autor.

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Aos meus Pais

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AGRADECIMENTOS

O meu sincero agradecimento ao Professor Mota Freitas que sempre me atendeu e escutou, e a quem devo todo o conhecimento adquirido nesta tese. À Professora Elsa Caetano pelo grande apoio e indispensável aconselhamento. Ao Professor António Ferreira, por todos os conhecimentos que me legou. À minha colega Diana Peres (ETEC) pela transmissão de conhecimentos e experiência.

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RESUMO

Neste trabalho estudam-se fenómenos e metodologias relacionadas com a construção de silos metálicos. No início descrevem-se as diferentes formas de arranjo espacial dos silos e os critérios que regem a escolha dos materiais utilizados na sua construção. De seguida, examinam-se as propriedades do material armazenado e características geométricas associadas aos silos (em particular dos silos metálicos). São ainda observadas as causas da explosão de silos, acção correntemente negligenciada.

Projectam-se dois silos que se distinguem entre si pela sua secção transversal: uma circular e a outra rectangular. As acções consideradas são as definidas no Eurocódigo 1 (Parte 4); na verificação estrutural adoptam-se os critérios do Eurocódigo 3 (Parte 4.1) para o silo circular, e os das normas canadianas para o rectangular.

Realiza-se ainda um programa de elementos finitos, em MATLAB, com o objectivo de criar uma alternativa de cálculo ao programa comercial utilizado (ROBOT).

PALAVRAS-CHAVE: silos metálicos, circular, rectangular, MATLAB

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ABSTRACT

In the present work, steel silos construction and related phenomena and methodology are studied. It begins with a description of the physical arrangement made with silos, and the criteria taken for the selection of construction material. Following, bulk solids physical properties and silo’s geometry are examined (with especial focus on steel silos). Due to the neglect of dust explosions, a chapter is written for a better understanding on this subject.

Two types of silos are studied with the difference in their cross section area (one of them has a circular cross section, the latter a rectangular one). General principles and actions are taken from Eurocode 1 (Part 4); strength assessment of the circular structure is based on Eurocode 3 (Part 4.1) rules, while the rectangular one follows the Canadian technical specifications.

Yet, a MATLAB code is presented, an alternative way to the commercial program ROBOT.

KEYWORDS: steel silos, circular, rectangular, MATLAB

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ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................... i

RESUMO ................................................................................................................................. iii

ABSTRACT ...............................................................................................................................................v

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................1

2. HISTÓRIA................................................................................................................................3

2.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................3

2.2. ÁREAS DE UTILIZAÇÃO DOS SILOS .................................................................................................4

2.3. MATERIAL ESTRUTURAL ..................................................................................................................6

2.3.1. SILOS DE AÇO ..................................................................................................................................6

3. PROPRIEDADES DO MATERIAL UTILIZADO ................................15

3.1. PROPRIEDADES DO FLUXO E O SEU EFEITO NA GEOMETRIA DO SILO ........................................15

3.2. DENSIDADE ....................................................................................................................................15

3.3. COMPRESSIBILIDADE .....................................................................................................................15

3.4. ÂNGULO DE REPOUSO,φ .............................................................................................................16

3.5. COEFICIENTE DE ATRITO DA PAREDE , µ ....................................................................................16

3.6. RÁCIO DA PRESSÃO LATERAL , K ................................................................................................17

3.7. TIPOS DE FLUXO.............................................................................................................................17

3.7.1. FLUXO EM MASSA ...........................................................................................................................19

3.7.2. FLUXO EM FUNIL .............................................................................................................................19

3.7.3. PRESSÕES ESTÁTICAS/ DINÂMICAS..................................................................................................23

3.8. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ...................................................................................................25

4. ACÇÕES ................................................................................................................................27

4.1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................27

4.2. CLASSES ESTRUTURAIS DOS SILOS .............................................................................................27

4.3. SITUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTOS PARA OS SILOS .................................................................29

4.4. CARGAS NAS PARADES VERTICAIS ...............................................................................................30

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4.4.1. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ENCHIMENTO........................................................... 30

4.4.2. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ESVAZIAMENTO ....................................................... 33

4.5. CARGAS NAS TREMONHAS E BASES DOS SILOS ......................................................................... 34

4.5.1. GERAL........................................................................................................................................... 34

4.5.2. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ENCHIMENTO.................................................................... 36

4.5.3. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ESVAZIAMENTO ................................................................ 37

4.6. RESULTADOS ................................................................................................................................ 37

4.6.1. PAREDES VERTICAIS ...................................................................................................................... 38

4.6.2. TREMONHA .................................................................................................................................... 40

4.7. ACÇÃO DO VENTO ......................................................................................................................... 42

4.8. COMBINAÇÕES .............................................................................................................................. 45

5. EXPLOSÕES EM SILOS ....................................................................................... 47

5.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 47

5.2. AQUECIMENTO ESPONTÂNEO ....................................................................................................... 50

5.3. ESTUDO QUANTITATIVO DOS FACTORES QUE INFLUENCIAM A E XPLOSÃO DE PÓ DE PRODUTOS

COMBUSTÍVEIS ...................................................................................................................................... 51

5.4. ANÁLISE MATEMÁTICA DE UMA EXPLOSÃO DE PÓ ...................................................................... 51

6. SILO CIRCULAR ........................................................................................................... 55

6.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 55

6.2. TIPOS DE ANÁLISE ......................................................................................................................... 56

6.2.1. TEORIA DE MEMBRANA.................................................................................................................... 56

6.2.2. TEORIA DE FLEXÃO DE CASCAS ...................................................................................................... 56

6.2.3. ANÁLISE DESENVOLVIDA ................................................................................................................ 56

6.3. COMBINAÇÕES DE ACÇÕES E FACTORES PARCIAIS ................................................................... 56

6.4. PAREDES CILÍNDRICAS ................................................................................................................. 57

6.4.1. GERAL........................................................................................................................................... 57

6.4.2. PAREDES CILÍNDRICAS SOB CARREGAMENTO SIMÉTRICO ................................................................ 58

6.5. TREMONHA .................................................................................................................................... 59

6.5.1. ESFORÇOS DE MEMBRANA ............................................................................................................. 60

6.6. SILOS SOBRE SUPORTES DISCRETOS .......................................................................................... 64

6.6.1. EFEITO DOS SUPORTES DISCRETOS................................................................................................ 64

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6.6.2. PAREDES CILÍNDRICAS SOBRE APOIOS DISCRETOS .........................................................................66

6.6.3. TREMONHAS DE SILOS SUPORTADAS POR APOIOS DISCRETOS .........................................................66

6.7. ANÁLISE DO ANEL -VIGA ................................................................................................................66

6.7.1. ESFORÇOS RESULTANTES NO ANEL-VIGA ........................................................................................66

6.7.2. TENSÕES MÁXIMAS NO ANEL-VIGA .................................................................................................70

VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL

6.8. PAREDES CILÍNDRICAS ..................................................................................................................71

6.8.1. ESTADOS LIMITE PARA AS PAREDES ................................................................................................71

6.8.2. RUPTURA DA PAREDE DO SILO ........................................................................................................72

6.8.3. VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO AXIAL (VAREJAMENTO)....................................................................73

6.8.4. PRESSÃO EXTERNA, VÁCUO PARCIAL INTERNO E VENTO ..................................................................77

6.8.5. FADIGA ..........................................................................................................................................79

6.9. TREMONHAS CÓNICAS ..................................................................................................................79

6.9.1. RUPTURA DA PAREDE .....................................................................................................................79

6.9.2. COLAPSO PLÁSTICO DA TREMONHA .................................................................................................81

6.10. ANEL DE TRANSIÇÃO OU ANEL -VIGA ..........................................................................................82

6.10.1. MODOS DE ROTURA DO ANEL-VIGA ...............................................................................................82

6.10.2. COLAPSO PLÁSTICO DA JUNÇÃO SOB CARREGAMENTO AXISSIMÉTRICO...........................................82

6.10.3. VAREJAMENTO DA JUNÇÃO............................................................................................................84

6.10.4. ANEL-VIGA DE TRANSIÇÃO SOBRE APOIOS DISCRETOS...................................................................88

6.11. SUPORTE......................................................................................................................................88

7. ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO CIRCULAR ..............................89

7.1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................89

7.2. MODELAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS (DESCRIÇÃO DO MODELO) .............................................93

7.3. VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL ..........................................................................................................97

7.3.1. PAREDES CILÍNDRICAS....................................................................................................................98

7.3.2. TREMONHA CÓNICA ......................................................................................................................104

7.3.3. ANEL DE TRANSIÇÃO.....................................................................................................................108

7.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO .....................................................................................................117

8. SILO RECTANGULAR ...........................................................................................121

8.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................121

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8.2. REGRAS PRINCIPAIS ................................................................................................................... 123

8.2.1. PAREDES..................................................................................................................................... 123

8.2.2. TREMONHA .................................................................................................................................. 124

8.3. ANÁLISE ESTRUTURAL ................................................................................................................ 127

8.3.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 127

8.3.2. FORÇAS DE TRACÇÃO NAS PAREDES VERTICAIS ............................................................................ 128

8.3.3. MOMENTOS NAS PAREDES VERTICAIS ........................................................................................... 129

8.3.4. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS PEQUENAS DEFORMAÇÕES....................................................... 130

8.3.5. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS GRANDES DEFORMAÇÕES ........................................................ 132

8.3.6. FORÇAS NAS PAREDES DA TREMONHA .......................................................................................... 134

8.3.7. DIMENSIONAMENTO DOS REFORÇOS VERTICAIS ............................................................................ 136

9. ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO RECTANGULAR ............ 137

9.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 137

9.2. FORÇAS NA PAREDE ................................................................................................................... 138

9.3. FORÇAS NA TREMONHA .............................................................................................................. 138

9.3.1. FORÇAS ESTÁTICAS...................................................................................................................... 138

9.3.2. FORÇAS DINÂMICAS...................................................................................................................... 140

9.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES ............................................................................................ 144

9.5. DIMENSIONAMENTO DA TREMONHA ........................................................................................... 149

9.6. ANÁLISE SILO RECTANGULAR .................................................................................................... 152

9.7. COMPORTAMENTO DINÂMICO ..................................................................................................... 156

10. SILO DE CHAPA QUINADA ......................................................................... 161

10.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 161

10.2. SILO QUADRADO ....................................................................................................................... 162

10.3. FLEXÃO SIMPLES ...................................................................................................................... 165

10.4. FLEXÃO DESVIADA .................................................................................................................... 166

10.5. FLEXÃO LOCAL ......................................................................................................................... 169

11. PROGRAMA MATLAB ....................................................................................... 171

11.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 171

11.2. CONCEITOS ............................................................................................................................... 171

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11.3. PROGRAMA ................................................................................................................................172

11.4. RESULTADOS E CONCLUSÕES ..................................................................................................175

12. CONCLUSÕES ...........................................................................................................179

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1 INTRODUÇÃO

Os silos, tema desta tese, são estruturas muito particulares cujo interesse tem vindo a aumentar, o que se reflecte na crescente bibliografia que lhes é dedicada, e no grande número de teses de mestrado e doutoramento que se debruçam sobre esta matéria. Para se realizar uma análise de um silo há que ter em conta conceitos de várias áreas do conhecimento da engenharia civil, nomeadamente conceitos de mecânica dos solos, de hidráulica e ainda os da engenharia estrutural, mais em particular da construção metálica.

O conhecimento sobre silos metálicos é ainda escasso, não só devido ao facto de ser um tema recente da área da engenharia civil, mas também por serem estruturas usadas em áreas muito particulares da vida civil, tais como portos e industria agrícola.

No entanto, devido ao grande desafio que constitui a realização do dimensionamento de um silo (e o estudo acrescido para o exercício da profissão), pois obriga a um grande rigor estrutural e elevado conhecimento técnico, têm-se tornado um estímulo para quebrar a barreira do desconhecimento. Um maior conhecimento sobre silos metálicos traduzir-se-á em importantes avanços noutras áreas, como por exemplo na engenharia aeronáutica, onde os elementos de casca têm especial relevo. Neste trabalho procura-se compreender o método de dimensionamento de um silo metálico, bem como o seu comportamento estrutural. São especialmente estudados o silo de secção circular, e depois, o de secção rectangular. Em primeiro, definem-se as acções a aplicar ao silo, de acordo com as regras do Eurocódigo 1(Parte 4- silos e reservatórios). Com as acções determinadas, procede-se à verificação de cada um dos silos: o silo circular respeita as determinações do Eurocódigo 3 (Parte 4.1- silos e reservatórios), enquanto que o rectangular segue as regras das normas canadianas. Ambos os silos são modelados pelo software recorrendo ao programa comercial ROBOT, que permite a obtenção de esforços (tensões principais máxima e mínima, e esforços de membrana), para posterior verificação, de acordo com cada um dos regulamentos. Foi ainda desenvolvido um programa na linguagem de programação MATLAB com o objectivo de criar um processo alternativo de verificação do silo, sem a utilização de um programa comercial. Elaborou-se assim um programa que sendo posteriormente melhorado, constitui uma ferramenta bastante completa para o dimensionamento de silos.

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2 HISTÓRIA

2.1. INTRODUÇÃO

A aleatoriedade do rendimento das colheitas sazonais e a desigual distribuição de cereais no mundo provocou um irregular consumo dos mesmos. Para obviar esta situação constituem-se reservas com os excedentes dos anos agrícolas bons, para futuro consumo em anos menos produtivos.

O armazenamento destes produtos (milho, trigo, cevada, etc.) é feito geralmente em silos, sendo posteriormente daí expedidos a granel ou ensacados.

Vários produtos de utilização industrial, como por exemplo cimento, clinker, minérios etc., são igualmente armazenados em silos.

Os silos são geralmente de aço ou betão (armado ou pré esforçado) e são compostos por uma ou mais células, colocadas lado a lado neste último caso. As células são dotadas de aberturas apropriadas, nos topos e nas bases (tremonhas), por onde se faz o seu enchimento e esvaziamento, respectivamente.

A Fig. 2.1 representa a constituição e o esquema de funcionamento de um silo de várias células:

Fig. 2.1- Silo de várias células

• F- poço de recepção para o qual os materiais são vertidos à chegada.

• E- elevador que transporta os materiais do poço até ao piso acima das células.

• T- cinta transportadora que os carrega após descarga do elevador para os orifícios nos topos das células.

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• C- as células dos silos.

• T´- cinta transportadora (por baixo dos silos), que transporta os grãos após descarga das células.

Os cuidados a ter com a matéria-prima são da responsabilidade de especialistas da empresa, enquanto que o dimensionamento dos silos é geralmente encargo de engenheiros civis.

Tendo em vista os elevados esforços actuantes nas paredes por efeito da pressão e do atrito produzidos pelos materiais armazenados, numerosas propostas foram feitas na intenção de os definir, no curso do estudo do comportamento dos primeiros silos empiricamente calculados, e durante sucessivos testes levados a cabo por contínuos e melhorados métodos.

Assim, os primeiros construtores de silos calcularam as paredes das células como se estas fossem solicitadas por um líquido com a mesma densidade do material armazenado.

Seguindo este pensamento, outros construtores procuraram estender aos silos a teoria de cálculo da pressão dos silos numa parede de contenção.

Depois, alguns estudiosos tais como PRANTE, engenheiro de Hamburgo, e AIRY em França começaram por demonstrar que estes métodos de cálculo eram erróneos, e que a pressão dos grãos e a pressão no fundo de um silo não cresciam indefinidamente, mas que tendiam para limites definidos.

Finalmente, autores como JANSSEN, KOENEN e MORSCH levaram a cabo as suas teorias baseadas na hipótese de invariabilidade da razão K (razão entre a tensão horizontal e vertical num elemento do material armazenado, tal como é apresentado na figura do anexo A.1).

A interpretação matemática para estas teorias foi facilitada pelo facto destas hipóteses permitirem: 1º a extracção da razão constante K da integração da função do equilíbrio do material armazenado num elemento infinitamente pequeno da parede do silo; 2º a obtenção de uma expressão na forma exponencial, relativamente simples para o cálculos de pressões de uma massa pulverulenta sobre as suas paredes (a sua demonstração é feita no anexo A.1).

Desde então, graças a novos métodos de medição de pressões por piezo-electricidade e extensometria, foram realizados alguns testes de elevada precisão em modelos de escala reduzida de silos de várias formas.

2.2. ÁREAS DE UTILIZAÇÃO DOS SILOS

Os silos são bastante utilizados quer na agricultura, quer na indústria.

Na agricultura, os silos têm como finalidade o armazenamento de cereais. Distinguem-se dois tipos de silos:

Um silo “externo”, consistindo numa ou mais células de 5 a 10 toneladas, cada qual com o seu tecto, geralmente próximos de um celeiro ou armazém. Na generalidade das vezes, o material utilizado na sua construção é o aço, podendo por vezes ser o betão pré-esforçado.

Um silo “interno”, erigido dentro de um armazém e com células com uma capacidade de 15 a 50 toneladas, feito de aço, com construção lamelar ou de madeira ou outro qualquer material apropriado.

Estes silos são normalmente compostos por unidades pré fabricadas e são facilmente montados e/ou desmontados.

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Nas grandes cooperativas agrícolas chegam-se a utilizar silos com capacidade para 10 000 toneladas ou mais. Nesses casos, o betão pré-esforçado é o material mais apropriado para a sua construção. As células deste silos têm anexadas algumas células de menor capacidade, requeridas para o armazenamento secundário de cereais. A capacidade dos silos utilizados em portos é impressionante: excede frequentemente as 10 000 e 20 000 toneladas, chegando mesmo às 50 000 toneladas ou mais. Pré-esforço e aço são os materiais de eleição para a sua construção, prestando-se especial cuidado à sua manutenção, pela localização em ambiente marítimo.

Os silos industriais são particularmente robustos, devido à grande quantidade de material que armazenam. Um problema comum neste tipo de silos é a formação de arcos no interior da massa armazenada, que impedem o normal escoamento do material. A fermentação é a causa deste fenómeno, pois favorece a aglomeração entre partículas. Actualmente, a detecção de sobre aquecimento e uma correcta ventilação permitem minimizar os efeitos da fermentação.

Os silos inclinados da figura 2.2 e 2.3 são especialmente adequados para o armazenamento de produtos industriais, pois facilitam o escoamento do material armazenado.

Fig. 2.2- Silos inclinados

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Fig. 2.3- Silos inclinados

2.3. MATERIAL ESTRUTURAL

A escolha do material a usar num silo depende de vários factores. A maior parte dos silos são de betão (armado ou pré-esforçado) ou de aço. A escolha entre estes dois, depende dos custos de produção, transporte e montagem.

As principais vantagens dos silos de aço relativamente aos de betão são:

� Para silos em aço de pequeno tamanho, o tempo de construção é consideravelmente mais baixo;

� Se a estrutura é aparafusada, é fácil a sua desmontagem e deslocação para outro local. Por outro lado, a construção de silos com aço traz também alguns inconvenientes, tais como a corrosão e a criação de água de condensação que poderá ser prejudicial a alguns dos materiais armazenados.

A escolha do material está ainda dependente do tipo de esforços a que o silo estará sujeito. Nos silos de betão, os esforços de tracção terão de ser cuidadosamente monitorizados. No caso de silos metálicos, em particular os de secção circular, os esforços transversais são suportados por anéis abraçadeiras que ficarão traccionadas. Nestes silos há que ter em conta fenómenos de varejamento.

Os silos de betão são indicados para silos altos, e os de aço para os restantes casos.

Nesta tese serão estudados apenas silos metálicos, sendo por isso o aço o material de eleição no seguimento deste estudo.

2.3.1. SILOS DE AÇO

A geometria dos silos depende de vários aspectos como os económicos, volume de material a armazenar, espaço disponível, o tipo de descarga pretendido, etc.

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Os silos cilíndricos são estruturas preferidas em relação aos prismáticos, do ponto de vista de custo estrutural. No entanto, em termos de capacidade de armazenamento, um silo quadrado armazena 27% de volume a mais, em relação a um silo cilíndrico de diâmetro igual ao lado do quadrado.

2.3.1.1. Silos de aço com base poligonal regular

Estas células são construídas segundo o mesmo princípio que consiste em colocar lado a lado painéis pré fabricados.

Nesta tese vai-se considerar em particular a célula com uma base octogonal, que constitui o exemplo típico deste tipo de construção de células poligonais.

Cada painel é pré fabricado com chapas de aço moldadas de acordo com o perfil calculado para dar a máxima resistência à pressão exercida em cada face. Duas barras planas, com o comprimento do painel de chapa quinada, são soldadas aos dois topos verticais do painel, tornando-o uma estrutura bastante rígida à flexão.

Fig. 2.4- Parede de silo (pré fabricada)

A chapa laminada da parede tem de ser calculada para suportar os esforços de flexão (flexão desviada ou flexão local).

Os painéis sucessivos são ligados por soldadura das barras verticais (fig. 2.5) formando-se um núcleo triangular, cuja espessura varia com a altura do painel e que forma o esqueleto resistente da célula, funcionando como pilar.

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Fig. 2.5- Detalhe da ligação de paredes do silo

Estes “pilares” são calculados para suportar a tensão de compressão vertical devida ao peso próprio da célula e ao atrito dos grãos na parede. Estes “pilares” podem ser preenchidos com betão se se pretender aumentar a sua capacidade de carga.

Cada célula é coberta com um tecto de chapa de aço com a forma de uma pirâmide.

Os vários componentes das células pré fabricadas são transportados para o local onde são montados por soldadura, de modo que não haja o mais pequeno interstício entre painéis celulares componentes garantindo-se assim que a célula seja completamente estanque.

Por fim, as células são sujeitas a um teste de impermeabilidade ao ar, através de ar comprimido. Esse facto permite que os grãos sejam conservados numa atmosfera confinada com todas as vantagens inerentes a este método de conservação.

As células podem ser montadas individualmente: as suas dimensões e forma são calculadas para providenciar a máxima capacidade de armazenamento, em relação à área de superfície utilizada. As várias alturas para as quais podem ser fornecidas, permitem muitas variações da capacidade. Podem também ser montadas num conjunto de várias células e as dimensões normalizadas dos seus painéis oferecem uma dupla vantagem.

Em primeiro lugar, elas permitem um alargamento pela adição de células suplementares às células já existentes, usando uma ou mais das paredes já construídas.

Um exemplo clarificará esta vantagem: uma simples célula octogonal requer 8 painéis para a sua montagem. Se uma segunda célula for montada junto a esta primeira, serão apenas necessários 7 painéis, já que o oitavo será comum à primeira célula. Se 4 células forem montadas, não serão precisos 32 painéis, mas apenas 28 já que 4 deles são comuns. Se 6 células foram ligadas, 41 painéis serão precisos em vez de 48, e sempre assim (fig. 2.6). Por isso, quanto maior for a capacidade, ou seja, o número de células, menor será o aumento do custo de primário por volume armazenado.

A segunda vantagem importante do agrupamento de 4 células octogonais é a de criar no seu centro, uma pequena célula quadrada (cuja capacidade é de cerca de um quinto da célula octogonal). É formada integralmente por cada uma das 4 células octogonais em redor, e tem apenas o custo da cobertura e da base (sobre a qual repousa). Cada grupo de duas células octogonais além das 4 providencia assim, gratuitamente, uma pequena célula quadrada suplementar.

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Estas pequenas células quadradas são aproveitadas para:

� Armazenamento de cereais com características especiais, � Formar uma célula báscula, � Permitir a mistura de vários cereais, � No caso do manuseamento mecânico, providenciar o estabelecimento do elevador.

É claro que células quadradas podem ser adicionadas na periferia das células já construídas. A fig.2.6 mostra as diferentes combinações pelas quais as células podem ser agrupadas.

Fig. 2.6- Agrupamento de células octogonais

As células podem ser usadas de acordo com as circunstâncias, com um conjunto de base plana ou em galerias, ou até em cima de tremonhas. A superestrutura de aço mantém-se a mesma, apenas as fundações de betão reforçado variam.

• Silos de base plana

Este é o método de instalação mais simples, e portanto mais barato. Assume, em princípio, um sistema pneumático de manobra (por exemplo, um sistema de vácuo).

Este tipo de instalação de estruturas de armazenamento do tipo “silos” é frequentemente adoptado quando o silo é colocado junto a um complexo já existente, com um sistema de elevador e manobra e com máquinas apropriadas, onde as operações podem continuar a ser levadas a cabo, servindo o silo apenas para armazenamento.

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• Silos com galeria

Quando um silo pode ser equipado com um elevador suficientemente alto para o enchimento das células, é muitas vezes vantajoso realizar o seu esvaziamento através de cintas horizontais e subterrâneas, ligadas até à base do elevador existente. Neste caso, é disposta uma galeria nas fundações ao longo de um dos eixos do sistema de células, suficientemente profunda para permitir o escoamento dos grãos por gravidade. (ver figuras 2.7, 2.8 e 2.9).

Fig. 2.7- Preparação das fundações para o silo

Fig. 2.8- Silo com galeria

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Fig. 2.9- Silo com galeria

• Silos com tremonha

De preferência, as células dos silos são dotadas de tremonhas que permitem a descarga por gravidade.

Um arranjo especial leva a um armazenamento adicional abaixo das tremonhas. Isto é conseguido sem consideráveis custos adicionais. As várias instalações de manobra podem também ser agrupadas neste armazém; maquinaria de pesagem e transporte, plataforma de esvaziamento, tremonha de escoamento do material, secador, máquina separadora, etc.

2.3.1.2. Silos do tipo circular

Estas células consistem num grupo composto por células cilíndricas e intercaladas, estando estas últimas contidas entre as primeiras (ver fig.2.10)

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Silos Metálicos

12

Fig. 2.10- Combinações possíveis entre silos circulares (com células intercaladas)

As células cilíndricas são do tipo mais comum, com cerca de 4 a 6 m de diâmetro, e com uma altura até 20 m.

São construídas com chapas de aço dobradas formando uma curva e erigidas no local por soldadura.

• Vantagens

Estes silos de células circulares permitem aos grãos serem conservados numa atmosfera confinada, com as vantagens inerentes a este método de armazenamento.

Podem ser dimensionadas para permitir uma capacidade de armazenamento máxima: em primeiro lugar, permitem extensões pela adição de células suplementares construídas sobre as já existentes, utilizando as paredes já construídas. Mais, e esta é uma vantagem deveras importante deste sistema, o agrupamento de três ou quatro células tem como resultado a criação de uma célula intercalada entre elas, para as quais são apenas necessários os painéis devidamente atirantados, o tecto e a pequena chapa de aço na base.

A fig. 2.11 mostra as diversas combinações possíveis com estas células. De notar que parte das células intercaladas podem ser utilizadas para permitir que elevadores ou cadeia de baldes sejam instalados para o enchimento das células.

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Silos Metálicos

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Fig. 2.11- Arranjo espacial de silos circulares

2.3.1.3. Silos do tipo circular (individuais)

A estrutura típica dos silos circulares é a que se apresenta de seguida:

Fig. 2.12- Silo circular

Geralmente, existe uma parte circular por cima da tremonha cónica. A separar essas duas zonas, encontra-se a chamada zona de transição, onde estão situados o anel-viga, a “saia” e/ou a ligação às colunas de suporte (caso do silo elevado).

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Tanto as paredes cilíndricas como as da tremonha têm de ser verificadas para os respectivos modos de ruptura, que se dão sobretudo por varejamento ou colapso plástico.

Os silos podem ser apoiados directamente no solo ou elevados:

Fig. 2.13- Silos circulares apoiados directamente no solo (à esquerda), e elevados (à direita)

Os silos elevados ficam apoiados ora pela “saia”, ora por colunas de apoio.

Em termos estruturais, os silos dividem-se em três categorias distintas:

� Silos de paredes lisas � Silos de paredes reforçadas � Silos de paredes quinadas

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3 PROPRIEDADES DO MATERIAL ARMAZENADO

3.1. INTRODUÇÃO

A determinação das propriedades do material armazenado antepassa o dimensionamento do silo . As forças devidas ao material armazenado são dependentes dessas propriedades, tais como a densidade, ângulo de repouso, compressibilidade, etc. Outro aspecto do dimensionamento relacionado com essas propriedades é a prevenção de problemas relacionados com o fluxo do material (tal como o aparecimento de arcos internos). Estas propriedades estão interligadas com o tamanho das partículas, forma, grau de humidificação, coesão e outras características dos materiais.

3.2. PESO VOLÚMICO

Peso volúmico γ , é a massa de material por unidade de volume e é determinada pela medição física

da massa de um material compactado num volume pré-definido. O peso volúmico é muitas vezes referido como peso volúmico compactado. Outro peso volúmico, não compactado, pode também ser determinado.

O peso volúmico de trabalho (“working bulk density”), wγ , é definido como:

( )21ap

ppw γγ

γγγ −+= , (3.1)

sendo aγ o peso volúmico não compactado e pγ o compactado, ambos calculados em quilogramas por

metro cúbico. O peso volúmico não compactado serve para avaliar a capacidade do silo (ou caixa) e da tremonha, enquanto o peso volúmico compactado é usado para dar uma estimativa conservativa da força de compressão. O peso volúmico de trabalho é usado para determinar a taxa de enchimento /esvaziamento do silo.

3.3. COMPRESSIBILIDADE

A compressibilidade é uma medida da variação de volume do material armazenado causada por uma mudança no sistema de forças actuantes. O coeficiente de compressibilidade ck permite caracterizar a

qualidade de fluxo do material armazenado e é definido pela equação (3.2):

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p

a

p

apck

γγ

γγγ

−=−

= 1 (3.2)

O efeito da compressibilidade do material na caracterização da qualidade do fluxo é realçado na tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Efeito da compressiblidade no fluxo do material

Coeficiente de compressibilidade Classe do material sólido Fluxo

De 0,05 a 0,15 granular de fluxo livre excelente De 0,15 a 0,18 fluxo livre; granular em pó bom De 0,18 a 0,22 fluido, granular em pó razoável De 0,22 a 0,28 pós com grande fluidez mau-instável De 0,28 a 0,33 fluido, pós coesivos mau De 0,33 a 0,38 pós coesivos muito mau

> 0,38 pós muito coesivos ruim

Os materiais granulares são geralmente não coesivos e de fluxo fácil, enquanto os pós muitas das vezes são o oposto. Regra geral: quando maior for o peso volúmico do material, mais fina será a partícula do pó.

3.4. ÂNGULO DE REPOUSO, φ

O ângulo de repouso é o declive do cone formado quando um material sólido não consolidado é vertido livremente por um tubo para uma superfície horizontal. Para a maior parte dos sólidos (de fluxo fácil) que têm uma pequena faixa de dimensões de partículas, o ângulo de atrito é igual ao ângulo de repouso.

3.5. COEFICIENTE DE ATRITO DA PAREDE , µ

Este parâmetro é de uma enorme importância por reger o cálculo de pressões actuantes sobre as paredes do silo, bem como na definição do regime de fluxo e de fenómenos de interrupção de fluxo (como o arqueamento, por exemplo).

O coeficiente de atrito da parede µ está relacionado com o ângulo de atrito da parede wφ da seguinte

forma:

( )wφµ tan= (3.3)

A não confundir wφ com iφ , ângulo de atrito do material.

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Para a definição do coeficiente de atrito da parede ( µ ) é de enorme relevância a rugosidade da parede

do silo. O Eurocódigo distingue quatro tipos de parede:

Tabela 3.2 – Tipos de parede

Categoria Descrição

D1 polida

D2 macia

D3 rugosa

D4 corrugada

3.6. RÁCIO DA PRESSÃO LATERAL , K

É definido como o rácio entre a tensão horizontal do sólido próximo da parede (considerada constante ao longo do sólido, a um determinado nível) e a tensão vertical (que varia com a profundidade a que se encontra o sólido). Apesar de ser um parâmetro influenciado pela rugosidade e flexibilidade da parede, é considerado como constante para um determinado material.

3.7. TIPOS DE FLUXO

O tipo de fluxo determina de uma forma importante o dimensionamento dos silos metálicos. Durante a descarga do material, diferentes tipos de escoamento podem-se realizar, cada qual com uma tipologia de acções própria. Daí a sua importância no capítulo do dimensionamento e da escolha do tipo de silo.

Neste trabalho apenas se consideraram, por comodidade, os enchimentos não-excêntricos. Uma série de outros factores deveriam ser considerados, caso se optasse por um enchimento excêntrico do silo.

O EC1 descreve três tipos de categorias de fluxo (fig. 3.1):

-fluxo em massa (a)

-fluxo em funil (em tubo (b) ou em mistura (c))

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Fig. 3.1- Tipos de fluxo

O tipo de fluxo pode ser determinado pelos gráficos das figs 3.2 e 3.3, tendo presentes os valores do semi-ângulo da tremonha (β em graus) e tipo de tremonha, e o coeficiente de atrito das paredes da

tremonha ( hµ ).

Fig. 3.2- Tipo de fluxo (tremonhas cónicas)

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Fig. 3.3- Tipo de fluxo (tremonhas em forma de cunha)

3.7.1. FLUXO EM MASSA

Os silos de fluxo em massa caracterizam-se por terem tremonhas íngremes e paredes lisas, permitindo o livre escoamento do material armazenado aquando da abertura da parte inferior da tremonha. É o desejável no caso de materiais que se degradam ou consolidam ao longo do tempo, já que com este tipo de fluxo se assegura o seu completo esvaziamento.

Este tipo de silos tem as seguintes características:

� O volume total de material armazenado pode ser transferido por gravidade. � Fenómenos como o arqueamento e outros que impedem o normal escoamento do material

não ocorrem. � A densidade do material escoado é constante e independente do material armazenado. Isto

é vantajoso num escoamento de fluxo controlado em que a taxa de escoamento seja controlada volumetricamente.

� Um primeiro enchimento/ esvaziamento é facilmente obtido. Esta é uma característica desejável quando a segregação ou deterioração do material sólido se torna possível com o decorrer do tempo.

� Desde que não hajam regiões mortas dentro do contentor, degradação, resíduos, combustão espontânea, oxidação e consolidação serão minimizados.

� A pressão ao longo do sólido e das paredes do silo é relativamente baixa, originando baixo atrito do sólido e de insignificante a baixa abrasão das paredes.

� Um fluxo uniforme pode ser obtido, resultando assim numa análise com um elevado nível de confiança e correcção.

� Vazios de ar são virtualmente não existentes e por isso, a necessidade de pás giratórias é nula.

3.7.2. FLUXO EM FUNIL

Este tipo de fluxo estabelece-se geralmente em silos verticais rectangulares ou quadrados e que tenham uma base horizontal ou tremonha de fluxo contrário ao de massa. O material armazenado num silo de fluxo em funil flui para a saída através de um canal formado no interior da massa. Este canal é tipicamente circular, assumindo uma forma cónica aberta a partir da saída. O ângulo do cone é dependente da humidade do material armazenado, temperatura, tempo de armazenamento e sequência

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de enchimento/ esvaziamento. Os silos de fluxo em funil são úteis para armazenamento de material pesado, abrasivo e granuloso, porque o desgaste provocado nas paredes do silo é pequeno/ nulo. Este tipo de silos tem as seguintes características:

� Apenas uma pequena porção do material está em movimento aquando da descarga. � A sequência de um primeiro enchimento/ esvaziamento pode ser obtida; no entanto, o

material em redor do canal de fluxo no topo do silo permanecerá em repouso até que o canal de fluxo esteja completamente vazio. Isto pode causar consolidação, aglomeração, deterioração, combustão espontânea ou oxidação.

� Qualquer sólido que permaneça estático sob pressão por um longo período de tempo, pode ganhar força e eventualmente obstruir o fluxo.

� Pode ocorrer uma grave segregação, porque algumas partículas não se movem na tremonha.

3.7.2.1. Fenómenos de instabilidade

Para este tipo de fluxo (em funil), por não se conseguir assegurar a total mobilização do material armazenado aquando do esvaziamento do silo, há que assegurar que certos fenómenos não ocorram. Esses fenómenos são a formação de arco no interior do material (que funciona como um tampão) que impede de todo a movimentação do material; e a formação de um túnel no interior do material.

Para cada um dos fenómenos acima referidos, há que garantir uma dimensão mínima B (diâmetro no caso de secção circular, ou diagonal no caso de secção quadrada/rectangular).

� Formação de túnel:

A figura em baixo explicita melhor este fenómeno.

Fig. 3.4- Formação de túnel

Este fenómeno é caracterizado pela existência de um canal (vazio) que se cria acima da tremonha, por onde o material passa. Além desse material do canal, todo o restante fica imóvel não se dando o seu escoamento. É muito comum que isto aconteça em silos de fluxo em funil.

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Para se prevenir que isto aconteça, a menor dimensão da tremonha B vale:

( )2571,0 ieBl

cr

φ

γσ

××= (3.4)

O valor de cσ é obtido através de uma função do fluxo do material (as chamadas curvas FF), com o

valor de mσ (que equivale ao valor da pressão vertical aquando do enchimento, à distancia 0x ).

lγ é o menor valor do peso volúmico do material armazenado;

iφ é o ângulo de atrito;

De referir que o resultado obtido através da expressão (3.4) é algo conservativo.

� Formação de arco:

Materiais com partículas de grande dimensão são favoráveis à formação de um arco no seio do material armazenado.

Uma regra básica para a escolha da dimensão B é tomá-la como o valor oito a dez vezes superior ao diâmetro máximo das partículas.

O caso crítico dá-se quando, nalgum ponto da tremonha, o diagrama das pressões cσ (obtido através

dos valores de mσ tal como anteriormente explicado) coincide com o valor de aσ (o valor mínimo

para que o arco ganhe estabilidade).

Fig. 3.5- Formação de arco

Caso aσ seja superior ao valor de cσ , o arco não se chega a formar.

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Mediante diversos factores, tais como o factor de fluxo da tremonha (as chamadas curvas ff ), o semi-

ângulo da tremonha (β ) e o ângulo de atrito das paredes da tremonha (wφ ), utilizando a seguinte

expressão obtém-se o valor mínimo a garantir numa qualquer secção da tremonha:

l

cca

GB

γσ×

= 1 (3.5)

n

GGββ+= 101 (3.6)

Sendo:

ccσ a tensão de cedência crítica do sólido;

0,210 =G para tremonhas de secção circular;

8,110 =G para tremonhas de secção quadrada;

0,110 =G para tremonhas com uma das dimensões muito grande;

°= 65nβ para tremonhas cónicas;

°= 73nβ para tremonhas de secção quadrada;

°= 193nβ para tremonhas com uma das dimensões muito grande.

3.7.2.2. Melhoramento do fluxo

Existem métodos para garantir um melhor fluxo do material aquando do seu escoamento. O ideal (e mais económico) é a sua não utilização; no entanto, em certos casos, a sua necessidade torna-se imperiosa. Convém portanto conhecer alguns métodos e práticas utilizadas na construção de silos.

Reed e Duffel (1983) dividiram os dispositivos de ajuda de fluxo em três categorias:

� Pneumáticos: que passam pela introdução de ar para iniciar o seu fluxo; � Vibratórios: aplicação de vibrações de elevadas frequências e baixas amplitudes à

tremonha; � Mecânicos: utilização de meios mecânicos que ajudem na extracção do material da

tremonha.

Dentro dos dispositivos mecânicos, de nomear dois tipos muito conhecidos: a utilização de uma “tremonha interior”, e de um tubo anti-dinâmico (inventado por Reimbert).

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Fig. 3.6- “Tremonha interior”

Fig. 3.7- Tubo de Reimbert

3.7.3. PRESSÕES ESTÁTICAS/DINÂMICAS

3.7.3.1. Silos de Fluxo em Massa

Para se ter um silo estruturalmente seguro e económico, é necessário estimar que cargas (aplicadas nas paredes do silo) são criadas aquando das operações de enchimento/ esvaziamento.

Um ponto importante é que, a máxima pressão não resulta nem do estado estático nem dinâmico, mas sim da passagem da condição estática para a dinâmica.

No caso de silos de fluxo em massa, as pressões resultantes do fluxo dinâmico são geralmente mais baixas que as do fluxo estático, o que resulta na área A (figura 3.8) entre as duas curvas.

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Fig. 3.8- Regimes estático e dinâmico

3.7.3.2. Silos de Fluxo em Funil

Neste tipo de silos, existe a necessidade de um coeficiente de majoração dC , de modo a transformar

as pressões estáticas em dinâmicas.

Isto acontece porque durante o esvaziamento do material as pressões estáticas podem aumentar. A pressão total pode ser três a quatro vezes a pressão determinada pelas equações de Janssen ou Reimbert.

Pressão de cálculo = dC × Pressão estática

3.7.3.3. Campo de Pressões nos Silos de Fluxo em Massa

As cargas aplicadas nas paredes do silo ou tremonha estão dependentes do facto do material estar a ser carregado ou descarregado. Durante o enchimento inicial, quando a saída está fechada, o material introduzido compacta-se numa direcção vertical ou quase vertical na tremonha, de acordo com as principais linhas de pressão. Isto provoca um campo de pressões estáticas como o mostrado na figura 3.8 (à esquerda).

Quando a descarga se inicia, o material armazenado contrai lateralmente na tremonha de modo a permitir a descida do fluxo. Para que tal aconteça, as linhas principais de pressão têm de arquear ao longo da tremonha, como mostrado na figura 3.8, formando um campo de pressões dinâmico ou arqueado. A transição do regime estático para o dinâmico começa no fundo da tremonha após a abertura da comporta de descarga, propagando-se rapidamente para cima na forma de um choque/ distúrbio ou alteração.

Abaixo do nível da alteração, as pressões dinâmicas são menores que as originais estáticas, e uma sobrepressão é exercida nas paredes da tremonha de modo a manter o equilíbrio. Assume-se que actua sobre a região entre a alteração e o ponto de transição tremonha-parede vertical do silo.

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3.8. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

No anexo E do EC1 apresenta-se uma tabela, com todas as características dos materiais.

Tabela 3.3 – Propriedades dos materiais

Para o dimensionamento dos silos realizado nos capítulos mais à frente, foi escolhido como material armazenado o cimento, com as propriedades físicas acima descritas.

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4 ACÇÕES

4.1. INTRODUÇÃO

Segundo o EC1 (parte 4, versão de Setembro de 2002), para a definição das cargas aplicadas nas paredes verticais dos silos, existe a seguinte classificação entre silos:

� Silos esbeltos, onde c

c

d

h≤0,2 (excepto como definido em 3.3);

� Silos medianamente esbeltos, onde 0,20,1 ≤<c

c

d

h(excepto como definido em 3.3);

� Silos entroncados, onde 0,14,0 ≤<c

c

d

h (excepto como definido em 3.3);

� Silos de retenção, onde a base é horizontal e 4,0≤c

c

d

h;

� Silos contendo sólido com ar misturado

(o ponto 3.3 do Eurocódigo impõe outras regras de classificação de silos, regras essas que têm em conta factores como a excentricidade do material aquando do enchimento, dispositivos mecânicos e processos de extracção; nada disto foi tomado em consideração para a classificação dos silos).

De notar ainda o ponto (4) de 5.1 que diz:

“A carga aplicada às paredes verticais é composta por uma carga fixa, chamada de carga simétrica, e uma carga livre, chamada de carga local, que são tomadas como actuando em conjunto.”

Seleccionando os silos esbeltos (estruturalmente mais desafiadores), estudamos as cargas existentes aquando do seu enchimento e esvaziamento.

4.2. CLASSES ESTRUTURAIS DE SILOS

Para o dimensionamento de um silo, é necessário realizar uma prévia classificação. Os silos serão da classe 1, classe 2 ou classe 3, de acordo com as seguintes descrições:

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Tabela 4.1 – Classificação dos silos

Classes Descrição

Classe 1

Silos com capacidade inferior a 100 toneladas

Classe 2

Silos que não pertençam nem à classe 1, nem à classe 3

Silos com capacidade inferior a 1000 toneladas, em que qualquer uma das seguintes condições seja conseguida:

a) descarga excêntrica com 25,00 >cde (ver figuras 4.1 e 4.3)

Classe 3

b) silos entroncados com excentricidade da superfície no topo 25,0>ct de

Fig. 4.1- Geometria do silo (notações)

Sendo o silo pertencente à classe 1, existe uma série de cálculos e verificações que ficam automaticamente dispensados de realização.

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4.3. SITUAÇÕES DE DIMENSIONAMENTO PARA OS SILOS

Um silo é sempre dimensionado para um determinado material (caso o silo tenha ao longo da sua vida útil múltiplos materiais armazenados, dimensionar-se-á com aquele cujas propriedades afectem de forma mais gravosa as cargas a si aplicadas), e dentro das suas propriedades, três grandezas tomam lugar prioritário na definição dos diferentes combinações a realizar: o coeficiente de atrito da parede do silo (µ ), a razão entre a pressão horizontal e vertical (K ) e o ângulo de atrito (iφ ).

Para este trabalho defini três estados limite para as paredes cilíndricas do silo, e dois estados limite para as paredes da tremonha, como a seguir se apresenta:

Tabela 4.2 – Estados limite

Situação de dimensionamento Valor característico a adoptar

µ K iφ

Parede vertical ELU 1 Pressão normal à parede máxima Mínimo Máximo Mínimo ELU 2 Tracção friccional máxima Máximo Máximo Mínimo ELU 3 Máxima carga vertical sobre a tremonha Mínimo Mínimo Máximo

Parede da tremonha

ELU 1 Pressões máximas na tremonha (enchimento) Máximo Mínimo Mínimo ELU 2 Pressões máximas na tremonha (esvaziamento) Mínimo Máximo Máximo

Os valores máximo e mínimo de cada uma das variáveis, são obtidos através da multiplicação /divisão, respectivamente, do valor médio da variável pelo respectivo factor ja (apresentado na tabela 3.3), do

seguinte modo:

Valor máximo característico de µ = ma µµ ×

Valor mínimo característico de µ = µµ am

A justificação para a existência de um valor superior e outro inferior reside no facto do material armazenado ir variando as suas características físicas, à medida que o tempo se vai desenrolando. Por isso, e para efeitos de dimensionamento, aumentam-se ou diminuem-se as suas propriedades, de modo a que se obtenham as condições mais desfavoráveis (em termos de cargas) para o silo a dimensionar.

Nota: para silos de classe 1, podem-se usar única e exclusivamente os valores médios, sem ser portanto necessário calcular um valor superior e inferior.

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4.4. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS

4.4.1. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ENCHIMENTO

4.4.1.1. Carga fixa

Fig. 4.2- Pressões nas paredes verticais

Os valores da pressão horizontal hfp , pressão de atrito na paredewfp e pressão vertical vfp a qualquer

profundidade após o enchimento e durante o armazenamento, são:

)()( 0 zYpzp Jhhf ×= (4.1)

)()( 0 zYpzp Jhwf ××= µ (4.2)

)()( 0 zYK

pzp J

hvf ×= (4.3)

Em que:

00 zKph ××= γ (4.4)

U

A

Kz ×

×=

µ1

0 (4.5)

01)( zzJ ezY −−= (4.6)

Sendo:

γ o valor característico do peso volúmico;

µ o valor característico do coeficiente de atrito da parede quando o sólido desliza pela parede

vertical;

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Silos Metálicos

31

K o valor característico da razão da pressão lateral;

z a profundidade abaixo da superfície equivalente do sólido;

A a área da secção do silo;

U o perímetro interno da secção do silo.

O valor característico resultante da força vertical (de compressão) na parede zSkn por unidade de

comprimento de perímetro, após enchimento e à profundidade z , é:

( ) ( )[ ]zYzzpdzzpn Jh

z

wfzSk ×−××== ∫ 00

0

µ )( mkN

(4.7)

4.4.1.2. Carga livre A carga livre, ou uma qualquer alternativa apropriada, deve ser usada de modo a representar um carregamento acidentalmente assimétrico, associado a excentricidades e imperfeições durante o processo de enchimento.

A magnitude da pressão causada pfp :

hfpfpf pCp ×= (4.8)

Em que:

[ ]

×−−××+××= 15,1exp12124,0 2

c

coppf d

hECC (4.9)

c

f

d

eE ×= 2 (4.10)

Mas 0≥pfC

Em que:

fe é a excentricidade máxima da superfície da pilha de material durante o enchimento (fig. 4.3);

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Silos Metálicos

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Fig. 4.3- Notações

hfp é o valor local da pressão de enchimento (expressão 4.1) à altura a que a carga livre é aplicada

opC é o factor de referência do sólido para a carga local (tabela 3.3)

Ainda:

cc d

ds ×≈

×= 2,0

16

π (4.11)

s é a altura da zona na qual está aplicada a força localizada

Fig. 4.4- Força localizada

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Silos Metálicos

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4.4.2. CARGAS NAS PAREDES VERTICAIS DEVIDAS AO ESVAZIAMENTO

4.4.2.1. Carga fixa

hfhhe pCp ×= (4.12)

wfwwe pCp ×= (4.13)

Em que:

hC é o factor de descarga para a pressão horizontal;

wC é o factor de descarga para a tracção de atrito da parede;

Os valores de hC e wC devem ser determinados de acordo com a classe de segurança/confiança.

O valor característico resultante da força vertical (de compressão) na parede zSkn por unidade de

comprimento de perímetro, durante esvaziamento, à profundidade z , é:

( ) ( )[ ]zYzzpCdzzpn Jhw

z

wezSk ×−×××== ∫ 00

0

µ )( mkN

(4.14)

4.4.2.2. Carga livre

A carga livre deve ser usada de modo a representar um carregamento acidentalmente assimétrico durante o esvaziamento, assim como excentricidades internas e externas.

hepepe pCp ×= (4.15)

Da qual:

[ ]

×−−×+××= 15,1exp12148,0 2

c

coppe d

hECC (4.16)

cd

eE ×= 2 (4.17)

Mas 0≥peC

( )0,max eee f= (4.18)

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Silos Metálicos

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Em que:

fe é a excentricidade máxima da superfície da pilha de material durante o enchimento;

0e é a excentricidade do centro da tremonha;

hep é o valor local da pressão de esvaziamento à altura a que a carga livre é aplicada (expressão 4.4);

opC é o factor de referência do sólido para a carga local (tabela 3.3).

4.5. CARGAS NAS TREMONHAS E BASE DOS SILOS

4.5.1. GERAL

As bases/ tremonhas dos silos podem ser classificadas como:

� horizontais; � íngremes; � baixas.

Uma base horizontal tem uma inclinação com a horizontal α menor que 5º.

Uma tremonha íngreme é a que segue o seguinte critério:

h

K

µβ

×−<

2

)1(tan (4.19)

Em que:

K é o menor valor característico do rácio da pressão lateral nas paredes verticais

β é metade do ângulo do vértice da tremonha

hµ é o menor valor característico do coeficiente de atrito na parede da tremonha

A figura 4.5 também permite deliberar se a tremonha é íngreme ou baixa.

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Silos Metálicos

35

Fig. 4.5- Distinção entre tremonhas íngremes e baixas

O critério estabelecido na expressão (4.19) é essencial para, a par da utilização de paredes lisas, se atingir o fluxo em massa aquando da abertura da tremonha.

A principal pressão vertical na transição entre o segmento da parede vertical e a tremonha ou a base do silo, vale:

vfbvft pCp ×=

(4.20)

Em que:

vftp é o valor da pressão vertical de enchimento calculada usando a expressão (4.3) de acordo com a

esbelteza do silo, com a coordenada z igual à altura da parede vertical ch e usando os valores das

propriedades dos sólidos que induzam ao máximo carregamento da tremonha (tabela 4.2)

bC é o exagerador de carga na base para ter em conta a possibilidade de mais cargas provenientes das

paredes verticais serem transferidas para a tremonha ou base.

O coeficiente bC é atribuído de acordo com a classe de segurança/ confiança.

Para cada um dos tipos de bases/ tremonhas, existem fórmulas para determinar as pressões a que estão sujeitas as bases/ tremonhas.

No entanto, existe o anexo H, que a nível informativo, nos fornece regras alternativas para o cálculo das pressões em tremonhas, regras essas que a seguir se mostram.

Notação:

hl Distância inclinada do vértice da tremonha à transição (figura 4.6)

np Pressão normal à parede inclinada da tremonha

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Silos Metálicos

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nip Componentes da pressão normal à parede inclinada, ( =i 1, 2 e 3)

sp Pressão na transição

Esta pressão na transição sp pode ocorrer durante o esvaziamento de um silo de fluxo de massa.

4.5.2. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ENCHIMENTO

As regras seguidas para a determinação das pressões a aplicar nas paredes da tremonha encontram-se dispostas no anexo H do Eurocódigo 1. Este anexo apresenta um processo alternativo, cujas expressões estão em baixo escritas.

Quando a inclinação da parede da tremonha com a horizontal é superior a 20º, a pressão normal np ,

aplicada na parede inclinada da tremonha, vale:

( )h

nnnnn l

xppppp ×−++= 2123 (4.21)

Com:

( )ββ 2201 cossin +××= bvn Cpp (4.22)

β202 sin××= bvn Cpp (4.23)

βµ

γ 23 cos0,3 ×

×××= s

n

K

U

Ap (4.24)

Em que:

β é o ângulo da tremonha em relação à direcção vertical (ver figura 4.6);

x é o comprimento entre 0 e hl ;

1np e 2np definem a pressão distribuída devida ao enchimento;

3np é a pressão na tremonha devida à pressão vertical no material armazenado na transição;

bC é exagerador de carga ( 6,1=bC );

0vp é a pressão vertical actuante na transição após o enchimento, calculada utilizando a expressão

(4.3).

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Silos Metálicos

37

Fig. 4.6- Pressões nas paredes da tremonha

O valor da pressão de atrito sobre a parede tp é dado por:

µ×= nt pp (4.25)

4.5.3. PRESSÕES NAS TREMONHAS DURANTE O ESVAZIAMENTO

No caso de silos de escoamento em funil, as cargas devidas ao esvaziamento podem ser calculadas usando as fórmulas do enchimento.

Para os silos de escoamento em massa, uma pressão normal fixa é adicionada, sp , sobre uma

distância inclinada de cd2,0 na tremonha, e em redor do seu perímetro.

vfts pKp ××= 2 (4.26)

Em que:

vftp é a pressão vertical actuante na transição após enchimento, calculada usando a expressão (4.3).

4.6. RESULTADOS

Em capítulos subsequentes analisam-se dois silos: um de secção circular, e outro rectangular. Para isso, definem-se as pressões a que estes estão sujeitos. São precisos os valores da altura da parede cilíndrica, da tremonha, e as dimensões da secção (raio hidráulico), que estão patentes na seguinte figura (fig. 4.7). Com estes dados obtêm-se os valores das pressões de enchimento e de esvaziamento tabelados. Os valores das pressões de esvaziamento são obtidos através da multiplicação dos das pressões de enchimento pelos respectivos coeficientes 15,1=hC e 10,1=wC .

Page 54: silos metálicos

Silos Metálicos

38

Fig. 4.7- Geometria dos silos em estudo (de secção circular e rectangular)

O raio hidráulico vale:

75,022

2

==××

×== r

r

r

U

AR

ππ

(4.27)

4.6.1. PAREDES

ELU 1

Enchimento

( )mz 0z ( )zYJ 0hp ( )2mkNphf ( )2mkNpwf ( )2mkNpvf

0 3,02 0,00 31,32 0 0 0 1 3,02 0,28 31,32 8,83 3,38 13,62 2 3,02 0,48 31,32 15,17 5,81 23,40 3 3,02 0,63 31,32 19,72 7,56 30,43 4 3,02 0,73 31,32 22,99 8,81 35,47 5 3,02 0,81 31,32 25,33 9,71 39,10

Esvaziamento

( )mz ( )2mkNphe ( )2mkNpwe

0 0 0 1 10,2 3,7 2 17,4 6,4 3 22,7 8,3 4 26,4 9,7 5 29,1 10,7

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Silos Metálicos

39

ELU 2

Enchimento

( )mz 0z ( )zYJ 0hp ( )2mkNphf ( )2mkNpwf ( )2mkNpvf

0 2,64 0,00 27,35 0 0 0 1 2,64 0,32 27,35 8,63 3,79 13,32 2 2,64 0,53 27,35 14,54 6,38 22,43 3 2,64 0,68 27,35 18,58 8,15 28,67 4 2,64 0,78 27,35 21,35 9,37 32,94 5 2,64 0,85 27,35 23,24 10,20 35,87

Esvaziamento

( )mz ( )2mkNphe ( )2mkNpwe

0 0 0 1 9,9 4,2 2 16,7 7,0 3 21,4 9,0 4 24,6 10,3 5 26,7 11,2

ELU 3

Enchimento

( )mz 0z ( )zYJ 0hp ( )2mkNphf ( )2mkNpwf ( )2mkNpvf

0 4,35 0,00 31,32 0 0 0 1 4,35 0,21 31,32 6,43 2,46 14,29 2 4,35 0,37 31,32 11,54 4,42 25,65 3 4,35 0,50 31,32 15,60 5,98 34,68 4 4,35 0,60 31,32 18,83 7,22 41,85 5 4,35 0,68 31,32 21,40 8,20 47,55

Esvaziamento

( )mz ( )2mkNphe ( )2mkNpwe

0 0 0 1 7,4 2,7 2 13,3 4,9 3 17,9 6,6 4 21,7 7,9 5 24,6 9,0

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Silos Metálicos

40

4.6.2. TREMONHA

ELU 1

( )mx ( )20 mkNpv ( )2

1 mkNpn ( )22 mkNpn ( )2

3 mkNpn ( )2mkNpn ( )2mkNpt ( )2mkNps

0 43,0 10,5 20,3 30,9 13,5 0,55 43,0 10,5 20,3 36,3 15,9 1,10 43,0 10,5 20,3 41,7 18,3 1,64 43,0 10,5 20,3 47,1 20,7 2,19 43,0 10,5 20,3 52,5 23,1 2,74 43,0 10,5 20,3 58,0 25,4

3,29

39,10

43,0 10,5 20,3 63,4 27,8

35,2

ELU 2

( )mx ( )20 mkNpv ( )2

1 mkNpn ( )22 mkNpn ( )2

3 mkNpn ( )2mkNpn ( )2mkNpt ( )2mkNps

0 43,0 10,5 31,3 41,9 16,0 0,55 43,0 10,5 31,3 47,3 18,1 1,10 43,0 10,5 31,3 52,7 20,2 1,64 43,0 10,5 31,3 58,1 22,3 2,19 43,0 10,5 31,3 63,5 24,4 2,74 43,0 10,5 31,3 69,0 26,4

3,29

39,10

43,0 10,5 31,3 74,4 28,5

50,7

Na figura 4.8 tem-se o diagrama de pressões aplicadas ao silo (paredes cilíndricas + paredes da tremonha) para ELU 1 (da parede vertical e da tremonha). É perceptível a sua semelhança com a figura 4.9 do EC1.

O “salto” que se dá na zona da transição ( mz 5= ) é justificado pelo enorme cuidado que se deve ter nesta área, como mais à frente se verá pelos cálculos efectuados.

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Silos Metálicos

41

Pressões durante o esvaziamento

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 20 40 60

phf(kN/m^2)

z (m)parede

tremonha

Fig. 4.8- Pressões perpendiculares às paredes durante o esvaziamento (ELU 1)

Fig. 4.9- Pressões nas paredes durante o esvaziamento (para tremonhas íngremes e pouco fundas)

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Silos Metálicos

42

4.7. ACÇÃO DO VENTO

A acção do vento foi modelada segundo as regras impostas pelo RSA (Regulamento de Segurança e Acções), capítulo V.

Considerou-se, de um modo bastante conservativo, que o silo se encontrava na zona B (que inclui os arquipélagos dos Açores e da Madeira, e as regiões do continente situadas numa faixa costeira com 5 km de largura ou altitudes superiores a 600m) e que a rugosidade aerodinâmica do solo correspondia ao segundo tipo (rugosidade do tipo II-rugosidade a atribuir às zonas rurais e periferia de zonas urbanas).

O artigo 22º refere no seu terceiro ponto:

“No caso de estruturas identicamente solicitadas pelo vento qualquer que seja o rumo deste (como por exemplo estruturas com simetria de revolução ou estruturas cuja resistência nas diversas situações seja proporcionada às acções do vento que nessas direcções se exercem), os valores característicos da

velocidade do vento a considerar devem ser obtidos multiplicando por 3,1 os valores característicos

definidos no anexo I.”

Considerando que o silo se situa a altura de 15m (a sua altura total é de 8m, mas temendo que esteja apoiado a uma cota superior), obtém-se através da seguinte figura o valor característico da pressão dinâmica.

Fig. 4.10- Valor característico da pressão dinâmica, ( )2mkNWk

Este valor será majorado, por estar localizado na zona B (multiplicando por 1,2), e por ser uma estrutura referida no ponto 3, do artigo 22º (multiplicando por 1,3).

Em conformidade com os critérios do artigo 23º, além do parâmetro w há que conhecer os coeficientes de forma da construção em estudo.

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Silos Metálicos

43

Para se conhecerem as pressões a aplicar às diferentes placas do silo utiliza-se a seguinte expressão:

wp p ×= δ (4.28)

Os coeficientes de pressão pδ , são definidos para uma superfície particular da estrutura, e permitem

determinar as pressões p exercidas normalmente às superfícies.

No anexo I apresenta-se o quadro I-XIV, que fornece os valores dos coeficientes de pressão de acordo com o ângulo θ .

Fig. 4.11- Coeficientes de pressão exterior para construções de forma cilíndrica (quadro I-XIV)

Considerando lisas as paredes do silo em estudo e de acordo com o quadro precedente, calculam-se facilmente as pressões a aplicar.

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Silos Metálicos

44

Tabela 4.3 – Coeficientes de pressão

Coeficientes de pressão

Ângulo Superfície rugosa Superfície lisa

Graus h/d=10 h/d~2,5 h/d=10 h/d~2,5

wk

( )2mkN majorações

Pressão

( )2mkN

0 1 1 1 1 1,62 10 0,9 0,9 0,9 0,9 1,46 20 0,7 0,7 0,7 0,7 1,14 30 0,4 0,4 0,35 0,35 0,57 40 0 0 0 0 0 50 -0,5 -0,4 -0,7 -0,5 -0,81 60 -0,95 -0,8 -1,2 -1,05 -1,7 70 -1,25 -1,1 -1,4 -1,25 -2,03 80 -1,2 -1,05 -1,45 -1,3 -2,11 90 -1 -0,85 -1,4 -1,2 -1,95 100 -0,8 -0,65 -1,1 -0,85 -1,38 120 -0,5 -0,35 -0,6 -0,4 -0,65 140 -0,4 -0,3 -0,35 -0,25 -0,41 160 -0,4 -0,3 -0,35 -0,25 -0,41

180 -0,4 -0,3 -0,35 -0,25

1,04 1,56

-0,41

Através de uma interpolação quadrática, obtêm-se finalmente os valores a aplicar em cada uma das placas (determinou-se que o ângulo segundo o qual deveria ser aplicada a pressão seria o mesmo que o centro de gravidade da placa (CG) ligado ao centro do silo faria com a horizontal).

Fig. 4.12- Secção silo circular

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45

Quadro 4.1– Pressões aplicadas

Ângulo

CG

w

( )2mkN

0 1,62

11,25 1,33

33,75 0,19

56,25 -1,06

78,75 -2,41

101,25 -0,58

123,75 0,53

146,25 1,35

168,75 1,88

4.8. COMBINAÇÕES

Realizaram-se seis combinações. A cada um dos casos de carga foi aplicado o factor amplificador de 1,35 (tal foi feito devido à indicação do anexo I (EC1, Parte 4), que no ponto 1.2 (2), dedicada aos estados limite últimos estabelece essa cláusula). Apenas a carga do vento (caso de cargas número 12) foi diminuída por um coeficiente de 0,6. Em baixo explicitam-se os diferentes casos de carga definidos no ROBOT, e as diferentes combinações utilizadas.

Tabela 4.2 – Estados limite

Situação de dimensionamento Valor característico a adoptar

µ K iφ

Parede vertical ELU 1 Pressão normal à parede máxima Menor Maior Menor ELU 2 Tracção friccional máxima Maior Maior Menor ELU 3 Máxima carga vertical sobre a tremonha Menor Menor Maior

Parede da tremonha

ELU 1 Pressões máximas na tremonha (enchimento) Maior Menor Menor ELU 2 Pressões máximas na tremonha (esvaziamento) Menor Maior Maior

Caso1: peso próprio da estrutura;

Caso 2: np _tremonha(ELU1);

Caso 3: tp _tremonha(ELU1);

Caso 4: hep _parede(ELU1);

Caso 5: wep _parede(ELU1)

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Silos Metálicos

46

Caso 6: hep _parede(ELU2);

Caso 7: wep _parede(ELU2);

Caso 8: hep _parede(ELU3);

Caso 9: wep _parede(ELU3)

Caso 10: np _tremonha(ELU2);

Caso 11: tp _tremonha(ELU2);

Caso 12: vento;

Caso 13: 1 mkN sobre o perímetro da abertura da tampa do silo;

Caso 14: 2,5 2mkN sobre a tampa do silo.

Com os 14 casos de carga acima explicitados, foram obtidas 6 combinações de cargas diferentes tal como apresentado na tabela 4.4.

Tabela 4.4 – Tabela de combinações de acções

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47

5 EXPLOSÕES EM SILOS

5.1 INTRODUÇÃO

Desde finais do século XIX iniciou-se a construção massiva de instalações para o armazenamento dos mais diversos tipos de produtos, e até aos nossos dias deram-se milhares de explosões com a perca de vidas humanas e consideráveis danos materiais.

Desde 1900, registaram-se oficialmente nos EUA 1085 explosões de pós combustíveis.

Destas explosões resultaram 640 mortos, 1712 feridos e danos materiais da ordem dos 98 milhões de dólares.

Muitas mais explosões se produziram nos EUA durante este período que não foram assinaladas pela sua baixa magnitude ou por falta de informação.

No quadro seguinte apresentam-se algumas explosões ocorridas:

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48

Quadro 5.1 – Número de explosões

Descrição Número de explosões

1. Silos para cereais 14

2. Silos para carvão 9

3. Silos para farinhas 6

4. Silos para plásticos 5

5. Silos para madeira 5

6. Silos para soja 4

7. Silos para milho 3

8. Silos para rações animais 3

9. Farinha de madeira 3

10. Algodão 2

11. Silos para amido 2

12. Alumínio, cortiça, ferromagnésio, aveia, papel, bor racha, sabão, açúcar de beterraba em polpa 1

Como se pode constatar, os silos para cereais são os mais perigosos e que apresentam um maior número de explosões, seguidos pelos silos para carvão e silos para farinhas.

Como dado curioso, no mundo, e em 1975, produziram-se 271 explosões em instalações destinadas ao armazenamento de cereais. Mas, qual a causa de uma explosão numa instalação destinada ao armazenamento de cereais ou à fabricação e manejo de farinhas? A resposta é imediata: a explosão do pó que se encontra em suspensão no ar.

As investigações realizadas em laboratório e o estudo das grandes explosões ocorridas no mundo indicam que o pó que se encontra em suspensão no ar seja altamente explosivo.

Pode-se afirmar que o pó de muitos materiais combustíveis, quando se mistura com ar em certas proporções, pode explodir. Por outro lado, nem todos os pós são igualmente perigosos.

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49

Muitos são os factores que afectam a probabilidade de uma explosão, a saber:

� Quantidade de pó; � A sua distribuição no recinto; � Tamanho das partículas; � Humidade; � Concentração de oxigénio; � Tamanho e temperatura da fonte de ignição.

Existem três grandes grupos nos quais são frequentes as explosões deste tipo:

� Pós de materiais metálicos; � Pós de materiais plásticos; � Pós de produtos agrícolas.

No capítulo dos produtos agrícolas destacam-se pela sua importância:

� Silos para armazenamento e manejo de cereais; � Fábricas de farinhas (alimentação humana); � Fábricas de rações (alimentação animal); � Feitorias para produção de amido; � Feitorias para pulverização de açúcar e cacau; � Elementos pneumáticos para transporte de grãos e farinhas.

Eliminação das fontes de ignição A proibição de fumar e todo o tipo de chamas directas é uma precaução que elimina possíveis fontes de ignição na nuvem de pó.

Os equipamentos mecânicos têm de ser calculados com a máxima segurança, para evitar elevado aquecimento por atrito ou fadiga. Evitar velocidades elevadas e faíscas por choque entre partículas metálicas.

Os equipamentos eléctricos têm de cumprir as normas anti-deflagrantes, todo o equipamento eléctrico será munido de sistemas especiais para eliminar a electricidade estática.

Colocar-se-ão electro-ímans para separar todas as partículas metálicas que possam levar o produto a armazenar e que possam ser causa indirecta de uma grave explosão.

Controlo do pó A explosão do pó sucede frequentemente em duas fases. Uma primeira explosão limitada que se estende à nuvem de pó que se tenha acumulado em máquinas, vigas, cantos e uma segunda explosão muito mais violenta que a primeira e devida ao anterior acendimento da nuvem de pó.

Para prevenir estas explosões recomenda-se projectar as paredes para que não se deposite o pó, as vigas com pendentes adequadas, e tremonhas sem cantos onde se possa depositar o pó.

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50

A maquinaria e as células de armazenamento terão sistemas de ventilação forçada, que absorva os pós com separação através de ciclones e filtros.

Nalguns casos previne-se a possibilidade de uma explosão nas células e elementos mecânicos através de gás inerte. Esta solução, muito prática e interessante, tem o inconveniente de representar um sério perigo para as pessoas que, ocupadas da manutenção da instalação, tenham um descuido e possam sofrer uma intoxicação (seria necessária a colocação de alarmes). Os gases mais utilizados são: dióxido de carbono, nitrogénio, árgon, anidrido sulfuroso e diclorometano.

A protecção mediante gás inerte não é recomendável para pó de alumínio, plásticos e celulose, que na sua decomposição dão origem a oxigénio ou outro gás combustível que anula os efeitos do gás inerte.

Aberturas para prevenir danos da explosão O dimensionamento de estruturas nas quais possa ocorrer uma explosão tem de se efectuar mediante elementos débeis em vãos de paredes que permitam manter a estabilidade do edifício.

Em instalações de grande altura o problema é muito mais grave, e as normas exigem que se cumpram medidas tais como prever uma abertura de 1 metro quadrado por cada 15 metros cúbicos de volume.

Se a estrutura é hermética e está construída com paredes de betão armado, pode-se considerar que por cada metro quadrado de abertura deve existir um volume de 24 metros cúbicos.

Na hora de apagar um incêndio provocado por uma nuvem de pó, o melhor é utilizar pequenas mangueiras com pulverizador já que com uma mangueira de grandes dimensões podem levantar-se novas nuvens de pó que produzirão outras explosões.

No caso de pós metálicos tais como magnésio, alumínio, titânio, etc., a melhor maneira de apagar o incêndio é mediante a aplicação de produtos inertes tais como areia ou talco. A administração de água nestes casos, mais não faz que avivar o fogo.

5.2 AQUECIMENTO ESPONTÂNEO

O aquecimento espontâneo começa com uma pequena oxidação que provoca um ligeiro aquecimento e este processo acelera até que se dá uma rápida oxidação. Poucos detalhes se conhecem sobre estes complicados processos. Produtos agrícolas tais como feno, cereais, alimentos e estrume aquecem, começando a arder espontaneamente.

O aquecimento de trigo, milho, aveia, ainda que não produza incêndio, pode afectar os valores nutritivos, os quais indicam que as precauções no manejo e armazenamento de cereais tenham de ser cumpridas.

No caso de estrume, a ignição espontânea deve-se a dois processos. Primeiro: aquecimento até 77º C devido à acção micróbia; segundo: aquecimento devido a um processo de oxidação.

A acção micróbia pode ser prevenida controlando a humidade e ventilação. O aquecimento pode retardar-se mediante uma adequada ventilação.

Actualmente existem sistemas de insuflação de ar frio que permitem armazenar cereais com humidades superiores a 20%. Neste caso torna-se imprescindível a colocação de uma rede de sondas termométricas, com controlo de leitura contínua e automática de temperaturas, prevendo um alarme quando se passar uma temperatura pré-estabelecida.

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51

5.3 ESTUDO QUANTITATIVO DOS FACTORES QUE INFLUENCIAM A EXPLOSÃO DE PÓ DE PRODUTOS

COMBUSTÍVEIS

Para que uma explosão ocorra, vários parâmetros têm que ser atendidos:

� Granulometria dos produtos: é um factor fundamental e pode dizer-se que abaixo de 200µ todo o pó de material combustível é explosivo;

� Energia de inflamação: a energia procedente de uma fonte eléctrica necessária para inflamar uma nuvem de pó combustível no ar ou em qualquer outra atmosfera comburente é de 10 m/ joule para os pós mais inflamáveis e 1 joule para os menos inflamáveis;

� Concentração mínima explosiva: corresponde ao limite inferior de explosividade do gás.

A escala é da ordem de 50 3mg ;

� Pressão da explosão: as cifras normais que se mediram são de 2 a 8 2cmgk ;

� O gradiente das máximas pressões no caso de uma explosão pode variar entre 35 e 316

segundocmkg 2 ;

� Temperatura de inflamação da nuvem: pode estar compreendida entre 400 e 1000 º C; � Coesão do pó: caracterizado pela propensão do pó em elevar-se pela acção de uma

corrente de ar; no entanto e ao contrário do gás, o pó em suspensão tem tendência a sedimentar-se não sendo inofensivo. Por causas fortuitas e apesar do efeito de uma pequena explosão local, podem voltar a estar em suspensão e tornar à sua perigosidade explosiva;

� Trabalho em atmosfera inerte: pode-se estimar que a maioria das explosões não se podem produzir numa atmosfera com menos de 10% de oxigénio. A contribuição de um gás inerte anula completamente a possibilidade de explosão.

5.4 ANÁLISE MATEMÁTICA DE UMA EXPLOSÃO DE PÓ

A explosão produzida por uma nuvem de pó de produtos combustíveis causa danos que são função da:

� Pressão máxima criada no recinto pela explosão de pó; � Velocidade de crescimento da pressão no curso da explosão; � Resistência do recinto onde se produz a explosão, ou, dito de outra forma, do coeficiente

de ventilação que é a relação existente entre a superfície total de aberturas e o volume do recinto.

Conhecidos os dois parâmetros (pressão máxima da explosão e velocidade de crescimento da pressão no curso da explosão) pode-se calcular a resistência de um dado recinto.

Realizaram-se ensaios como o representado na figura 5.1. O recinto tem um volume de 1,30 litros e está servido de uma abertura superior onde se pode colocar um tampão com orifício central variável, que permita obter para cada ensaio o coeficiente de ventilação correspondente. Pode-se comprovar que existe um limite superior da velocidade de crescimento da pressão no curso da explosão devida à quantidade de oxigénio presente no recinto. Para um dado volume de um recinto fechado há uma superfície óptima de partículas; qualquer tentativa para aumentar a velocidade de crescimento da pressão, aumentando a superfície das partículas ou fazendo diminuir a distância que as separa, seria limitada pela quantidade de oxigénio existente.

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52

Por outro lado, há que ter em conta que os ensaios realizados em laboratório com recipientes pequenos em que se garante a homogeneização do recinto onde se vai ensaiar a explosão, difere muito da realidade com grandes volumes e onde a distribuição de pó não é uniforme. Os resultados obtidos em laboratório são considerados como aproximados.

Fig. 5.1- Dispositivo para estudo de explosões

O resumo destes resultados indica que a pressão máxima de explosão está compreendida entre os 2,8 e

5 2cmgk . A velocidade máxima de crescimento da pressão durante a explosão varia entre 35 e 316 2cmgk por segundo.

Quanto ao coeficiente de ventilação efectuaram-se duas explosões em silos reais provocadas mediante

suspensão de partículas metálicas, considerando-se um coeficiente de ventilação de 19 32 mm e não

aparecendo nenhum desgaste na estrutura. Apenas se apreciaram os danos causados pelo incêndio que apareceu posteriormente à explosão e que foi imediatamente apagado.

O resultado dos ensaios efectuados deu origem a um gráfico que permite determinar a pressão de explosão ou o coeficiente de ventilação.

Fig. 5.2- Determinação da pressão de explosão

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53

Conclusões: Três tipos de pós são explosivos: pós metálicos, plásticos e agrícolas;

As pressões máximas de explosão dão-se com produtos agrícolas, sendo estes os mais perigosos e o que maiores danos causam; seguem-se-lhes os materiais plásticos e por último, os materiais metálicos;

Os produtos que normalmente se armazenam têm as seguintes pressões máximas de explosão:

� Amido de trigo……………………....................................................... 7,0 2cmgk

� Farinha de trigo...................................................................................... 6,4 2cmgk

� Pó de arroz…………………………………………………………..... 6,5 2cmgk

� Pó de milho…………………………………………………............….6,7 2cmgk

� Amido de milho……………………………………………….….... .... 8,1 2cmgk

� Pó de cereais……………………………………………………......…. 6,8 2cmgk

� Açúcar em pó…………………………………………………...……. 6,4 2cmgk

� Proteína de soja……………………………………………………….. 5,5 2cmgk

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54

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55

6 SILO CIRCULAR

6.1. INTRODUÇÃO

O objectivo deste trabalho é o de dimensionar silos metálicos. Neste capítulo mostram-se os passos a seguir para a obtenção de esforços num silo circular, para depois serem verificados pelas regras do Eurocódigo 3 (Parte 4.1) [4].

Anteriormente foram definidas as pressões a que as paredes e a tremonha do silo estão sujeitas. Neste capítulo definem-se os esforços que se desenvolverão nas paredes do silo. Estes resultados são depois comparados com os seus respectivos valores resistentes.

Tensões resultantes na parede do silo:

Devido às diferentes acções a que o silo está submetido, dois tipos de esforços são gerados: esforços de membrana e momentos.

O esforço de membrana mσ corresponde a uma força por unidade de comprimenton :

t

nm =σ (6.1)

Em que t é a espessura da casca. Esta equação é igualmente válida para análise elástica e plástica.

Fig. 6.1- Resultantes de esforços de membrana

Page 72: silos metálicos

Silos Metálicos

56

Fig. 6.2- Esforços de membrana

Os esforços de membrana podem ser determinados quer utilizando a teoria de membrana, quer a teoria de flexão de cascas. Quando os cálculos são utilizados no caso de cascas de pequena espessura submetidas a carregamentos axissimétricos, os valores obtidos pela teoria de flexão são mais precisos, mas normalmente é pequena a diferença, excepto nas zonas fronteira, descontinuidades e junções.

6.2. TIPOS DE ANÁLISE

6.2.1 TEORIA DE MEMBRANA

Esta teoria tem sido amplamente utilizada para analisar e dimensionar grande parte dos pequenos e médios silos. É geralmente adequada para o dimensionamento sob condições simétricas, apesar do efeito causado pelos momentos locais não poder ser avaliado. Sob condições não simétricas, os resultados obtidos segundo esta teoria são insuficientes.

6.2.2 TEORIA DE FLEXÃO DE CASCAS

É exigida a utilização desta teoria em situações nas quais existam momentos locais.Sob condições não simétricas a teoria de flexão de cascas tem de ser sempre utilizada. Sendo preciso este tipo de análise, o recurso a elementos finitos torna-se imprescindível.

6.2.3 ANÁLISE DESENVOLVIDA

O silo em estudo pode ser considerado um silo pequeno, e por isso a teoria que será aplicada será a teoria de membrana, com a devida atenção aos momentos locais. Foram seguidas as regras dispostas no Eurocódigo 3, Parte 4.1.

6.3. COMBINAÇÕES DE ACÇÕES E FACTORES PARCIAIS

Para o dimensionamento de um silo metálico, as combinações a realizar bem como os factores parciais a aplicar a cada tipo de força (caso se tratem de forças favoráveis/desfavoráveis ou variáveis/permanentes) estão, respectivamente, apresentadas nas seguintes tabelas:

Page 73: silos metálicos

Silos Metálicos

57

Tabela 6.1 – Acções dominantes

Situação de dimensionamento

Acções permanentes

Acção variável 1

0ψ Acção variável 2 0ψ

Esvaziamento do material

Peso próprio Assentamento da fundação

1,0 Neve, vento ou temperatura

0,6

Cargas impostas ou deformação

0,7

Cargas impostas ou deformação Peso próprio

Enchimento de material 1,0

Neve, vento ou temperatura 0,6

Neve Peso próprio Enchimento de

material 1,0

Vento e enchimento Peso próprio Enchimento de

material 1,0

Vento e esvaziamento Peso próprio Esvaziamento

de material 0,0

Temperatura Peso próprio Enchimento de

material 1,0

Assentamento da fundação

Peso próprio Esvaziamento

de material 1,0

Neve, vento ou temperatura

0,6

1ψ 2ψ

Explosão Peso próprio Enchimento de

material 0,9

Cargas impostas ou deformação

0,3

Impacto de um veículo Peso próprio Enchimento de

material 0,3

Cargas impostas ou deformação

0,3

Tabela 6.2 – Factores parciais

Efeito da acção Material armazenado Acções variáveis Acções permanentes

desfavorável sólidos tóxicos, corrosivos ou

perigosos 1,75 1,35

desfavorável outros sólidos 1,5 1,35

6.4. PAREDES CILÍNDRICAS

6.4.1. GERAL

Tendo por base a teoria de membrana, as resultantes bidimensionais do campo de esforços de membrana resultantes xSdn , Sdnθ e Sdxn θ (fig.6.2) são transformadas na tensão equivalente:

222, 3

1SdxSdxSdSdxSdEde nnnnn

t θθθσ ×+×−+= (6.2)

Page 74: silos metálicos

Silos Metálicos

58

Podem-se ainda calcular para cada uma das direcções as tensões:

42t

m

t

n xSdxSdxEd ±=σ ,

42t

m

t

n SdSdEd

θθθσ ±= ,

42t

m

t

n SdxSdxEdx

θθθτ ±=

(6.3)

Pela teoria de Von Mises, obtém-se a tensão equivalente:

222 3 EdxEdxEdEdxEdeEd θθθ τσσσσσ ×+×−+= (6.4)

que será comparada com o valor resistente determinado tendo em conta as propriedades do aço utilizado.

6.4.2. PAREDES CILINDRICAS SOB CARREGAMENTO SIMÉTRICO

6.4.2.1. Tensões de membrana

Tomando para valores de pressão normal à parede e de tracção de atritohp e wp os valores obtidos na

secção 4.4.2.1 com a denominação de hep e wep respectivamente (associados ao esvaziamento do silo)

e para valores dos factores de descarga hC e wC os anteriores 1,15 e 1,10, resultam as seguintes

expressões para a hp em qualquer ponto à profundidade z :

)1( 00

zzhhh epCp −−××= (6.5)

E a para wp

)1( 00

zzhwhww epCpCp −−×××=××= µµ (6.6)

Os esforços de dimensionamento desenvolvidos na parede (figs. 6.1 e 6.2), admitindo que é suportada inferiomente, são então dados por:

)1( 00,

zzhhFSd erpCn −−××××= γθ (6.7)

+−×××××−= − 01

000,

zzhwFSdx e

z

zzpCn µγ (6.8)

em que Fγ corresponde ao factor de segurança.

De notar que Sdxn , toma sempre valores negativos já que a parede está em compressão.

Para todos os casos de cargas simétricas, o valor do esforço de membrana resultante de dimensionamento en em cada ponto pode ser calculado baseado no critério de cedência de Von Mises:

22SdSdxSdxSde nnnnn θθ +×−= (6.9)

Page 75: silos metálicos

Silos Metálicos

59

6.4.2.2. Flexão local

Sob carregamentos axissimétricos, ocorrem fenómenos de flexão local próximos de zonas onde há mudanças de espessura de parede, ou de um anel, ou de um anel-viga.

O valor de dimensionamento da tensão máximo Sdm max,,θσ é ligeiramente maior que o valor devido ao

esforço de membrana em resultado da flexão local, e tensões de flexão meridionais são também induzidas próximas da fronteira com um valor de pico Sdbx max,,σ caso a base esteja duplamente

apoiada.

tn SdSdm ,max,, 07,1 θθσ ×= (6.10)

tn SdSdbx ,max,, 59,0 θσ ×= (6.11)

Ambas as tensões são aumentadas pelo esforço axial de compressão (comportamento não linear).

Contudo, esta verificação não precisa de ser realizada, caso se tenham em conta certas determinações que serão apresentadas na secção 6.8.3.

6.5. TREMONHA

A tremonha suporta a pressão normal às suas paredes, e as tracções de atrito ao longo do seu comprimento, que induzem um estado de tensão biaxial no elemento casca.

A seguinte análise segue a teoria de membrana para os casos de carga simples, o que é suficiente para tremonhas com carregamentos simétricos, com excepção do seu topo, onde ocorrem significativos momentos locais.

Os esforços a ter em conta nesta análise são devidos às flexões locais, já que são os esforços de flexão junto do topo de tremonha (na área da junção de transição) os esforços críticos da estrutura.

Page 76: silos metálicos

Silos Metálicos

60

6.5.1. ESFORÇOS DE MEMBRANA

Fig. 6.3- Esforços de membrana na tremonha

Os esforços de membrana máximos φn e θn (fig. 6.3) que resultam das pressões aplicadas à tremonha

(em termos genéricos, uma pressão normal e de atrito, np e tp , retiradas do caso de esvaziamento)

podem ser determinados usando algumas expressões simplificadas. As pressões normal e de atrito

np e tp são expressas através de:

vn pFp ×= (6.12)

vhnht pFpp ××=×= µµ (6.13)

em que

n

hvft

n

hh

hv h

xp

h

x

h

x

n

hp

×+

×

−×=

1

γ (6.14)

( )1cot2 −+×××= FFn h βµ (6.15)

( )εβφεφ+×−

×+=

2cos1

cos1

i

i

sen

senF (6.16)

Page 77: silos metálicos

Silos Metálicos

61

( )

++= −−

2

211

1

1tan

h

h

ih sen

senµ

µφ

µε (6.17)

Nas expressões (6.14) a (6.17), x representa a altura acima do vértice da tremonha, hh designa a

altura da tremonha (fig 4.1),hµ é o coeficiente de atrito da parede da tremonha, vftp é a pressão

vertical na transição e iφ é o ângulo de atrito interno do material armazenado.

Os valores de dimensionamento (tracções positivas) dos esforços de membrana Sdnθ e Sdnφ na

tremonha para este carregamento são definidos a partir destas quantidades através de

( ) ( ) ββγγγθ tansec11

12

××××

×

−×

−+

×

−×

×=+

h

n

h

hvft

h

hFSd hF

h

x

n

hp

h

x

n

hn (6.18)

( ) ( )hh

n

h

hvft

h

hFSd hF

h

x

n

hp

nh

x

n

hn µββγγγφ +××××

×

−×

−×+

+

×

−××

×=+

tansec)1(2

1

13

12

(6.19)

Estes esforços são de novo combinados, obtendo-se a seguinte expressão de dimensionamento:

22SdSdSdSdeSd nnnnn φφθθ +×−= (6.20)

6.5.1.1. Localização dos esforços máximos

O esforço de membrana meridional (representado por φn ) geralmente assume o seu valor máximo

junto da zona de transição, no topo da tremonha. Este esforço é particularmente importante para o dimensionamento do anel (ou anel-viga) a instalar junto da transição. O seu valor é calculado pela expressão que a seguir se apresenta, derivada da condição de equilíbrio da tremonha (fig. 6.4).

ββγγφ tansec23

××

×

×+×= hh

vftFSd

hhpn (6.21)

Page 78: silos metálicos

Silos Metálicos

62

Fig. 6.4- Esforços de membrana na tremonha

Quando se utilizam anéis muito esbeltos, este esforço assume um valor inferior ao obtido pela expressão (6.21). No entanto, negligencia-se este efeito, para que se faça um dimensionamento conservativo e pelo lado da segurança.

Se o silo tiver uma parede circular bastante alta acima da tremonha então:

1−×

>n

hp h

vft

γ (6.22)

Quando a expressão (6.22) é verificada então o esforço máximo ocorre no topo da tremonha, sendo aproximado por:

ββγθ tansec ×××××= hvftFSd hFpn (6.23)

Se pelo contrário, a tremonha tiver uma parede baixa por cima, a inequação (6.22) não é satisfeita, e o valor máximo da tensão por unidade de comprimento Sdnφ que se atinge no seu interior passa a ser

obtido através da equação (6.18), com

×−×

−=2

1)1(1

n

h

np

h

x

h

vft

h γ (6.24)

6.5.1.2. Tensões devidas à flexão local (na tremonha, junto à transição)

O topo da tremonha, tal como foi dito anteriormente, é um local ao qual se deve prestar especial atenção devido à magnitude dos esforços criados por fenómenos de flexão localizada.

Os silos da classe tipo 1 não precisam de passar por esta verificação.

No entanto, e a título informativo, apresenta-se a metodologia de cálculo (manual) para os esforços devido à flexão local, baseados no Eurocódigo 3 Parte 4.1.

Page 79: silos metálicos

Silos Metálicos

63

A força radial SdeF , e o momento SdeM , a actuar no anel de transição são determinados através de:

chSdSde FFnF −−×= βφ sin, (6.25)

hhccSde xFxFM ×−×=, (6.26)

em que: ccc pxF ××= 2 (6.27)

( ) hhhh pxF ×××−××= βµ cot15,085,02 (6.28)

cc trx ××= 39,0 (6.29)

βcos

39,0 hh

trx

××= (6.30)

Nas expressões (6.25) a (6.30), ht é a espessura da parede da tremonha, ct é a espessura da parede

cilíndrica junto da transição, r é o raio da transição (igual ao raio do topo da tremonha),β é o semi

ângulo do vértice da tremonha, hµ é o coeficiente de atrito da parede da tremonha, Sdnφ é o valor de

dimensionamento da tensão meridional no topo da tremonha, hp é o valor local da pressão normal na

tremonha abaixo da transição e cp é o valor local da pressão normal na parede do cilindro acima da

transição.

Fig. 6.5- Compressão na zona de transição

Page 80: silos metálicos

Silos Metálicos

64

O tensão de flexão Edhb ,φσ no topo da tremonha (fig. 6.5) é determinada por:

( ) ( ){ } hSdeh

SdeSdeEdhb xFt

FaaMaa ××

−××−×−×××−×

∆= ,2,23,12,

62

6 ηρησ φ (6.31)

com

22312 aaa −××=∆ (6.32)

r×= 78,0ρ (6.33)

βη cos×= ht (6.34)

ρβeph

cs

Attta +++=

cos

232323

1 (6.35)

2222 hcs ttta +−= (6.36)

βcos2525253 ×++= hcs ttta (6.37)

Nas expressões (6.31) a (6.37), ht representa a espessura da parede da tremonha, ct a espessura da

parede cilíndrica na transição, st a espessura da “saia” abaixo do anel da transição, epA a área do anel

na transição e r é o raio da transição (topo da tremonha).

6.6. SILOS SOBRE SUPORTES DISCRETOS

6.6.1. EFEITO DOS SUPORTES DISCRETOS

Nas figuras 6.6 e 6.7 ilustram-se diferentes tipos de suportes e exemplos da forma dos anéis de transição, respectivamente.

Page 81: silos metálicos

Silos Metálicos

65

Fig. 6.6- Diferentes arranjos possíveis em silos apoiados em suportes

Fig. 6.7- Pormenores da ligação entre suporte e zona de transição

No caso de silos largos, o modelo de dimensionamento considera que a parede cilíndrica do silo fica apoiada de uma maneira uniforme no anel-viga (fig. 6.8), funcionando este último como uma viga curva que redistribui as cargas. De salientar que este modelo é apenas válido caso se usem anéis-viga muito rígidos. Em termos de flexão, uma viga larga é relativamente flexível, enquanto que uma parede cilíndrica é razoavelmente rígida para deslocamentos verticais na sua base (fig.6.8 ). Caso o anel-viga não seja suficientemente rígido, corre-se o sério risco de se obterem valores de tensão vertical na parede do silo acima do anel, e esforços de membrana meridionais na tremonha junto do apoio, superiores aos calculados, levando a fenómenos locais de varejamento no cilindro, e falhas por ruptura na tremonha.

Page 82: silos metálicos

Silos Metálicos

66

6.6.2. PAREDES CILÍNDRICAS SOBRE APOIOS DISCRETOS

Quando um silo é suportado por apoios discretos não têm de ser tomados especiais cuidados de análise de esforços, caso tenhamos um silo de classe 1.

Para silos de classe 2, os requisitos expostos no Eurocódigo 3 Parte 4.1. devem ser cumpridos ou ainda feito o dimensionamento completo de um anel-viga.

Para silos de classe 3, é requerido um criterioso estudo com análise em elementos finitos de modo a determinarem-se as tensões locais associadas aos suportes.

6.6.3. TREMONHAS DE SILOS SUPORTADAS POR APOIOS DISCRETOS

Um silo suportado por apoios discretos fica sujeito a esforços superiores àqueles que teria caso fosse suportado por apoios uniformes. O esforço mais significativo e importante está associado ao esforço de membrana no topo da tremonha junto ao apoio, Sdn max,φ .

Uma determinação correcta deste esforço seria obtida por uma análise com elementos finitos. No entanto também se pode aproximar conservativamente por:

SdxSdhSd nnn ,sup,max, φφφ += (6.38)

Obtendo-se Sdhn ,φ pela equação (6.21), e Sdxn ,supφ por:

××+

××××

=23,sup

coscos

11

1

cos4,2

βββφ

h

ch

SdSdx

t

ttr

Qn

(6.39)

Em que SdQ é a reacção vertical no apoio do silo.

Esta forma manual de obter o esforço meridional máximo é bastante aproximada, mas serve para se ter a ideia do possível perigo de um elevado esforço de membrana meridional de pico, pela existência de apoios discretos como suporte do silo.

6.7. ANÁLISE DO ANEL VIGA

6.7.1. ESFORÇOS RESULTANTES NO ANEL VIGA

Normalmente, quando um silo é suportado por apoios discretos instala-se no silo um anel-viga. Não é clara a interacção entre o anel-viga e a parede.

A interacção entre os dois e o modelo seguido são apresentados na figura 6.8. A notação usada apresenta-se na figura 6.9.

Page 83: silos metálicos

Silos Metálicos

67

Fig. 6.8- Relação assumida entre o anel e a parede cilíndrica

Fig. 6.9- Notação do anel-viga e excentricidades

A força vertical (de sentido descendente) uniformemente distribuída Sdvw , transversal ao anel (fig.

6.10), é calculada como:

βφ cos,,, ×+−= SdhSdxcSdv nnw (6.40)

Page 84: silos metálicos

Silos Metálicos

68

Em que:

Sdxcn , é o valor de dimensionamento do esforço de membrana meridional por unidade de

circunferência na parede imediatamente acima do anel;

Sdhn ,φ é o valor de dimensionamento do esforço de membrana meridional no topo da tremonha;

β é o semi-ângulo da tremonha.

Fig. 6.10- Forças aplicadas ao anel-viga

A força radial por unidade de comprimento (centrípeta) no anel (fig.6.10)vale:

βφ sin,, ×= SdhSdr nw (6.41)

A força circunferencial (negativa de compressão) que se desenvolve no anel (fig.6.5) é:

( ) ehhheccSdrSd lrplrprwN ×××−×+××+×−= βµβ sincos, (6.42)

Em que:

r é o raio da parede cilíndrica do silo;

re é a excentricidade horizontal do centróide do anel viga da parede do silo (positivo no sentido

centrífugo)(fig. 6.9);

ecl é o comprimento efectivo do segmento do cilindro acima da transição (fig. 6.5);

ehl é o comprimento efectivo do segmento da tremonha (fig. 6.5);

cp é a pressão local média actuando no comprimento efectivo do segmento do cilindro(fig. 6.5);

hp é a pressão média actuando no comprimento efectivo do segmento da tremonha(fig. 6.5);

hµ é o coeficiente de atrito da parede da tremonha.

Page 85: silos metálicos

Silos Metálicos

69

O momento de flexão no anel-viga varia ao longo da circunferência. Para a coordenada polar θ , medida do centro de um dos suportes, o momento SdrM , (positivo segundo a regra do saca-rolhas)

segundo o eixo radial do anel-viga vale:

( ) ( ) ( )[ ]{ }xSdrrgsgSdvrgSdr ewererwerM ×++−×+××−××−= ,00,, coscotsin θθθθ (6.43)

E o momento torsor SdT relativo ao eixo da circunferência, em qualquer ponto:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]θθθθθθ −×+−×××−××−= 000, cossincot gsgSdvrgSd rerwerT (6.44)

Com:

n

πθ =0 (em radianos)

(6.45)

Em que:

gr é o raio do centróide do anel viga;

θ é a coordenada polar em radianos, com origem num dos suportes;

0θ é o ângulo de circunferência em radianos, de metade do vão entre dois suportes;

n é o numero de suportes discretos ao longo da circunferência do silo.

se é a excentricidade horizontal do centróide do anel viga relativamente ao apoio discreto (positivo no

sentido centrifugo) (fig.6.9);

xe é a excentricidade vertical do centróide do anel viga relativamente à junta de transição (positivo no

sentido descendente) (fig.6.9).

Os valores máximos dos momentos de dimensionamento (regra do saca-rolhas) em relação ao eixo radial, que ocorrem no suporte SdrsM , , e a meio vão SdrmM , podem ser determinados a partir de:

( ) ( )[ ]{ }xSdrrgsgSdvrgSdrs ewererwerM ×++−××−××−= ,00,, cotθθ (6.46)

( ) ( )[ ]{ }xSdrrgsgSdvrgSdrm ewerecerwerM ×++−××−××−= ,00,, cos θθ (6.47)

Quando o anel-viga tem uma secção aberta, considera-se que a torção é inteiramente resistida pela secção, caso não se use uma análise mais precisa. Tal acontecendo, os valores de dimensionamento máximos em cada um dos banzos ( SdfsM , no suporte, e SdfmM , a meio vão) são obtidos através de:

Page 86: silos metálicos

Silos Metálicos

70

( ) ( ) ( )

×−×−×−×

−××=

3cot1

20

00,,

θθθ g

sgrgg

SdvSdfs

rer

h

errwM (6.48)

( ) ( ) ( )

×−×−×−×

−××=

6cos1

20

00,,

θθθ g

sgrgg

SdvSdfm

recer

h

errwM (6.49)

Em que hé a separação vertical entre banzos.

6.7.2. TENSÕES MÁXIMAS NO ANEL VIGA

O valor máximo da tensão circunferencial Ed,θσ (quer seja de tracção quer seja de compressão), que se

desenvolve no anel viga em qualquer posição da circunferência, é determinado utilizando Edm ,θσ :

xf

Sdf

r

rSd

et

SdEdm Z

M

Z

M

A

N ,, ++=θσ

(6.50)

Onde:

SdN é o valor de dimensionamento da força circunferencial efectiva de compressão;

etA é a área efectiva total do anel;

SdrM , é o momento flector no anel, segundo o eixo radial;

rZ é o módulo elástico da secção do anel, segundo o eixo radial

fSdM é o momento num banzo do anel segundo o eixo vertical causado por torção;

xfZ é o modulo elástico da secção do banzo isolado do anel segundo um eixo vertical.

O maior valor da tensão na circunferência Ed,θσ que se desenvolve em qualquer dos banzos do anel-

viga e em qualquer posição da circunferência deve ser determinado como Edc ,θσ antevendo uma

verificação ao varejamento. Esta verificação deve ser feita no banzo inferior próximo do apoio e no banzo superior a meio vão.

)max( ,, EdEdc θθ σσ −−= (6.51)

Page 87: silos metálicos

Silos Metálicos

71

VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL DO SILO

A verificação estrutural do silo circular é feita de acordo com as regras do Eurocódigo 3, Parte 4.1.

Para cada uma das combinações de dimensionamento, cada um dos valores de dimensionamento obtidos Sdeverá ser sempre inferior ao valor de dimensionamento resistente R :

RS ≤ (6.52)

(Para silos de classe 1, existe um processo simplificado para verificar estruturalmente o silo definido no apêndice F do Eurocódigo 3).

Tabela 6.3 – Factores parciais

Resistência Aplicável Valor de Mγ Mγ

Resistência de paredes soldadas ou aparafusadas

ao estado limite plástico aM1γ 1,10

Resistência de paredes soldadas ou aparafusadas à ruptura

bM1γ 1,25

Resistência de paredes à plasticidade cíclica 2Mγ 1,00

Estabilidade da parede 3Mγ 1,10

Resistência da parede à fadiga 4Mγ 1,10

Resistência das conexões 5Mγ 1,25

6.8. PAREDES CILÍNDRICAS

6.8.1. ESTADOS LIMITE PARA AS PAREDES

São os seguintes os estados limite a serem considerados na verificação da resistência da estrutura:

� colapso plástico ou ruptura da parede; � varejamento sob compressão axial; � varejamento sob pressão externa, vácuo parcial e vento; � varejamento sob esforço transverso de membrana; � varejamento ou colapso plástico próximo do suporte ou de um detalhe.

Page 88: silos metálicos

Silos Metálicos

72

6.8.2. RUPTURA DA PAREDE DO SILO

6.8.2.1. Geral

Sob o carregamento do material sólido armazenado e as outras acções relevantes a considerar, a resistência de dimensionamento tem de ser verificada em cada um dos pontos da estrutura.

O valor de dimensionamento da resistência à ruptura é dado por:

bM

yRde

ff

1, γ

= (6.53)

Em todos os pontos da estrutura, ter-se-á que verificar se:

RdeEde f ,, ≤σ (6.54)

Em que Ede,σ é o valor de tensão efectiva de dimensionamento (fig.6.11).

Fig. 6.11- Interacção entre forças de membrana

6.8.2.2. Juntas aparafusadas

Em todas as juntas aparafusadas, a resistência será avaliada de acordo com o Eurocódigo 3 Parte 1.1 ou Eurocódigo 3 Parte 1.3 como for apropriado.

A resistência da secção eficaz é avaliada, utilizando a secção reduzida para cada uma das direcções:

( )bM

uRdx s

tdsfn

1, γθ

θ

××−×=

(6.55)

Page 89: silos metálicos

Silos Metálicos

73

( )bMx

xuRd s

tdsfn

1γθ ××−×=

(6.56)

Em que:

d é o diâmetro do parafuso;

t é a espessura da placa aparafusada mais fina ;

xs é a separação axial do centro da abertura;

θs é a separação circunferencial da abertura da soldadura;

uf é a tensão ultima do material.

A resistência de corte dos parafusos em cada direcção deverá ser também avaliada e, onde um esforço de membrana de corte seja transmitido pela junta, a resistência ao corte de membrana Rdxn ,θ deve

também ser verificada.

Os esforços de dimensionamento devem então verificar as seguintes condições:

xRdxSd nn ≤

(6.57)

RdSd nn θθ ≤

(6.58)

RdxSdx nn θθ ≤

(6.59)

6.8.3. VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO AXIAL (VAREJAMENTO)

6.8.3.1. Geral

Sob compressão axial, a resistência de dimensionamento é determinada em qualquer ponto da casca de acordo com o parâmetro da qualidade de construção Q , a intensidade da pressão interna existente p e

a uniformidade da tensão de compressão. A verificação deverá ser feita em todos os pontos da placa.

6.8.3.2. Resistência Crítica de Varejamento da Parede Cilíndrica

Apesar de o esforço de varejamento elástico crítico da parede isotrópica não poder ser alcançado na prática, é utilizado na avaliação da resistência da parede.

A resistência crítica de varejamento é obtida por:

( ) r

tE

r

tExRc ××=×

−×= 605,0

13 2νσ (6.60)

Page 90: silos metálicos

Silos Metálicos

74

6.8.3.3. Valores de Dimensionamento das Tolerâncias de Imperfeições Geométricas de Fabricação

A qualidade de fabricação é um factor muito importante para a quantificação da resistência da parede. O parâmetro que a quantifica Q é obtido através da tabela 6.4 de acordo com a classe do silo.

A amplitude da imperfeição vale:

t

r

Q

twok ×=

(6.61)

A fig. 6.12 mostra a relação entre as imperfeições admitidas para diferentes tipos de construção (normal, boa e excelente).

Tabela 6.4 – Classes de qualidade em cascas cilíndricas

Tolerância de fabricação da construção

Descrição Parâmetro de qualidade Q

Restrições de classe

Classe A Excelente 40 Apenas permitido para silos de classe 3 Classe B Alta qualidade 25 Classe C Normal 16 Obrigatório para silos de classe 1

Fig. 6.12- Tolerâncias de imperfeição para diferentes qualidades de fabricação

6.8.3.4. Redução da resistência elástica devido às imperfeições geométricas

As imperfeições geométricas das paredes do silo são deveras importantes para a determinação da sua resistência máxima. A sua existência determina uma redução a essa mesma resistência, redução essa quantificada pelo parâmetro α , cujo valor varia entre 0 e 1.

Três valores de α são calculados: 0α para o caso de compressão axial sem pressão interna; peα

quando a pressão interna aumenta a capacidade da parede para fenómenos de varejamento; e

Page 91: silos metálicos

Silos Metálicos

75

ppα quando elevadas pressões reduzem a resistência ao varejamento induzindo o efeito plástico de

“pé-de-elefante”.

O parâmetro 0α é calculado através de:

44,10

91,11

62,0

××+

=

t

wokψα

(6.62)

Em que okw é determinado pela expressão (6.61). O parâmetro ψ é de uma forma conservativa

tomado como 1.

Devido à existência de dois fenómenos distintos (o aumento de rigidez da parede aquando do aumento da pressão e a posterior diminuição pelo fenómeno plástico de “pé-de-elefante”), o factor de imperfeição elástico (com pressão) pα , é tomado como o menor dos parâmetros peα e ppα .

O factor de imperfeição elástica (com pressão) peα é calculado tendo em conta a menor das pressões

localizadas no ponto em estudo, coexistente com o esforço de compressão axial. Vale então:

( )

+×−+=

0

00 3,01

α

αααp

ppe (6.63)

xRct

rpp

σ××= (6.64)

Rcx,σ é a resistência crítica ao varejamento dada pela equação (6.60) e min,hfpp = é o valor mínimo

de pressão interna existente na parede.

O factor de imperfeição plástico (com pressão) ppα é calculado com o valor da maior pressão interna

coexistente com o esforço axial de compressão.

( )

+××+

×

+−×

−=

1

21,1

12,1

111

22

23

2

2 ss

s

s

p x

x

pp

λλ

α (6.65)

sendo,

Rcxt

rpp

.σ××= (6.66)

t

rs ×=

400

1 (6.67)

Page 92: silos metálicos

Silos Metálicos

76

e

Rcx

yx

f

,

2

σλ = (6.68)

Na expressão (6.66) p é o valor de pressão interna máxima aquando da descarga, com 50,1=Fγ .

Para o caso de silos de classe 1, pα toma o valor de 0α , o que equivale a não se permitir um aumento

da resistência da parede por meio da pressão interna.

6.8.3.5. Resistência característica ao varejamento

O valor da tensão característica ao varejamento, menor que o valor crítico, é calculado usando

pαα = (excepto, tal como referido, para silos de classe 1):

yxRkx f×= κσ , (6.69)

Em que:

1=xκ quando 0λλ <x

(6.70)

−−

×−=0

06,01λλλλκ

p

xx quando px λλλ <<0

(6.71)

2

x

xλακ = quando xp λλ <

(6.72)

Dos quais:

xRc

yx

f

σλ = (6.73)

2,00 =λ

(6.74)

αλ ×= 5,2p (6.75)

Page 93: silos metálicos

Silos Metálicos

77

O valor de dimensionamento da resistência ao varejamento é obtido através do valor característico por:

3M

xRkxRd γ

σσ = (6.76)

O valor de dimensionamento da tensão axial na parede deverá verificar a seguinte condição:

RdxEdxSdx

t

n,,

, σσ ≤= (6.77)

6.8.4. PRESSÃO EXTERNA, VÁCUO PARCIAL INTERNO E VENTO

Pela acção do vento ou de vácuo o silo pode sofrer uma deformação por varejamento ao longo de toda a altura do silo, ou entre uma mudança de espessura da placa, ou anéis. É por isso importante fazer esta análise por segmento de placa entre elementos rígidos.

A pressão externa crítica indutora de varejamento, para o caso de uma parede isotrópica, é determinada por:

5,2

92,0

×

××××=r

t

l

rECCp pbnRcu

(6.78)

Em que:

t é a menor das espessuras da parede;

l é a altura entre anéis ou fronteiras rígidas;

Rcunp , é a diferença entre a pressão exterior e interior, sendo positiva quando actua no sentido

centrípeto.

O parâmetro bC é atribuído de acordo com a tabela 6.5.

Tabela 6.5 – Valores de bC

Condição fronteira no topo do silo

Tecto do silo estruturalmente conectado

à parede (contínuo)

Anel superior maior que o de tamanho critico

Anel superior menor que o de tamanho critico

bC 1.0 1.0 0.6

Page 94: silos metálicos

Silos Metálicos

78

pC é obtido pela fórmula:

×××+

=

t

r

l

rC

C

b

p

1,01

2,2

(6.79)

A pressão de dimensionamento máximo a que o silo estará sujeito, sob a acção do vento ou do vácuo parcial, vale:

3M

nRcunnRd

pp

γα ×= (6.80)

Em que:

5,0=nα

Mais uma vez, a seguinte condição terá se ser respeitada:

nRdSd pp ≤ (6.81)

Sendo Sdp o valor de dimensionamento da pressão externa máxima derivada da acção do vento ou do

vácuo parcial.

A acção do vento e/ ou do vácuo parcial podem induzir fenómenos de varejamento não só nas paredes do silo, mas também nos anéis, caso estes não sejam suficientemente rígidos. Convém por isso garantir uma inércia mínima nesses anéis para que este fenómeno não ocorra.

Regula-se por isso um valor de rigidez à flexão crítico zEI , segundo o eixo vertical do anel, que é

dado pelo maior dos dois valores:

3min, 1,0 tLEEI z ×××= (6.82)

−×××××

××××=

2

max

21

2

2

min,

2

48 L

r

twE

rap

a

trLEEI

r

nRdz

(6.83)

Em que:

Rdnp , é o valor máximo de cálculo da pressão exterior (devida ao vento ou vácuo parcial);

zI é o momento de inércia do anel para a flexão circunferencial;

L é a altura da parede vertical;

t corresponde à espessura da parede vertical;

r o raio da parede cilíndrica;

1a , 2a e 3a são parâmetros de cálculo dados por (6.86), (6.87) e (6.88), respectivamente.

Page 95: silos metálicos

Silos Metálicos

79

maxrw corresponde ao valor máximo permitido para a deformação radial sob a acção do vento, e

tomado como o menor dos valores:

rwr ×= 05,0max (6.84)

twr ×= 20max (6.85)

Sendo t a menor das espessuras da parede do silo e r o raio da parede cilíndrica.

2

1 6,21

×+=L

ra (6.86)

2

2 95,11

×+=L

ra (6.87)

3

33 48

××=

r

L

tr

Ia z (6.88)

6.8.5. FADIGA

Existe regulamentação a seguir para o caso dos silos de classe 3 (ENV 1993-1-6). Para outras classes, os fenómenos de fadiga só devem ser estudados quando hajam mais de 10 000 ciclos de carga/ descarga.

6.9. TREMONHAS CÓNICAS

Na verificação da resistência da tremonha são estudados dois estados limite:

� Ruptura da parede; � Colapso plástico da tremonha.

6.9.1. RUPTURA DA PAREDE

Faz-se uma distinção entre silos construídos por soldadura e aparafusados.

6.9.1.1. Silos construídos por soldadura

Os esforços de membrana têm que respeitar:

bM

yRde

ftn

1, γ

×= (6.89)

Page 96: silos metálicos

Silos Metálicos

80

Com o valor obtido da expressão (6.20) há que verificar se:

RdeSde nn ,, ≤ (6.90)

6.9.1.2. Silos com ligações aparafusadas

É necessário verificar todas as juntas da tremonha ligadas por parafusos.

A resistência na secção efectiva tem de ser avaliada em cada uma das direcções, sendo dada por:

( )bM

uRd s

tdsfn

1γθ

θφ ×

×−×= (6.91)

e

( )bM

uRd s

tdsfn

1γφ

φθ ×

×−×= (6.92)

Será então necessário verificar

RdSd nn φφ ≤ (6.93)

RdSd nn θθ ≤ (6.94)

RdSd nn φθφθ ≤ (6.95)

6.9.1.3. Ruptura da transição

Qualquer que seja o tipo de silo construído (ora por soldadura, ora com ligações aparafusadas), é obrigatório o estudo da ruptura na zona da transição. A tremonha recebe grande parte dos esforços devidos ao peso próprio do material armazenado, esforços esses que passam pela zona da transição (de fabrico delicado e difícil), e daí a atenção requerida neste local.

As cargas existentes na transição dificilmente serão simétricas, e por isso o Eurocódigo usa um factor amplificador de 1,2 para o esforço de membrana actuante.

Quando a junta da transição tem uma força pelo menos igual à da placa mais fina contígua, a ruptura da junta de transição precede o colapso plástico da tremonha (fig. 6.13) no caso de tremonhas inclinadas e de paredes rugosas.

A junta de transição é o elemento mais crítico no dimensionamento da tremonha.

Muitas vezes aumentam-se as espessuras das paredes confluentes na zona da transição com o objectivo de tornar a junta mais resistente (e não para melhor resistir aos elevados momentos locais existentes na zona, como por vezes se refere).

A resistência de dimensionamento da junta Rdnφ é dada por:

bM

uRd

ftn

1

80,0γφ ××= (6.96)

Page 97: silos metálicos

Silos Metálicos

81

Sendo uf a tensão última e bM1γ retirado da tabela 6.3.

Deverá então verificar-se a expressão:

RdSdFh nn φφγ ≤× ( Fhγ =1,2) (6.97)

6.9.2. COLAPSO PLÁSTICO DA TREMONHA

Na figura 6.13 mostra-se o esquema do colapso plástico típico no topo da tremonha. A resistência plástica da tremonha deve ser avaliada aquando de uma mudança de espessura ou no seu topo, pelo cálculo do esforço de membrana máxima segundo a direcção φ (ver figura 6.3) :

++×

×

××××−

×××=

15,0

27,091,0

tansin4,2

1

1 h

hy

MaRd

trr

ftrn

µµ

ββγφ (6.98)

A subsequente figura explicita o fenómeno em estudo:

Fig. 6.13- Deformada correspondente ao colapso plástico da tremonha

No topo da tremonha, verificar se:

RdSd nn φφ ≤ (6.99)

Geralmente, na tremonha. o segmento crítico é aquele (no topo) que apresenta maior rácio raio-espessura.

Elevados esforços de flexão local são de relevante importância em silos que possam ter falhas por fadiga.

Page 98: silos metálicos

Silos Metálicos

82

6.10. ANEL DE TRANSIÇÃO OU ANEL-VIGA

6.10.1. MODOS DE ROTURA DO ANEL-VIGA

A transição de um silo encontra-se sempre em compressão, sendo elevados os esforços a que fica sujeita devido à necessidade de equilibrar a componente radial da tensão meridional existente no topo da tremonha (fig. 6.14 ). No anel, o colapso plástico é o modo de rotura mais provável.

Fig. 6.14- Transição parede vertical/ parede da tremonha

6.10.2. COLAPSO PLÁSTICO DA JUNÇÃO SOB CARREGAMENTO AXISSIMÉTRICO

O colapso plástico (fig.6.15) a acontecer, afecta a tremonha, o cilindro e a “saia” (caso exista). Aquando do processo de plastificação, a rótula formada no topo da tremonha rebaixa do nível da junção para a tremonha, redistribuindo os elevados esforços de flexão no seu topo. O colapso plástico da junção é afectado pela espessura da tremonha; os modos de colapso plástico da tremonha e do anel não interagem entre si. A existência de um anel junto da transição é primordial para o controlo do fenómeno de plastificação.

Fig. 6.15- Mecanismo de colapso da junção (a figura à esquerda representa a correspondente deformação)

Page 99: silos metálicos

Silos Metálicos

83

O valor de dimensionamento da resistência hRdnφ da junção (existindo ou não anel) no estado plástico,

é determinado por:

( )

××−×+×+×

×+×+×+= ehhhocc

aM

yhohsoscocphRd lplp

f

r

tltltlAn βµβ

γβφ sincossin

1

1

(6.100)

Em que:

22

2

hs

c

tt

t

+=α (6.101)

32 3,06,07,0 ααψ ×−×+= (6.102)

As larguras efectivas 0l em cada um dos segmentos contíguos à zona de transição, valem:

coc trl ××= 975,0 (6.103)

sos trl ××= 975,0 (6.104)

βcos

975,0 hoh

trl

××= (6.105)

em que:

pA é a secção do anel na zona da junção;

ct é a espessura do cilindro;

st é a espessura da “saia”;

ht é a espessura das paredes da tremonha;

cp é a pressão local média (sem ser multiplicada pelo factor) actuante na largura efectiva do cilindro;

hp é a pressão local média (sem ser multiplicada pelo factor) actuante na largura efectiva da

tremonha;

hµ é o coeficiente de atrito da parede da tremonha.

O valor de dimensionamento anteriormente calculado ( hRdnφ ) terá de ser sempre superior ao calculado

pela expressão (6.21).

RdhSd nn φφ ≤ (6.106)

Page 100: silos metálicos

Silos Metálicos

84

6.10.3. VAREJAMENTO DA JUNÇÃO

O dimensionamento da junção de uma tremonha é quase sempre determinado pelo seu colapso plástico. Há no entanto que verificar o seu varejamento (para dentro e fora do seu plano).

No primeiro caso (para dentro do seu plano), a resistência vale:

32,

14

Mget

zRdip

rA

IE

γσ ×

×××

=

(6.107)

em que:

zEI é a rigidez à flexão da secção efectiva do anel (fig. 6.16) segundo o seu eixo z , etA é a área

efectiva do anel (equação (6.108)) e gr é o raio do centróide da secção efectiva do anel.

Fig. 6.16- Secção efectiva na transição

∑+=segmentos

eepet AAA

(6.108)

Na expressão (6.108) epA corresponde à área do perfil do anel-viga, e eA a área efectiva de cada um

dos segmentos confluentes à zona de transição.

De acordo com a figura 6.16 existem dois grupos A e B, acima e abaixo da junta, respectivamente.

A espessura equivalente de cada um desses grupos vale:

∑=A

Aeq tt 2, (6.109)

Page 101: silos metálicos

Silos Metálicos

85

∑=B

Beq tt 2, (6.110)

α é a razão entre a menor e a maior das espessuras equivalentes, ou seja

( )( )

maioreq

menoreq

t

t=α , (6.111)

sendo

( ) ( )BeqAeqmenoreq ttt ,, ;min= (6.112)

( ) ( )BeqAeqmaioreq ttt ,, ;max= (6.113)

O comprimento efectivo el para cada um dos segmentos é calculado por:

βcos778,01

trl e

××= , (6.114)

para o grupo de menor espessura equivalente, e

[ ]β

ααcos

231389,0 322

trl e

×−+×= , (6.115)

para o de maior espessura equivalente, em que β é o ângulo entre o eixo de simetria do silo e a linha

média da parede da tremonha (fig. 6.17).

Page 102: silos metálicos

Silos Metálicos

86

Fig. 6.17- Zona de transição

Basta depois calcular a área de influência de cada um dos segmentos, através da fórmula:

tlA ee ×= (6.116)

A verificação é conseguida respeitando-se a seguinte condição:

RdipEdu ,, σσ θ ≤ (6.117)

A resistência ao varejamento (para fora do plano) vale:

3

2

,

1

M

pRdop b

tEk

γσ ×

××= (6.118)

Com:

sc

sscc kkk

ηηηη

××+×

= (6.119)

r

bks 452,0385,0 += (6.120)

r

bkc ×+= 56,0154,1 (6.121)

Page 103: silos metálicos

Silos Metálicos

87

2

201,043,0

××+=

b

rsη (6.122)

+

+

×=

252525

5,0p

h

p

s

p

cc t

t

t

t

t

tη (6.123)

Em que (fig. 6.16):

ct é a espessura da parede do cilindro;

st é a espessura da “saia”;

ht é a espessura da parede da tremonha;

pt é a espessura do anel;

b é o comprimento do anel;

ck e sk coeficientes de varejamento.

O varejamento da junção (para fora do seu plano) é então verificado por:

RdopEdu ,, σσ θ ≤ (6.124)

6.10.4. ANEL VIGA DE TRANSIÇÃO SOBRE APOIOS DISCRETOS

Quando um silo se encontra apoiado sobre apoios discretos actuando a junção de transição como um anel-viga, convém ter em conta a não uniformidade de esforços ao longo da sua secção e ao longo da circunferência. Daí a necessidade de realizar as seguintes verificações.

O estado limite plástico está assegurado caso se cumpra a seguinte condição:

aM

yEdm

f

1, γ

σ θ ≤ (6.125)

Também aqui o fenómeno de varejamento tem a sua relevância e mais uma vez dois casos de estudo são verificados (para dentro e para fora do seu plano):

RdipEdc ,, σσ θ ≤ (6.126)

RdopEdc ,, σσ θ ≤ (6.127)

Page 104: silos metálicos

Silos Metálicos

88

Sendo os valores de Rdip,σ e Rdop,σ calculados através das expressões (6.107) e (6.118),

respectivamente.

6.11. SUPORTE

Apesar de toda a complexidade que envolve a ligação do suporte com o silo, existem cálculos simplificados para prevenir a sua rotura. Foram já registadas roturas nos silos devidas a fenómenos de instabilidade causados por varejamento na zona em redor do suporte.

Atente-se na seguinte figura:

Fig. 6.18- Interacção suporte/parede

Considera-se que a força total que é transmitida pelo suporte é dispersa para a parede cilíndrica numa zona definida pelo ângulo de 30º com a vertical, levando a uma uniformização das tensões.

A zona crítica a estudar situa-se logo acima do topo do suporte, devendo-se comparar o esforço aí encontrado com o valor limite para o varejamento para compressão axial ( Rdx,σ ).

Sendo assim, pela fórmula

2lt

P

×=σ

(6.128)

e limitando o valor da tensão máxima ao valor de Rdx,σ , consegue-se para um valor máximo de

P (reacção vertical máxima proporcionada pelos apoios) obter uma secção viável ( 2lt × ) para os

suportes que apoiarão o silo.

Page 105: silos metálicos

Silos Metálicos

89

7 ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO CIRCULAR

7.1. INTRODUÇÃO

Fig. 7.1- Silo circular

Apresenta-se nesta secção o estudo de um silo dimensionado para o armazenamento de cimento, com as propriedades atrás enunciadas na tabela 3.3 (propriedades dos materiais).

Page 106: silos metálicos

Silos Metálicos

90

Este silo é dimensionado para o armazenamento de cimento, com as propriedades atrás enunciadas na tabela 3.3 (propriedades dos materiais) e com as características geométricas e mecânicas apresentadas na figura 7.2.

� material : aço (S235) � altura das paredes cilíndricas: 5 m � altura da tremonha: 3 m � raio da secção circular: 1,5 m � raio da secção circular da base da tremonha: 0,15 m � espessura das paredes verticais: 5 mm � espessura das paredes da tremonha: 10 mm

Fig. 7.2- Características mecânicas e geométricas do silo em estudo

O anel-viga utilizado no silo circular é formado por um perfil 5015×C , com as seguintes características:

Fig. 7.3- Secção do Anel-Viga

Page 107: silos metálicos

Silos Metálicos

91

Fig. 7.4- Características da secção usada para o anel-viga

Para os cálculos que mais à frente se fazem, foi ainda necessário calcular certos valores que na tabela anterior não se apresentam:

- a área do perfil A :

24

94401016700

133 mmAAA

Ii y

y =⇔×=⇔=

- a altura do perfil h , através do valor do módulo de flexão elástica segundo a direcção y ( yW ):

mmhhh

IW y

y 8,38010167002

108772 4

3 =⇔××=×⇔×

=

- a largura do perfil b , através do módulo de flexão elástica segundo a direcção z ( zW ):

mmbbb

IW z

z 6,147104542

105,612 4

3 =⇔××=×⇔×

=

e por fim a espessura do perfil ft :

( ) ( ) mmttt

thbt

I fff

ff

w 3,68,38024

6,147102,118

242

392

3

=⇔−××

=×⇔−××

=

Com estes dados, rapidamente se classifica o silo de acordo com a tabela 4.1, após o cálculo do peso de material que este silo pode armazenar.

Page 108: silos metálicos

Silos Metálicos

92

O silo da figura acima tem um volume:

( ) ( ) 3222 1,46315,05,12

155,1 mV =××+××+××= πππ

Considerando o peso volúmico máximo do cimento ( 316 mkN=γ ),

tonkNmmkNpeso 746,7371,4616 33 ≈=×=

Por este valor ser inferior às 100 toneladas este silo é considerado de classe 1, de acordo com a tabela 4.1.

É ainda necessário classificar a tremonha para se saber que tipo de fluxo ocorre, tendo por base a geometria e o material armazenado. Um silo terá fluxo em massa caso tenha paredes lisas e tremonhas íngremes. Às paredes deste silo atribui-se a categoria D1 (tabela 3.2). Quanto à tremonha, o critério para que esta seja íngreme é estabelecido na expressão (4.19), sendo os valores de K e µ retirados da tabela 3.3.

( )56,0

41,02

54,01

2

)1(tan =

×−=

×−<

h

K

µβ

Fig. 7.5- Geometria da tremonha

Como

( ) 56,045,02,24tantan <=°=β ,

Page 109: silos metálicos

Silos Metálicos

93

conclui-se que este silo (e para este material armazenado) é um silo de fluxo em massa. Não será portanto necessária a verificação dos diâmetros mínimos da base da tremonha exigidos para que os fenómenos de interrupção de fluxo não ocorram, já que estes só se verificam em silos de fluxo em funil. 7.2. MODELAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS (DESCRIÇÃO DO MODELO)

O silo foi modelado através do programa ROBOT, com a utilização do Método dos Elementos Finitos. Uma questão pertinente que se colocava era que tipo e qual a densidade da malha a utilizar. Para o silo circular, tal apresentou-se como uma dificuldade devido ao pequeno número de malhas compatíveis com a estrutura (poucas eram as malhas “coerentes”).

Fez-se portanto um teste, de modo a identificar a malha mais razoável e realista. Este problema colocava-se em particular para o silo circular, pois nenhuma das malhas obtidas era suficientemente refinada do ponto de vista de caracterização geométrica, colocando em dúvida os resultados obtidos.

O teste consistiu em modelar uma pequena faixa do silo com o mesmo diâmetro de 3m (a faixa correspondente ao metro mais profundo da parede cilíndrica) como a seguir se mostra, utilizando diferentes malhas de elementos finitos.

A espessura dos painéis é a mesma das paredes verticais do silo, ou seja, 5 mm.

Estuda-se o caso de carga mais simples (e que permite verificar facilmente a congruência de resultados), que é o das cargas perpendiculares às placas ( ver 4.8 combinações: caso 4),

Fig. 7.6- Malha de elementos finitos de uma secção em estudo com cargas aplicadas (faixa de 1m de

altura)

Page 110: silos metálicos

Silos Metálicos

94

Interessava obter os esforços de membrana, particularmente segundo a direcção local X (pois são correspondentes do esforço de membrana Sdn ,θ ). Os resultados obtidos com uma malha constituída

por elementos quadrangulares de 8 nós e de 4 nós (elementos de dimensão de 0,5m) são os seguintes:

Quadro 7.1 – Esforços de membrana obtidos com uma malha de 8 nós (elementos de dimensão 0,5m)

Quadro 7.2 – Esforços de membrana obtidos com uma malha de 4 nós (elementos de dimensão 0,5m)

Multiplicando estes valores pelo factor de segurança de 1,35, resulta:

mkNn Sd 6,5767,4235,1, =×=θ

mkNn Sd 7,11493,8435,1, =×=θ

Para o mesmo caso de carga, o esforço de membrana é calculado pela expressão (6.7):

( )( ) mkNen Sd 0,5915,132,3115,135,1 02,35, =−××××= −

θ

Page 111: silos metálicos

Silos Metálicos

95

Constata-se que os resultados obtidos com a referida malha (8 nós, dimensão de 0,5m) são os mais aproximados dos calculados pela expressão (6.7).

Uma análise mais alargada, que faça variar a dimensão dos elementos pode auxiliar. O gráfico da figura 7.7 mostra os diferentes valores da tensão de membrana Nxx, em função da dimensão dos elementos e do número de nós por elemento.

Análise por elementos finitos

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

0.50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05

dimensão dos elementos (m)

esfo

rços

de

mem

bran

a N

xx (k

N/m

)

8 nós

4 nós

Fig. 7.7- Esforços de membrana na secção em estudo, para diferentes dimensões dos elementos (com 4 e

8 nós)

Conclui-se que para valores da dimensão dos elementos superiores a 0,20m, que os esforços de membrana (multiplicados pelo factor de segurança) mais próximos do valor de 59 kN/m são os que se obtêm com uma malha de 8 nós.

Analisou-se ainda a parede cilíndrica na zona imediatamente acima da transição (fig.7.8) para o mesmo caso de cargas 4. Observando apenas os esforços de membrana da parede cilíndrica obtiveram-se os seguintes resultados (mais uma vez para a referida malha com 8 nós, elementos de dimensão 0,5m, e para o caso das cargas perpendiculares às placas):

Page 112: silos metálicos

Silos Metálicos

96

Fig. 7.8- Faixa de parede vertical em estudo (colorida a vermelho)

Com os esforços de membrana obtidos nos nós dos elementos coloridos da figura 7.8, obteve-se a seguinte gama de valores:

Elementos de 8 nós (de dimensão 0,5m)

48

49

50

51

52

53

54

Nxx

(kN

/m)

valores de Nxx valor máximo de Nxx (=53,08kN/m)

Fig. 7.9- Esforços de membrana na faixa de parede vertical em estudo

O valor máximo (53,08 mkN ) volta a ser muito próximo dos valores obtidos anteriormente. Por esta

razão, foi esta a malha usada para a análise do silo circular, apesar do seu relativamente baixo refinamento (sendo no entanto o máximo atingível, com o ROBOT).

Page 113: silos metálicos

Silos Metálicos

97

7.3. VERIFICAÇÃO ESTRUTURAL

Neste capítulo faz-se a verificação estrutural do silo de acordo com as regras apresentadas no capítulo anterior. O modelo no ROBOT será para isso fundamental, na obtenção de tensões e esforços de membrana máximos.

A seguinte figura mostra o modelo concebido no ROBOT:

Fig. 7.10- Silo circular modelado no ROBOT

Page 114: silos metálicos

Silos Metálicos

98

7.3.1 PAREDES CILÍNDRICAS

Para a análise da ruptura da parede, e tendo por base as expressões (6.53) e (6.54)considera-se que,

MPa

ff

bM

yRde 213

1,1

235

1, ===

γ (6.53)

MPaf RdeEde 213,, =≤σ (6.54)

Através do modelo do ROBOT chegaram-se aos seguintes resultados, para cada uma das combinações:

Quadro 7.3 – Resultados da tensão máxima obtida pela teoria de Von Mises

comb Ede,σ

)(MPa

comb 1 133,1 OK

comb 2 133,0 OK

comb 3 133,0 OK

comb 4 133,0 OK

comb 5 132,9 OK

comb 6 132,9 OK

A condição imposta pela equação (6.54) é verificada, ficando a hipótese da ruptura da parede vertical do silo irradiada.

A resistência crítica de varejamento da parede cilíndrica é dada, de acordo com a expressão (6.60), por

( ) ( ) MPar

tE

r

ExRc 5,423

5,1

005,010210605,0605,0

1

13

6

2=×××=××=×

−×=

νσ (6.60)

O factor de imperfeição elástica é obtido considerando a amplitude de imperfeição igual a

00541,0005,0

5,1

16

005,0 =×=okw (6.61)

e o parâmetro 0α (expressão 6.62) dado por

197,0

005,0

00541,0191,11

62,0

91,11

62,044,144,10 =

××+

=

××+=

t

wokψα

(6.62)

Page 115: silos metálicos

Silos Metálicos

99

O factor de imperfeição elástica calculado com a menor das pressões localizadas

( ) 0151,0105,423005,0

5,1)3(40,213

=×××=

××= ELU

t

rpp

xRcσ (6.64)

( ) 215,03,0

1

0

00 =

+×−+=

α

αααp

ppe (6.63)

E também com a maior das pressões internas através de

( )( ) 0309,0

105,423005,0

5,150,11,293

.

=××××=

××=

Rcxt

rpp

σ (6.66)

A quantidade sé dada por

75,0005,0

5,1

400

1

400

1 =×=×=t

rs (6.67)

sendo

555,05,423

235

,

2 ===Rcx

yx

f

σλ (6.68)

( ) 408,01

21,1

12,1

111

22

23

2

2=

+××+

×

+−×

−=

ss

s

s

p x

x

pp

λλ

α (6.65)

Então:

( ) 215,0408,0;215,0min ==pα

No entanto, como o silo é de classe 1 o valor de pα é tomado como o valor de 0α , ficando:

197,0=α

Page 116: silos metálicos

Silos Metálicos

100

De modo a calcular a resistência característica de varejamento, determina-se

745,05,423

235 ===xRc

yx

f

σλ (6.73)

2,00 =λ (6.74)

702,0197,05,25,2 =×=×= αλ p (6.75)

Então:

356,0555,0

197,0 ==xκ quando xp λλ < (6.72)

MPaf yxRkx 5,83235356,0, =×=×= κσ

(6.69)

MPaM

xRkxRd 76

10,1

5,83

3

===γσσ

(6.76)

Na figura 7.11 mostra-se o gráfico com todos os valores das tensões Edx,σ (tensões segundo a

direcção x , ou seja, a direcção vertical ou do eixo de revolução do silo, ver figura 6.1) da parede vertical do silo, obtidos para a combinação 1 (segundo o eixo das abcissas estão os valores de tensão

Edx,σ , enquanto no eixo vertical se encontram dispostos todos os nós dos elementos da parede vertical

do silo). O valor de 76 MPa fica verificado, para quase todos os pontos do silo.

Noutras combinações excede-se pontualmente este valor, mas isso é corrigido quando se restringe o topo do silo (com a colocação por exemplo de mais uma anel ou reforço em redor do perímetro da tampa do silo).

Page 117: silos metálicos

Silos Metálicos

101

Verificação ao varejamento

-90,0 -70,0 -50,0 -30,0 -10,0 10,0 30,0

1

131

261

391

521

651

781

911

1041

1171

σxed (MPa)

Fig. 7.11- Gráfico com os valores de tensões verticais em todos os pontos da parede vertical do silo (para a

combinação 1)

Interessa ver os elementos que apresentam os maiores valores de Edx,σ . Como era expectável, são os

elementos que estão imediatamente acima dos apoios, pois é aí que são suportadas as pressões de atrito aplicadas às paredes dos silos (fig. 7.12).

Valor limite da tensão de

compressão

Page 118: silos metálicos

Silos Metálicos

102

Fig. 7.12- Elementos de maior valor de tensão vertical ( Edx,σ ) para a combinação 1

Tendo por base a expressão (6.78) para a pressão externa crítica indutora de varejamento, determinam--se os parâmetros C , sendo pC obtido pela fórmula

129,1

005,0

5,1

5

5,10,11,01

2,2

1,01

2,2 =

×××+

=

×××+

=

t

r

l

rC

C

b

p (6.79)

e 5,0=bC de acordo com a tabela 6.5.

apoios

Page 119: silos metálicos

Silos Metálicos

103

Vem então

( )2

5,2

65,2

9,41

5,1

005,0

5

5,110210129,10,192,092,0

mkN

r

t

l

rECCp pbnRcu

=

×

×××××=

×

××××= (6.78)

A pressão de dimensionamento máximo a que o silo estará sujeito, sob a acção do vento ou do vácuo parcial, vale:

2

3

0,1910,1

9,415,0 mkN

pp

M

nRcunnRd =×=×=

γα

(6.80)

Em que:

5,0=nα

Comparando este valor com os aplicados ao silo (capítulo 4.7 Acção do Vento ), conclui-se que as pressões aplicadas são então insuficientes para causar fenómenos de instabilidade nas paredes verticais.

Para análise da estabilidade ao varejamento nos anéis por acção do vento e/ou vácuo parcial, determinam-se os valores críticos de rigidez à flexão segundo o eixo, tendo por base as expressões (6.82) e (6.83).

( ) 125,13005,05102101,01,0 363min, =××××=×××= tLEEI z (6.82)

−×××××

××××=

2

max

21

2

2

min,

2

48 L

r

twE

rap

a

trLEEI

r

nRdz

(6.83)

Nas expressões utiliza-se o menor dos valores

075,05,105,005,0max =×=×= rwr (6.84)

1,0005,02020max =×=×= twr (6.85)

Sendo t a menor das espessuras da parede do silo, r o raio da parede cilíndrica e L a altura da parede. Os parâmetros 1a 2a e 3a são dados pelas expressões (6.86) a (6.88).

Page 120: silos metálicos

Silos Metálicos

104

234,15

5,16,216,21

22

1 =

×+=

×+=L

ra

(6.86)

176,15

5,195,1195,11

22

2 =

×+=

×+=L

ra

(6.87)

478,0

5,1

5

005,05,1

104544848

3

3

83

33 =

××××=

××=

r

L

tr

Ia z

(6.88)

( )( ) 34,18553

5

5,1

005,0075,010210

5,1234,10,192

176,148

005,05,15102102

6

226

min, −=

−×××

××××

××××=zEI

O valor obtido pela expressão (6.83), para o silo em estudo, é um valor irracional, devido ao elevado rácio entre o raio da parede circular e a altura dessa mesma parede.

Como o valor obtido é ilógico, considerar-se-á apenas o valor obtido pela expressão (6.82).

4min, 25,6

125,13cm

EI z ==

Este valor é francamente inferior ao que a perfil escolhido proporciona!

7.3.2 TREMONHA CÓNICA

De acordo com a expressão (6.39) apresentada no capítulo 6, o esforço máximo que se desenvolve na tremonha do silo suportado por apoios discretos é dado por

( )( ) ( )

mkN

t

ttr

Qn

h

ch

SdSdx

4,929

2,24cos010,0

005,0

2,24cos

11

1

2,24cos010,05,14,2

377

coscos

11

1

cos4,2

5,1

23,sup

=

°××

°+

×°×××

=

××+

××××

=

βββφ

(6.39)

Este valor é superior a qualquer um dos valores obtidos para o esforço de membrana no topo da tremonha, como se pode constatar ao compará-lo com os valores do quadro 7.4. obtidos através da análise por elementos finitos.

Page 121: silos metálicos

Silos Metálicos

105

Quadro 7.4 – Resultados do esforço de membrana máximo (para cada combinação e para a direcção φ / yy )

comb yyN

)( mkN

comb 1 668,6 OK

comb 2 683,5 OK

comb 3 631,2 OK

comb 4 736,9 OK

comb 5 751,8 OK

comb 6 699,5 OK

Confirma-se então o quão conservativo pode ser este método manual de calcular o esforço de membrana máximo Sdsn max,φ .

Assumindo que o silo é construído por soldadura, a resistência de membrana é dada por

mkNf

tnbM

yRde 1880

25,1

10235010,0

3

1, =××=×=

γ (6.89)

Com o valor obtido da expressão (6.5) há que verificar se:

mkNnn RdeSde 1880,, =≤ (6.90)

Quadro 7.5 – Resultados obtidos pela análise de elementos finitos

comb Sden ,

mkN( )

comb 1 668,6 OK

comb 2 684,8 OK

comb 3 632,2 OK

comb 4 735,5 OK

comb 5 751,7 OK

comb 6 699,1 OK

O quadro 7.5 resume os valores máximos obtidos para cada uma das combinações, utilizando a modelação de elementos definidos, podendo constatar-se que a resistência da tremonha é largamente verificada.

Page 122: silos metálicos

Silos Metálicos

106

A resistência de cálculo na junta de transição é dada por

mkNf

tnbM

uRd 2304

25,1

10360010,080,080,0

3

1

=×××=××=γφ

(6.96)

Assim, terá de verificar-se, de acordo com (6.97) se

mkNnn RdSdFh 2304=≤× φφγ ( Fhγ =1,2) (6.97)

Compendiam-se no quadro 7.6 os valores obtidos através da modelação por elementos finitos, que satisfazem o valor acima determinado.

Quadro 7.6 – Resultados obtidos pela análise de elementos finitos

comb yyN×2,1

)( mkN

comb 1 802,3 OK

comb 2 820,2 OK

comb 3 757,5 OK

comb 4 884,2 OK

comb 5 902,2 OK

comb 6 839,4 OK

A resistência plástica da tremonha é dada, de acordo com (6.98) por

( )( ) ( )

mkN

sen

trr

ftrn

h

hy

MaRd

6,2678

15,041,0

27,041,091,0

2,24tan2,24010,05,14,25,1

10235010,05,1

10,1

1

15,0

27,091,0

tansin4,2

1

3

1

=

++××

°×°×××−××××=

++×

×

××××−

×××=

µµ

ββγφ

(6.98)

Representa-se na figura 7.13 o diagrama de esforços de membrana considerando um corte vertical no silo, de modo a se obter o diagrama dos esforços de membrana associados (escolheu-se, arbitrariamente, a combinação 1).

Page 123: silos metálicos

Silos Metálicos

107

Fig. 7.13- Corte vertical: diagrama de tensões de membrana para a combinação de acções 1

Fig. 7.14- Colapso plástico da tremonha

É grande a semelhança entre as figuras 7.13 e 7.14, o que permite verificar ser a zona do topo da tremonha aquela em que os esforços de membrana atingem valores mais elevados e onde ocorrerá a plastificação se as acções forem incrementadas.

mkNnn RdSd 6,2678=≤ φφ (6.99)

Observando os valores do quadro 7.6 conclui-se que não se dará o colapso plástico da tremonha.

Page 124: silos metálicos

Silos Metálicos

108

7.3.3 ANEL DE TRANSIÇÃO

De acordo com o referido na secção 6.10.2, a resistência de cálculo hRdnφ do anel de transição depende

das diferentes larguras efectivas 0l em cada um dos segmentos contíguos à zona de transição, que

valem:

cmmtrl coc 44,8084,0005,05,1975,0975,0 ==××=××= (6.103)

0975,0 =××= sos trl (não existe saia) (6.104)

( ) cmmtr

l hoh 50,121250,0

2,24cos

010,05,1975,0

cos975,0 ==

°××=

××=

β (6.105)

Vem então o valor de resistência máximo por

( )

( )

( ) ( )( )mkNn hRd 9,3882

125,02,24sin41,02,24cos4,74084,010,29

10,1

10235

5,1

010,01250,0005,0084,01040,94

2,24sin

134

=

×°×−°×+×+

××

×+×+×

°=

φ (6.100)

Para analisar a influência do anel viga, repetindo o mesmo cálculo, mas sem entrar com o valor da sua área, resultaria,

( ) ( ) ( )( )mkNn hRd 1,603

125,02,24sin41,02,24cos4,74084,010,29

10,1

10235

5,1

010,01250,0005,0084,0

2,24sin

13

=

×°×−°×+×+

××

×+×

°=φ

(6.100)

Conclui-se portanto ser muito grande a influência do anel viga colocado no silo (6 vezes maior a resistência da junção com anel do que sem anel).

mkNnn RdhSd 7,3024=≤ φφ (6.106)

Este valor é amplamente verificado, em todas as combinações (quadro 7.5), não havendo portanto qualquer risco de se atingir o colapso plástico na zona da transição.

Page 125: silos metálicos

Silos Metálicos

109

A verificação do varejamento da junção é feita seguindo as determinações da secção 6.10.3, como a seguir se demonstra.

Determinando os valores das espessuras equivalentes de cada um dos grupos A e B,

Figura 6.16 –Secção efectiva na transição

mmtt ceqA 5== (6.109)

mmtt heqB 10== (6.110)

e a razão α , entre a menor e a maior das espessuras equivalentes calculada por

5,0==eqB

eqA

t

(6.111)

Obtêm-se os valores dos comprimentos efectivos de cada um dos grupos (A e B) através das equações (6.114) e (6.115).

( )2

111 53,3005,01,70705,02,24cos

005,05,1778,0

cos778,0 cmlAcmm

trl eee =×=⇒≈=

°××=××=

β (6.114)

[ ] [ ] ( )2

22

32322

48,7010,0

5,70748,02,24cos

010,05,15,025,031389,0

cos231389,0

cmlA

cmmtr

l

ee

e

=×=⇒

≈=°

××−×+×=×−+×=β

αα

(6.115)

Page 126: silos metálicos

Silos Metálicos

110

A área efectiva do anel-viga é dada pela soma da área do perfil utilizado ( 5015×C ) com a área de cada um dos elementos concorrentes com a zona de transição, soma essa traduzida pela equação (6.108).

241,10548,753,34,94 cmAAAsegmentos

eepet =++=+= ∑

(6.108)

A análise da estabilidade ao varejamento da junção é feita pelo cálculo da resistência ao varejamento para dentro do seu plano (“in-plane buckling”) através da expressão (6.107).

( ) ( )( ) MPa

rA

IE

Mget

zRdip 146

10,1

1

50202,11041,105

104541021041424

86

32, =×

××××××=×

×××= −

γσ (6.107)

Fig. 7.15- Notações do anel viga e excentricidades

A verificação é conseguida respeitando-se a seguinte condição:

MPaRdipEdu 146,, =≤ σσ θ

Page 127: silos metálicos

Silos Metálicos

111

A resistência ao varejamento para fora do plano (“out-of-plane buckling”) é calculada pela expressão (6.118)

( ) MPab

tEk

M

pRdop 9,1114

148,0

0063,01021093,2

12

6

3

2

, =

×××=×

××=

γσ

(6.118)

em que os parâmetros k , sk e ck se determinam pelas equações (6.119), (6.120) e (6.121)

93,2

456,0868,1

527,0456,0209,1868,1 =×

×+×=×

×+×=

sc

sscc kkk

ηηηη

(6.119)

527,05,1

148,0452,0385,0452,0385,0 =+=+=

r

bks

(6.120)

209,1

5,1

148,056,0154,156,0154,1 =×+=×+=

r

bkc

(6.121)

e as variáveis sη e cη pelas expressões (6.122) e (6.123), respectivamente.

456,0

148,020

5,11,043,0

201,043,0

22

=

××+=

××+=

b

rsη

(6.122)

( ) 868,10063,0

010,00

0063,0

005,05,0

5,0

5,25,2

5,2

252525

=

++

×=

+

+

×=

p

h

p

s

p

cc t

t

t

t

t

(6.123)

O varejamento da junção (para fora do seu plano) é então verificado desde que:

MPaRdopEdu 9,1114,, =≤ σσ θ

Page 128: silos metálicos

Silos Metálicos

112

Estando para o caso em estudo o anel-viga de transição sobre apoios discretos, fazem-se ainda mais algumas verificações.

A verificação do anel-viga de transição do silo que se encontra apoiado sobre apoios discretos é aferida respeitando-se as condições impostas pelas inequações (6.125), (6.126) e (6.127), sendo estas últimas duas respeitantes à resistência ao varejamento.

MPa

f

aM

yEdm 213

10,1

235

1, ==≤

γσ θ

(6.125)

MPaRdipEdc 146,, =≤ σσ θ (6.126)

MPaRdopEdc 9,1114,, =≤ σσ θ

(6.127)

Através da análise de tensões na barra (anel-viga), conseguiram-se extrair as tensões máximas e mínimas resultantes das acções a si aplicadas.

Quadro 7.7 – Resultados obtidos pelo modelo em elementos finitos (tensões máxima e mínima no anel viga)

comb ( )MPaSmax ( )MPaSmin

comb 1 41,51 -73,94 OK

comb 2 42,39 -74,43 OK

comb 3 40,20 -72,57 OK

comb 4 46,68 -84,00 OK

comb 5 47,56 -84,49 OK

comb 6 45,37 -82,64 OK

Pode-se assim concluir que os valores limite de tensões em cima apresentados, para se assegurar a estabilidade do anel viga, são por completo verificados.

Interessa comparar estes resultados com os obtidos pela expressão (6.50). Calcula-se, para um dos estados limite (ELU 1):

Fig.6.10 – Forças aplicadas ao anel-viga

Page 129: silos metálicos

Silos Metálicos

113

Pela expressão (6.21), determina-se o esforço de membrana no topo da tremonha:

( ) ( )

mkN

hhpn hh

vftFSd

0,55

2,24tan2,24sec2

3

3

31610,3935,1

tansec23

=

°×°×

×

×+×=

××

×

×+×= ββγγφ

(6.21)

Pela expressão (6.8), o esforço de membrana na parede vertical:

mkN

e

ez

zzpCn zz

hwFSdx

2,45

102,3

502,332,3138,010,135,1

1

02,35

000,

0

−=

+−×××××−=

+−×××××−=

−µγ

(6.8)

A força radial por unidade de circunferência (centrípeta) no anel (fig.6.10) vale:

( ) mkNnw SdhSdr 5,222,24sin0,55sin,, =°×=×= βφ (6.41)

Enquanto a força vertical vale:

( ) ( ) mkNnnw SdhSdxcSdv 4,952,24cos0,552,45cos,,, =°×+−−=×+−= βφ (6.40)

O esforço de compressão é obtido através da expressão (6.42):

( )( )

kN

lrplrprwN ehhheccSdrSd

3,24

075,05,12,24sin38,02,24cos4,74071,05,11,295,15,22

sincos,

−=××°×−°×+××+×−=

×××−×+××+×−= βµβ (6.42)

Falta apenas calcular os momentos aplicados ao anel-viga, pelas expressões (6.46) e (6.48), do seguinte modo:

( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

mkN

ewererwerM xSdrrgsgSdvrgSdrs

.0,46

05,225,1785,0cot785,05,14,955,1

cot ,00,,

−=×+−××××=

×++−××−××−= θθ (6.46)

Page 130: silos metálicos

Silos Metálicos

114

( ) ( ) ( )

( )

mkN

rer

h

errwM g

sgrgg

SdvSdfs

.36,7

3

785,050202,1785,0cot785,015,1

3808,0

5,150202,14,95

3cot1

2

20

00,,

=

×−×−××××=

×−×−×−×

−××=

θθθ

(6.48)

Finalmente, segundo a expressão (6.50), resulta:

MPaZ

M

Z

M

A

N

xf

Sdf

r

rSd

et

SdEdm 7,64

105,61

36,7

10877

46

109440

3,24666

,, =

×+

×−+

×−=++= −−−θσ (6.50)

O valor obtido é concordante com os resultados apresentados no quadro 7.7.

Estudou-se a influência da existência do anel-viga, colocado na zona da transição do silo. O gráfico da figura 7.16 ilustra os valores da tensão Edx,σ para cada um dos nós dos elementos situados na

transição parede vertical/ tremonha. Como a figura o demonstra, é clara a influência positiva nos valores da tensão vertical Edx,σ , à qual está associado o fenómeno de varejamento.

Fig. 7.16- Influência do anel-viga (varejamento) (combinação 1)

Tensões na parede

-140,0

-120,0 -100,0

-80,0 -60,0

-40,0 -20,0

0,0 20,0

40,0 60,0

80,0

)(,

MPaEdxσ

sem anel com anel

pormenor

Page 131: silos metálicos

Silos Metálicos

115

Fig. 7.17- Pormenor do gráfico da figura 7.16

Com o gráfico da figura 7.17 verifica-se a capacidade de distribuição de esforços de um anel-viga. De facto, é à sua custa que não só se minimizam esforços de compressão na zona de transição (devidos essencialmente às forças de compressão que lhe são aplicadas), como também se repartem esforços no plano perpendicular ao plano da secção circular. Está então demonstrada a importância e contribuição de um anel-viga num silo circular.

Mostra-se na figura 7.18 o mapa de tensões s1(tracções máximas) no silo, para a combinação 1.

Fig. 7.18- Mapa de tensões (s1) para a combinação 1

Tensões na parede

-120,0

-100,0

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

)(,

MPaEdxσ

sem anel com anel

Page 132: silos metálicos

Silos Metálicos

116

É possível constatar que os maiores esforços de tracção se dão na tampa do silo. As tensões de compressão mais elevadas (zonas a azul) ocorrem nas paredes verticais, imediatamente acima dos apoios (zonas criticas nas quais é preciso verificar o fenómeno de varejamento) e nas paredes da tremonha, entre a saída e zona da transição.

Fig. 7.19- Mapa de tensões (s2) de compressão para a combinação 1

Apresenta-se na figura 7.19 o mapa das tensões máximas de compressão (também para a combinação 1). Como era de esperar, as maiores compressões dão-se nas paredes verticais (zonas a azul) e ao longo da zona de transição (onde são verificadas as compressões no anel viga, por exemplo).

Page 133: silos metálicos

Silos Metálicos

117

7.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO

O estudo do comportamento dinâmico de um silo é fundamental. De facto, são os fenómenos de varejamento, acção do vento e pressão interna (causada pelo material armazenado) que causam a ruptura do silo. Qualquer uma destas acções induz instabilidade à estrutura, e convém saber descrever os diferentes modos de instabilidade. Sabendo o seu comportamento para os principais modos de vibração, antecipar-se-á a fatalidade que poderá ser a destruição de um silo. Foram estudados os 10 primeiros modos de vibração e observadas as configurações modais correspondentes, sistematizando-se no quadro 7.8 as principais frequências naturais.

Quadro 7.8 – Resultados da análise dinâmica

Modo Frequência

(Hz) Pulsação (1/seg)

Descrição

1 5,76 36,21 oscilação local da tampa

2 8,76 55,03 torção da parede vertical

3 12,83 80,64 oscilação local da tampa

4 15,26 95,9 oscilação local da tampa

5 19,77 124,23 oscilação local da tampa

6 22,63 142,19 oscilação local da tampa

7 23,56 148,05 flexão da parede vertical

8 23,57 148,09 flexão da parede vertical

9 27,27 171,31 vibração conjunta parede vertical/ tampa

10 27,58 173,32 vibração conjunta parede vertical/ tampa

A primeira frequência natural ( Hzf 76,5= ) está associada a uma oscilação local da tampa do silo:

Fig. 7.20- 1º Modo

Page 134: silos metálicos

Silos Metálicos

118

O segundo modo ( Hzf 76,8= ), reflecte-se na torção da parede vertical do silo, segundo o seu eixo

vertical z.

Fig. 7.21- 2º Modo

Os modos 3 a 6 correspondem a oscilações locais da tampa do silo.

Fig. 7.22- 3º Modo

Page 135: silos metálicos

Silos Metálicos

119

Os modos 7º e 8º estão associados a flexão circunferencial da parede vertical:

Fig. 7.23- 7º Modo

Os últimos dois modos de valores (9º e 10º), com frequências da ordem dos 27 Hz, envolvem vibração conjunta das paredes verticais do silo e tampa do silo.

Fig. 7.24- 9º Modo

De notar que nenhum dos 10 primeiros modos estudados envolve vibração das paredes da tremonha, muito provavelmente devido à sua geometria cónica e ao confinamento associado ao anel viga.

Page 136: silos metálicos

Silos Metálicos

120

Page 137: silos metálicos

Silos Metálicos

121

8 SILO RECTANGULAR

8.1. INTRODUÇÃO

O comportamento estrutural de um silo rectangular é muito distinto do de um silo circular. A relação entre as pressões e os deslocamentos é ainda pouco conhecida, levando-se a dimensionamentos algo conservativos dos silos rectangulares. Os silos rectangulares são apropriados até dimensões para

cd (diagonal da secção rectangular) de 4 a 5m (silos rectangulares com reforços). A partir daí não se

justifica a sua utilização, sendo melhor a opção pelos silos circulares.

Nas figuras 8.1, 8.2 e 8.3, mostram-se algumas disposições possíveis de um silo rectangular:

Fig. 8.1- Silo rectangular de cantos arredondados

Page 138: silos metálicos

Silos Metálicos

122

Fig. 8.2- Silo rectangular com reforços (representados pelas linhas a tracejado)

Fig. 8.3- Silo rectangular com reforços verticais e horizontais

Para uma mesma espessura das paredes, um silo rectangular e um circular não apresentam a mesma capacidade resistente. Daí a necessidade de aumentar a rigidez da estrutura (rectangular) por meio de reforços (ou nervuras de rigidez). Se é verdade que a sua existência aumenta os custos de construção (material e transporte), não é menos verdade que a rapidez na construção é francamente superior.

Também neste tipo de silos se colocam as questões relativas ao tipo de fluxo do material (em massa ou em funil), bem como as da instabilidade (formação de túnel e de arco). O tipo de fluxo preferível para

Page 139: silos metálicos

Silos Metálicos

123

os silos rectangulares é o de massa: existe uma maior probabilidade da retenção de material nos cantos, onde os fenómenos de corrosão seriam amplificados, caso tal acontecesse. Garantindo o fluxo em massa, o fenómeno de corrosão dos cantos fica minimizado (a figura 8.1 mostra a secção a usar para evitar o fenómeno de corrosão nos cantos).

8.2. REGRAS PRINCIPAIS

8.2.1. PAREDES

Seguem-se também aqui os preceitos da Teoria de Janssen. As pressões horizontal, de atrito e vertical (fig. 4.2), a uma altura z abaixo da superfície equivalente do sólido, são dadas por:

)()( 0 zYpzp Jhhf ×= (8.1)

)()( 0 zYpzp Jhwf ××= µ (8.2)

)()( 0 zYK

pzp J

hvf ×= (8.3)

Em que:

00 zKph ××= γ (8.4)

U

A

Kz ×

×=

µ1

0 (8.5)

01)( zzJ ezY −−= (8.6)

Sendo:

γ o valor característico do peso volúmico;

µ o valor característico do coeficiente de atrito da parede quando o sólido desliza pela parede

vertical;

K o valor característico da razão da pressão lateral;

A a área da secção do silo;

U o perímetro interno da secção do silo.

Page 140: silos metálicos

Silos Metálicos

124

8.2.2. TREMONHA

Fig. 8.4- Geometria da tremonha do silo rectangular

A pressão média vertical 1vyP (adimensional) aplicada sobre as paredes da tremonha vale:

( )K

vo

K

vy wz

wzP

wz

wz

Kw

wzP

−−×+

−−−×

−××××−=

tan21

tan21

tan21

tan211

1tan2

tan21

0

1

01

(8.7)

Com:

D

yz 1

0 =

(8.8)

−+×

×= 1tan

2 332 K

w

KKK

(8.9)

e a pressão lateral na parede (adimensional)

1

430 ´ vyh P

KKP ×

×=

µ

(8.10)

O tensão de corte (também adimensional) vale:

´µτ h

w

P=

(8.11)

Page 141: silos metálicos

Silos Metálicos

125

Com as variáveis 2K , 4K e 3K obtidas pelas equações (8.12), (8.13) e (8.14).

( ) ( )( ) ( )wsen

wsensenK

22cos1

222 +×−

+×=εδ

εδ

(8.12)

( )( )wsen

sensenK

22cos1

24 +×−

×=εδεδ

(8.13)

( ) ( )( )[ ]δδη

ηδδηsenKsen

sensensenK

××±+×−×±+×=

12

5,0222

3 21cos

21cos

(8.14)

Em que δ é o ângulo de atrito interno do material.

Nas expressões (8.14) a (8.16) o sinal + utiliza-se nas condições estáticas, e o sinal – para condições dinâmicas.

( )( )

±+= −

δφφπε

sen

sen ´cos´

22 1

(8.15)

±+=+ −

δηηπε

sen

senw 1cos

222

(8.16)

( )( ) ( )

+++= −

δεεη

ecw

wsen

cos22cos

22tan 1

(8.17)

sendo ´φ o ângulo de repouso.

1K é definido como:

( )[ ]5,1

1 113

2c

cK −−

×=

(8.18)

com ca valer:

2

tan

tan

=δη

c

(8.19)

Page 142: silos metálicos

Silos Metálicos

126

Quando 0=K , 1vyP torna-se igual à pressão hidrostática. É questionável a validade de valores

negativos de K . Para qualquer material em que sejam conhecidos os parâmetros δ (ângulo de atrito interno do material armazenado) e ´φ (ângulo de repouso), a constante K será baixo para condições

estáticas, e elevado em condições dinâmicas. K pode ser negativo sobre condições estáticas quando

πε >+ 122w em que ( )δφφπε sensen ´cos´22 11

−++= e o valor limite de K é expresso por:

==+ −

δφπφ

sen

senw

´cos

2´2 1 (8.20)

Na fig. 8.5, a teoria para condições estáticas com valores não negativos de K é apenas aplicável para a os pontos pertencentes à área à direita das curvas. Para evitar valores negativos de K ou quando

ηε >+ 122w então K deverá ser tomado como zero caso seja negativo. Sendo feito, então 3K toma

o valor unitário, e as equações (8.7) a (8.19) ficam:

( )01 zzPP vovy −+= (8.21)

Fig. 8.5- Curvas para a equação (8.20) indicando condições limite para K (para condições estáticas)

( )( ) ( ) 10 ´2´

´cos)2(vyh P

senwsen

wsenP ×

+×+××=

φφφ

(8.22)

A equação (8.22) é válida até que se dê a seguinte igualdade:

( ) ´´2 φδφ sensenwsen =×+ (8.23)

que é equivalente à condição expressa pela expressão (8.20). A teoria expressa pelas equações (8.21) e (8.22) é válida para a área à esquerda das curvas desenhadas na figura 8.5.

Page 143: silos metálicos

Silos Metálicos

127

Assumindo que durante o carregamento é estabelecido o estado activo de tensões, a mudança para o estado passivo da descarga cria uma onda de choque ascensional partindo da abertura da tremonha. O valor da sobre-pressão devido à alteração de estado de tensão é dado por:

( )( ) ( )estáticoP

estáticaKK

dinâmicaKKP h×

××

=43

43max

(8.24)

De notar que a equação (8.24) é válida desde que a limitação imposta pela equação (8.20) não seja excedida, e que a transição (de condições estáticas para dinâmicas) não chegue até à secção vertical do silo. Quando a transição (de condições estáticas para dinâmicas) se situa na zona de transição (entre paredes verticais e paredes da tremonha), então 00 == zz e as equações (8.7), (8.10) e (8.11) podem

ser utilizadas.

8.3. ANÁLISE ESTRUTURAL

8.3.1. INTRODUÇÃO

Para este tipo de silos exigem-se reforços estruturais, tais como os apresentados na figura 8.6.

Fig. 8.6- Sistema estrutural típico de um silo rectangular

São portanto incluídos elementos de reforço nas paredes do silo; caso contrário, ter-se-iam que usar espessuras de parede francamente antieconómicas.

A estrutura é analisada através da transformação das pressões causadas pelo material armazenado em forças de tracção e de flexão, tal como mostrado na figura 8.7.

Page 144: silos metálicos

Silos Metálicos

128

Fig. 8.7- Forças actuantes num silo rectangular

Geralmente a espessura das paredes é determinada para que vença o vão entre dois reforços consecutivos. Estes reforços são geralmente verticais e horizontais.

O mesmo se passa nas paredes inclinadas da tremonha, adicionando-se ainda as forças de tracção inclinadas maT e mbT devidas ao seu peso próprio e às forças de atrito a si aplicadas.

A pressão máxima na parede da tremonha ocorre na zona mais baixa da tremonha, onde está sujeita a esforços de flexão, de corte e tensão. Geralmente, a parede é dimensionada tendo em vista apenas os esforços de flexão, sendo os esforços de corte negligenciados e as tensões horizontais assumidas como suportadas pelos reforços horizontais, que se poderão incluir na respectiva parede.

8.3.2. FORÇAS DE TRACÇÃO NAS PAREDES VERTICAIS

Devido ao material armazenado, criam-se as seguintes forças de tracção nas paredes verticais do silo:

Fig. 8.8- Forças de tracção

Page 145: silos metálicos

Silos Metálicos

129

Lado a:

bPT ba ××=2

1 (8.25)

Lado b:

aPT ab ××=2

1 (8.26)

8.3.3. MOMENTOS NAS PAREDES VERTICAIS

A seguinte figura mostra o diagrama de momentos actuantes sobre as paredes verticais do silo.

Fig. 8.9- Diagrama de Momentos

Os momentos no canto (cM ) valem:

( )K

bPKaPM ba

c +××+××

−=112

22

(8.27)

Em que:

bI

aIK

a

b

××

=

(8.28)

Sendo aI e bI , as respectivas inércias das paredes a e b.

Page 146: silos metálicos

Silos Metálicos

130

Os momentos a meio vão das paredes valem:

no lado a,

c

aa M

aPM +

×=

8

2

(8.29)

e no lado b,

c

ba M

bPM +

×=

8

2

(8.30)

Caso as duas paredes tenham igual inércia, o momento no canto ( cM ) vale:

( )ba

bPaPM ba

c +××+×

−=12

33

(8.31)

E para silos de secção quadrada em que ba = , ba II = e PPP ba == :

12

2aPM a

c

×−= (8.32)

24

2aPMM ba

×== (8.33)

8.3.4. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS PEQUENAS DEFORMAÇÕES

A parede (tal como representado na figura 8.10) abrangerá os esforços entre reforços (esforços na direcção paralela e perpendicular aos reforços), respeitando-se a condição:

3≤

a

b

(8.34)

Sendo ae b definidos tal como na fig. 8.10:

Page 147: silos metálicos

Silos Metálicos

131

Fig. 8.10- Reforços numa parede

A transformação de pressões não uniformes (causadas pelo material armazenado) sobre uma direcção vertical, em pressões uniformes (em valor médio), demonstrou ser seguro para o dimensionamento.

Para o caso de uma parede rectangular uniformemente carregada com apoios encastrados em seu redor, o momento de flexão máximo ocorre segundo o eixo x-x, no centro da parede, tal como mostrado na figura 8.11 e vale:

baPM nmáx ×××= 2α

(8.35)

Sendo ba > , nP a pressão normal média e α um coeficiente de proporcionalidade definido pela

tabela 8.1.

Fig. 8.11- Parede de contornos fixos (encastrados)

Page 148: silos metálicos

Silos Metálicos

132

Tabela 8.1 – Coeficientes α (para 3,0=ν )

b

a

Apoios fixos

Apoios simples

1,0 0,0513 0,0479 1,1 0,0581 0,0553 1,2 0,0639 0,0626 1,3 0,0687 0,0693 1,4 0,0726 0,0753 1,5 0,0757 0,0812 1,6 0,0780 0,0862 1,7 0,0799 0,0908 1,8 0,0812 0,0948 1,9 0,0822 0,0985 2,0 0,0829 0,1017 3,0 0,0831 0,1189 4,0 0,0832 0,1235 ∞ 0,0833 0,1250

Caso a parede esteja limitada por apoios simples, utiliza-se igualmente a equação (8.35), mudando apenas o valor de α , cujos valores são apresentados na tabela 8.1.

Para determinar a espessura da parede segundo esta teoria (das Pequenas Deformações), utiliza-se a seguinte fórmula:

( )mmouFb

Mt

b

máx 216

×=

(8.36)

A adição de 1 ou 2 mm à espessura da placa é uma medida de compensação do fenómeno de corrosão, e bF é a tensão admissível máxima de flexão do material pela qual é composta a parede.

8.3.5. PAREDES VERTICAIS- TEORIA DAS GRANDES DEFORMAÇÕES

Fig. 8.12- Parede como membrana

Segundo esta teoria, baseada nas propriedades geométricas da parede em estudo e nas propriedades elásticas do material utilizado, a espessura é obtida pela fórmula (8.37):

Page 149: silos metálicos

Silos Metálicos

133

( )( )

)(4

1

89213,0

4331

2

22

mmELP

LPt

n

n

×××−××

×××≥ νππ

(8.37)

Determinada a espessura da parede, há que verificar a tensão máxima:

bFt

M

t

Sf ≤×+=

2

6

(8.38)

Tal é feito numa pequena faixa da parede vertical de vão L , como mostrado na figura 8.12.

Os valores de S , ES e M são obtidos pelas três seguintes expressões:

( )( )

31

2

2

1

41

−×××××

×=νππ

tELPS n (8.39)

( )22

2

1 νπ

−××=

L

EISE (8.40)

+×−×

×=

E

n

SS

SLPM 032,11

8

2

(8.41)

Sendo:

nP a carga uniformemente distribuída por metro de comprimento de parede ( mkN );

L o vão entre reforços da parede (m );

t a espessura da parede (mm);

I o momento de inércia por unidade de comprimento (4mm );

MPaE 200000= (aço);

3,0=ν coeficiente de Poisson.

Page 150: silos metálicos

Silos Metálicos

134

8.3.6. FORÇAS NAS PAREDES DAS TREMONHAS

As tremonhas estão sujeitas a esforços de flexão e de tracção.

Atente-se na figura 8.13 para se conhecerem as forças (e sua designação) em estudo:

Fig. 8.13- Forças actuantes sobre a tremonha

Trata-se portanto de forças horizontais (hT ) e forças ao longo do plano da parede (mT ). Por

simplicidade considera-se que esta última força (por unidade de comprimento) é constante ao longo da parede. A pressão de dimensionamento desnP , , normal à parede da tremonha, é calculada pela expressão:

αα 2,

2,, cos×+×= desvdeshdesn PsenPP (8.42)

As pressões de dimensionamento para cada uma das paredes ae b valem:

avahna PsenPP αα 22 cos×+×= (8.43)

bvbhnb PsenPP αα 22 cos×+×= (8.44)

Há ainda a acrescentar a parcela devida ao peso próprio das paredes da tremonha:

αcos81,9 ××= ggn (8.45)

Em que:

g é a massa da parede ( 2mkg );

ng é a força normal à parede (Pa );

α é a inclinação da parede.

Page 151: silos metálicos

Silos Metálicos

135

As forças de tracção horizontais, para cada uma das paredes:

bnbha senPT α××=2

1 (8.46)

anahb senPT α××=2

1 (8.47)

E as forças ao longo do plano das paredes:

a

adesaaama sena

GCPAWCT

α××+×+×

= ,

(8.48)

b

bdesbbbmb senb

GCPAWCT

α××+×+×

= ,

(8.49)

aC e bC tomam o valor de 0,25, quando a secção da tremonha é quadrada e aA e bA são as áreas

definidas pela figura 8.14.

Fig. 8.14- aA e bA (variáveis ao longo da tremonha)

W corresponde ao peso do material armazenado na tremonha, e G ao peso da tremonha.

Page 152: silos metálicos

Silos Metálicos

136

8.3.7. DIMENSIONAMENTO DOS REFORÇOS VERTICAIS

No caso de existirem reforços verticais intercalados com reforços horizontais, existe uma forma expedita de calcular o momento máximo a que ficam sujeitos os reforços verticais (valor esse necessário para o posterior dimensionamento).

Existe para isso a tabela 8.2, que para cada valor de β faz corresponder os parâmetros K e α (a

grandeza K difere das outras grandezas K anteriormente apresentadas, sendo aqui um parâmetro de cálculo do momento máximo aplicado a um reforço).

Tabela 8.2 – Coeficientes β para o cálculo do momento flector

β K α

0 0,4226 0,0641 0,25 0,4516 0,0789 0,5 0,4726 0,094 0,75 0,4904 0,1094 1,00 0,500 0,125 1,25 0,5092 0,1406 1,50 0,5166 0,1564 1,75 0,5228 0,1722 2,00 0,5276 0,1881 2,50 0,5352 0,2199 3,00 0,5408 0,2517 4,00 0,5486 0,3155

O valor de β corresponde ao rácio entre a pressão (horizontal) superior e inferior aplicadas ao

reforço.

( )( )inf

sup

P

P=β

(8.50)

xé a distância contada do topo do reforço até ao ponto de momento máximo, calculada pela equação (8.51).

LKx ×= (8.51)

sendo L o comprimento total do reforço.

Consegue-se assim obter o valor do momento máximo existente no reforço:

2LPM Bx ××= α (8.52)

Page 153: silos metálicos

Silos Metálicos

137

9 ANÁLISE ESTRUTURAL DO SILO RECTANGULAR

9.1. INTRODUÇÃO

A análise realizada no silo rectangular, foi baseada na revista canadiana “Design Guidelines for Rectangular Steel Bins” [5].

Este silo é também dimensionado para o armazenamento de cimento, com as propriedades já anunciadas. Tem dimensões iguais às do silo circular, variando apenas a geometria da sua secção. O objectivo era o de comparar metodologias de cálculo e comportamentos estruturais, diversos para o silo circular e rectangular.

- material : aço (S235) - altura das paredes verticais: 5 m - altura da tremonha: 3 m - lado da secção quadrangular: 3 m - lado da secção da base da tremonha: 0,30 m - espessura das paredes verticais: a determinar - espessura das paredes da tremonha: a determinar - °= 2,24w (fig.8.4)

Fig. 9.1- Geometria e propriedades geométricas do silo rectangular

Page 154: silos metálicos

Silos Metálicos

138

9.2. FORÇAS NA PAREDE

Interessava primeiramente determinar as pressões a que as paredes estariam sujeitas.

Considerou-se para a parede vertical, as pressões anteriormente calculadas para o silo circular (ELU 1), pois são estes os maiores valores de entre os três estados limite estudados no silo circular.

Quadro 9.1 – Resultados das pressões horizontais e de atrito, a aplicar às paredes verticais do silo

Esvaziamento

( )mz ( )kPaphe ( )kPapwe

0 0 0 1 10,2 3,7 2 17,4 6,4 3 22,7 8,3 4 26,4 9,7 5 29,1 10,7

O cálculo dos forças e momentos flectores actuantes sobre as paredes verticais do silo é feito através das expressões (8.25), (8.30) e (8.31).

hhh PPbPT ×=××=××= 5,132

1

2

1

(8.25)

hcantoh

meiovão PMbP

M ×=+×

= 375,08

2

(8.30)

( )( ) h

hcanto P

b

bPM ×−=

××××

−=72

54

212

23

(8.31)

9.3. FORÇAS NA TREMONHA

9.3.1. FORÇAS ESTÁTICAS

Considerando que o material a armazenar (cimento) no silo rectangular apresenta as seguintes propriedades:

°= 24´φ (ângulo de repouso)

°= 30δ (ângulo efectivo de atrito)

38,0=µ (coeficiente de atrito da parede)

determinam-se as forças estáticas aplicadas às paredes da tremonha.

Page 155: silos metálicos

Silos Metálicos

139

Em condições estáticas, utiliza-se o sinal + na expressão (8.15):

( )( ) °=

°°+°+°=

±+= −− 6,14930sin

24sincos2490

sin

´sincos´

22 11

1 δφφπε (8.15)

Nestas condições, resulta que

πε >°=°+°×=+ 1986,1492,24222 1w (8.16)

Sendo assim, a teoria de Walker aplica-se.

A sobrecarga vertical na tremonha (0vP ) vale:

606,0316

1,29 =×

=⇔××= wwh DP σγσ

60,138,0

606,00 ===

KP w

v

σ

Uma vez que se estuda a condição estática, não haverá fluxo na tremonha (a tremonha está cheia) e por isso 00 =z . Assim sendo, a expressão (8.21) fica:

( ) zzzPP vvy +=−+= 60,1001 (8.21)

Com:

3

y

D

yz == (8.8)

e

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 1110 5023,0

242,24224

24cos2,242

´2´

´cos)2(vyvyvyh PP

sensen

senP

senwsen

wsenP ×=×

°+°×+°°×°×=×

+×+××=

φφφ

(8.22)

As anteriores pressões (adimensionais) transformam-se da seguinte maneira em pressões verticais:

00

3

09,471000

381,91600hhv PP

mmkgP ×=×××=

Segundo a revista canadiana, o valor de K é obtido pela seguinte equação:

δδ

sen

senK

+−=

1

1,

Page 156: silos metálicos

Silos Metálicos

140

pela qual obtemos o valor de 33,0=K . No entanto, na mesma publicação aconselha-se o uso do valor 0,40. Decide-se portanto por um valor intermédio: 0,38. A pressão horizontal obtém-se da pressão vertical por:

38,0×=×= vvh PKPP

Por fim, obtém-se a distribuição de pressões ao longo da tremonha, apresentada no Quadro 9.2.

Quadro 9.2 – Resultados do carregamento estático (tremonha)

Carregamento estático

y Pvy1 Pho Pv Ph m kPa KPa 0 1,6 0,804 37,8 14,4

0,5 1,77 0,887 41,8 15,9 1,0 1,93 0,971 45,7 17,4 1,5 2,1 1,055 49,7 18,9 2,0 2,27 1,139 53,6 20,4 2,5 2,43 1,222 57,6 21,9 3,0 2,6 1,306 61,5 23,4

9.3.2. FORÇAS DINÂMICAS

É preciso comparar as anteriores pressões estáticas com as obtidas em regime dinâmico, para se saber quais são mais determinantes.

Agora nas condições dinâmicas utiliza-se o sinal – para a expressão (8.15):

( )( )

( )( ) °=

°°−+=

−+= −− 4,7830

24cos2490

´cos´

22 11

2 sen

sen

sen

sen

δφφπε (8.15)

Nestas condições, pela expressão (8.16) resulta

πε <°=°×+°=+ 8,1262,2424,7822 2 w (8.16)

Respeitando-se a condição em cima anunciada, aplica-se a teoria de Walter.

Assim sendo, o cálculo das pressões passa pela determinação das grandezas η , 2K , c , 1K , 3K , 4K

e K :

( )( ) ( )

( )( ) ( ) °=

°+°°=

+++= −− 75,29

30cos8,126cos

8,126tan

cos22cos

22tan 11

ec

sen

ecw

wsen

δεεη (8.17)

Page 157: silos metálicos

Silos Metálicos

141

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 3081,0

8,126cos301

8,12630

22cos1

222 =

°×°−°×°=

+×−+×=

sen

sensen

wsen

wsensenK

εδεδ

(8.12)

( )

( ) 9800,030tan

75,29tan

tan

tan22

=

°°=

=δη

c (8.19)

( )[ ] ( )[ ] 6783,09800,0119800,03

211

3

2 5,15,11 =−−

×=−−

×= c

cK (8.18)

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )[ ]

939,1

306783,0230175,29cos

75,2930230175,29cos

21cos

21cos

2

5,0222

12

5,0222

3

=

°××−°+×°°−°×−°+×°=

××±+×−×±+×=

sensen

sensensen

senKsen

sensensenK

δδηηδδη

(8.14)

( ) 54,41939,12,24tan

939,13081,021

tan2 3

32 =

−+°

××=

−+×

×= Kw

KKK (8.9)

( )( )

( ) ( )( ) ( ) 3769,0

8,126cos301

4,7830

22cos1

24 =

°×°−°×°=

+×−×=

sen

sensen

wsen

sensenK

εδεδ

(8.13)

Desta vez a expressão da pressão adimensional 1vyP é alcançada através da expressão (8.7).

( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( ) 54,4154,4

11

2,24tan2160,12,24tan(211154,42,24tan2

2,24tan21

tan21tan2111tan2

tan21

°××−×+°××−−×−×°×°××−=

××−×+××−−×−××

××−=

zzz

wzPwzKw

wzP K

voK

vy

(8.7)

Para agilizar o cálculo utiliza-se uma variável aque vale:

wza tan21 ××−=

A também adimensional pressão horizontal é expressa por:

11143

0 923,138,0

3769,0939,1

´ vyvyvyh PPPKK

P ×=×

×=×

×=

µ (8.10)

Page 158: silos metálicos

Silos Metálicos

142

Por fim, chega-se às expressões que permitem obter as pressões (dinâmicas) verticais e horizontais na parede da tremonha:

00 09,471000

381,91600hhv PPP ×=×××=

38,0×=×= vvh PKPP

Apresenta-se no quadro 9.3. a distribuição de pressões dinâmicas na parede da tremonha.

Quadro 9.3 – Resultados do carregamento dinâmico (tremonha)

Carregamento dinâmico y1 Z a Pvy1 Pho Pv Ph KPa KPa 0 0 1 1,6 3,08 144,9 55,1

0,5 0,166667 0,850194 0,883 1,70 79,9 30,4 1,0 0,333333 0,700388 0,475 0,91 43,0 16,4 1,5 0,5 0,550582 0,259 0,50 23,4 8,9 2,0 0,666667 0,400776 0,146 0,28 13,2 5,0 2,5 0,833333 0,25097 0,081 0,16 7,4 2,8 3 1 0,101164 0,032 0,06 2,9 1,1

Observando pressões estáticas e dinâmicas na tremonha (fig.9.2), nota-se que as do carregamento dinâmico são maiores até uma profundidade de 1m (a contar da transição), e que a partir daí se sobrepõem as oriundas do cálculo estático.

Diagrama de pressões na tremonha

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0

Pressões (kPa)

y1 (m)dinâmico

estático

Fig. 9.2- Pressões perpendiculares às paredes da tremonha ( hP ) (regime estático/ dinâmico)

Page 159: silos metálicos

Silos Metálicos

143

Convém assim utilizar os valores máximos de cada um dos carregamentos, definindo como resultado final o quadro 9.4:

Quadro 9.4 – Pressões de cálculo na tremonha

Design pressure (kPa) y1 Ph Pv Pn 0 55,1 144,9 70,2

0,5 30,4 79,9 38,7 1,0 16,4 43 20,8 1,5 18,9 49,7 24,1 2,0 20,4 53,6 26 2,5 21,9 57,6 27,9 3,0 23,4 61,5 29,8

Para além das pressões do quadro 9.4 há ainda a adicionar as devidas à massa da tremonha.

A força wF é a força causada pelo peso próprio do material armazenado na tremonha (cimento), de

volume:

310mV =

kNmkgmFw 1571000

81,9160010 33 =××=

De seguida, há que adicionar o peso da própria tremonha:

ghSH tAF ××= γ

Em que Sγ corresponde à densidade do aço ( 37850 mkg ), hA a área das paredes da tremonha, e

gt é a espessura da parede (a espessura da parede da tremonha nunca é inferior a 10mm; por agora,

considere-se o dobro desse valor).

( ) ( )27,21

2,24cos

330,03

2

14 mAh =

°×+××=

kNtAF ghSH 5,331000

81,9020,07,217850 =×××=××= γ

Tomando para aC o valor 0,25 e aA pela figura 8.14, obtêm-se as forças mT (forças existentes ao

longo das paredes) e hT (forças horizontais).

( ) ( )°××+×+×

×+×+×=

8,653

5,3325,015725,0,

sen

PA

senb

FCPAFCT va

b

Hadesaawam α

(8.48)

Page 160: silos metálicos

Silos Metálicos

144

)8,65sin(5,0

2

1 °××=××= nnh PsenPT α

(8.46)

( ) ( )°×+°×= 8,65cos8,65 22vhn PsenPP (8.43)

Com as equações (8.46) e (8.48) chega-se aos valores das forças horizontais ( hT ) e das forças ao

longo do plano da parede da tremonha ( mT ), apresentadas no Quadro 9.5.

Quadro 9.5 – Pressões de cálculo na tremonha

Design pressure (kPa) Design forces (kN)

y1 Ph Pv Pn ( )2mA

Th Tm

0 55,1 144,9 70,2 9,000 32,0 136,5

0,5 30,4 79,9 38,7 7,515 17,6 72,3 1 16,4 43,0 20,8 6,030 9,5 41,1

1,5 18,9 49,7 24,1 4,545 11,0 38,0 2 20,4 53,6 26,0 3,060 11,8 32,4

2,5 21,9 57,6 27,9 1,575 12,7 25,7 3 23,4 61,5 29,8 0,090 13,6 17,9

9.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES

Para o dimensionamento das paredes, considera-se que os reforços horizontais suportam as forças horizontais e momentos, estudando-se por isso a parede entre reforços verticais.

A teoria das pequenas deformações é aplicável para troços de parede (limitados pelos reforços verticais e horizontais), em que exista uma relação de 3:1 entre o seu lado maior e menor.

Assume-se um espaçamento entre anéis horizontais de 3,00me um espaçamento vertical máximo de 1,00m .

Page 161: silos metálicos

Silos Metálicos

145

Fig. 9.3- Pressões entre reforços horizontais

A média das pressões aplicadas ao troço da parede em estudo vale

mkPaw 3,232

4,171,29 =+=

O momento flector máximo é calculado pela equação (8.35),

baPM nmáx ×××= 2α ( )ba > (8.35)

O valor de α depende do rácio entre as dimensões vertical e horizontal da parede

1189,031

33 =→== α

a

b

Calcula-se o momento máximo

mkNM máx .0,25133,231189,0 2 =×××=

(8.35)

Em que bF corresponde à tensão máxima permitida na secção, devida a esforços de flexão, e vale

MPaFF yb 1412356,06,0 =×=×=

Pela teoria das pequenas deformações obtém-se a espessura de:

( ) ( ) mmmmmmouFb

Mt

b

máx 208,18101413

0,25621

63

→=××

×=+×

×= (8.36)

Page 162: silos metálicos

Silos Metálicos

146

Já pela teoria das grandes deformações resulta a seguinte espessura,

( )( )

( )( ) ( )

mm

ELP

LPt

n

n

88,7

102000,13,234

3,01

8

0,13,239213,0

4

1

89213,0

4331

62

22

4331

2

22

→=

××××−×××××=

×××−××

×××≥

ππ

νππ

(8.37)

Escolhe-se a menor das espessuras, desde que se verifique a tensão máxima. A verificação da tensão na placa passa pela determinação das grandezas S ,

( )( )

( )( ) mmkN

tELPS n 340

3,01

008,01020013,2341

1

4131

2

6231

2

2

=

−×××××××=

−×××××

×=ππνππ

(8.39)

mmmmhb

I 433

7,4212

81

12=×=×=

ES ,

( ) ( ) mmkNL

EISE

322

2

22

2

106,923,011

7,42200

1−×=

−×××=

−××= π

νπ

(8.40)

e do momento M ,

( )mmkN

SS

SLPM

E

n 3262

105506,92340

340032,11

8

1000103,23032,11

8−

×=

+×−×××=

+×−×

×=

(8.41)

Atingindo-se por fim o valor da tensão máxima na parede de espessura de 8mm:

( ))(1411,94

8

105506

8

1034062

33

2OKMPaFMPa

t

M

t

Sf b =≤=××+×=×+=

−−

(8.38)

Conclui-se que uma espessura de 8 mm para a parede vertical é suficiente.

Page 163: silos metálicos

Silos Metálicos

147

A próxima etapa de cálculo passa pelo dimensionamento dos reforços verticais na parede vertical:

67,14,17

1,29 ==β

(8.50)

Da tabela 8.2 extrai-se:

1671,0=α

5208,0=K

Obtendo-se o momento pela expressão (8.52),

mmkNLpM b .2,2634,171671,0 22 =××=××= α

(8.52)

A secção que o reforço tem terá que respeitar certas condicionantes como a grandeza dreqS ´ ,

333´ 108,185

10141

12,26mm

F

MS

bdreq ×=

××==

E uma área mínima de corte,

( ) kNVA 2,1835208,01

2,26 =×−

=

MPaFF yV 9423540,040,0 =×=×=

23

6,1931094

2,18mm

FAV =

×==

σ

Este valor de VA é a área mínima de corte que o perfil do reforço vertical tem que assegurar.

Escolhendo um meio perfil 0,20100×W com as características geométricas:

461079,1 mmI xx ×=

42940mmAT =

A porção de parede que contribui para a secção em T vale:

mmt 32084040 =×=

Page 164: silos metálicos

Silos Metálicos

148

Proponha-se a seguinte secção:

Fig. 9.4- Secção do reforço

Que apresenta as seguintes características mecânicas:

mmy 5,5825602940

2560)4110(29401,17 =+

×−+×=

( )[ ] ( )[ ] 462626 1062,1245,512560101365,01,175,5829401079,1 mmI nn ×=−×+×+−×+×=

336

102455,51

1062,12mmSc ×=×=

336

102155,58

1062,12mmSt ×=×=

Como tanto cS como tS são maiores que o dreqS ´ , a secção respeita a segurança à flexão. A

resistência ao corte é assegurada pela área conjunta do perfil ser superior a VA .

A secção acima desenhada é portanto suficiente para ser utilizada como reforço vertical nas paredes verticais do silo rectangular.

Page 165: silos metálicos

Silos Metálicos

149

9.5. DIMENSIONAMENTO DA TREMONHA

Utilizando os mesmos princípios utilizados no dimensionamento da parede vertical, dimensiona-se a espessura a utilizar nas paredes da tremonha, bem como os respectivos reforços verticais. Como na tremonhas as pressões aplicadas são maiores, decide-se reduzir o espaçamento entre reforços horizontais para metade, ou seja, de 1,5 em 1,5m.

0812,01.85,11

5,1 =→→== αtaba

b

Fig. 9.5- Pressões na parede da tremonha

O valor médio das pressões aplicadas à metade superior da parede da tremonha vale:

kPaPn 2,472

1,242,70 =+=

Com o qual se determina o momento máximo

( ) mkNM máx .4,1012,24cos

5,12,470812,0

2

°××= (8.35)

Segundo a teoria das pequenas deformações:

( ) mmmmt 184,1610141645,1

4,1063

→=××

×= (8.36)

Page 166: silos metálicos

Silos Metálicos

150

E respeitando a teoria das grandes deformações:

( )( ) ( ) mmt 113,9

102000,12,474

3,01

8

0,12,479213,0

4331

62

22

→=

××××−×××××≥ ππ

(8.37)

Uma vez mais, escolhe-se o menor dos valores obtidos por (8.36) ou (8.37), desde que se faça a seguinte verificação.

A tensão na parede é calculada por

( )( ) mmkNS 605

3,01

011,01020012,474131

2

62

=

−×××××××=

ππ (8.39)

mmmmhb

I 433

9,11012

111

12=×=×=

( ) mmkNSE3

22

2

106,2403,011

9,110200 −×=−×

××= π

(8.40)

( )mmmmkNM .101554

6,240605

605032,11

8

1000102,47 326

−−

×=

+×−×××=

(8.41)

Obtendo-se o valor de

( ))(1415,131

11

1015546

11

1060562

33

2OKMPaFMPa

t

M

t

Sf b =≤=××+×=×+=

−−

(8.38)

Passando ao dimensionamento dos anéis verticais entre A e B:

91,21,24

2,70 ==β (8.50)

Da tabela 8.2 extrai-se:

2460,0=α

5397,0=K

Com os quais se acha o momento M

mmkNLpM b .0,16645,11,242460,0 22 =××=××= α (8.52)

Page 167: silos metálicos

Silos Metálicos

151

A garantir uma vez mais os valores mínimos de dreqS ´ e VA calculados como:

333´ 1058,113

10141

10,16mm

F

MS

bdreq ×=

××==

( ) kNVA 2,235,15397,01

16 =×−

=

MPaFF yV 9423540,040,0 =×=×=

e

23

8,2461094

2,23mm

FAV =

×==

σ

Propondo a mesma meia secção anteriormente apresentada:

Fig. 9.6- Secção do reforço da tremonha

( )mmy 3,73

114402940

11440)5,5113(29401,17 =×+

××−+×=

( )[ ] ( ) 4623

26 1079,165,57,391144012

104401,173,7329401079,1 mmI nn ×=

−××+×+−×+×=

336

108,4227,39

1079,16mmSc ×=×=

Page 168: silos metálicos

Silos Metálicos

152

336

102293,73

1079,16mmSt ×=×=

Como tanto cS e tS são maiores que o dreqS ´ , a secção respeita a segurança à flexão. A resistência ao

corte é assegurada pelo facto da área conjunta do perfil ser superior a VA .

A secção acima desenhada é portanto suficiente para ser utilizada como reforço vertical nas paredes da tremonha do silo rectangular.

9.6. ANÁLISE SILO RECTANGULAR

Como se viu anteriormente, utilizando a teoria plástica conseguem-se obter dimensionamentos das paredes do silo mais económicas. O programa utilizado para este tipo de silos foi o ROBOT; no entanto, este programa de cálculo só faz análises elásticas dos elementos casca. De qualquer das maneiras, decidiu-se estudar o silo pela teoria elástica, até para comprovar alguns dos resultados obtidos anteriormente. Apresenta-se na figura 9.7 a malha de elementos finitos construída utilizando o “software” ROBOT.

Fig. 9.7- Silo rectangular modelado no ROBOT

Foi feito um estudo da malha de elementos finitos a utilizar (antes da inclusão de reforços na estrutura; daí os elevados valores de tensão que mais à frente se referem no parágrafo). Foram utilizados elementos quadrados de dimensão 0,30m. Um maior grau de refinamento era desnecessário, já que os resultados obtidos com elementos desta dimensão se aproximam de uma maneira bastante satisfatória de uma malha bastante refinada (o máximo que se conseguiu foi ter uma malha com elementos de 0,10m, cuja tensão máxima s1 era de 2538,92 MPa, enquanto que com elementos de 0,30m se tinha o valor de 2519,67 MPa, valor portanto satisfatoriamente próximo do anterior).

Page 169: silos metálicos

Silos Metálicos

153

Os reforços verticais têm a secção anteriormente determinada pelos cálculos manuais. À falta de mais dados, foram repetidas as mesmas secções também para os reforços horizontais.

A espessura dos painéis é de 15mm, pois era suficiente o necessário para respeitar os valores de tensão máxima, como a seguir se demonstrará.

Fig. 9.8- Deformadas no silo rectangular (em cima o silo sem reforços e em baixo, com reforços)

Page 170: silos metálicos

Silos Metálicos

154

É visível a importância dos reforços verticais para este tipo de estruturas, pois permitem a redução significativa dos deslocamentos (de notar que a escala da deformada de cima é muito superior à da deformada de baixo).

Mais uma vez, a importância dos reforços no silo é constatada no gráfico da figura 9.9. Comparando valores de tensões principais máximas (para as mesmas paredes do silo, e na combinação 1) num silo com reforços, com as de um sem reforços, é clara e notória a importância da existência de reforços para os silos rectangulares (o gráfico da figura abaixo representa para cada um dos nós da estrutura com e sem reforços, os correspondentes valores da tensão principal máxima, num silo com paredes de espessura de 15mm).

Tensões s1 (espessura de 15mm)

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

Tens

ão s

1 (M

Pa)

com reforços

sem reforços

Fig. 9.9- Tensões principais máximas num silo rectangular com e sem reforços (horizontais e

verticais)

Considerando o silo reforçado, apresentam-se no quadro 9.6 os valores máximos das tensões principais para as várias combinações de acções consideradas.

Quadro 9.6 – Tensões principais

comb )(1 MPas )(2 MPas

comb 1 64,62 -149,87 OK

comb 2 65,04 -147,34 OK

comb 3 65,55 -136,13 OK

comb 4 77,63 -160,50 OK

comb 5 78,09 -157,97 OK

comb 6 78,60 -146,76 OK

Page 171: silos metálicos

Silos Metálicos

155

O valor da tensão máxima ( MPaf

fbM

yRde 213

1,1

235

1, ===

γ) é amplamente verificado.

Apresentam-se nas figuras 9.10 e 9.11 mapas de tensões principais máximas e mínimas, respectivamente, para a combinação de acções 1.

Fig. 9.10- Mapa de tensões s1 (combinação 1)

Page 172: silos metálicos

Silos Metálicos

156

Fig. 9.11- Mapa de tensões s2 (combinação 1)

De realçar as zonas de tracção entre reforços verticais e horizontais, e as zonas de compressão nas zonas da intersecção (nos cantos) das paredes verticais. Estes resultados tornam-se bastante óbvios após o visionamento da deformada da estrutura apresentada na fig. 9.8.

9.7. COMPORTAMENTO DINÂMICO

Apresentam-se no quadro 9.7 os valores das primeiras dez frequências naturais e caracterizam-se os modos de vibração em correspondência.

Quadro 9.7 – Resultados da análise dinâmica

Modo Frequência

(Hz) Pulsação (1/seg)

Descrição

1 8,43 52,94 torção das paredes verticais

2 11,68 73,38 oscilação das paredes verticais

3 11,78 74,03 oscilação das paredes verticais

4 18,91 118,83 oscilação da tampa

5 27,13 170,47 oscilação conjunta da parede vertical, tremonha e tampa

6 27,19 170,63 oscilação conjunta da parede vertical, tremonha e tampa

7 27,95 175,63 vibração conjunta da parede vertical/ tampa

8 29,12 182,99 oscilação das paredes verticais

9 38,38 241,12 oscilação da tampa

10 41,01 257,66 vibração conjunta da parede vertical/ tampa

Page 173: silos metálicos

Silos Metálicos

157

O 1º modo de vibração está associada à torção das paredes verticais, enquanto que o 2º modo corresponde à oscilação da parede vertical, ilustrado nas figuras 9.12 e 9.13.

Fig. 9.12- 1º modo ( Hzf 43,8= )

Fig. 9.13- 2º modo ( Hzf 68,11= )

O 3º modo de vibração é semelhante ao segundo, mudando a direcção de vibração.

Os modo 4º e 9º correspondem a oscilações locais na tampa do silo, enquanto que os modos 7º e 10º causam a vibração conjunta das paredes verticais com a tampa do silo.

Fig. 9.14- 4º modo ( Hzf 91,18= )

Fig. 9.15- 7º modo ( Hzf 95,27= )

Page 174: silos metálicos

Silos Metálicos

158

Fig. 9.16- 9º modo ( Hzf 38,38= )

Fig. 9.17- 10º modo ( Hzf 01,41= )

Neste trabalho, para se reforçar o silo, utilizaram-se nervuras de rigidez com as secções das figuras 9.4 e 9.6. No entanto, uma outra solução poderia ter sido escolhida. Esta solução é muito usada em países como França e Alemanha, e passa por usar tirantes tal como se apresenta nas figura 9.18 e 9.19:

Fig. 9.18- Diversas formas de colocar tirantes

Page 175: silos metálicos

Silos Metálicos

159

Fig. 9.19- Pormenorização dos tirantes num silo rectangular

A vantagem deste método é a da maior facilidade em construir e reparar o silo em casa de avaria, além da maior facilidade de cálculo para o dimensionamento. A desvantagem é devida ao posicionamento dos reforços internos, que podem perturbar o fluxo do material

Page 176: silos metálicos

Silos Metálicos

160

Page 177: silos metálicos

Silos Metálicos

161

10 SILO DE CHAPA QUINADA

10.1. INTRODUÇÃO

Muitas vezes a secção das paredes do silo segue um padrão ondulado, que permite um melhor comportamento em flexão (a inércia da secção é aumentada pelo simples aumento da altura do perfil).

Em seguida, estudam-se os fenómenos a ter em conta para o seu dimensionamento.

Algumas expressões a utilizar,

Silos de base poligonal regular:

Pressão lateral máxima: ´ϕ

δtg

rpmáx

×=

Abcissa característica: 3

24´4

1

2

h

tgtg

LA −

−×××=

ϕπϕπ

Pressão lateral unitária sobre as paredes, à profundidade z :

+−×=−2

11A

zpp máxz

Pressão vertical unitária média sobre o fundo, à profundidade z :

+

+××=−

31

1h

A

zzqz δ

Page 178: silos metálicos

Silos Metálicos

162

Esforço de tracção T exercido sobre uma faixa vertical em contacto com uma massa armazenada:

Sejam:

c a circunferência exterior à faixa

´´ϕ o ângulo de atrito dos grãos sobre a faixa

r raio hidráulico médio do silo

A a abcissa característica correspondente ao silo

Az

z

tg

tgcrT

+××××=

2

´

´´

ϕϕδ

Nota: as fórmulas em cima apresentadas são aplicáveis para a determinação de esforços sobre as paredes e sobre o fundo dos silos no momento do enchimento das células. Precauções suplementares devem ser usadas para a estimação das sub pressões consideráveis provocadas pelo esvaziamento dos silos.

10.2. SILO QUADRADO

Calculem-se as espessuras das chapas das paredes reforçadas por ondulação e por pilares, de um silo de trigo de secção quadrada com 3,00 m de lado.

Descrição:

Os painéis metálicos, constituindo as paredes das células, são compostos por chapas finas dobradas em ondas de 0,174 m de profundidade, apresentando alternativamente forças verticais e de faces inclinadas de 0,25 m de largura.

Page 179: silos metálicos

Silos Metálicos

163

Fig. 10.1- Chapa quinada

As chapas são soldadas electricamente sobre batentes metálicos que resistirão, aquando da obra finalmente concluída, às reacções verticais devidas ao atrito entre grãos sobre as chapas dos painéis.

Os batentes adjacentes após a colocação dos painéis, são soldados e constituem verdadeiros pilares que transmitem as cargas que recebem até às fundações.

Os painéis têm uma largura de 3,00 m e eles são soldados sobre os batentes de 0,18 m de largura e uma espessura tal que a dimensão do quadrado limitador da secção total das células seja de 4,19 m segundo os eixos no desenho.

A altura dos painéis verticais é de 24,00 m.

Características do trigo:

Densidade: 800 3mkg

Ângulo de atrito interno ϕ = 25º

Devido à presença das ondas e da massa dos grãos que se imobiliza nos buracos que estas formam, o equilíbrio da matéria armazenada estabelece-se em função do atrito grão sobre grão.

Os cálculos dos esforços são portanto estabelecidos com os seguintes elementos de base:

466,0º25 =tg

406,02

º25

42 =

−πtg

Page 180: silos metálicos

Silos Metálicos

164

Cálculos:

Superfície de uma célula segundo os eixos do desenho: 22 24,1020,3 mS ==

Perímetro correspondente: mc 60,1220,34 =×=

Raio hidráulico médio: 80,060,12

24,10 ==r

Altura do cone superior de material armazenado: mtga

h 745,0466,02

20,3

2=×=×= ϕ

Abcissa característica: 051,53

745,0

406,0466,04

160,12 =−××

×=π

A

Pressão horizontal máxima no silo indefinido:

21375466,0

80,0800mkgpmáx =×=

Pressões por 2m à profundidade z :

+−×=−2

1051,5

1z

pp máxz

Da qual resulta o seguinte quadro:

Quadro 10.1 – Pressões ao longo da parede do silo

( )mz 051,5

z

2

1051,5

1−

+− z ( )2mkgpz

4,00 0,792 0,689 947

8,00 1,584 0,850 1169

12,00 2,376 0,912 1254

16,00 3,168 0,942 1296

20,00 3,960 0,959 1319

24,00 4,752 0,970 1333 As paredes devem ser calculadas segundo as diversas solicitações das ondas:

1º À flexão simples entre os dois pilares, sobre o efeito da pressão horizontal dos grãos;

2º À flexão desviada entre os pilares ou entre os pilares e os elementos de reforço verticais dos pilares, sobre o efeito da resultante da pressão horizontal e da força de atrito dos grãos sobre as paredes;

3º À flexão local das faces verticais ou inclinadas das ondas sobre o efeito da pressão e da força de atrito anteriormente definidos.

Page 181: silos metálicos

Silos Metálicos

165

10.3. FLEXÃO SIMPLES

Os cálculos são feitos no caso do equipamento das células com colunas de depressão impedindo o aumento de pressões sobre as paredes no momento do enchimento.

As paredes são solicitadas pela flexão simples entre os pilares de apoio e por um esforço de tracção devido à pressão dos grãos sobre as paredes vizinhas.

Altura de uma onda: 0,86 m

Módulo de inércia de uma onda em chapa de espessura e:

eeleav

I ×=×××=×××= 580254,173

4

3

4

Fig. 10.2- Secção da parede vertical

Secção da onda: eeA =××= 25,04

Momento-flector máximo: zz ppM ×=××= 645,086,02

00,3 2

Esforço de tracção das paredes vizinhas: zz ppN ×=××= 376,186,02

20,3

Page 182: silos metálicos

Silos Metálicos

166

Tensão do metal:e

N

e

MR a ×

=100580

´

O quadro em baixo dá os valores dos esforços do metal para as diferentes profundidades zda matéria armazenada a partir do topo das paredes e para as espessuras de chapas determinadas:

Quadro 10.2 – Tensões obtidas (flexão simples)

Tensão ( )2cmkg ( )mz ( )2mkgpz ( )cmkgM . ( )kgN Chapa de

25/10 Chapa de

30/10 Chapa de

35/10 4,00 947 61067 1303 473 8,00 1169 75403 1609 584 12,00 1254 80905 1726 627 16,00 1296 83582 1783 648 20,00 1319 85082 1815 659 24,00 1333 86007 1835 667

10.4. FLEXÃO DESVIADA

O estudo das deformações de uma onda tal que ABCDE (fig.10.3) mostra que as faces verticais BC e DE tendem a rodar respectivamente sobre os pontos B e E e a porção de parede BCDE toma a posição a pontilhado BC´D´E.

Fig. 10.3- Secção da parede vertical

Page 183: silos metálicos

Silos Metálicos

167

É preciso estudar particularmente o equilíbrio desta porção de parede segundo o eixo BE correspondente a uma altura de parede de 0,67.

O módulo de inércia da porção de parede BCDE segundo o eixo BE, negligenciando o termo insignificante do módulo de inércia de cada face em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, vale:

esenesenlev

I ×=××=××= 0,1552522 ββ ( 3cm )

A secção da porção de parede considerada é

eew ×=××= 75253 (2cm )

A pressão horizontal calculada para uma profundidade de 24,00 m é: 1333 2mkg

A força vertical de atrito à mesma profundidade é:

222

620051,523

23

051,524

2480,0800 mkgkF =

+−

+××=

Resultante da pressão e da força de atrito:

kgR 14716201333 22 =+=

A componente desta resultante normal ao eixo BE considerado (fig.10.4): 1446 2mkg

Page 184: silos metálicos

Silos Metálicos

168

Fig. 10.4- Forças no eixo BE

De uma forma geral, e com uma aproximação satisfatória, a composta da resultante normal ao eixo BE, será tomada como o valor da pressão horizontal, multiplicado por um coeficiente médio de:

08,11333

1446=

O momento-flector respectivo à porção de parede BCDE sobre o efeito das forças normais ao eixo BE, tem a forma:

zz ppM ×=×××= 5427,012

00,367,008,1

2

O esforço de tracção devido às paredes vizinhas é:

zz ppN ×=××= 072,12

20,367,0

Tensão respectiva do metal:

e

N

e

MR a ×

=75155

´

Page 185: silos metálicos

Silos Metálicos

169

Daí o quadro 10.3 dando as tensões do metal sobre o efeito da secção desviada:

Quadro 10.3 – Tensões obtidas (flexão desviada)

Tensão ( )2cmkg ( )mz ( )2mkgpz ( )cmkgM . ( )kgN Chapa de

25/10 Chapa de

30/10 Chapa de

35/10 4,00 947 51382 1015 1380

8,00 1169 63444 1253 1704 1420

12,00 1254 68073 1345 1524 1306

16,00 1296 70325 1389 1349

20,00 1319 71588 1414 1373

24,00 1333 72365 1429 1388

O quadro de cima comparado com o anterior da flexão simples, mostra que as espessuras de chapa necessárias resultarão dos cálculos das ondas das paredes sujeitos a flexão desviada.

10.5. FLEXÃO LOCAL

A face mais solicitada é a face inclinada submetida à flexão local devida à componente normal a esta face, da resultante da pressão horizontal e da força de atrito dos grãos sobre as paredes.

Esta componente medida sobre o desenho (fig. 10.4 ) é de 1213 2mkg .

Como anteriormente, a componente normal às faces inclinadas será igual ao valor da pressão horizontal, multiplicada por um coeficiente médio de:

91.01333

1213=

Momento-flector máximo:

zz ppM ×=××= 004740,091,012

25,0 2

Módulo de inércia da chapa de espessura e:

22

66,166

100e

e

v

I ×=×=

Tensão no metal:

266,16

004740,0´

e

pR z

a ××

=

Page 186: silos metálicos

Silos Metálicos

170

Daí o quadro seguinte dando as tensões do metal sobre o efeito da flexão local:

Quadro 10.4 – Tensões obtidas (flexão local)

Tensão ( )2cmkg ( )mz ( )2mkgpz M ( )cmkgM . Chapa de

25/10 Chapa de

30/10 4,00 947 449 431

8,00 1169 554 532

12,00 1254 595 571

16,00 1296 614 590

20,00 1319 625 600

24,00 1333 632 607

Comparando o quadro 10.4 com o correspondente da flexão desviada, conclui-se que as espessuras de chapa necessárias serão condicionadas pelos resultados do quadro da flexão desviada.

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Silos Metálicos

171

11 PROGRAMA MATLAB

11.1. INTRODUÇÃO

Foi criado um programa em MATLAB com o intuito de validar os resultados obtidos com o programa comercial ROBOT. A utilização de “software” comercial como o ROBOT, traduz-se por um conjunto de limitações que exigem simplificações, as quais devem ser validadas.

O programa que a seguir se apresenta pretende ser uma alternativa à solução comercial.

11.2. CONCEITOS

Tal como foi feito no ROBOT, em que se modelaram as cascas das paredes do silo como uma série de placas, também essa metodologia foi seguida para o programa MATLAB.

Fig. 11.1- Elemento casca

As cascas podem portanto ser modeladas como uma junção de elementos de estado plano de tensão (que asseguram a deformação de membrana) com elementos de placa (responsáveis pela flexão).

A figura 11.2 mostra os graus de liberdade locais: u , v (para elementos planos) e w , ´xθ e ´yθ (para

elementos de placa).

Page 188: silos metálicos

Silos Metálicos

172

Fig. 11.2- Graus de liberdade

11.3. PROGRAMA

Em baixo apresenta-se o programa realizado. Foram sendo escritas notas (a verde) para melhor compreensão dos passos que se seguem.

Uma dificuldade que se apresentou foi a colocação de pressões normais e paralelas aos elementos casca. Por isso, e como o objectivo era o de comparar este programa com o ROBOT, fez-se um pequeno exemplo, colocando uma força de 100 kN num nó no topo do silo (como apresentado na figura 11.4), sendo os resultados comparados com os obtidos no ROBOT (para a mesma estrutura e mesmo caso de cargas, obviamente).

Apresenta-se um organograma do programa criado com o MATLAB:

Page 189: silos metálicos

Silos Metálicos

173

Apresenta-se também uma versão resumida do programa (a versão completa utilizada para o silo em estudo é reproduzida no anexo A.2):

% casca cilíndrica, 2 x 2 elementos % h=espessura % e=modulo de elasticidade % nu=coeficiente de Poisson % q1 = pressão segundo xx, q2 e q3 idem, yy e zz % node = coordenadas dos nos (x,y,z) % element = conectividadees (números dos nos em ele mentos) % gdlElemento = numeração dos graus de liberdade em cada elemento % condFronteira = numeração dos graus de liberdade prescritos % K = matriz de rigidez em eixos globais % R = vector de forcas nodais em eixos globais Clf %definição das características do material (aço) %h=0.25; e = 210e6; nu = 0.3; q1 = 0; q2=20; q3=-36 .7347*9.8*0.25; e = 210e6;nu = 0.3; q1 = 0; q2=0; q3=0; %coordenadas dos nós do silo [x,y,z](referencial gl obal) %definição dos elementos (cada um deles composto po r 4 nós)

Programa MATLAB

INPUT OUTPUT

Matrizes K e R

Características do material

(aço)

Coordenadas dos nós do

silo

Definição dos

elementos

Definição da espessura

dos elementos

Aplicação das cargas

Graus de liberdade

Page 190: silos metálicos

Silos Metálicos

174

% definição da espessura para cada um dos elementos atrás definidos (10 mm para os elementos que constituem a tremonha, e 5 mm para os elementos que constituem a parede cilíndrica) Nota: para facilitar o cálculo, não foi considerada a tampa do silo. h(1:208)=0.010; h(41:80)=0.005; h(121:185)=0.005; % não se aplicaram quaisquer cargas aos elementos c asca qz(1:208)=0.; qy(1:208)=0.; qx(1:208)=0.; desenhoMalhas(node,element, 'Q4' , 'black.-' ) %graus de liberdade (6 no total) ne = size(element,1); nd = length(node); dof = 6*nd ; gdlElemento = zeros(ne,24); for i=1:ne lm1 = [6*element(i,1)-5, 6*element(i,1)-4, 6*el ement(i,1)-3, ... 6*element(i,1)-2, 6*element(i,1)-1, 6*eleme nt(i,1)]; lm2 = [6*element(i,2) - 5, 6*element(i,2) - 4, 6*element(i,2)-3, ... 6*element(i,2)-2, 6*element(i,2)-1, 6*eleme nt(i,2)]; lm3 = [6*element(i,3) - 5, 6*element(i,3) - 4, 6*element(i,3)-3, ... 6*element(i,3)-2, 6*element(i,3)-1, 6*eleme nt(i,3)]; lm4 = [6*element(i,4) - 5, 6*element(i,4) - 4, 6*element(i,4)-3, ... 6*element(i,4)-2, 6*element(i,4)-1, 6*eleme nt(i,4)]; gdlElemento(i,:) = [lm1, lm2, lm3, lm4]; end %foram aplicadas condições de encastramento em 4 po ntos afectando por isso 4*6 graus de liberdade; estes 4 pontos são os mesmo s onde no ROBOT foram aplicados os apoios. condFronteira = [481:486 505:510 528:533 552:557]; K=zeros(dof); R = zeros(dof,1); % calcula K e R para cada elemento e assembla rotzStiffFactor = 0.00000035; for i=1:ne con = element(i,:); lm = gdlElemento(i,:); [k,r] = CascaPlana(node(con,:), h(i), e, nu, qx (i), qy(i), qz(i), ... 'Local' , rotzStiffFactor); K(lm, lm) = K(lm, lm) + k; R(lm) = R(lm) + r; End

Page 191: silos metálicos

Silos Metálicos

175

% Carga aplicada segundo a direcção x R(961)=-100; %desenho das malhas activeDof=setdiff([1:dof]',[condFronteira]); U=K([activeDof],[activeDof])\R([activeDof]); U1=zeros(dof,1); U1(activeDof)=U; d=U1; desenhoMalhas(node+0.5e1*[d(1:6:dof) d(2:6:dof) d(3:6:dof)],element, 'Q4' , 'red.-' )

11.4. RESULTADOS E CONCLUSÕES

Fig. 11.3- Estrutura (ROBOT)

Page 192: silos metálicos

Silos Metálicos

176

Fig. 11.4- Deformada (ROBOT)

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Fig. 11.5- Deformada (MATLAB)

Page 193: silos metálicos

Silos Metálicos

177

Fig. 11.6- Deformada das estruturas (à esquerda pelo ROBOT; à direita pelo MATLAB)

É clara e notória a semelhança entre as deformadas obtidas pelos dois programas (ROBOT e MATLAB).

Há ainda que confirmar pelos valores dos deslocamentos dos nós.

No nó onde é aplicada a força de 100kN, o deslocamento segundo x , pelo ROBOT vale:

Fig. 11.7- Resultados do ROBOT (em cm)

cmUX 78,34−=

cmUY 00,0=

cmUx 17,1=

Obs: a numeração dada aos nós no ROBOT não coincide com a determinada no MATLAB (o nó em questão, é numerado como 177 no ROBOT, sendo 160 no MATLAB).

Page 194: silos metálicos

Silos Metálicos

178

Já no MATLAB, foram obtidos para esse mesmo nó (nó 160):

O deslocamento segundo x equivale a escrever [ ] )961()16160( ddadegrausliberd =+× , fazendo o

mesmo para y ( 2+ ) e z ( 3+ ).

Fig. 11.8- Resultados do MATLAB (em m)

Como se pode comprovar, não só pelo desenho da deformada, mas também pelos resultados analíticos obtidos, pode-se concluir que este programa MATLAB recria com fidelidade o modelo criado no ROBOT. Apesar de não se ter feito, poder-se-iam ainda calcular tensões criadas na estrutura para um determinado tipo de carregamento (que não foi realizado devido à dificuldade em colocar cargas normais e tangentes às placas). Serve portanto este programa para estabelecer o início de um futuro trabalho que se venha a realizar, mais aprofundado, em que se queira rentabilizar ao máximo um determinado programa.

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12 CONCLUSÕES

Os silos são estruturas muito particulares, que servem essencialmente para o armazenamento de cereais e produtos pulverulentos. Apresentam capacidades de armazenamento absolutamente invulgares, com valores a atingirem as 50 000 toneladas. Conseguem-se criar estruturas com grande capacidade através de agrupamentos apropriados entre células, com uma maior rapidez de construção e menores custos unitários.

Dois materiais são habitualmente utilizados na construção dos silos: betão (armado ou pré-esforçado) e aço. O primeiro é escolhido quando os esforços de flexão da parede são importantes, utilizando-se paredes de grande espessura. No caso dos silos metálicos, as paredes terão uma pequena espessura, que obrigam a uma redobrada atenção ao fenómeno de varejamento.

Quando à secção, de referir que a opção pela circular é devida ao uso eficiente do material e facilidade de construção. Se se pretender um maior rendimento do espaço disponível, aconselha-se a escolha da secção rectangular.

O objectivo deste trabalho foi o de conhecer e analisar o comportamento estrutural dos silos metálicos (de secção circular ou rectangular).

Através de uma pesquisa bibliográfica, estudaram-se os principais aspectos envolvidos no dimensionamento de um silo, e as regras específicas de alguns regulamentos (caso do Eurocódigo para o silo circular e das normas canadianas para o rectangular).

No caso do silo circular analisou-se a problemática da malha de elementos finitos a utilizar com o “software” comercial ROBOT. Fez-se a verificação estrutural do silo, que foi feita para a parede vertical e para a tremonha. Foram feitas as verificações da ruptura e de varejamento para a parede vertical, e da resistência plástica para a tremonha. Verificou-se ainda o anel-viga (ou de transição) para a situação de varejamento, para dentro e para fora do seu plano.

No caso do silo rectangular foi feito um dimensionamento das paredes verticais e da tremonha, de acordo com as regras das normas canadianas. Foram dimensionados reforços verticais e horizontais, que incluídos na estrutura asseguram a sua estabilidade estrutural.

Por fim, realizou-se uma outra opção de cálculo para o silo circular, através da escrita de um programa em MATLAB; o programa foi feito para analisar cascas com elementos planos, obtendo-se uma ferramenta que permite analisar um silo circular, e aferir a veracidade dos valores de cálculo do ROBOT. Através da definição das características geométricas e mecânicas do silo em estudo, o programa permite a obtenção de esforços e deslocamentos num qualquer nó da estrutura.

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Face aos estudos realizados e às aplicações desenvolvidas, apresentam-se as seguintes considerações sob os tópicos enunciados:

1- Teoria preconizada no Eurocódigo 1 para as acções a aplicar a um silo: a teoria de Janssen só será válida para condições de enchimento e de armazenamento; dever-se-á procurar uma alternativa (à simples multiplicação das pressões obtidas por Janssen por factores amplificativos). Neste trabalho não é feita uma comparação entre as teorias de Janssen e de Reimbert (esta última também muito citada em outros trabalhos). Uma teoria que melhor expressasse as condições dinâmicas do esvaziamento de um silo seria necessária.

2- Ainda relativamente às acções, deve-se ter uma particular atenção ao capítulo dos carregamentos excêntricos. O Eurocódigo 1 tem em conta tais fenómenos, já que uma considerável percentagem de enchimentos de silos é feita excentricamente. Um futuro trabalho não deverá ser tão simplificado como este, e deverá ter em conta a excentricidade do enchimento e do esvaziamento, apesar de serem acontecimentos ainda muito pouco estudados e conhecidos. Deve-se também prestar uma maior atenção às condições de pressões assimétricas. Estas são mais comuns que as simétricas, e os seus efeitos mais nefastos. De facto, baixas pressões locais assimétricas são mais perigosas que altas pressões simétricas. Apesar da complexidade que é tomar em conta as assimetrias de carga, o Eurocódigo 1 apresenta já algumas regras, que apesar de simplificadas permitem a chamada de atenção.

3- Uma ponderação sobre o diagrama de pressões aplicadas às paredes do silo dimensionado: comparando as figuras 4.8 e 4.9, nota-se que não existe uma total correspondência entre as duas. De relembrar que as pressões na tremonha foram obtidas através das fórmulas escritas no anexo H do Eurocódigo 1, que apenas distingue entre silos de fluxo em massa dos de fluxo em funil pela aplicação de uma carga suplementar sp . Julga-se que o método apresentado no

anexo H tem em conta a pior das solicitações. Veja-se: as pressões no topo da tremonha para silos de fluxo em funil são inferiores às do fluxo em massa. Observando a figura 4.8 detecta-se isso mesmo, com um claro aumento de pressões na zona de transição. No entanto, e ao contrário do que se apresenta na figura 4.9, as pressões na base da tremonha não são nulas (ou praticamente nulas). Isto porque nessa zona (no fundo da tremonha), as pressões para um fluxo em massa são inferiores às de um fluxo em funil, e este método alternativo tenta expressar isso mesmo. Ou seja, o método do anexo H para o cálculo das pressões da tremonha é conservativo, pois considera sempre a pior das solicitações; para o topo da tremonha considera que o silo é um silo de fluxo em massa; para a base considera que é de fluxo em funil. Tendo isso em conta é fácil compreender o diagrama de pressões da figura 4.8, diagrama esse que serviu para o posterior dimensionamento e verificação do silo.

4- O fenómeno de varejamento é muito sensível às imperfeições geométricas. As falhas por varejamento são aliás as causas mais comuns do colapso de silos metálicos. Neste trabalho é feito um tratamento simplificado, já que se deveriam ainda considerar outras variáveis tais como o tipo de junta utilizada e a “rigidez” do material armazenado (quando a parede se deforma, a existência de material no interior do silo pode ter um efeito bastante positivo, na medida em que pode minorar a sua deformação).

5- De criticar a verificação de varejamento do anel-viga. A análise feita não tem conta a existência de apoios discretos: dever-se-iam utilizar factores amplificativos para as tensões máximas de varejamento nas localidades próximas dos suportes.

6- Neste trabalho, provou-se a relevância da introdução de um anel-viga na estrutura: este é responsável pela redistribuição de esforços na zona de transição (e daí o abaixamento dos

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esforços Edx,σ , tensão pela qual se verifica o varejamento das paredes verticais) como

também pelo aumento de rigidez na direcção do plano da secção circular e na direcção perpendicular a este último. A resistência máxima ao colapso plástico da junção (sob carregamento axissimétrico) é aumentada cerca de 6 vezes caso se utilize um anel-viga, como se observou pela aplicação da equação (6.100).

7- No dimensionamento dos silos (circular e rectangular) considera-se que as estruturas têm 4 apoios. A escolha de um reduzido número de suportes não foi ocasional, pois pretendia-se estudar uma estrutura menos convencional; as fórmulas apresentadas para a verificação das tensões de membrana máximas são todas muito conservativas devido à reduzida informação prática que se tem sobre os fenómenos que ocorrem na zona de ligação suporte/ zona de transição. Não é ainda claro o comportamento conjunto da parede vertical com um apoio isolado. Ainda assim, verificaram-se todas as restrições a aplicar a esta zona do silo. Seria portanto importante conceber teorias mais aproximadas e realistas.

8- Pouco realistas são também as expressões de verificação de colapso plástico da tremonha. São para o silo circular em estudo completamente verificadas, não se apresentando o colapso plástico como critério principal no seu dimensionamento.

9- O silo rectangular distingue-se muito do silo circular. Observa-se que utilizando as mesmas espessuras de parede, para as mesmas dimensões, que estas não bastam. No silo rectangular foram precisos reforços verticais e horizontais que garantissem valores aceitáveis de tensão máxima. A teoria das pequenas deformações é pouco realista, pois origina espessuras francamente anti-económicas. Deve-se optar pela obtenção de espessuras segundo a teoria das grandes deformações, desde que devidamente verificadas as tensões máximas. O dimensionamento proposto pela revista canadiana “Design Guidelines for Rectangular Steel Bins” parece ser demasiado conservativo: as espessuras fornecidas pela teoria das pequenas deformações (que se baseia na teoria elástica), quando aplicadas no modelo do ROBOT apresentam-se um pouco excessivas. De realçar ainda o cuidado que também nesta revista (baseada nas normas canadianas) se detecta para com as pressões no topo da tremonha, local onde se atingem os valores máximos (ver figura 9.2). A relação entre o material armazenado e as paredes da estrutura é ainda pouco conhecida. Este assunto é focado em alguns trabalhos.

10- O programa utilizado (ROBOT) apresentou algumas contrariedades. Não se conseguem obter malhas muito refinadas (especialmente para silos circulares), pois a zona da transição apresenta-se frequentemente como uma zona crítica. A tentativa de obter malhas definidas manualmente demonstrou ser infrutífera, pois era necessária a constante correcção da malha, tarefa que se torna demasiado extensa quando se pretendem ter malhas muito refinadas. Segundo a bibliografia consultada, é aconselhável a utilização de programas como NEPAS e ABAQUS, sendo o primeiro indicado para análises elasto-plásticas, e o segundo uma alternativa comercial ao ROBOT. O programa ANSYS poderá também ser utilizado; ele é frequentemente usado para o dimensionamento de reservatórios; apesar de não saber se é adequado para a obtenção dos esforços de flexão locais da zona de transição, poderá ser uma ferramenta útil.

11- Uma conclusão a retirar do estudo dos modos principais de vibração, é de que nenhum deles envolve vibração das paredes da tremonha, no caso do silo circular; nos silos rectangulares já não se pode dizer o mesmo.

12- Por fim, considera-se ser útil o melhoramento do programa MATLAB realizado. Devem-se melhorar aspectos como o aumento do número de nós por elemento (passar de elementos de 4

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nós para de 8 nós), e uma mais fácil aplicação de cargas (variáveis) perpendiculares e paralelas aos elementos.

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BIBLIOGRAFIA

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[20] http://www.dietmar-schulze.de/spanne.html. 5/Jan/2008.

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ANEXOS

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A.1 Demonstração da fórmula de Janssen

A fórmula de Janssen foi obtida tendo em conta uma fatia do silo circular, através das condições de equilíbrio:

Fig. A.1.1- Fatia de material armazenado em estudo

Em que:

s o comprimento da secção em estudo;

A a área da secção circular do silo;

P o perímetro da secção circular do silo;

z a profundidade desde o topo do silo;

dz a espessura do fatia em estudo;

vσ pressão vertical média;

dzd vσ variação da pressão vertical ao longo de z ;

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τ esforço de corte entre o material e a parede do silo;

hσ pressão horizontal

γ densidade do material armazenado;

δ coeficiente de atrito da parede.

Assegurando o equilíbrio de forças na fatia do silo em estudo:

dzAAdzPAdzdz

dv

vv ××+×=××+×

+ γστσσ

(A.1)

Simplificando a equação anterior:

A

P

dz

d v ×−= τγσ (A.2)

Num silo de secção circular, a razão AP vale:

( ) DDDAP 442 =××= ππ (A.3)

O esforço de corte existente entre o material armazenado e a parede do silo é:

µσδστ ×=×= hh tan (A.4)

Janssen assumiu constante o razão avh KK == σσ , ao longo do silo.

Substituindo as equações (A.3) e (A.4), com vh K σσ = , na equação (A.2), surge a seguinte

expressão:

( )DKzz

hv e

K

Ddz

µγµσγσ ×××−−×

×××=

××−= ∫

4

0

14

4

(A.5)

Para a obtenção desta fórmula, foram considerados quatro pressupostos:

� a pressão vertical é constante a uma determinada profundidade; � a razão vhK σσ= é constante, qualquer que seja a profundidade;

� a densidade do material armazenado γ é invariável;

� a fricção da parede é totalmente mobilizada.

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Segundo resultados experimentais obtidos por Roberts (1995), a pressão vertical não era na realidade uniforme ao longo da secção circular do silo: no centro, era mais alta (cerca de 1,15 vezes o valor médio), sendo mais baixa nos cantos (cerca de 0,8 vezes o valor médio). Conclui no entanto que considerando a uniformidade de pressões se obtinham resultados suficientemente acertados.

A partir da fórmula da pressão vertical, obtém-se a correspondente para a pressão horizontal, a aplicar às paredes do silo:

( )DKzvh e

DK µ

µγσσ ×××−−×

××=×= 41

4

(A.6)

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A.2 Programa MATLAB % casca cilíndrica, 2 x 2 elementos % h=espessura % e=modulo de elasticidade % nu=coeficiente de Poisson % q1 = pressão segundo xx, q2 e q3 idem, yy e zz % node = coordenadas dos nos (x,y,z) % element = conectividadees (números dos nos em ele mentos) % gdlElemento = numeração dos graus de liberdade em cada elemento % condFronteira = numeração dos graus de liberdade prescritos % K = matriz de rigidez em eixos globais % R = vector de forcas nodais em eixos globais Clf %definição das características do material (aço) %h=0.25; e = 210e6; nu = 0.3; q1 = 0; q2=20; q3=-36 .7347*9.8*0.25; e = 210e6;nu = 0.3; q1 = 0; q2=0; q3=0; %coordenadas dos nós do silo [x,y,z](referencial g lobal) node=[0.38,0,-2.5;0.35,0.14,-2.5;0.27,0.27,-2.5;0.1 4,0.35,-2.5;0,0.38,-2.5;-0.14,0.35,-2.5;-0.27,0.27,-2.5;-0.35,0.14,-2.5 ;-0.38,0,-2.5;-0.35,-0.14,-2.5;-0.27,-0.27,-2.5;-0.14,-0.35,-2.5;0,-0.38 ,-2.5;0.14,-0.35,-2.5;0.27,-0.27,-2.5;0.35,-0.14,-2.5;0.6,0,-2;0.55,0 .23,-2;0.42,0.42,-2;0.23,0.55,-2;0,0.6,-2;-0.23,0.55,-2;-0.42,0.42,-2 ;-0.55,0.23,-2;-0.6,0,-2;-0.55,-0.23,-2;-0.42,-0.42,-2;-0.23,-0.55,-2;0,-0 .6,-2;0.23,-0.55,-2;0.42,-0.42,-2;0.55,-0.23,-2;0.83,0,-1.5;0.76,0.32 ,-1.5;0.58,0.58,-1.5;0.32,0.76,-1.5;0,0.83,-1.5;-0.32,0.76,-1.5;-0.5 8,0.58,-1.5;-0.76,0.32,-1.5;-0.83,0,-1.5;-0.76,-0.32,-1.5;-0.58,-0.58,-1.5; -0.32,-0.76,-1.5;0,-0.83,-1.5;0.32,-0.76,-1.5;0.58,-0.58,-1.5;0.76,-0.3 2,-1.5;1.05,0,-1;0.97,0.4,-1;0.74,0.74,-1;0.4,0.97,-1;0,1.05,-1;-0 .4,0.97,-1;-0.74,0.74,-1;-0.97,0.4,-1;-1.05,0,-1;-0.97,-0.4,-1;-0.74,-0.74 ,-1;-0.4,-0.97,-1;0,-1.05,-1;0.4,-0.97,-1;0.74,-0.74,-1;0.97,-0.4,-1;1.2 8,0,-0.5;1.18,0.49,-0.5;0.9,0.9,-0.5;0.49,1.18,-0.5;0,1.28,-0.5;-0.49,1 .18,-0.5;-0.9,0.9,-0.5;-1.18,0.49,-0.5;-1.28,0,-0.5;-1.18,-0.49,-0.5;-0.9,- 0.9,-0.5;-0.49,-1.18,-0.5;0,-1.28,-0.5;0.49,-1.18,-0.5;0.9,-0.9,-0.5;1.18 ,-0.49,-0.5;1.5,0,0;1.39,0.57,0;1.06,1.06,0;0.57,1.39,0;0,1 .5,0;-0.57,1.39,0;-1.06,1.06,0;-1.39,0.57,0;-1.5,0,0;-1.39,-0.57,0;-1. 06,-1.06,0;-0.57,-1.39,0;0,-1.5,0;0.57,-1.39,0;1.06,-1.06,0;1.39,-0.57,0;1.5,0,1;1.39,0.57,1;1.06,1.06,1;0.57,1.39,1; 0,1.5,1;-0.57,1.39,1;-1.06,1.06,1;-1.39,0.57,1;-1.5,0,1;-1.39,-0.57,1;-1. 06,-1.06,1;-0.57,-1.39,1;0,-1.5,1;0.57,-1.39,1;1.06,-1.06,1;1.39,-0.57,1;1.5,0,2;1.39,0.57,2;1.06,1.06,2;0.57,1.39,2; 0,1.5,2;-0.57,1.39,2;-1.06,1.06,2;-1.39,0.57,2;-1.5,0,2;-1.39,-0.57,2;-1. 06,-1.06,2;-0.57,-1.39,2;0,-1.5,2;0.57,-1.39,2;1.06,-1.06,2;1.39,-0.57,2;1.5,0,3;1.39,0.57,3;1.06,1.06,3;0.57,1.39,3; 0,1.5,3;-0.57,1.39,3;-

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1.06,1.06,3;-1.39,0.57,3;-1.5,0,3;-1.39,-0.57,3;-1. 06,-1.06,3;-0.57,-1.39,3;0,-1.5,3;0.57,-1.39,3;1.06,-1.06,3;1.39,-0.57,3;1.5,0,4;1.39,0.57,4;1.06,1.06,4;0.57,1.39,4; 0,1.5,4;-0.57,1.39,4;-1.06,1.06,4;-1.39,0.57,4;-1.5,0,4;-1.39,-0.57,4;-1. 06,-1.06,4;-0.57,-1.39,4;0,-1.5,4;0.57,-1.39,4;1.06,-1.06,4;1.39,-0.57,4;1.5,0,5;1.39,0.57,5;1.06,1.06,5;0.57,1.39,5; 0,1.5,5;-0.57,1.39,5;-1.06,1.06,5;-1.39,0.57,5;-1.5,0,5;-1.39,-0.57,5;-1. 06,-1.06,5;-0.57,-1.39,5;0,-1.5,5;0.57,-1.39,5;1.06,-1.06,5;1.39,-0.5 7,5;0.2,0,-2.9;0.18,0.07,-2.9;0.14,0.14,-2.9;0.07,0.18,-2.9;0, 0.2,-2.9;-0.07,0.18,-2.9;-0.14,0.14,-2.9;-0.18,0.07,-2.9;-0.2,0,-2.9;-0. 18,-0.07,-2.9;-0.14,-0.14,-2.9;-0.07,-0.18,-2.9;0,-0.2,-2.9;0.07,-0.18,- 2.9;0.14,-0.14,-2.9;0.18,-0.07,-2.9;0.24,0,-2.8;0.22,0.09,-2.8;0.17 ,0.17,-2.8;0.09,0.22,-2.8;0,0.24,-2.8;-0.09,0.22,-2.8;-0.17,0.17,-2.8;-0. 22,0.09,-2.8;-0.24,0,-2.8;-0.22,-0.09,-2.8;-0.17,-0.17,-2.8;-0.09,-0.22,- 2.8;0,-0.24,-2.8;0.09,-0.22,-2.8;0.17,-0.17,-2.8;0.22,-0.09,-2.8;0.15,0,-3 ;0.14,0.06,-3;0.11,0.11,-3;0.06,0.14,-3;0,0.15,-3;-0.06,0.14,-3 ;-0.11,0.11,-3;-0.14,0.06,-3;-0.15,0,-3;-0.14,-0.06,-3;-0.11,-0.11, -3;-0.06,-0.14,-3;0,-0.15,-3;0.06,-0.14,-3;0.11,-0.11,-3;0.14,-0.06,-3;] ; %definição dos elementos (cada um deles composto po r 4 nós) element=[177 178 210 209;180 181 213 212;181 182 21 4 213;184 185 217 216;185 186 218 217;188 189 221 220;189 190 222 221 ;192 177 209 224;178 179 211 210;179 180 212 211;182 183 215 214;183 184 216 215;186 187 219 218;187 188 220 219;190 191 223 222;191 192 224 223;193 194 178 177;196 197 181 180;197 198 182 181;200 201 185 184;201 202 186 185 ;204 205 189 188;205 206 190 189;208 193 177 192;194 195 179 178;195 196 180 179;198 199 183 182;199 200 184 183;202 203 187 186;203 204 188 187;206 207 191 190;207 208 192 191;1 2 194 193;4 5 197 196;5 6 198 197 ;8 9 201 200;9 10 202 201;12 13 205 204;13 14 206 205;16 1 193 208;2 3 195 194;3 4 196 195;6 7 199 198;7 8 200 199;10 11 203 202;11 12 204 203;14 15 207 206;15 16 208 207;70 71 55 54; 71 72 56 55;74 75 59 58;75 76 60 59;78 79 63 62;79 80 64 63 ;66 67 51 50;67 68 52 51;22 23 7 6;23 24 8 7;26 27 11 10;2 7 28 12 11;30 31 15 14;31 32 16 15;18 19 3 2;19 20 4 3;21 2 2 6 5;24 25 9 8;25 26 10 9;28 29 13 12;29 30 14 13;32 1 7 1 16;17 18 2 1; 20 21 5 4;38 39 23 22;39 40 24 23;42 43 27 26;43 44 28 27;46 47 31 30;47 48 32 31;34 35 19 18;35 36 20 19;37 38 22 21;40 41 25 24;41 42 26 25;44 45 29 28;45 46 30 29;48 33 17 32;33 34 18 17;36 37 21 20;54 55 39 38;55 56 40 39;58 59 43 42;59 60 44 43;62 63 47 46;63 64 48 47;50 51 35 34;51 52 36 35;53 54 38 37;56 57 41 40;57 58 42 41;60 61 45 44;61 62 46 45;64 49 33 48;49 50 34 33;52 53 37 36;69 70 54 53;72 73 57 56;73 74 58 57;76 77 61 60;77 78 62 61;80 65 49 64;65 66 50 49;68 69 53 52;85 86 70 69;88 89 73 72;89 90 74 73;92 93 77 76;93 94 78 77;96 81 65 80;81 82 66 65;84 85 69 68;86 87 71 70;87 88 72 71;90 91 75 74;91 92 76 75;94 95 79 78;95 96 80 79;82 83 67 66;83 84 68 67;101 102 86 85;104 105 89 88;105 106 90 89;108 109 93 92;117 118 102 101;120 121 105 104;1 21 122 106 105;124 125 109 108;133 134 118 117;136 137 121 120;137 138 122 121;140 141 125 124;149 150 134 133;152 153 137 136;153 154 138 137;156 157 141 140;165 166 150 149;168 169 153 152;169 170 154 153;172 173 157 156 ;109 110 94 93;112 97 81 96;97 98 82 81;100 101 85 84;125 126 110 10 9;128 113 97 112;113 114 98 97;116 117 101 100;141 142 126 125;144 129 113 128;129 130 114 113;132 133 117 116;157 158 142 141;160 145 129 144 ;145 146 130 129;148 149 133 132;173 174 158 157;176 161 145 160;161 162 146 145;164 165 149 148;102 103 87 86;103 104 88 87;106 107 91 90;107 108 92 91;118 119 103 102;119 120 104 103;122 123 107 106;123 124 108 107;134 135 119 118;135 136 120

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119;138 139 123 122;139 140 124 123;150 151 135 134 ;151 152 136 135;154 155 139 138;155 156 140 139;166 167 151 150;167 168 152 151;170 171 155 154;171 172 156 155;110 111 95 94;111 112 96 95;98 99 8 3 82;99 100 84 83;126 127 111 110;127 128 112 111;114 115 99 98;115 116 100 99;142 143 127 126;143 144 128 127;130 131 115 114;131 132 116 115 ;158 159 143 142;159 160 144 143;146 147 131 130;147 148 132 131;174 175 159 158;175 176 160 159;162 163 147 146;163 164 148 147]; % definição da espessura para cada um dos elementos atrás definidos (10 mm para os elementos que constituem a tremonha, e 5 mm para os elementos que constituem a parede cilíndrica) Nota: para facilitar o cálculo, não foi considerada a tampa do silo. h(1:208)=0.010; h(41:80)=0.005; h(121:185)=0.005; % não se aplicaram quaisquer cargas aos elementos c asca qz(1:208)=0.; qy(1:208)=0.; qx(1:208)=0.; desenhoMalhas(node,element, 'Q4' , 'black.-' ) %graus de liberdade (6 no total) ne = size(element,1); nd = length(node); dof = 6*nd ; gdlElemento = zeros(ne,24); for i=1:ne lm1 = [6*element(i,1)-5, 6*element(i,1)-4, 6*el ement(i,1)-3, ... 6*element(i,1)-2, 6*element(i,1)-1, 6*eleme nt(i,1)]; lm2 = [6*element(i,2) - 5, 6*element(i,2) - 4, 6*element(i,2)-3, ... 6*element(i,2)-2, 6*element(i,2)-1, 6*eleme nt(i,2)]; lm3 = [6*element(i,3) - 5, 6*element(i,3) - 4, 6*element(i,3)-3, ... 6*element(i,3)-2, 6*element(i,3)-1, 6*eleme nt(i,3)]; lm4 = [6*element(i,4) - 5, 6*element(i,4) - 4, 6*element(i,4)-3, ... 6*element(i,4)-2, 6*element(i,4)-1, 6*eleme nt(i,4)]; gdlElemento(i,:) = [lm1, lm2, lm3, lm4]; end %foram aplicadas condições de encastramento em 4 po ntos afectando por isso 4*6 graus de liberdade; estes 4 pontos são os mesmo s onde no ROBOT foram aplicados os apoios. condFronteira = [481:486 505:510 528:533 552:557]; K=zeros(dof); R = zeros(dof,1);

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% calcula K e R para cada elemento e assembla rotzStiffFactor = 0.00000035; for i=1:ne con = element(i,:); lm = gdlElemento(i,:); [k,r] = CascaPlana(node(con,:), h(i), e, nu, qx (i), qy(i), qz(i), ... 'Local' , rotzStiffFactor); K(lm, lm) = K(lm, lm) + k; R(lm) = R(lm) + r; End % Carga aplicada segundo a direcção x R(961)=-100; %desenho das malhas activeDof=setdiff([1:dof]',[condFronteira]); U=K([activeDof],[activeDof])\R([activeDof]); U1=zeros(dof,1); U1(activeDof)=U; d=U1; desenhoMalhas(node+0.5e1*[d(1:6:dof) d(2:6:dof) d(3:6:dof)],element, 'Q4' , 'red.-' )

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A.3 Malha da estrutura (Autocad-ROBOT)

Foi feito, posteriormente, uma experimentação, no sentido de se obter uma malha mais refinada para o silo circular. São seguidos os seguintes passos: 1º- Definição da geometria do silo, para o desenho das paredes da estrutura no autocad. 2º- No caso de uma estrutura anteriormente definida no Excel, é necessário concatenar as coordenadas (x,y,z), sendo as unidades separadas da decimas por ponto, e não vírgula (caso contrário, o autocad não reconhecerá o valor numérico introduzido) Exemplo: (x,y,z)=(0, 365.45, 74.59) No bloco de notas, introduzir a série de valores concatenados, após “point”. Deixar sempre um espaço no fim de cada linha! Exemplo: point 1,500 0,000 1 1,386 0,574 1 1,061 1,061 1 0,574 1,386 1 0,000 1,500 1 -0,574 1,386 1 -1,061 1,061 1 -1,386 0,574 1 -1,500 0,000 1 -1,386 -0,574 1 -1,061 -1,061 1 -0,574 -1,386 1 0,000 -1,500 1 0,574 -1,386 1 1,061 -1,061 1 1,386 -0,574 1 1,500 0,000 1 Por fim, gravar o ficheiro no formato “.scr” 3º- No autocad, escrever na linha de comandos “scr”, onde se poderá ir buscar os dados escritos no bloco de notas. Nesta altura, temos já a estrutura definida no autocad!

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4º Definição dos limites da parede: basta criar linhas a ligar os pontos introduzidos. 5º Desenho da malha da estrutura: o autocad possui uma ferramenta deveras útil, que nos permite obter malhas tão refinadas quanto queiramos/pretendamos. Draw -> Surfaces -> Edge Surface Um exemplo: Tendo eu a parede em baixo desenhada, pretendo que ela fique “dividida” segundo as duas direcções, em 5 partes iguais.

Para isso, defino, pela linha de comandos:

E em vez das anteriores 6 divisões, opto pelas 5:

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Definindo na outra direcção, surftab2=5, resulta:

Após isto, basta passar a estrutura para o ROBOT. No caso do silo, obtive a seguinte malha (muito mais refinada que a obtida automaticamente):